高中数学 1.78 相关性 最小二乘估计课时作业 北师大版必修3

§7 相关性§8 最小二乘估计

课时目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

1．散点图

在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将____________________描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．

2．若两个变量x 和y 的所有点看上去____________________，则称变量间是线性相关的，此时，我们可以用一条直线来近似．

若所有点看上去________________________________，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用一条曲线来拟合．如果所有的点在散点图中____________________________，则称变量间是不相关的．

3．最小二乘法与线性回归方程

如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度：

[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2

.

使得上式达到________的直线y ＝a ＋bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为____________．

如果用x 表示x 1＋x 2＋…＋x n n ，用y 表示y 1＋y 2＋…＋y n

n

，则可以求得

b ＝(x 1－x )(y 1－y )＋(x 2－x )(y 2－y )＋…＋(x n －x )(y n －y )(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )

2

＝

x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n －n x y

x 21＋x 22

＋…＋x 2n －n x 2

.

a ＝__________.

这样得到的直线方程称为线性回归方程，a ，b 是线性回归方程的系数．

一、选择题

1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( ) A ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B ．圆半径与圆的面积

C ．正n 边形的边数与内角度数之和

D ．人的年龄与身高

2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )

A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图

C ．线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的关系

D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程

3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为y ＝60＋90x ，下列判断正确的是( )

A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元

B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元

C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元

D．劳动生产率为1千元时，工资90元

4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200

C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200

5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx

C．0.6 D．－0.6

6．线性回归方程表示的直线y＝a＋bx必经过点( )

A．(0,0) B．(x，0)

C．(x，y) D．(0，y)

7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程y＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．

8．设有一个线性回归方程y＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y____________个单位．

9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．

三、解答题

10

11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：

能力提升

12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：

温度

x (℃) 0 10 20 50 70 溶解度y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0

13．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位(不足1人的舍去)．

(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？

(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？

1． 由最小二乘法得

⎩⎨

⎧

b ＝∑n i ＝1

(x i

－x )(y i

－y )∑n

i ＝1

(x i

－x )2

＝∑n

i ＝1

x i y i －n x y

∑n

i ＝1

x 2

i

－n x

2

a ＝y －

b x

其中：b 是线性回归方程的斜率，a 是截距． 2． 线性回归方程的求解过程

计算x ，y ，∑n

i ＝1x 2

i ，∑n

i ＝1x i y i ⇓

计算b ＝

∑n

i ＝1

x i y i －n x y ∑n

i ＝1

x 2i －n x 2

，a ＝y －b x

⇓

y ＝bx ＋a

3．在线性回归方程y ＝bx ＋a 中，当回归系数b >0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b <0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位．