高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc

2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于．3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则x+y= ．ξ1 2 3P X y x7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ．8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ．10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是．X ﹣ 1 0 1P a c13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1.，5则a的值等于．ξ012 3P0.1a b0.214．一个人随机的将编号为1， 2， 3，4 的四个小球放入编号为1， 2， 3， 4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ=．15．从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1， 2，3， 4， 5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2 ，3， 4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．18．盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2， 3，4，5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0， 1， 2， 3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，且 a，b ∈{ 1，2 ，3，4} ，若 | a﹣ b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为 n，向量=（ m， n）， =（ 3， 6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．2017 年 03 月 25 日茅盾中学09 的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24 小题）1．（ 2012?温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15 分．【分析】设该生在面试时的得分为 X，由题设条件知 X 的可能取值为﹣ 15，0， 15， 30，分别求出 P（ X=﹣ 15）， P（ X=0）， P（ X=15）， P（ X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X 的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣ 15 ） = = ，P（X=0）= = ，P（X=15） = = ，P（X=30） = = ，∴E X=﹣ 15× +0× +15× +30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15 分．故答案为： 15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率计算公式的灵活运用．2．（ 2016 春 ?松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ =300，Dξ =200，则 P 等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的未知量 p．【解答】解：∵ξ服从二项分布 B～（ n ，p）Eξ =300， Dξ =200∴Eξ=300=np，①；Dξ =200=np（ 1﹣ p），②．可得 1﹣ p==，∴p=1﹣ = ．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013 春 ?渭滨区校级期末）设随机变量X～B（ 6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题 x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B（ 6，），∴P（ X=3） =C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（ 2015?中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为 1，2，3，4，5，6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量 X 的数学期望是．【分析】确定 X 的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X 的数学期望【解答】解：由题设知X 的可能取值为 1，2， 3， 4， 5．随机地取出两个球，共有：=15 种，∴P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = ， P（ X=4）= ， P（ X=5）= ，∴随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P故 EX=1×+2×+3×+4×+5×= ．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X 的可能取值，求出相应的概率是关键．5．（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是 1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵ a， b， c 成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1× a+1× c=c﹣ a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（ 2014?余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0， y＞ 0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y=．ξ12 3P X y x【分析】利用离散型随机变量的期望与方差即可得出．【解答】解：由题意可得：2x+y=1， Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（ 1﹣ 2x）=2．∴方差 Dξ= =（ 1﹣ 2）2x+（ 2﹣2）2（1﹣ 2x） +（ 3﹣ 2）2x．化为，解得，∴= ．∴= ．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（ 2015 春 ?淮安校级期末）袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤7） = ．【分析】取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1， 2，3 个，得分的随机变量ξ=4， 6， 8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1，2， 3 个，∴得分的随机变量ξ=4， 6， 8， 10，∴P（ξ≤ 7） =P（ξ=4） +P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001?江西）一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2 个球，其中 2 个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是 0、 1、 2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出 2 个球，其中 2 个红球，∴P（ξ=0） = =0.1，P（ξ =1） = =0.6P（ξ =2） ==0.3∴Eξ=0× 0.1+1× 0.6+2× 0.3=1.2．故答案为： 1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（ 2012?浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是 0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0， 1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6× 6=36故 P（ξ=0） =，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为ξ01 2P=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（ 2013?浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50 时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，， 50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10 个球中取 5 个共有 C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（ X=100） ==，当得分 50 时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50） ==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013?西湖区校级模拟）为参加2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b， c，d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0， 1，2， 3，P（ξ =0）= = ， P（ξ =1）= = ，P（ξ =2）= = ， P（ξ =3）= =∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（ 2011?海珠区一模）随机变量X 的分布列如下：若，则DX的值是．X﹣ 10 1P a c【分析】由分布列的性质和期望列出关于 a 和 c 的方程组，解出 a 和 c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以 DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（ 2012?浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1，.5则a的值等于0.5 ．ξ012 3P0.1a b0.2【分析】由题意已经知道随机变量ξ的分布列表，又知道ξ的期望 Eξ=1.5，利用期望定义及分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：?．故答案为： 0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（ 2011?宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4 的四个小球放入编号为1，2，3 ，4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ= 1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，ξ的分布列为：ξ0 1 2 4PEξ==1．故答案为： 1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（ 2013?浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况， 2 名都是女同学的共有=3 种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况，满足 2 名都是女同学的共有=3 种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（ 2013?上海）盒子中装有编号为1， 2，3， 4，5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15 种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15 种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：= ．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（ A） = ，其中 n（ A）为事件 A 所包含的基本事件数，m 为基本事件总数．17．（ 2015?江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1， 2， 3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．【分析】由组合知识求出从 4 个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于 5 的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从 5 个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于 5 的情况有（2， 4），（ 3， 4）共 2 种取法．所以取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（ 2010?江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件 A 中包含的基本事件的个数31=3，m=C算出事件 A 的概率，即 P（ A） = 即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数 n=C42 =6，m=C 1∵事件 A 中包含的基本事件的个数=33∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）算出事件 A 中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件 A 的概率，即 P（ A） = ．19．（ 2009?安徽）从长度分别为2，3，4， 5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共 3 种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2， 3， 4； 2，3， 5； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2， 3， 4； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 3 种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（ 2011?鼓楼区校级模拟）从分别写有0， 1， 2，3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0， 1， 2， 3，4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5× 5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于 4 为事件 A”：事件 A 的个数为：（ 4， 0），（ 0，4），（ 2， 2），（1， 3），（ 3， 1）共 5 个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（ A） =．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（ 2011?江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且 a，b∈ { 1，2，3， 4} ，若 | a﹣ b| ≤1 ，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有4× 4 种结果，满足条件的事件是| a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有 4× 4=16 种结果，满足条件的事件是 | a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1 时， b=1， 2，当a=2 时， b=1， 2， 3当a=3 时， b=2， 3， 4当a=4 时， b=3， 4总上可知共有2+3+3+2=10 种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012?东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n ，向量=（ m，n）， =（ 3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到 6m﹣ 3n=0 即 n=2m ，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6× 6=36 种结果，满足条件事件是向量=（ m， n）与=（3， 6）共线，即6m﹣ 3n=0，∴n=2m ，满足这种条件的有（ 1， 2）（ 2， 4）（ 3， 6），共有 3 种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（ 2013?西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有 22=4 中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（ 2011?卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答 5 道题中的 3 道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从 5 道备选试题中随机抽出 3 道题共有：3=10 种情况C5 =其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有： C31=3 种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。