弹性力学平面问题极坐标解法

2
sin θ cosθ ∂ 2 − r2 ∂θ 2
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（3）
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + 2 = 2 + + 2 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂x ∂y ∂r
应力函数的相容方程
∂2 ∂2 2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 2 ∇ 2ϕ = ( 2 + 2 ) ϕ = ( 2 + + 2 ) ϕ =0 2 ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂θ
极坐标系是正交曲线坐标系 极坐标系是正交曲线坐标系 正交
r坐标曲线：坐标θ为常数的曲线（过原点和空间点的直线） 坐标曲线：坐标 为常数的曲线 过原点和空间点的直线） 为常数的曲线（ 坐标曲线 θ坐标曲线：坐标 为常数的曲线（过空间点的圆弧） 坐标曲线： 为常数的曲线（ 坐标曲线 坐标r为常数的曲线 过空间点的圆弧） 由坐标确定的空间点， 由坐标确定的空间点，既是两条坐标曲线的交点 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。其 切线构成局部正交坐标标架
极坐标和直角坐标的坐标变换
∂r 2 x = = cos θ ∂x 2r ∂r 2 y = = sin θ ∂y 2r ∂θ 1 −y y sin θ = ⋅ 2 =− 2 =− 2 y x ∂x r r 1+ 2 x 1 1 x cos θ ∂θ = ⋅ 2 = 2 = 2 y x ∂y r r 1+ 2 x
ε
(1) r
P′A′ − PA AA′ − PP′ = = PA PA ∂u (u r + r d r ) − u r ∂ur ∂r = = dr dr ∂r
ε θ(1) =
P ′B ′ − PB (r + u r )dθ − rdθ u r = = PB rdθ r
1 α = γ r(θ)
∂u r (u r + dθ ) − u r BB ′ − PP ′ 1 ∂u r ∂θ = = = PB r dθ r ∂θ
边界条件
Tr = σ r l + τ rθ m = Tr Tθ = τ θ r l + σ θ m = Tθ
u r = ur
uθ = uθ
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（1）
直坐标下的相容方程
∇ 4ϕ = ∇ 2∇ 2ϕ = 0
r = x2 + y 2
y P r O θ x
P′′A′′ − PA = =0 PA P′′B′′ − PB BB′′ − PP′′ = = PB PB ∂uθ (uθ + dθ ) − uθ 1 ∂uθ ∂θ = = rdθ r ∂θ
极坐标下的几何方程(3) 极坐标下的几何方程(3)
几何方程
εr = ε
(1) r
+ε
(2) r
εθ = εθ(1) + εθ(2) γ rθ = γ r(1) + γ r(2) θ θ
θ = arctan y x
∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ = ⋅ + ⋅ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ sin θ ∂ = cos θ ⋅ − ∂r r ∂θ ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ = ⋅ + ⋅ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂ cos θ ∂ = sin θ + ⋅ ∂r r ∂θ
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（2）
∂τ θ r ∂σ r ∂σ r 2 σ r drdθ + rdθ dr + dθ dr − σ θ drdθ + dθ dr + Fr rdθ dr = 0 ∂r ∂r ∂θ ∂σ r 1 ∂τ rθ σ r − σ θ + + + Fr = 0 r ∂r r ∂θ
