用Matlab的研究混沌现象共23页

MATLAB在研究非线性混沌中的应用

MATLAB 在研究非线性混沌中的应用
勇俊1 ,郭丽华2 ,吴兴波1 ,王庆伟1
(1. 吉林化工学院自动化系 ,吉林吉林 132022 ;2. 哈尔滨工程大学水声工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001)
摘要 : 主要研究了在 MA TLAB 环境下处理非线性微分方程问题 ,并以曲线的方式使人们直观地看到无序之中的有规律现象. 关键词 : MA TLAB ;非线性 ;微分方程 ;混沌中图分类号 : TP 312MA 文献标识码 : A
Abstract : The problem of processing t he nonlinear differential equation in MA TLAB is mainly st udied. By means of curves , t he orderliness phenomena in disorder are int uitionally showed.
电出版社 ,1999. [6 ] J . C. Sprott . Simplest dissipative chaotic flow [ J ] .
Physics Letters A ,1997 ,228 :271 - 274. [7 ] 陈予恕. 混沌理论 [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,
05 ;0. 05 ]) ; data = X( : ,1) ; n = lengt h (data) ; N = round (n/ 2) ; a = data (N - 2) ; b = data (N - 1) ; for i = N :n
收稿日期 :2002 - 10 - 07 作者简介 :勇俊 (1974 - ) ,男 ,吉林九台人 ,吉林化工学院助教 ,主要从事电子信息应用方面的研究.

基于Matlab的复摆混沌行为研究

毕业论文基于Matlab的复摆混沌行为研究摘要自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。

混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。

混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

Matlab是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。

混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而Matlab在这方面便可展示其强大的潜能。

聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

本论文利用了Matlab软件研究经典的混沌现象的特征，并且对混沌的特点以及形成过程进行模拟分析研究；并用Matlab模拟了复摆运动行为及混沌现象，对不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐由倍周期分岔走向混沌。

残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

关键词：混沌，Matlab，复摆，倍周期分岔，奇怪吸引子THE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLAB酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

ABSTRACTThere are many disorders, non-equilibrium, random complex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after the revolution in physics, Chaos has always been of academic attention.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。

matlab迭代。混沌,原因,分叉MicrosoftWord文档

matlab迭代。

混沌,原因,分叉MicrosoftWord文档问题与实验3: 一元线性迭代的收敛性条件怎样表述？关于迭代法收敛性的两个判别条件： a 、充分必要条件是：矩阵M 的谱半径(){}1,..,2,1max<==n i M iiλρ（）b 、充分条件是：矩阵M 的某个算子范数M<1。

问题与实验4: 在本例中，12<m< bdsfid="72" p=""></m<>，这时迭代序列是收敛的，就本例或选择别的例子，按12<m< bdsfid="77" p=""></m<>和12≥M构造不同的迭代法，通过实验和比较，并给出你对实验结果的解释（如关于收敛性、收敛速度等），当然这需要你首先知道矩阵范数的概念，并且对它有比较好的理解。

设x 是方程组（5）的解，{}mx 是迭代法（6）生成的任一序列，因为f Mx x +=,f Mxx mm +=+1()()()0221x x Mx x Mx x M x x mm m m -==-=-=--- ,设D = diag (a 11, a 22, …, a nn )，将AX = b 改写为： AX = (D – (D - A )) x = b DX = (D - A ) x + bX = (I – D -1A ) x + D -1b记 B = I – D -1A F = D -1 b 则迭代格式的向量表示为F BX Xk k +=+)()1( Ｂ称为雅克比迭代矩阵。

由此可知要判断X 是否收敛只需看M 的谱半径是否小于1，既有一其中I 是单位i 矩阵，D 是提取A 的对角线上的元素。

下判断条件：充要条件：(1) (){}1,..,2,1max<==n i M iiλρ.(2)充分条件是：矩阵M 的某个算子范数M<1.并且我们知道当M 越小的时候其收敛的速度越快。

matlab混沌，分形

matlab混沌，分形对于函数f(x)=λsin(πx)，λ∈(0,1]，使⽤matlab计算随着λ逐渐增⼤，迭代x=f(x)的值，代码如下：function y=diedai(f,a,x1)N=32;y=zeros(N,1);for i=1:1e4x2=f(a,x1);x1=x2;y(mod(i,N)+1)=x2;endend%f=@(a,x)a*x*(1-x);f=@(a,x)a*sin(pi*x);%x0=0.1;hold on;for x0=-1:0.05:1for a=0:0.01:1y=diedai(f,a,x0);for count=1:32plot(a,y(count),'k.');hold on;endendend得到的图像如下：其中横轴为λ，纵轴为x可以看到随着λ的逐渐增⼤，出现了倍周期分叉的情况。

