向量的概念 人教版
人教版高一向量知识点
人教版高一向量知识点向量是高中数学中的重要概念之一，它不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也是理解物理学、几何学等学科的基础。
在人教版高一数学教材中，向量的学习内容主要包括向量的概念、向量的表示和运算以及向量的数量积。
本文将对这些知识点进行详细的介绍和解析。
一、向量的概念向量是有方向和大小的量，用箭头来表示。
在平面上，向量用有向线段表示；在空间中，向量用有向线段或有向立体线段表示。
向量有起点和终点，也可以表示为一个有序数对。
向量的表达形式有很多种，如 a 或 AB 表示一个向量。
向量的大小称为向量的模，记作 |a| 或 ||AB||，向量的起点记作 A，重点记作 B。
二、向量的表示和运算1. 向量的表示向量可以用有序数对、行向量和列向量来表示。
以有序数对表示时，向量 a 可以表示为 a(x,y)；以行向量表示时，向量 a 可以表示为 a = (x y)；以列向量表示时，向量 a 可以表示为 a = (x y)T。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法的运算规则与几何上的有向线段相对应。
设有向线段 AB 的终点是 C，有向线段 AD 的终点是 D，则有 AD = AB + BC。
若 B、D 在同一直线上，则 AD = AB - BD。
3. 向量的数量积向量的数量积又称内积、点积。
设有向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则 a·b = x1x2 + y1y2。
数量积满足交换律：a·b = b·a，同时还满足分配律和结合律。
三、向量的数量积的性质1. 向量的数量积与夹角设有向量 a 和 b，夹角为θ，则a·b = |a| |b| cosθ。
利用这个性质可以求解向量的夹角，或者求解向量的模。
2. 向量共线与垂直若两个向量 a、b 共线，则 a·b = |a| |b|。
若两个向量a、b 垂直，则 a·b = 0。
3. 向量的模向量 a 的模可以表示为|a| = √(a·a)。
人教版高二数学教材解析向量的性质与运算
人教版高二数学教材解析向量的性质与运算高二数学教材解析：向量的性质与运算1. 引言在高二数学教材中，向量是一个重要的概念。
理解向量的性质和掌握向量的运算是学习数学的关键。
本文将对人教版高二数学教材中有关向量的性质和运算进行详细解析。
2. 向量的性质2.1 零向量零向量是指模为零的向量。
零向量的表示和性质在教材中有着详细的介绍。
2.2 单位向量单位向量是指模为1的向量。
教材中给出了单位向量的计算方法，并通过例题进行了说明。
2.3 平行向量平行向量是指方向相同或相反的向量。
教材中提供了平行向量的判定条件及求解方法。
2.4 相等向量相等向量是指模和方向都相同的向量。
教材详细介绍了相等向量的性质和判定方法。
2.5 共线向量共线向量是指所有向量都在同一直线上的向量。
教材中给出了共线向量的判定条件及求解方法。
3. 向量的运算3.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
教材中通过图解和例题展示了向量的几何含义和加法的计算方法。
3.2 向量的数乘向量的数乘满足分配律和结合律。
教材中提供了向量数乘的几何含义和计算方法，并给出了相关例题。
3.3 向量的数量积向量的数量积是指两个向量的数量乘积，结果是一个实数。
教材中详细介绍了向量的数量积的计算公式和几何含义，并通过例题展示了具体的应用。
3.4 向量的向量积向量的向量积是指两个向量的叉乘积，结果是一个向量。
教材中给出了向量的向量积的计算公式和几何含义，并通过例题展示了具体的应用。
4. 实际应用向量的性质和运算在实际应用中起着重要的作用。
教材中提供了相关的实例，如力的合成、平面几何的计算等，通过这些实例学生可以更好地理解和应用向量的性质和运算。
5. 总结通过对人教版高二数学教材中有关向量的性质和运算的解析，我们可以清晰地理解向量的概念和基本性质。
同时，掌握向量的运算方法对解决实际问题具有重要意义。
希望本文的解析能够帮助学生更好地学习和掌握向量相关知识。
6.1 平面向量的概念 优秀课件(新教材人教版必修第二册)
下列说法正确的是( ) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为 0 C．任意两个单位向量方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小
B 解析：零向量的长度为 0，方向是任意的，故 A 错误，B 正 确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 C 错误； 不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故 D 错误．
D 解析：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A， B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方 向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故 D 正确．
探究归纳 2 向量的表示及应用
③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；
④若|a|>|b|，则 a>b.
A．0
B．1
C．2
D．3
B 解析：①海拔没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的 模也可以为 0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若 a，b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共线，则应均为非 零向量，故③对．
(2)有向线段包含三个要素：起点、 方向、长度．知道了有向线 段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了．
3．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段 表示，此时有向线段的方向 就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c，…表示向 量，书写时用→a ，→b ，→c ，…表示向量，也可以用表示向量的有向线 段的起点和终点字母表示，例如，A→B，C→D.
⑦该命题不正确．若 b＝0，则对两不共线的向量 a 与 c，也有 a∥0，0∥c，但 a 与 c 不平行，故不成立．
⑧该命题不正确．显然有A→B≠C→D，B→C≠D→A.
