高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编含答案

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》试卷含答案

一、选择题

1．设*N n ∈，n a 为()()41n

n

x x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，

1222555n n n na a a b ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤=++

+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.

则()()

22

n n t b

c -++的最小值为( ) A

．

12

B ．

2

C ．

D ．【答案】A 【解析】 【分析】

令1x =可得，52n n n a =-，求出n b ，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，

2)(*)2

n n

n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方，最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案． 【详解】

令1x =可得，52n

n

n a =-，2[][]55

n

n n n na n n =-，

设25n n n n c =，所以1+11

(1)22223

()()055555

n n n n n n n n n c c n +++-=-=-<， 所以数列{}n c 单调递减，所以数列2{}5

n

n n n -是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）

当n →+∞时，20,5n n n →且20,5n

n n >所以2[][]155n n n n na n n n =-=-.

21222[][][]12(1)5552

n n n na a a n n

b n -=++⋯+=++⋯+-=，

则2

2

()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈到点(

,7)t t -的距离的平方，

即求点(n ，

2)(*)2

n n

n N -∈到7y t =-的距离d 的最小值， 所以222|7|

157|14

|()|

24n n n

d n n n -+-==+-=+-， 当1n =

时，9

57||44d =-； 当2n =时，2557|44d =

-

当3n =时，2495722

||=2=

44442d =-⨯； 当4n =时，28157232

||=6=

44442

d =

-⨯； 由函数的图象可知当5,6,7,

n =时，3

22

d >

. 所以点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈为(3,3)时，它到7y t =-的距离d 最小， 22

d =

=， ∴22()()n n t b c -++的最小值2．

∴()()2

2

n n t b c -++的最小值为12

. 故选：A ． 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是

A ．2

B ．3

C ．10

D ．15

【答案】C 【解析】 【分析】

根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】

设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.

【点睛】

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，

有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()

221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=

B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】

由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．

4．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数

(),i i x y ()1,2,3,,i n =，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为

ˆ0.8585.71y

x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg

C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =中的一个

D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】

根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】

因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】

本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.