电子科大电磁场与波第二章答案

+ +
ey ( y −8) ( y −8)2
2.11 三根长度均为 L、线电荷密度分别为 ρl1、ρl2 和 ρl3 的线电荷构成一个等边三角形，
设 ρl1 = 2ρl2 = 2ρl3 ，试求三角形中心的电场强度。
解 根据题意建立题 2.11 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为
d = L tan30 = 3 L
2.3 电荷 q 均匀分布在半径为 a 的导体球面上，当导体球以角速度ω 绕通过球心的 z 轴
旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。
解 导体球上的面电荷密度为
ρS
=
q 4π a2
球面上任一点的位置矢量为 r = era ，当导体球以角速度ω 绕通过球心的 z 轴旋转时，该
点的线速度为
v = ω × r = ezω × era = eφωa sinθ
3
ex10 − ey 8 − ez12
⎤ ×10−2 ⎥
⎥ ⎦
= ex 92.37 − ey 77.62 − ez 94.37 KV/m
2－1
（2）场点 P 的位置矢量为
rP = ex15 + ey 20 + ez 50 cm
故
rP − r1′ = −ex10 + ey 50 + ez 35 rP − r2′ = ex 25 + ey12 + ez 38
∂ ∂y
∂ ∂z
= ez 2a
−ay ax 0
（3）
∇ ⋅ B = ∂ (ax) + ∂ (−ay) = 0
∂x
∂y
故矢量 H = exax − eyay 是磁场矢量，其源分布为
ex ey ez
J =∇×H = ∂ ∂ ∂ = 0 ∂x ∂y ∂z
ax −ay 0
（4） 在球坐标系中
∇ ⋅ B = 1 ∂Bφ = 1 ∂ (ar) = 0 r sinθ ∂φ r sinθ ∂φ
=
ez
1 2ε 0
(3 + 6 + 8)×10−9
=
ez 960.5 V/m
2.15 半径为 a 的球形体积内充满密度为 ρ (r ) 的体电荷。若已知球形体积内外的电位移分
布为
( ) D
=
er Dr
=
⎧⎪er ⎨ ⎪⎩er
r3 + Ar 2
a5 + Aa4 r2
,0 < r≤a ,r≥a
z
ω
式中 A 为常数，试求电荷密度 ρ (r ) 。
y2]
=
y dB
α2
r2
α
P(x, y)
R θ r1 α1
−a I
x′ a
x
−
μ0I 4π a
⎛ arctan ⎜
⎝
x′ − y
x
⎞ ⎟ ⎠
a −a
=
题 2.18 图（附）
−
μ0 I 4π a
⎡ ⎢arctan ⎣
⎛ ⎜ ⎝
a
− y
x
⎞ ⎟ ⎠
−
arctan
⎛ ⎜ ⎝
−a − y
x
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
=
=
−ez
1 2 × 8.85×10−12
×10−9
=
−ez 56.49
V/m
（2） E2
=
ez
ρS1 2ε 0
+
ez
ρS2 2ε 0
+ ez
ρS3 2ε 0
=
ez
1 2ε 0
(3 + 6 − 8)×10−9
=
ez 56.49
V/m
（3） E3
=
ez
ρS1 2ε 0
+ ez
ρS2 2ε 0
− ez
ρS3 2ε 0
R = ( x − 6)2 + ( y −8)2
eR
=
R R
= ex (x − 6) + ey ( y −8) ( x − 6)2 + ( y −8)2
根据高斯定律得点 P 处的电场强度为
E = eR
ρl 2πε 0
R
=
R R
⋅ ρl 2πε 0
R
=
ρl 2πε 0
⋅
ex (x − 6) ( x − 6)2
y2 ]1 2
故
d
Bx
=
−d
B sinθ
=
−
μ0Iy d x′ 4π a[(x − x′)2 +
y2]
d
By
=
d
B cosθ
=
μ0I (x − x′) d 4π a[(x − x′)2 +
x′ y2]
式中的 ？如题 2.18 图（附）所示，则得
∫ Bx
=
−
a −a
μ0Iy d x′ 4π a[(x − x′)2 +
=
0
2.16 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 q ,当球体以均匀角速度ω 绕一个直径旋转时（如
题 2.16 图所示），试求球心处的磁感应强度 B
解
导体球面上的面电荷密度为
ρS
=
q 4π a2
，当球体以均匀角速度 ω
绕一个直径旋转
时，球面上位置矢量 r = era 点处的电流面密度为
JS = ρS v = ρSω× r = ρS ezω × era =
（3） H = exax − eyay, B = μ0 H
