大一高数复习资料【全】.docx

高等数学（本科少学时类型）

第一章函数与极限

第一节函数

O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★）

U （a, 6 ）= {χ I X -a £ 6 }

U （a, 6 ）= {χIO c∣x —a <δ}

第二节数列的极限

O数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列:X n证明Iim

【证明示例】；- N语言

1 •由x n—a C g化简得n a g（g ）,

∙∙∙N-II g ；

2 .即对⅛ O , T N = g ［「。当n ∙N 时，始终

有不等式x n-a| <名成立，

∙Iim :Xnf = a

X ）：:

第三节函数的极限

O X > X O时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数f X ,证明IimfX=A

^⅛X O

【证明示例】；-'I语言

1 .由f （x ）—A £化简得OClX — X O lCg（名），

•- =g ；

O无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设f X为有界函数，g X为无穷小，

则Iim ll fXgX =O

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f X 为

无穷大，则f-1X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且f

XPo ,贝U f j X为无穷大

【题型示例】计算：Iim f X g X （或x—:）

X ,-x o

1.∙∙∙∣f（x）≤M ∙函数f（X ）在X = X。的任一去心

邻域U X0,:内是有界的；

（∙∙∙f X ≤M ,∙函数f X在x∙ D上有界；）

2. Iim g X =0即函数g X是X r x0时的无穷小；J.X0 '

（Iim g X =O即函数g X是x-∙ -■时的无穷小；）

X—■

3 .由定理可知Iim II fXgX =O

（Iim f X g X =O）

第五节极限运算法则

O极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式P X、q X商式的极限运算

p(x )= a0x m+a1x m^ +… + a m I q(X)= b0χn +b]X n^1+ … + b n

2.即对NE >0 ,

当Oc X-X O c6时,

始终有不等式f (X ) — A <

J

E成

立，

∙Iim f (x )= A

Ox—•时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数f X ,证明Iim f X；= A

x—^C 【证明示例】；- X语言

1. 由f （x）—A < E化简得X A g（E ）,

∙X= g

；

2. 即对Pg >O , 2X=g2 ）,当x>X时，始终有不等式f

（x）—Ac名成立，

∙∙Iim f X =A

X 1：:

第四节无穷小与无穷大

O无穷小与无穷大的本质（★）

函数f X无穷小U Iim f X = O

『F 则有Iim止）=淳

b o

n ：

： m

n = m

n m

Iim

X )X O

f(Xo )

g(χo)

CO

g X O T-Z 0

g X O i= 0,f X O = 0

g X O ^ f X O ^ 0

（特别地，当Iim

f

X =-（不定型）时，通常分

^X O g（x）0

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值

Iim害

X )3X -9

设:

【求解示例】解：因为X r 3 ,从而可得x=3 ,所以原

X -3 r x -3.. 1 1式=Iim 2Iim Iim

X 3x2-9 x 3X 3 X - 3 J3X 3

其中X =3为函数f X二享3的可去间断点

X -9

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：Iim 些3

=Iim

X_3

X 3x -9L X 3χ2-9

= lim — =1

X 32x 6

O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数f X是定义域上的连续函数，那

4(x)]=f II^^(χ)'

么，lim f

X >Xo

第六节极限存在准则及两个重要极限

O夹迫准则(P53) (★★★)

Sin X d 1

X

第一个重要极限: Iim

^_0

Sin X ■■■： X ：

tanx /. Iim

j0

Sin X JI

1

X

Iim x- X-Q Sin

X （特别地,

解:lir√

2x+3V = lim(2x+1+2I

x 2x 1 x 2x 1

X lIi

2x-

2x + 2 λ JlL厂

/ 2 k2Π1D Y

Iim H Iim H

2x1—2x 1 2x r：h

2一

1 X M X H^(X+)J

1∙ 2

2x 1

辔？

⅛1L)

2x 1

2x半

Iim 11 ―2—2

-

0碑(2x+1丿

Iim ∏

=e2x1;2X 1丄e1=e

.. 2

= e2x∖T

第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）

O等价无穷小（★★）

U ~ Sin U ~ tan U ~ arcsin U ~ arctan U ~ In（1 U）

1. U

~ e -1

1 2

2. U ~1-cosU

2

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：lim

ln 1 x

2

Xln1 x

J0X +3x

【求解示

例】

解：因为X T 0,即xH0,所以原式=Iim ln(1+x厂xln(1+

x ) T χ2+3x

(1+x) In(1+x) (1 + x 卜X x+1 1

=Iim Iim Iim

X 0XX 3 x 0 XX 3 x 0 X 3 3

第八节函数的连续性

O函数连续的定义(★)

IimfX= Iim f x = f X0

X)XO- X=X ■

O间断点的分类(P67) (★)

"跳越间断点(不等)

可去间断点(相等)

Iim

X

P

Iim1

×-0 _______ .，1

I sin X ] X X im o —

Sin(x-x o) =I)

X —X o

= Iim —-

X P Sin X

Iim

X X

O单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限:

(一般地，Iim ll f X 9 = Iim f x 計'，其中Iim f X 0)

【题型示例】求值: X i mIST .!：

【求解示

例】

第一类间断点（左右极限存在）』

第二类间断点〔无穷间断点（极限为Q

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

'2x . O

e , Xv应该怎样选

^ +x X 兰0

择数a ,使得f X成为在R上的连续函数？

【求解示例】

f 0_=e20=e1=e

.I . .

f 0 =a 0 =a

f 0 =a

【题型示例】设函数f（x）=」

1 .

∙

2 .由连续函数定义Iim f X = Iim f x = f 0 = e

x—⅛0- ^⅛0