由图中可以看出第⼀个分叉值⼤约在0.3附近，第⼆个在0.73到0.75之间，第三个在0.8到0.85之间，混沌⼤约出现在0.86附近。

接下来编写代码计算分叉值，代码如下：format long;x0=0.1;for a=0.3182:0.0000001:0.3183y=diedai(f,a,x0);if max(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼀个分叉值⼤约为0.3182298format long;x0=0.1;for a=0.7199:0.000001:0.72y=diedai(f,a,x0);if max(y)-min(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼆个分叉值⼤约为0.719911format long;x0=0.1;for a=0.8332:0.000001:0.8333y=diedai(f,a,x0);if abs(y(32)-y(30))>0.001disp(a);break;endend得到第三个分叉值⼤约为0.833267利⽤Feigenbaum常数估计第三个分叉值，得到0.805939分形图周常青画mandelbrot分形图，主要使⽤了三个函数：iter=mandelbrot1(x0,y0,maxIter)，⽤来计算迭代后是否收敛，⽅程z=z2+z0。

各类混沌的matlab程序实现

常微分方程及常微分方程组地求解
( )
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杂谈
最近参加了数学建模，对于老师说地算法地不同步长地精度不一样，编写了一个函数文件来实现这个精度地比较，把函数附上：文档收集自网络，仅用于个人学习
[] ()
这里使用可变输出输入函数地
{}为求解常微分方程地表达式
{}为求解常微分方程地定解条件
需要给出地变量有常微分方程地范围，({}{})
为对这个区间地分割({})文档收集自网络，仅用于个人学习
写于月日
取得算法需要地变量，并附上容易理解地含义变量
{};
{}自变量地范围
{}区间地分割次数
( )步长
{}; 常微分方程地表达式
{}; 常微分方程地定解条件表达式文档收集自网络，仅用于个人学习
首先求出所给常微分方程问题地精确解
();
();
; ;
(,'');
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() (,{},{()});
:()
() () ;
() ((,{},{()}));
文档收集自网络，仅用于个人学习
利用方法求解近似数值微分解
();
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;
() ;
() (,{},{})获得原方程地初解
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() () ;
() () .* (((),{},{()()}))特别记录中地字符串操作，提取子字符串即（：）...
文档收集自网络，仅用于个人学习
返回经过算法算出与地值
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画图进行误差比较
(,'');
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(,'');文档收集自网络，仅用于个人学习特此记录，以后写了新地算法再分享。

基于Matlab的Rossler混沌研究

二、倍周期分岔
x y z y x a * y z b z *( x c)
• 下面将以Rossler 系统在时间 t=0:300;初值 (0.1,0.2,0.3），参数a=0.2， b=0.2, 改变c大小来展示其倍周期分岔特性。
Rossler倍周期分岔进入混沌
物理与工程学院2012届应物专业论文答辩
基于MATLAB的罗斯勒系统的混沌特性研究
专业：应用物理学班级：应物082 答辩人：崔晓鹏
混沌的发现
混沌混沌的特性主要内容
初值敏感性
Rossler系统
倍周期分岔功率谱分析
混沌的发现
混沌是国内外学术界对非线性系统研究领域研究非常活跃的前沿课题。在1963年美国著名的气象学家洛伦兹在分析气候数据时发现: 初值十分接近的两条曲线的最终结果会相差很大。这是混沌吸引子的第一个例子，从此拉开了混沌研究的帷幕。
x y z y x a * y z b z *( x c)
c=5.7 Rossler单周期运行图，t=6
c=5.7 Rossler双周期运行图,t=12
c=5.7 Rossler系统动画演示,t继续增大
c=5.7 多周期运行图以至于混沌， t=1000
三、功率谱分析
Rossler方程
x„，y‟和z„表示对自变量对时间t求导数。(x，y，z)表示系统的状态。a，b，c，是系统参数。方程看上去很简单，除去第三个方程中的二次项 z*x，则系统是线性的。但一个著名的事实是，这个简单系统存在混沌行为。
混沌系统相图
在经典力学中，一个系统的运动可以用相空间中的轨道来表示，混沌系统也可以这样描述，我们将作Rossler系统的x、y、z关系图即 Rossler系统的相图，以更方便地研究 Rossler 系统。研究参数 a=0.2,b=0.2,c可变。