（4） H = eφ ar, B = μ0 H
（球坐标系）
解 根据静态磁场的基本性质，只有满足 ∇iB = 0 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，
对于磁场矢量，则可由方程 J = ∇ × H 求出源分布。
（1）在圆柱坐标中
∇iB
=
1 ρ
∂ ∂ρ
则
( ) Ep
=
1 4πε 0
⎡ ⎢ ⎢⎣
−0.3×10−6 rP − r1′3
−ex10 + ey 50 + ez 35 ×10−2 +
( ) 0.5×10−6
rP − r2 ' 3
⎤ ex 25 + ey12 + ez 38 ×10−2 ⎥ =
⎥⎦
ex11.94 − ey 0.549 + ez12.4 KV/m
2.9 无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于 z 轴，线电荷密度为 ρl ；试求点 P(x,y,z)
处的电场强度 E。 解 线电荷沿 z 方向为无限长，故电场分布与 z 无关。设点 P 位于 z=0 平面上，如题 2.9
图所示，线电荷与点 P 的距离矢量为
R = ex (x − 6) + ey ( y −8)
2
6
y
直接利用有限长直线电荷的电场强度公式
Er
=
ρl1 4πε0r
(cosθ1
− cosθ2 )
得
E1
ρl3
ρl 2
E1 = ey
ρl1 4πε0d
(cos30
− cos150
) = ey
3ρl1 2πε0L
E2
E3
o
ρl1
x
E2
= −(ex cos30
+ ey sin30
) 3ρl2 2πε0L
= −(ex
则得导体球面上的面电流密度为
JS
=
ρSv
= eφ
qω sinθ 4π a
2.6
平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为 ρ
=
−
4 9
ε
0U 0 d
−
4 3
−
x
2 3
，阴极板位于
x=0
处，阳极板位于 x=d 处，极间电压为U0 ；如果U0 = 40V,d = 1cm ，横截面 s = 10cm2 ，求：
+
(ex
3
−
ey )
3ρl1 8πε 0 L
=
ey
3ρl1 4πε 0 L
2.13 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点(0,0,-4)处的平面上 ρS1 = 3nC/m2 ，
位于点(0,0,1)处的平面上 ρS 2 = 6nC/m2 ，位于点(0,0,4)处的平面上 ρS3 = −8nC/m2 。试求以
−
μ0 I 4π a
⎡ ⎢arctan ⎣
⎛ ⎜ ⎝
x
+ y
a
⎞ ⎟ ⎠
−
arctan
⎛ ⎜ ⎝
x
− y
a
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
=
−
μ0I 4π a
(α 2
− α1 )
=
−
μ0I α 4π a
∫ By =
a μ0I (x − x′) d x′ −a 4π a[(x − x′)2 + y2 ]
= − μ0I ln[(x − x′)2 + y2 ] a =
上任一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为
dB
= ez
μ0b2 d I 2(b2 + d 2 )3 2
=
ez
μ0ωqa2 sin3 θ dθ 8π (a2 sin2 θ + a2 cos2 θ )3 2
=
ez
μ0ωq sin3 θ 8π a
dθ
故整个球面电流在球心处产生的磁场为
∫ ∫ B =
解 （1）源点的位置矢量及其大小分别为
r1′ = ex 25 − ey 30 + ez15 cm, r1′ = 252 + 302 +152 = 41.83 cm
r2′ = −ex10 + ey 8 + ez12 cm, r2′ = 102 + 82 +122 = 17.55 cm
而场点 O 的位置矢量 r0 = 0 ，故坐标原点处的电场强度为
(ρ Bρ )
=
μ0 ρ
∂ ∂ρ
(aρ 2 )
=
2aμ 0
≠
0
可见矢量 H = eρ aρ 不是磁场的场矢量。
（2） 在直角坐标系中
∇iB = ∂ (−ay) + ∂ (ax) = 0
∂x
∂y
故矢量 H = ex (−ay) + eyax 是磁场矢量，其源分布为
ex J =∇×H = ∂
∂x
ey ez
故矢量 H = eφ ar 是磁场的场矢量，其源分布为
er reθ r sinθ eφ
J
=
∇×
H
=
r2
1 sinθ
∂ ∂r
∂ ∂θ
∂ ∂φ
= era cotθ − eθ 2a
0 0 ar2 sinθ