平面向量的基本概念人教版高中数学
知识图谱-向量的线性运算向量的概念向量的加减法及数乘向量向量共线的条件第01讲_平面向量的基本概念错题回顾向量的线性运算知识精讲一．向量的概念：1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母，等表示；（3）用有向线段的起点与终点字母；（4）向量的长度称为向量的模，记作.2．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段有向线段的三个要素：起点、方向、长度.3．零向量、单位向量概念：（1）长度为0的向量叫零向量，记作. 的方向是任意的.（2）长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4．共线向量定义：方向相同或相反的非零向量叫共线向量；说明：我们规定与任一向量共线.5．相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.6．共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二．平面向量的加减法方法：向量的加法可以运用三角形法则，要求两个向量首尾相对应，理解方法，比如说一个物体从A点运动到B点，再从B点运动到C点，那么就相当于这个物体从A点直接运动到C点．或者运用平行四边形法则，这个类似于物理里两个分力求合力的方法一样．向量的减法要求两个向量首首相对应，然后方向指向被减向量（前头那个向量）．三．两个向量共线的条件1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：；当时与方向相同；时与方向相反；当时.2．运算定律结合律：；分配律：，3．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使三点剖析一. 注意事项1. 零向量的方向是任意的，与任意向量都共线.2. 因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.3. 向量的加法是首尾相对应，就类似于人走路，从A点走到B 点，再从B 点走到C 点，就相当于直接从A 点走到C 点，因此，向量的减法是首首相对应，指向被减向量.4. 两个向量共线的条件:实数与向量的积是一个向量，记作：,当时与方向相同；时与方向相反.二. 必备公式题模精讲题模一向量的概念例1.1、下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个例1.2、以下说法错误的是（）A、零向量与任一非零向量平行B、零向量与单位向量的模不相等C、平行向量方向相同D、平行向量一定是共线向量例1.3、下列说法正确的是（）向量就是的基线平行于A、B、长度相等的向量叫相等向量的基线C、零向量的长度等于0D、共线向量是在一条直线上的向量题模二向量的加减法及数乘向量例2.1、在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则必有（）A、=B、=或=C、ABCD是矩形D、ABCD是正方形例2.2、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（）A、-B、+C、-+D、--例2.3、下面给出四个命题：①对于实数和向量、恒有：②对于实数、和向量，恒有③若，则有④若，则其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4题模三向量共线的条件例3.1、，是平面内不共线两向量，已知=-k，=2+，=3 -，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A、1B、2C、3D、4例3.2、下列命题：（1）若向量||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；（2）对于任意非零向量若||=||且与的方向相同，则=；（3）非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反；（4）向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；（5）若∥，且∥，则∥正确的个数（）A、0B、1C、2D、3例3.3、在四边形中，，，，求证：四边形是梯形.随堂练习随练1.1、下列命题正确的是（）A、方向不同的两个向量不可能是共线向量B、长度相等，方向相同的向量是相等向量C、平行且模相等的两个向量是相等向量D、若，则随练1.2、设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述说法中，不正确的个数是（）A、0个B、1个C、2个D、3个随练1.3、P为四边形ABCD所在平面上一点，+++=+，则P 为（）A、四边形ABCD对角线交点B、AC中点C、BD中点D、CD边上一点随练1.4、如图，正六边形ABCDEF的中心为O，若=，=，则=____（用，来表示）．随练1.5、如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设=，=，AC边上的高为BD．若用，表示，则表达式为（）A、+B、-C、+D、-随练1.6、下列命题中正确的是（）A、与共线，与共线，则与也共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与都是非零向量D、有相同起点的两个非零向量不平行随练1.7、已知向量是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为________．随练1.8、设是不共线的两个非零向量，(1)若，求证:三点共线;(2)若与共线，求实数的值．自我总结课后作业作业1、下列关于向量的命题，正确的是（）A、零向量是长度为零，且没有方向的向量B、若=-2（≠），则是的相反向量C、若=-2，则||=2||D、在同一平面上，单位向量有且仅有一个作业2、判断下列四个命题：①若则②若则③若则；④若则正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4作业3、给出下列命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤若//，//，则//；作业4、已知a，b为两个非零向量，（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；（2）与5a的方向相反，且的模是5a的模的；（3）与2a是一对相反向量；（4）与是一对相反向量．以上说法中正确的有_________．作业5、若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状为__________．作业6、设，是两个不共线的向量，且向量=2-与向量=+λ是共线向量，则实数λ=____．作业7、如图，已知D，E，F是正△ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与共线（除外）的向量个数为（）A、2B、4C、5D、7作业8、已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设=，=．（1）用，表示向量，；（2）若向量与+k共线，求k的值．。