Matlab实现混沌系统的控制

基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。

为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。

混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。

一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。

一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。

可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。

1.混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。

2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。

系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。

3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。

所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。

由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。

4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。

混沌信号的产生 matlab

混沌信号的产生及其在Matlab中的实现一、混沌信号的概念与特点混沌是一种在确定性系统中表现出的随机、不可预测的行为。

混沌系统具有以下几个显著特征：1. 灵敏依赖于初值：在混沌系统中，微小的初值变化会导致系统行为的巨大变化，这就是所谓的“蝴蝶效应”。

2. 随机性和周期性：混沌系统表现出随机性和周期性的叠加，使得系统的行为呈现出复杂的、看似无序的特征。

3. 分形结构：混沌系统的轨迹具有分形结构，表现出自相似性和自组织性。

二、混沌信号的产生原理混沌信号的产生通常基于非线性动力系统模型，其中最经典的混沌系统包括 Logistic 映射、Henon 映射等。

混沌信号的产生一般遵循以下步骤：1. 选择合适的混沌系统模型，比如 Logistic 映射：$x_{n+1} =rx_n(1-x_n)$。

2. 选择初值和模型参数，并设定迭代次数。

3. 进行迭代计算，得到混沌信号的时域序列。

三、Matlab 中的混沌信号生成Matlab 是一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数，使得混沌信号的产生和分析变得非常简单。

在Matlab 中，可以通过以下几种方法产生混沌信号：1. 直接求解微分方程：利用ode45函数求解混沌系统的微分方程，得到混沌时域序列。

2. 迭代计算：利用for循环结构进行模型的迭代计算，得到混沌信号的时域序列。

3. 利用现成的工具箱：Matlab 提供了一些专门用于产生混沌信号的工具箱，比如 ChaosBox。

四、示例代码以下是一个利用 Logistic 映射产生混沌信号的示例代码：```matlabLogistic 映射参数r = 3.9;时域序列长度N = 1000;初值x0 = 0.1;初始化时域序列x = zeros(1, N);x(1) = x0;迭代计算for i = 1:N-1x(i+1) = r * x(i) * (1 - x(i));end绘制混沌信号时域图plot(x);xlabel('时域');ylabel('信号幅值');title('Logistic 映射产生的混沌信号');```五、混沌信号的应用混沌信号作为一种具有随机性和周期性的信号，具有广泛的应用价值，包括但不限于：1. 加密通信：混沌信号可用于加密通信系统中的信息传输，利用混沌的随机特性可以提高数据的安全性。

混沌优化算法matlab

混沌优化算法是一种通过利用混沌动态系统的特性来寻找最优解的优化算法。

在MATLAB中，可以使用以下步骤来实现混沌优化算法：1. 定义优化问题的目标函数。

2. 确定变量的边界和初始值。

3. 构建混沌动态系统模型。

可以选择Logistic映射或者其他混沌映射来构建模型。

4. 迭代更新混沌动态系统的状态，直到找到最优解。

以下是一个简单的MATLAB代码示例，用于实现混沌优化算法来求解一个简单的二次函数的最小值：```matlab定义目标函数fun = @(x) x(1)^2 + 3*x(2)^2 - 4*x(1)*x(2) - 5*x(1) - 11*x(2) + 20;确定变量的边界和初始值lb = [-5, -5]; ub = [5, 5];x0 = [0, 0];构建混沌动态系统模型k = 40; 迭代次数mu = 4; 控制参数lambda = log(mu)/k; 李雅普诺夫指数f = @(z) z.^2 - mu.*z + lambda; 混沌映射函数迭代更新混沌动态系统的状态，直到找到最优解x = x0;for i = 1:kz = f(x); 映射到新的状态x = x + z; 更新状态if x(1) < lb(1) || x(1) > ub(1) || x(2) < lb(2) || x(2) > ub(2)break; 越界则停止迭代endend输出最优解disp(['最优解为：[', num2str(x), ']']);disp(['最小值为：', num2str(fun(x))]);```这个例子中，我们使用Logistic映射来构建混沌动态系统模型，并使用控制参数mu=4和迭代次数k=40。