极坐标下的平衡微分方程(2) 极坐标下的平衡微分方程(2)
d2 1 d d2 1 d ( 2 + ⋅ )( 2 + )ϕ = 0 dr r dr dr r dr 4 3 2 dϕ 4 d ϕ 3 d ϕ 2 d ϕ r + 2r −r +r =0 4 3 2 dr dr dr dr ϕ = A ln r + Br 2 ln r + Cr 2 + D
1 dϕ A = 2 + B(1 + 2ln r ) + 2C r dr r d2ϕ A σθ = 2 = − 2 + B(3 + 2ln r ) + 2C dr r τ rθ = 0
∂2 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ = ( ) = (cosθ − sin θ )(cosθ − sin θ ) 2 ∂x ∂x ∂x ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ ∂2 1 ∂2 1 ∂ 1 ∂ = cos2 θ 2 − 2sin θ cosθ + sin 2 θ + 2sin θ cosθ 2 ⋅ ∂r r ∂r∂θ r ∂r r ∂θ 1 ∂2 2 + sin θ 2 2 r ∂θ ∂2 ∂2 1 ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 = sin θ 2 + 2sin θ cosθ + cos2 θ − 2sin θ cosθ 2 r ∂θ∂r r ∂r r ∂θ ∂y 2 ∂r 1 ∂2 + cos θ 2 2 r ∂θ ∂2 ∂ 2 cos2 θ − sin 2 θ ∂ 2 sin θ ⋅ cosθ ∂ cos2 θ − sin 2 θ ∂ = sin θ cosθ 2 + − − ∂x∂y ∂r r ∂r∂θ r ∂r r2 ∂θ
与极角坐标无关的弹性力学问题（ 与极角坐标无关的弹性力学问题（3）
1 ∂ur ∂uθ uθ dg (r ) df (θ ) + − = 0 ⇒ g (r ) − r = + ∫ f (θ )dθ r ∂θ r dr dθ ∂r
df (θ ) + ∫ f (θ ) dθ = F dθ ⇓ d 2 f (θ ) + f (θ ) = 0 2 dθ ⇓ f (θ ) = I cos θ + K sin θ ⇓
第四章 平面问题极坐标解法
适解问题： 适解问题：主要边界是圆周曲 线的弹性力学平面问题比较适 用于极坐标解法
圆环问题 曲梁（扇形） 曲梁（扇形）问题 楔形体问题 开圆孔问题
注意：不同坐标系下的解答， 注意：不同坐标系下的解答， 仅是表答形式不同。 仅是表答形式不同。由于弹性 力学问题是唯一的， 力学问题是唯一的，问题的解 答的物理本质也是相同的。 答的物理本质也是相同的。
2 2
y
x’ y’ P r θ
σ θ = σ θ ′ = (σ y′ )θ ′=0 = ( τ rθ = τ r ′θ ′ = (τ x′y′ )θ ′=0
x
与极角坐标无关的弹性力学问题（ 与极角坐标无关的弹性力学问题（1）
平面轴对称问题和应力轴对称问题
平面轴对称问题：结构对称于其中心轴且受力也对称于结构的 平面轴对称问题： 中心轴；只有径向和周向正应力，没有剪应力； 中心轴；只有径向和周向正应力，没有剪应力；所有应力与周 向坐标无关 应力轴对称问题：结构无对称中心轴， 应力轴对称问题：结构无对称中心轴，仅应力与周向坐标无关 均未提及位移约束 应力函数与周向坐标无关 ϕ = ϕ (r )
周向力的平衡 ∂σ θ dθ dθ (σ θ + dθ )dr cos − σ θ dr cos ∂θ 2 2 ∂τ rθ +(τ rθ + dr )(r + dr )dθ − τ rθ rdθ
∂r ∂τ dθ dθ +(τ θ r + θ r dθ )dr sin + τ θ r dr sin ∂θ 2 2 + Fθ rdθ dr = 0
位移分量
径向位移 ur 周向位移 uθ
极坐标下的平衡微分方程(1) 极坐标下的平衡微分方程(1)
径向力的平衡 ∂σ r +(σ r + dr )(r + dr )dθ − σ r rdθ
∂r ∂σ θ dθ dθ −(σ θ + − σ θ dr sin dθ )dr sin ∂θ 2 2 ∂τ dθ dθ +(τ rθ + θ r dθ )dr cos − τ θ r dr cos ∂θ 2 2 + Fr rdθ dr = 0