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
6.1平面向量的概念说课课件(人教版)
四、合作交流，联想探究
（1）平行向量是否一定方向相同？（
（2）不相等的向量是否一定不平行？（
）
）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（
）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（
）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（
四、说教法学法
➢老师为主导，学生为主体，体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律
在教法上体现“引导性”
在学法上体现“指点性”
目标导航
提出数学问题
形成知识技能
提问链导思
思维与表达
交流与反思
发展数学学科核心素养
五、说过程
• 引入新课
• 巩固应用，思维拓展
• 旧知回顾，新知铺垫
• 巩固知识，练习反馈
不愿动手实践，特别是进行相关作图，在探究问题的能力,
合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。
二、说教材
用活教材，寻找新知的客观生长点
矢量标量的物理背景
地位及作用
单元起始课
教学重点
研究向量运算的基础
向量的概念、几何表示
相等向量和共线向量的概念
教学难点 向量的概念的共线向量的概念
三、说目标
基础知识，基本技能
要区分于两平行线的位置关系；
三、创设情境、提出问题、学习新课
3.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量
都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区分于两
平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区分于在同一直线上
6.1平面向量的概念课件(人教版)
一、向量的实际背景与概念
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以
表示出来，如长度、质量等
还有一些量则不是这样
例如下图中小船的位移，小船由A 地向东南方向航行15 海里到达B 地 ( 速度为10 海里 / 小时 ). 这里，如果仅指出“由A 地航行15 海里”，而不指出“向东南方向”航向， 那么小船就不一定到达B 地了. 这就是说，位移是既有大小又有方向的量。
我们就说线段AB 具有方向 具有方向的线段叫做有向线段 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向
以A为起点、B为终点的有向线段记作AB
线段AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 | AB |
有向线段的三要素：起点、方向、长度
知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了
向量可以用有向线段 AB 来表示，我们把这个向量记作向量AB 有向线段 AB 的长度|AB| 表示向量AB 的大小 有向线段 AB 的方向表示向量AB 的方向 用有向线段表示向量，使向量有了直观形象 向量AB 的大小称为向量AB 的长度(或称模)，记作：|AB|
向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差 即: a b a (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法
向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
设OAb) OA OD OC 在四边形OCAB 中, OB || CA , OB CA OCAB是平行四边形 BA OC a b
把只有大小没有方向的量称为数量 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量 向量能让我们感受的到它的存在，即能让我们感受的到 它的大小和方向，但是却看不见，摸不着。
二、向量的几何表示
6.1平面向量的概念课件(人教版)(4)
向量可以用字母a，b，c，…表示
a
b
c
向量的字母表示法
在印刷时，用黑体小写字母a,b,c……表示向量，但手写时要写成带
箭头的小写字母 a, b, c ……
探究新知三：特殊的向量
【1】零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作
印刷体 。
【2】单位向量——长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
课时小结、总结提升
定义
向量
平行向量
间的
相等向量
关系
共线向量
零向量
向 单位向量
量 表示
方法
有向线段 字母加箭头
课后作业
1.课本p5习题6.1 2.完成作业练习
具有方向的线段叫做有向线段. 【1】以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB ，线段AB的长 度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 |AB| . 向量AB的大小称为向量AB的长度，也叫做向量AB的模， 记作 |AB| 【2】有向线段包含三个要素：起点、方向和长度，.知道了起 点、方向和长度，那么终点的位置就确定了.
那么，在数学中，这样既有大小又有方向的量 叫什么呢？
探究新知一：向量的概念
数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量. 而把只有大小没有方向的量称为数量．
思考：数量与向量的联系与区分
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小； 向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不 能比较大小.
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.
探究新知二：向量的几何表示
思考：对于一个实数，可以用数轴上的点表示，而
且不同的点表示不同的数量。那么，该如何表示向
高一数学向量知识点人教版
高一数学向量知识点人教版高一数学是学生接触高中数学的第一门课程，其中涉及到向量的学习。
向量作为高中数学的一个重要概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程等领域也扮演着重要的角色。
本文将主要介绍高一数学中向量的相关知识点，以加深对向量的理解和应用。