初始值设为x0=[0,0]，变量的边界设为lb=[-5, -5]和ub=[5, 5]。

通过迭代更新混沌动态系统的状态，直到找到最优解，并输出最优解和最小值。

基于Matlab的混沌特性分析

基于Matlab的混沌特性分析1. 引言1.1 研究背景混沌理论起源于1960年代，是一种描述复杂系统行为的新理论，揭示了非线性系统中存在的一种无序、不可预测的动态行为。

混沌系统具有高度敏感性和非周期性，表现出随机性和确定性的结合，对于许多领域的研究具有重要的理论和实际意义。

在现代科学和工程领域，混沌系统的分析和控制已经成为一个热门的研究方向。

随着计算机技术的发展，基于Matlab的混沌特性分析方法成为研究混沌系统的有力工具。

Matlab提供了丰富的算法和库函数，可以方便地进行混沌系统建模、仿真和分析。

利用Matlab进行混沌特性分析，可以更深入地理解混沌系统的动力学行为，为系统的控制与优化提供理论支持。

1.2 研究目的研究目的的主要目标是通过基于Matlab的混沌特性分析，探讨混沌系统的特征和建模方法，并利用Matlab提供的分析工具对混沌系统进行详细分析。

通过深入研究混沌系统的特性和行为，可以更好地理解和预测混沌系统的运动规律和特点，为相关领域的研究和应用提供理论支持和参考依据。

本研究旨在探讨基于Matlab的混沌特性分析方法的有效性和可行性，为混沌系统的研究和应用提供一种新的分析途径和工具。

通过对混沌系统的特性进行深入分析和实验研究，可以揭示混沌系统背后的规律和内在机制，为相关领域的发展和应用提供新的思路和方法。

本研究的目的在于通过基于Matlab的混沌特性分析，深入探讨混沌系统的特性和行为，为相关领域的研究和应用提供新的视角和研究方法。

1.3 研究意义混沌系统在现代科学和工程中具有广泛的应用，例如在通信、控制、密码学等领域都有重要的作用。

对混沌系统进行特性分析，能够帮助我们更好地理解和掌握系统的行为规律，为系统的设计和优化提供重要的参考。

混沌系统的特性分析不仅可以帮助我们更好地理解系统的动态行为，还可以为混沌系统的控制和应用提供理论基础。

通过本文基于Matlab的混沌特性分析，我们可以更深入地探索混沌系统的特性和规律，为未来混沌系统的应用和发展提供重要参考。

各类混沌的matlab程序实现

混沌同步模型驱动系统和响应系统都是Lorenz System,只不过初值不同。

驱动系统： dx/dt=a*(y-x)dy/dt=r*x-y-xzdz/dt=x*y-b*z初值（0.1，0.1，0.1）输出信号令S(t)=x(t)响应系统：将S(t)代替x(t)作为激励信号dx/dt=a*(y-x)dy/dt=r*x-y-xzdz/dt=x*y-b*z初值（0.1，0.1，1）最后求响应系统的输出x(t),y(t),z(t)程序：function [Y1] = Lorenz_response(tspan);%%计算处于响应地位的Lorenz系统的数值解，并由此画出其相图yinit = [0.1,0.1,1];% 初始化输入y(1:3) = yinit;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-1; % 时间步长wholetimes = 1e2; % 总的循环次数steps = 1; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数S=output;for i=1:iteratetimes;tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);[T,Y1] = ode45(@Lorenz_driven, tspan, y);y = Y1(size(Y1,1),:);y(1)=S(i,1);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;endfigure(1)plot3(Y1(:,1),Y1(:,2),Y1(:,3))function s=output;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-1; % 时间步长wholetimes = 1e2; % 总的循环次数% options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);tspan=tstart:tstep:wholetimes*tstep[T,Y] = ode45(@Lorenz_driven,tspan,[0.1 0.1 0.1]);s=Yfigure(3)plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))function dY=Lorenz_driven(t,Y);a=10;b=8/3;r=60;dY=zeros(3,1);dY=[a*(Y(2)-Y(1));-Y(1)*Y(3)+r*Y(1)-Y(2);Y(1)*Y(2)-b*Y(3)]MatLab常微分方程及常微分方程组的求解(2011-07-08 