应力函数与应力的关系
σ r = σ r ' = (σ x′ )θ ′=0
∂ 2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ = ( 2 )θ = 0 = + 2 ∂y ′ r ∂r r ∂θ 2 ∂ϕ ∂ϕ )θ = 0 = 2 ∂x′2 ∂r O ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ = (− )θ =0 = − ( ) ∂x′∂y ′ ∂r r ∂θ
dg (r ) g (r ) − r =F dr ⇓ g (r ) = Hr + F
∫ f (θ )dθ = F + I sin θ − K cosθ
极坐标系
极坐标系是曲线坐标系
坐标r（径向坐标、极径）：坐标 坐标 （径向坐标、极径）：坐标 ）： 原点到空间点的距离， 原点到空间点的距离，坐标正向 有原点指向空间点 坐标θ（周向坐标、极角）： ）：坐标 坐标 （周向坐标、极角）：坐标 原点到空间点连线与x轴正向的夹 原点到空间点连线与 轴正向的夹 坐标正向由z坐标正向和 坐标正向和r坐标正向通过右手法则确定 角，坐标正向由 坐标正向和 坐标正向通过右手法则确定
∂σ θ ∂τ rθ ∂τ rθ 2 dθ dr + 2τ rθ drdθ + dθ dr + rdθ dr + Fθ rdθ dr = 0 ∂θ ∂r ∂r 1 ∂σ θ ∂τ rθ 2τ rθ + + + Fθ = 0 r ∂θ r ∂r
极坐标下的几何方程(1) 极坐标下的几何方程(1)
仅径向位移随坐标变化
极坐标下的应力、 极坐标下的应力、应变和位移
应力分量
法向是径向坐标正向的截面的应力 σ r = σ rr τ rθ 方向是周向坐标正向的截面的应力 σ θ = σ θθ τ θ r = τ rθ
应变分量
径向坐标方向的线应变 ε r = ε rr 周向坐标方向的线应变 ε θ = ε θθ 相互垂直的径向和周向的剪应变 γ rθ
位移
ur = ∫ ε r dr = 1 A [−(1 +ν ′) + (1 − 3 ′)Br + 2(1 −ν ′)Br(ln r −1) + 2(1 −ν ′)Cr] + f (θ ) ν E′ r
∂uθ 4 Br 4 Brθ = rε θ − ur = − f (θ ) ⇒ uθ = − ∫ f (θ ) dθ + g (r ) ∂θ E′ E′
物理方程
E′ σr = (ε r + ν ′εθ ) 2 1 −ν ′ E′ σθ = (ε θ + ν ′ε r ), 2 1 −ν ′ E′ τ rθ = γ rθ 2(1 + ν ′)
几何方程
εr =
∂ur ∂r u 1 ∂uθ εθ = r + r r ∂θ 1 ∂ur ∂uθ uθ γ rθ = + − r ∂θ ∂r r
∂ur εr = ∂r ur 1 ∂uθ εθ = + r r ∂θ 1 ∂ur ∂uθ uθ + − γ rθ = r ∂θ ∂r r
∂ur = +0 ∂r ur 1 ∂uθ = + r r ∂θ 1 ∂ur ∂uθ uθ = + − r ∂θ ∂r r
极坐标下的基本方程和边界条件
平衡微分方程
∂σ r 1 ∂τ rθ σ r − σ θ + + + Fr = 0 ∂r r ∂θ r 1 ∂σ θ ∂τ rθ 2τ rθ + + + Fθ = 0 ∂r r ∂θ r
极坐标下的几何方程(2) 极坐标下的几何方程(2)
仅周向位移随坐标变化
ε
(2) r
εθ(2)
∂uθ (uθ + dr ) − ( r + dr )φ AA′′ − AC ′′ ∂r β = γ r(2) = = θ P′′C ′′ dr ∂u u (uθ + θ dr ) − (r + dr ) θ ∂r r = ∂uθ − uθ = dr ∂r r
σr =
与极角坐标无关的弹性力学问题（ 与极角坐标无关的弹性力学问题（2）
应变
∂ur 1 A ′) 2 + (1 − 3ν ′) B + 2(1 − ν ′) B ln r + 2(1 − ν ′)C ] = ε r = ' [(1 + ν ∂r E r ur ∂uθ 1 A ′) 2 + (3 −ν ′) B + 2(1 − ν ′) B ln r + 2(1 − ν ′)C + = ε θ = [−(1 + ν r r ∂θ E′ r ∂u u ur + θ − θ = γ rθ = 0 r ∂θ ∂r r