1. 向量的基本概念：向量是有方向和大小的量，我们通常用有向线段来表示。
一个向量由起点和终点两个点确定，其中起点表示向量的起始位置，终点表示向量的终止位置。
向量一般用小写字母表示，如a，b，c 等。
例如，在平面直角坐标系中，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算：(1) 向量的加法：向量的加法指的是将两个向量相加，其结果是一个向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
例如，对于两个向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的和为a+b=(a1+b1, a2+b2)。
(2) 向量的减法：向量的减法指的是将一个向量减去另一个向量，其结果仍是一个向量。
向量的减法可以通过向量的加法来实现。
例如，对于两个向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的差为a-b=a+(-b)=(a1-b1, a2-b2)。
(3) 向量的数乘：向量的数乘指的是用一个实数乘以一个向量，其结果仍是一个向量。
向量的数乘可以改变向量的大小和方向。
例如，对于一个向量a=(a1, a2)和一个实数k，它们的数乘为ka=(ka1, ka2)。
3. 向量的数量积与向量积：(1) 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，表示为a·b，结果是一个实数。
向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角。
具体计算公式为a·b=a1b1+a2b2。
(2) 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积，表示为a×b，结果是一个向量。
向量的向量积主要用于计算平行四边形的面积和判断向量的方向。
具体计算公式为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
2019新人教A版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)
2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结（复习必背）第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++（3）数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=（其中x +y =1）（4）与a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ，y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
高中平面向量知识点归纳总结人教版
高中平面向量知识点归纳总结如下：一、向量的概念与表示向量的定义：向量是一个既有大小又有方向的量，通常用一条有向线段表示。
向量的表示方法：在数学中，我们用有向线段来表示向量，箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的模长。
二、向量的基本运算向量的加法：向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的减法：向量减法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的数乘：一个数与一个向量的乘积是一个向量，其模长等于这个数乘以原向量的模长，方向与原向量相反（负数）。
向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，等于两个向量的模长乘以它们的夹角余弦值。
向量的模长：一个向量的模长等于该向量的长度，用数学符号表示为：|a| = √(x² + y²)。
三、向量的坐标表示平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，我们用(x, y)表示一个点的位置。
向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，一个向量的坐标表示可以看作是从起点到终点的有向线段。
向量的起点坐标减去终点坐标得到该向量的有向线段的斜率，即该向量的方向角。
向量加法的坐标表示：两个向量的和的坐标等于它们的坐标之和。
向量减法的坐标表示：两个向量的差的坐标等于它们的坐标之差。
向量数乘的坐标表示：一个数与一个向量的乘积的坐标等于这个数乘以该向量的每个分量的坐标。
向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们的分量的乘积之和再乘以它们的夹角余弦值。
向量模长的坐标表示：一个向量的模长等于该向量的每个分量的平方和的平方根。
四、特殊向量及其性质零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量，记作e。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量叫做平行向量，记作a//b。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b。
对角线向量：从一条直线的中点引出一条与这条直线夹角为θ的射线所得到的向量叫做对角线向量，记作a(θ)。
正交向量：如果两个向量的模长为1且夹角为90°，则这两个向量叫做正交向量，记作a⊥b。
人教版数学必修第二册6.2平面向量的概念及线性运算课件
不要把它与函数图象的移动混淆．
(4) 非零向量与
Ԧ
的关系：
是与同方向的单位向量．
Ԧ
考点 2 平面向量的线性运算
[例1] (1) (202X·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D
是半圆弧的两个三等分点，则 ＝( D )
A，P，B三点共线 ⇔ ＝λ(λ≠0)
⇔
＝(1－t)· ＋t
(O为平面内异于A，P，B
的任一点，t∈R)
＝x ＋y
⇔
(O为平面内异于A，P，B的任
一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
1
2
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则 ＝ ( ＋ )．
向量线性运算的解题策略
(1) 向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，
一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，
求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量
转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
跟踪训练