23:01:48)转载▼分类：编程之Matlab标签：杂谈最近参加了数学建模，对于老师说的Euler算法的不同步长的精度不一样，编写了一个M 函数文件来实现这个精度的比较，把函数附上：function [x,y]= Euler(varargin)%这里使用可变输出输入函数的%varargin{1}为求解常微分方程的表达式%varargin{2}为求解常微分方程的定解条件%需要给出的变量有常微分方程的范围a，b(varargin{3},varargin{4})%n为对这个区间的分割(varargin{5})%xlt写于7月8日%取得算法需要的变量，并附上容易理解的含义变量a = varargin{3};b = varargin{4};%自变量的范围n = varargin{5};%区间的分割次数h = (b - a)/n;%步长Dy = varargin{1}; %常微分方程的表达式y0 = varargin{2}; %常微分方程的定解条件表达式%首先求出所给常微分方程问题的精确解x1 = zeros(n+1,1);y1 = zeros(n+1,1);syms f1; syms x;f1 = dsolve(Dy,y0,'x');x1(1) = a;y1(1) = subs(f1,{x},{x1(1)});for i = 2:(n+1)x1(i) = x1(i-1) + h;y1(i) = double(subs(f1,{x},{x1(i)}));end%利用Euler方法求解近似数值微分解x2 = zeros(n+1,1);y2 = zeros(n+1,1);syms y;x2(1) = a;y2(1) = subs(f1,{x},{a});%获得原方程的初解for i = 2:(n+1)x2(i) = x2(i-1) + h;y2(i) = y2(i-1) + h .* double(subs(Dy(5:end),{x,y},{x2(i-1),y2(i-1)}));%特别记录Matlab中的字符串操作，提取子字符串即A（3：6）...end%返回经过Euler算法算出x与y的值x = x2;y = y2;%画图进行误差比较plot(x1,y1,'r');hold on;plot(x2,y2,'b');特此记录，以后写了新的算法再分享文 - 汉语汉字编辑词条文，wen，从玄从爻。

Matlab非线性方程与混沌

坏了一只蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，伤了一位骑士；
伤了一位骑士，输了一场战斗；
输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
2. 将参数r取0，0.3，0.6，0.9，1.2，…，3.9的迭代序列
收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化
程序
clear;clf; hold on axis([0,4,0,1]);grid for r=0:0.3:3.9
x=[0.1]; for k=2:150
x(k)=r*x(k-1)*(1-x(k-1)); end pause(0.05) for k=101:150
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断
放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
end
参数r的微小变化引起结果巨大的变化
请同学们再次加密r取值进行实验，回答下面问题
（１）是否由４支分叉为８支，并依次类推呢？

Matlab在研究混沌系统中的应用

（责任编辑：王瑞斌）
ＡｐｉａｉｎｏａｌｂｔｈｅＳｕｄｆＣｈａｔｃＳｓｅｐｌｔｏｆＭｔａｏｔｔｙｏｃｏｉｙｔｍ
ＫＮｎ，ＨＡＧＱａ —ｗ１ＡＧＭｉＺＮｉｏｅ ’
法提供数值解，编程也较简单，对混沌系统仿真简便直观。因此在混沌学领域中将发挥其重大作用，促进混沌科学更快地向前发展。
（）ｘ— ）ｂ（Ｙ
（）＝（ｚｅｘ— ）
参考文献：
［］１郑阿奇．ＭＴＡＡＬＢ实用教程［．北京：Ｍ］电子工业出版社，０４５２０．．［］２陈关荣，虎．ｏｅｚ系统族的动力学分析、吕金Ｌｒｎ控制与同步［．Ｍ］北京：学出版社，０３科２０．［］３刘秉正．非线性动力学与混沌理论［．Ｍ］长春：东北师范大学，９４１９．［］．．ｐｏ，ｏｅｓｐｅｃａｔｏｓＰｙｉｓｅｉ５，９４４ＪＣＳｒｔＳｍｉｌｈｏｉｆｗ，ｈｓｖｗＥ，０１９．ｔｍｃｌｃＲｅ
Ｇ系统的分岔图
图１Ｇ系统的Ｌａｕｏｙｐｎｖ指数图和分岔图
从以上Ｌａｕｏ数图和分岔图可以清楚的ｙｐｎｖ指
看到，ａＯ２０４），当 ∈（．，．５时Ｇ系统是由倍周期分岔
通向混沌，然后经阵发性离开混沌，入周期三，进再
中图分类号：２１文献标识码：文章编号：０８— ８１２０）６— ０３— ２０３Ａ１０３７（０８００３０真，出该系统的Ｌａｕｏ作ｙｐｎｖ指数图和分岔图，图１如