2.22 通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如 题 2.22 图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。
解 将导体带划分为无数个宽度为 d x′ 的细条带，每一细条带的电流 d I = I d x′ 。根据 2a
安培环路定理，可得到位于 x′ 处的细条带的电流 dI 在点处的磁场为
dB
=
eφ
μ0 d I 2π R
=
eφ
μ0I d x′ 4π aR
= eφ
μ0I d x′ 4π a[(x − x′)2 +
8π a
−a
2－4
μ0 I 8π a
ln
(x + a)2 (x − a)2
+ +
y2 y2
=
μ0I 4π a
ln
r2 r1
2.21 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量 J。
（1） H = eρ aρ, B = μ0 H （圆柱坐标系）
（2） H = ex (−ay ) + eyax, B = μ0 H
eφωρS a sinθ
=
eφ
ωq 4π a
sinθ
将球面划分为无数个宽度为 d l = a dθ 的细圆环，则球面上任一个宽度为 d l = a dθ 细圆
2－3
环的电流为
d
I
=
JS
dl
=
ωq 4π
sinθ
dθ
该细圆环的半径为 b = a sinθ ，细圆环平面到球心的距离 d = a cosθ ，利用电流圆环的轴线
3
+
ey
)
3ρl1 8πε0L
题 2.11 图
E3
= (ex cos30
−ey sin30
) 3ρl3 2πε0L
= (ex
3
−
ey
)
3ρl1 8πε0L
2－2
故等边三角形中心处的电场强度为
E = E1 + E2 + E3 =
ey
3ρl1 2πε 0 L
− (ex
3
+
ey
)
3ρl1 8πε 0 L
（1）x=0 至 x=d 区域内的总电荷量；（2）x=d/2 至 x=d 区域的总电荷量。
解 （1）
∫ ∫ q1 =
ρ dV =
V1
d 0
(−
4 9
ε
0U 0 d
−4
3
x−2
3
)S
d
x
=
−
4 3d
ε 0U 0 S
=
−4.72 ×10−11
C
（2）
∫ ∫ q2 =
ρ dV =
V2
d d
2
(−
4 9
ε
0U0d
dB =
π 0
ez
μ0ωq sin3 θ 8π a
dθ
=
ez
μ0ω q 6π a
2.18 一条扁平的直导体带，宽度为 2a，中心线与 z 轴重合，通过的电流为 I。试证明在第
一象限内任一点 P 的磁感应强度为
Bx
=
−
μ0I 4π a
α
By
=
μ0 I 4π a
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⎛ ln ⎜
⎝
r2 r1
⎞ ⎟ ⎠
式中的α 、 r1 和 r2 如图 2.18 图所示。
解 由 ∇iD = ρ ，得
ρ(r)
=
∇iD
=
1 r2
d dr
(r 2Dr )
故在 0 < r ≤ a 区域，有
b
d
dI
θ
a
o
ρ(r)
=
1 r2
d [r2 (r3 dr
+
Ar 2 )] = 5r2
+ 4Ar
在 r > a 区域
题 2.16 图
ρ(r)
=
1 r2
d dr
[r 2
(a5
+ r
Aa
2
4
)
]
E0
=
1 4πε 0
⎡ ⎢ ⎢⎣
r0
q1 − r1′3
( r0
− r1′) +
r0
q2 − r2′ 3
( r0
⎤
− r2′)⎥
⎥⎦
( ) =
1
⎡ ⎢
( ) 4πε0
⎢ ⎣
−0.3×10−6 41.83×10−2
3
−ex 25 + ey 30 + ez15 ×10−2 +
0.5 ×10−6
( ) ( ) 17.55×10−2
−4
3
x−2
3
)S
d
x
=
−
4 3d
(1−
1 32
)ε
0U
0
S
=
−0.97 ×10−11 C
2.7 在真空中，点电荷 q1 = −0.3μc 位于点 A(25,-30,15)cm；点电荷 q2 = 0.5μc 位于点
B(-10,8,12)cm。求：（1）坐标原点处的电场强度；（2）点 P(15,20,50)cm 处的电场强度。
下各点的 E：（1） P1 (2,5, −5) ；（2） P2 (−2, 4,5) ；（3） P3 (−1, −5, 2) 。
解 无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得
（1） E1
=
−ez
ρS1 2ε 0
− ez
ρS 2 2ε 0
− ez
ρS3 2ε 0
=
−e z
1 2ε 0
(3 + 6 − 8)×10−9