(202X·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝
1
2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝
3
，若＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝( A )
A.
1
3
B．
1
3
பைடு நூலகம்
1
3
1
2
1
2
1
3
C．－
1
3
1
3
D．－
3
2
人教版高中数学学习向量与直线的位置关系与运算
人教版高中数学学习向量与直线的位置关系与运算数学是一门抽象而又实用的学科，它是推动人类社会进步的重要力量之一。
在高中数学的学习中，向量与直线的位置关系与运算是一个重要的内容，对学生的数学素养和思维能力的培养具有重要意义。
本文将深入探讨人教版高中数学教材中向量与直线的位置关系与运算的相关知识点。
一、向量的概念与基本运算在数学中，向量是表示大小和方向的一种量。
向量可以用有方向的线段来表示，具有起点和终点。
向量的长度称为模，表示向量的大小；向量的方向为箭头所指的方向。
高中数学中，我们主要学习平面向量。
在向量的运算中，常见的基本运算有加法和数乘两种。
向量加法是将两个向量的起点相接，然后由第一个向量的终点指向第二个向量的起点，连接两个向量的起点和终点即为它们的和向量。
向量的数乘是将向量的大小与一个数相乘，得到的向量与原向量方向相同（若数为正）或相反（若数为负）。
二、向量与直线的位置关系向量与直线的位置关系是高中数学中的一个重要概念。
根据向量的定义，我们知道一个向量可以确定一个平行移动。
而直线可以看做是平面上无数个点连成的集合。
因此，我们可以使用向量来描述直线上的点的位置关系。
1. 平行关系当两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
这是因为两个向量的方向相同，表示它们指向的是同一方向；而两个向量的方向相反，表示它们的方向是相反的，即指向相反的方向。
2. 垂直关系当两个向量的方向互相垂直时，它们是垂直的。
两个向量垂直的判断方法是它们的内积为0。
即两个向量的内积等于零，表示它们的夹角为90度，即垂直。
三、向量的运算向量的运算在高中数学中也是一个重要的内容，掌握向量的运算可以帮助学生更好地应用到实际问题中。
在向量的运算中，常见的运算有向量的数量积和向量的向量积。
1. 数量积向量的数量积（也称为点积或内积）是将两个向量按一定规则相乘得到一个数。
向量的数量积的结果是一个数，表示两个向量之间的相关程度。
具体计算方法是将两个向量对应分量相乘再相加。
人教版一年级数学教案认识向量和向量的运算
人教版一年级数学教案认识向量和向量的运算引言：在数学领域，向量和向量的运算是一个重要的概念，在一年级的数学教学中，正确地理解和应用向量和向量的运算对于学生的数学学习和思维能力的培养至关重要。
本文将从认识向量的概念，介绍向量的表示方法，讲解向量的加法和减法运算，以及探讨向量运算在实际问题中的应用等方面，帮助学生建立正确的向量概念和运算技巧。
一、认识向量向量是数学中一个重要的概念，它用来描述有方向和大小的物理量。
在平面直角坐标系中，向量可以用有序数组表示，即(v1, v2)，其中v1和v2分别表示向量在x和y方向上的分量。
二、向量的表示方法1. 箭头表示法：我们可以用一条带有箭头的线段来表示向量，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
2. 分量表示法：向量的分量表示了向量在x和y方向上的大小。
例如，向量A可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x方向上的分量，Ay表示向量在y方向上的分量。
三、向量的加法和减法运算向量的加法和减法运算可以用来计算多个向量之间的关系。
1. 向量的加法向量的加法定义为：若有向量A=(Ax, Ay)和向量B=(Bx, By)，则A和B的和向量C=(Ax+Bx, Ay+By)。
例如：已知向量A=(2,3)和向量B=(4,1)，求向量C=A+B的值。
解：根据向量的加法定义，C=(2+4, 3+1)=(6,4)。
2. 向量的减法向量的减法定义为：若有向量A=(Ax, Ay)和向量B=(Bx, By)，则A减B的差向量D=(Ax-Bx, Ay-By)。
例如：已知向量A=(5,7)和向量B=(2,3)，求向量D=A-B的值。
解：根据向量的减法定义，D=(5-2, 7-3)=(3,4)。
四、向量运算在实际问题中的应用向量运算在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 位移、速度和加速度的计算：位移、速度和加速度都是描述物体运动的向量量，通过对向量的加法和减法运算，可以计算物体的位移、速度和加速度。
向量的概念(一) 人教版
向量的概念（一）教学目标：1．理解向量的有关概念；掌握向量的表示方法.2．通过对向量概念的引入，培养学生具体与抽象的数学思维方法.3．通过本节课的教学，激发学生的学习兴趣和学习热情，促使学生学好本章.教学重点：向量概念.对相等的向量、位置向量概念的理解.教学难点：对相等的向量、位置向量概念的理解.教学方法：讲授法教学手段：计算机，投影仪教学过程：一、导引新课在现实生活中，我们会遇到很多量.有一些量，在选定单位后，只用一个实数就可以确切地表示它们.如距离、面积等.还有一些量，如小船的位移：小船由甲向北偏东45°，航行30 mile到达乙地，如果仅指出：小船“由甲地航行30 mile”，而不指明“向东偏北45°”航行，那么小船就不一定到达乙地，这就是说，位移是一个既有大小，又有方向的量，这种量就是我们本章所要学习的向量，利用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，这一章里我们学习向量的性质和运算.（板书课题6.1向量的概念）二、讲授新知1．有向线段在几何学中，点表示位置，连结两点的线段的长度，表示两点的距离，射线表示方向.（教师一边用语言叙述一边在黑板上演示）在线段的两个端点中，我们规定一个顺序：为始点，为终点（如图6-2），我们就说线段具有射线的方向.（1）有向线段：具有方向的线段，叫有向线段.（2）有向线段表示方法：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以为始点，以为终点的有向线段记作，（注意顺序）（3）有向线段的长度（或模）.已知，线段的长度叫做有向线段的长度（或模），的长度记作｜｜.（4）有向线段的三要素：始点、方向和长度.（5）两条有向线段方向相同或相反两条有向线段所在的直线平行（或重合）.2．向量的概念重新观察小船的位移，得向量的定义.（1）向量：具有大小和方向是量叫做向量.向量的两要素：大小、方向.（2）向量的表示：A.用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.B.用字母表示：在印刷时，常用黑体小写字母、、、…表示向量；手写时则可用带箭头的小写字母、、、……等.注意：印刷体与手写体区别.（3）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.