matlab混沌算法

混沌系统的耦合同步200820401010 徐培摘要：主要讨论在参数失配的情况下同步系统的耦合系统的稳定性，在同步系统中，我们用一个混沌系统来作为驱动，用一个混沌系统作为被驱动，混沌系统主要是用微分方程组来表示，通过解微分方程组来确定系统的稳定性。

理论和公式：本文主要是讨论在参数失配的情况下讨论基于OPCL(open-loop-closed-loop)的耦合系统，从而确保了完全同步的驱动和被驱动系统的稳定性。

OPLC 耦合系统通常比完全同步使用的更早，为了推广参数失配系统的耦合，我们定义驱动系统包含了失配参数，其中)(,),()(y F y y F y F y R n∆∈∆+=∙它驱动了响应系统，我们定义为∙x =R nx x F ∈),(为常数，用来其中）被驱动系统定义为：αα),,((y x D x F x +=∙确定是同和y x 相还是反相，我们定义))](([)(),(y x y JF H y F y y x D ααααα--+-=∙，（1）其中H 是特征值实部非负的Hurwitz 矩阵，是雅可比矩阵J 我们将)(x F 按照泰勒级数展开，得到：+-+=))(()()(y x y JF y F x F ααα……（在后面的运算中保留一阶导数）系统模型、程序运行及其结果1. Lorenz 系统：被驱动系统：=∙x 1）（x x 12-σ；xx xx x31212--=∙γ；xx x x b 2133+-=∙（2）带有参数失配；=∙y1+-）（x x 12σ）（y y12-∆σ；+--=∙yy yyy31212γy1γ∆；y y yyb2133+-=∙-y b 3∆ （3）其中b ∆∆∆和,,γσ是失配参数，于是将系统（3）带入（1）中，并作为驱动带如入到系统（2）中,得到：=∙x1）（x x 12-σ+）（ξσα/1∆）（y y 12-;))(())(()1(331211313131212yxy py xy pyy xx xxxααααααγ-++-++-+--=∙))(())(()1(221411232132133yxy py xy pyy yxx xxbbααααααα--+--+-+∆-+-=∙其中，我们在运算时，取H=[b ppp p--+-4321;10γσσ；]其中,0,0,14321===-<ppppγ，22,001038或，，，-==∆=∆=∆=∆+ασγγγb ，3/810==b ，σMatlab 程序：建立一个M 文件：function dx=Rossler1(t,x) %x(1) denotes x1 %x(2) denotes x2 %x(3) denotes x3 %x(4) denotes y1 %x(5) denotes y2 %x(6) denotes y3 dx=zeros(6,1); alpha=-2; b=2.666; d_r=0.10; r=28;sigma=10; d_sigma=0; E=1; d_b=0; p1=-29; p2=0; p3=0; p4=0;dx(1)=sigma*(x(2)-x(1))+alpha*d_sigma*(1/E)*(x(5)-x(4));dx(2)=r*x(1)-x(2)-x(1)*x(3)+alpha*d_r*x(4)+alpha*(alpha-1)*x(4)*x(6)+(p1+alpha*x(6))*(x(1)-alpha*x(4))+(p2+alpha*x(4))*(x(3)-alpha*x(6)); dx(3)=-b*x(3)+x(1)*x(2)-alpha*d_b*x(6)+alpha*(1-alpha)*x(4)*x(5)+(p3-alpha*x(4))*(x(1)-alpha*x(4))+(p4-alpha*x(4))*(x(2)-alpha*x(5)); dx(4)=sigma*(x(5)-x(4))+d_sigma*(x(5)-x(4)); dx(5)=r*x(4)-x(5)-x(4)*x(6)+d_r*x(4); dx(6)=-b*x(6)+x(4)*x(5)-d_b*x(6);在命令框中输入：[T,X]=ode45(@Rossler1,[0 200],[1 1 1 1 1 1]);%四阶龙格库塔法解微分方程组plot(T,X(:,3),'b',T,X(:,6),'r'); axis([50 150 -70 50]); 得到图：图1 其中红色部分蓝色部分分别表示的变化情况，相对于时间变量和t 33yx 从图中可以看出y33x 和实现了同步。