师生共作：选择适当的比例画出小船的位移（操作计算机展示画面）（画图时，为体现用有向线段表示向量，有向线段的起点是任意选的，教师可多作几个图）（应注意，因向量没有固定的起点，所以可以认为此时的有向线段不考虑起点）.、、都表示小船由甲地到乙地的位移，也就是说它们都表示同一向量.记作===.（4）向量的长（或模）：如果=，那么的长度，表示向量的大小，也叫做的长（或模）.记作｜｜.提问：(1).如果表示相等向量的有向线段具有同一始点，那么们的终点位置是否相同？(2)．对于不相等的两个向量，如果表示它们的有向线段的始点的位置相同，那么它们的终点的位置是否相同？（如果第一个问题学生回答的很好，第二个问题就没有必要再问了，否则继续提问第二个问题.）练习：1．选择适当比例尺，用有向线段表示下列位移：（1）{飞机向南飞行50 km}；（2）{飞机向西飞行50 km}；（3）{飞机向东北飞行50 km}；试问以上三个位移的长度是否相等？三个位移是否相等？（5）零向量：长度等于零的向量叫零向量.注意：零向量的方向不确定.（提问学生为什么？）（因为零向量的始点，与终点重合，所以它没有确定的方向）.例如图6-6所示，设是正六边形的中心，分别写出与、、相等的向量.解：===，===，===.3．位置向量.任给一定点和向量，（如图6-4），过点作有向线段=，则点相对于点的位置被向量所唯一确定.这时向量又常叫做点相对于点的位置向量.举例：“天津位北京东偏南50°，114 km”如图6-5，则=“东偏南50°，114 km”三、巩固练习第166页练习第4题；第2题.四、课堂小结主要内容：三要素：始点、方向、长度，有向线段方向与平行的联系.两要素：大小、方向，相等的向量：同向且等长，零向量：长度为零.位置向量：可确定一点相对于另一点的位置.五、布置作业：1．阅读教材5.1节第164—1662．练习第166页、练习第1、3题3．预习第167～169页，6.2节并思考下列问题.（1）向量加法与数量加法是否相同？（2）向量加法遵循什么法则？这种法则的特点是什么？（3）向量加法满足哪些运算律？六、板书设计1．有向线段（1）定义.（2）表示.（3）有向线段的长度（或）模：｜｜（4）有向线段三要素.（5）两条有向线段方向相同（或）相反它们所在直线平行或重合.5.1 向量的概念.2．向量的概念（1）向量：只有大小和方向（两要素）（2）表示：向量，（3）相等向量：同向且等长.===（4）向量的长（或模）｜｜，=（5）零向量：0,｜｜=0，方向不确定. 解===，===，===.3．位置向量（1）定义（2）举例=“东偏南50°，114 km“。
人教版数学向量的认识与运算
人教版数学向量的认识与运算向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于物理、几何以及其他领域。
而在中学数学教材中，人教版数学向量的学习是非常重要的一部分。
本文将介绍人教版数学向量的认识与运算，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
第一部分：向量的基本概念在学习向量之前，我们首先需要了解向量的基本概念。
向量是由大小和方向共同决定的量，通常用有向线段来表示。
在人教版数学中，向量通常用大写字母表示，例如AB表示从点A到点B的向量。
第二部分：向量的表示方法人教版数学主要介绍了二维向量和三维向量的表示方法。
对于二维向量，我们可以使用坐标表示法或单位向量法。
坐标表示法指的是将向量的起点放在原点O，并用终点的坐标表示向量。
单位向量法则是将向量表示为一个已知方向上的单位向量，并用向量的模长乘以单位向量的方式来表示向量。
对于三维向量，同样可以使用坐标表示法或单位向量法。
不同的是，坐标表示法需要使用向量在三个坐标轴上的投影来表示。
而单位向量法则是使用与向量方向相同的单位向量来表示，并在单位向量前面加上向量的模长。
第三部分：向量的运算人教版数学中，常见的向量运算有向量的加法、减法和数量乘法。
向量的加法：向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新向量。
例如，若向量A的分量为（a1，a2），向量B的分量为（b1，b2），则向量A + B的分量为（a1 + b1，a2 + b2）。
向量的减法：向量的减法运算是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新向量。
例如，若向量A的分量为（a1，a2），向量B的分量为（b1，b2），则向量A - B的分量为（a1 - b1，a2 - b2）。
数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新向量。
例如，向量A的分量为（a1，a2），标量k为任意实数，则向量kA的分量为（ka1，ka2）。
第四部分：向量的性质人教版数学中也介绍了一些向量的性质，包括共线、共面和向量的线性组合。
【配套新教材】高考数学复习人教版课本同步课件：专题七 平面向量 第一讲 平面向量的概念及线性运算
第二轮复习，即专题强化复习阶段
一般从三月份到四月底，由于第一轮复习是以各知识板块为主，横向联 系不多，因此在第二轮复习中应重点突出在知识网络交汇点处的复习。
高考中一般有下面几个专题，即：函数与导函数专题；平面向量与三角 函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统 计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解 答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为 载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮 复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《 考试大纲》已经下发了，考生应该仔细阅读《考试大纲》，针对前期的复习 来查漏补缺，特别是对于《大纲》中与往年变动的地方我们一定高度重视， 重点复习，争取在高考复习中面面俱到，不留死角。
这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的 三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学 们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把 《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就 需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应 淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。
(a) ()a
乘 向量 a 的积 （2）当 0 来自，a 与 ( )a a a的运算
a 的方向相反；
(a b) a b
当 0 时， a 0
2.共线向量定理 如果向量 （ a a 0）与 b 共线，那么存在唯一一个实数 使得 b=a .
[典型例题]
1. 在平行四边形 ABCD 中,M 为 AB 上任一点,则 AM DM DB 等于( B )
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
高中数学人教版A版选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？
《人教版初中数学九年级课件-向量初步》
在这个课件中，我们将学习有关向量的基本概念和表示方法，以及向量的数 量特征、加法、减法、数乘等运算规则。让我们一起来探索数学中有趣且实 用的向量知识吧！
向量的概念与表示
1 向量是什么？
了解向量的基本概念和特点。
2 向量的表示方法
学习如何用符号表示一个向量。
向量的数量特征
模长 探索向量模长的计算方法。
方向角 学习如何用方向角描述一个向量。
向量的运算规则
加法
通过示例学习如何进行向量 的加法运算。 探索加法运算的几何意义。
减法
通过实例了解向量的减法运 算。
解释减法运算在几何上的含 义。
数乘
学习向量与实数的乘法运算 规则。
讨论数乘对向量长度和方向 的影响。
平面向量的坐标表示
应用
了解向量数量积在几何和 实际问题中的应用。
向量的夹角和正交基
夹角
学习如何计算两个向量之间的夹角。
正交基
了解正交基的概念及其在向量空间中的重要性。
向量在实际问题中的应用
1
解决力学问题
学习如何应用向量解决力学问题。探索几何问题2应用向量解决几何问题。
3
计算问题
了解如何应用向量进行计算问题的求 解。
笛卡尔坐标系
介绍平面向量的笛卡尔坐标表示方法。
极坐标系
学习平面向量的极坐标表示法。
向量的性质及判定
1
垂直性判定
2
学习如何判断两个向量是否垂直。
3
共线性判定
探索如何判断两个向量是否共线。
投影
了解向量的投影以及应用场景。
向量的数量积
定义
介绍向量的数量积及其定 义。
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向量的概念教案一课题：6.1向量的概念教学目标：1．理解向量的有关概念；掌握向量的表示方法.2．通过对向量概念的引入，培养学生具体与抽象的数学思维方法.3．通过本节课的教学，激发学生的学习兴趣和学习热情，促使学生学好本章.教学重点：向量概念.对相等的向量、位置向量概念的理解.教学难点：对相等的向量、位置向量概念的理解.教学方法：讲授法教学手段：计算机，投影仪教学过程：一、导引新课在现实生活中，我们会遇到很多量.有一些量，在选定单位后，只用一个实数就可以确切地表示它们.如距离、面积等.还有一些量，如小船的位移：小船由甲向北偏东45°，航行30 mile到达乙地，如果仅指出：小船“由甲地航行30 mile”，而不指明“向东偏北45°”航行，那么小船就不一定到达乙地，这就是说，位移是一个既有大小，又有方向的量，这种量就是我们本章所要学习的向量，利用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，这一章里我们学习向量的性质和运算.（板书课题6.1向量的概念）二、讲授新知1．有向线段在几何学中，点表示位置，连结两点的线段的长度，表示两点的距离，射线表示方向.（教师一边用语言叙述一边在黑板上演示）在线段的两个端点中，我们规定一个顺序：为始点，为终点（如图6-2），我们就说线段具有射线的方向.（1）有向线段：具有方向的线段，叫有向线段.（2）有向线段表示方法：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以为始点，以为终点的有向线段记作，（注意顺序）（3）有向线段的长度（或模）.已知，线段的长度叫做有向线段的长度（或模），的长度记作｜｜.（4）有向线段的三要素：始点、方向和长度.（5）两条有向线段方向相同或相反两条有向线段所在的直线平行（或重合）.2．向量的概念重新观察小船的位移，得向量的定义.（1）向量：具有大小和方向是量叫做向量.向量的两要素：大小、方向.（2）向量的表示：A.用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.B.用字母表示：在印刷时，常用黑体小写字母、、、…表示向量；手写时则可用带箭头的小写字母、、、……等.注意：印刷体与手写体区别.（3）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.师生共作：选择适当的比例画出小船的位移（操作计算机展示画面）（画图时，为体现用有向线段表示向量，有向线段的起点是任意选的，教师可多作几个图）（应注意，因向量没有固定的起点，所以可以认为此时的有向线段不考虑起点）.、、都表示小船由甲地到乙地的位移，也就是说它们都表示同一向量.记作===.（4）向量的长（或模）：如果=，那么的长度，表示向量的大小，也叫做的长（或模）.记作｜｜.提问：(1).如果表示相等向量的有向线段具有同一始点，那么们的终点位置是否相同？(2)．对于不相等的两个向量，如果表示它们的有向线段的始点的位置相同，那么它们的终点的位置是否相同？（如果第一个问题学生回答的很好，第二个问题就没有必要再问了，否则继续提问第二个问题.）练习：1．选择适当比例尺，用有向线段表示下列位移：（1）{飞机向南飞行50 km}；（2）{飞机向西飞行50 km}；（3）{飞机向东北飞行50 km}；试问以上三个位移的长度是否相等？三个位移是否相等？（5）零向量：长度等于零的向量叫零向量.注意：零向量的方向不确定.（提问学生为什么？）（因为零向量的始点，与终点重合，所以它没有确定的方向）.例如图6-6所示，设是正六边形的中心，分别写出与、、相等的向量.解：===，===，===.3．位置向量.任给一定点和向量，（如图6-4），过点作有向线段=，则点相对于点的位置被向量所唯一确定.这时向量又常叫做点相对于点的位置向量.举例：“天津位北京东偏南50°，114 km”如图6-5，则=“东偏南50°，114 km”三、巩固练习第166页练习第4题；第2题.四、课堂小结主要内容：三要素：始点、方向、长度，有向线段方向与平行的联系.两要素：大小、方向，相等的向量：同向且等长，零向量：长度为零.位置向量：可确定一点相对于另一点的位置.五、布置作业：1．阅读教材5.1节第164—1662．练习第166页、练习第1、3题3．预习第167～169页，6.2节并思考下列问题.（1）向量加法与数量加法是否相同？（2）向量加法遵循什么法则？这种法则的特点是什么？（3）向量加法满足哪些运算律？六、板书设计1．有向线段（1）定义.（2）表示.（3）有向线段的长度（或）模：｜｜（4）有向线段三要素.（5）两条有向线段方向相同（或）相反它们所在直线平行或重合.5.1 向量的概念.2．向量的概念（1）向量：只有大小和方向（两要素）（2）表示：向量，（3）相等向量：同向且等长.===（4）向量的长（或模）｜｜，=（5）零向量：0,｜｜=0，方向不确定.解===，===，===.3．位置向量（1）定义（2）举例=“东偏南50°，114 km“教案二课题：6.1向量的概念数学目标：1. 理解向量的有关概念；掌握向量的表示方法.2．通过对向量概念的引入，培养学生具体与抽象的数学思维方法.3．激发学生的学习兴趣和学习热情，促使学生学好这一章.教学重点：向量概念；相等的向量、位置向量概念的理解.教学难点：对相等的向量、位置向量概念的理解.教学方法：讲授法.教学手段：投影仪.教学过程：一、导引新课师：同学们：今天你们听天气预报了吗？生：听了.师：今天白天的天气情况如何？生：最高气温24℃，西北风：3—4级.师：天气情况中涉及两个量，一是：温度，二是：风速.前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除了说明它的大小外，同时还必须说明它的方向.这种量就是我们今天将要学习的新的几何量：向量，以后我们还将学习向量的性质和运算.我们首先学习第一节：向量的概念. 6．1向量的概念（板书）二、讲授新课（一）向量的概念1．向量与数量的区别.（通过师生举例总结出它们的区别.）数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数和零来表示，它可以进行各种代数运算.数量之间可以比较大小.“大于”、“小于”的概念对数量是适用的. 向量是既有大小，又有方向的量，由于方向不能比较大小，因此，“大于”、“小于”对于向量来说明没有意义的.2．向量具有两个要素.向量具有两个要素：大小、方向.（师：那么，怎样表示向量呢？要表示向量，必须使之具备向量的两要素，引导学生回忆预习内容（要求学生预习教材第165页有向线段）.得出有向线段是具有三要素：始点、方向、长度、由此得知：有向线段是具有向量两要素的最简单的几何图形.故向量可以用有向线积表示.）方向和平行有着密切的联系，显然两条有向线段方向相同或相反两条有线段所在直线平行或重合. 3．向量的表示方法.（1）用有向线段来表示；师：有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.（2）用字母表示；师：在印刷时，常用黑体小写字母、、、…表示向量；手写时则可写作带箭头的小写字母、、、…表示向量.注意：在看书时，同学们一定要注意印刷体与手写体的区别，有的同学在作业中将印刷体的直接写成造成向量表示方法的错误.举例：用有向线段表示一质点的位移：“北偏东45°，3个单位”.师：这三条有向线段表示质点的位移：“北偏东45°，3个单位”也就是说它们表示同一向量.结论：同向且等长的有向线表示同一向量或相等的向量.4．相等向量.（1）向量的模：如果=，那么的长度，表示向量的大小，也叫做的长（或模），记作｜｜.（2）相等向量：两个向量和同向且等长，即和相等，记作=.（3）零向量：长度等于零的向量叫零向量，记作0.零向量的方向不确定.（由于表示该向量的有向线段的始点与终点相重合，所以它没有确定的方向.）提问：（1）对于不相等的两个向量，如果表示它们的有向线段的始点位置相同，那么它们的终点的位置是否相同？（2）如果表示相等的向量的有向线段具有同一始点，那么它们的终点位置是否相同？5．举例例如图6-6所示，设是正六边形的中心，分别写出与、、相等的向量.解：===，===，===.（二）用向量表示的点位置1．定义：任给一定点和向量（图6—4），过点作有向线段=，则点相对于点的位置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量：2．举例.例如，在谈到天津相对于北京的位置时，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”.师：作图6-5三、课堂练习第166页练习第4题.4．在平面上任意确定一点，点在点“东偏北60°，3 cm”处，点在点“南偏西30°，3 cm”处，画出点和点相对于点的位置向量.四、课堂小结向量的概念；相等向量要注意向量的长相等且方向相同.当用有向线段表示向量时，不管有向线段的起点的位置，只要它们长相等，且方向相同，就是相等向量，位置向量的概念.五、布置作业1．阅读教材6.1第164～166页.2．练习第166页、练习第1、3题.3．预习第167～169页6.2节，并思考下列问题.（1）向量加法与数量加法是否相同？（2）向量加法遵循什么法则？其特点是什么？（3）向量加法满足哪些运算律？六、板书设计6.1.1向量的概念（一）向量的概念（二）用向量表示点的位置1 向量与数的区别2 向量的两要素3 向量的表示方法4 相等向量5 举例应用题1．一人从点出发，向东偏北60°，走200 m到达点，接着向北偏西30°，走300 m到达点.选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.2．一人从点出发，向东走500 m到达点，接着向东偏北30°走300 m到达点，然后再向东北走100 m到达点，选择适当的比例尺，用向量表示个人的位移.答案提示和解答：第1题这个人的位移是，依图量得＝“北偏东5°，43 m”第2题这个人的位移是，依图量得：＝“向东偏北15°，860 m”。