利用Matlab模拟混沌系统

第21卷第6期2003年11月泉州师范学院学报(自然科学)Journal of Quanzhou Normal University(Natural Science)Vol.21　No.6Nov.2003利用Matlab模拟混沌系统苏大生,夏小建(泉州师范学院物理系,福建泉州　362000)摘　要:以R ossler方程、Du ffing方程和Van der pol方程为例,应用Matlab仿真工具进行模拟,并对仿真结果作了简要说明和讨论,其中的示例对混沌研究和教学有一定的意义.①关键词:混沌;M AT LAB;仿真中图分类号:TP273 文献标识码:A 文章编号:1009-8224(2003)06-0029-03混沌是非线性科学研究的一个重要概念,近年来由于混沌在控制和保密通讯等方面的应用,使混沌研究成为学术界的热门课题之一.混沌系统的状态通常可用非线性微分方程来描述,这些方程的解一般难于用解析式表达,更多的情况只能采用数值解法.随着计算机技术的发展,数值解法[1]在混沌系统中将起着更重要的作用.本文应用M AT LAB对混沌系统进行数法模拟,该方法也是一种数值解法,具有操作简单、直观、灵活等优点.1　Matlab语言及其动态仿真———SimulinkMatlab是由Math W ork公司推出的一种面向科学与工程计算的高级语言,它集科学计算、自动控制信号处理、神经网络、图象处理等于一体,具有极高的编程效率.Matlab提供的Simulink[2,3]是一个基于Windows环境下的以图形进行编程的软件,可用来对动态系统建模、仿真和分析,编程时只需选择需要的模块,用鼠标将它们联结起来,并设定每一方块的参数,在用Simulink模拟混沌系统时,可根据非线性微分方程建立方块图,并设置参数进行模拟,即可得到对应的数值解.该方法具有直观、方便、灵活等优点,下面以R ossler方程、Van der pol方程和Du ffing方程为例进行模拟.2　混沌系统的模拟2.1　R ossler方程的模拟R ossler方程是由R ossler在1976年建立的一个简单的三维系统,其方程为d xd t=-y-z,d yd t=x+0.2y,d zd t=0.2-5.7z+xz.①收稿日期:2003-04-25作者简介:苏大生(1974-　),男,福建安溪人,助理实验师,主要从事应用软件及实验教学研究.应用Matlab 建模,得到图1的模型,其中,Sum (Sum1、Sum2和Sum3)是求和模块,Integrator (图1中Inte )是积分模块,用于实现求和.Product 是求积模块,实现输入变量的乘积.G ain 是增益模块,实现输入变量的增益,C onst 是常数模块,用于获得一个常数.XY 为显示模块,可显示XY 平面的轨迹.图2、3为在X (0)=Y (0)=1、Z (0)=2、仿真时间200秒的初始条件下,得到的在XY 、X Z 平面的混沌轨迹.03　泉州师范学院学报(自然科学)2003年11月　该方程可以用一阶微分方程组来描述 y ′=ky (1-x 2)-x ,y =x ′.图6是Van der pol 方程的模块连接框图,取式(2)中的参数k =1,并设初始条件x (0)=y (0)=0.1,仿真时间为500秒,Van der pol 方程的混沌轨迹,见图7.3　结论Matlab 的Simulink 工具采用的是数值计算方法,不可避免地会产生数值误差.一个连续的动态系统一般为d x d t =f (x ,t ),(3)其中,x 是n 维状态矢量,函数f 表示一个特定的系统.若给定初始条件x (0),时间步长为h ,则通过对方程(3)差分的方法,可获得x (t )的变化轨迹为x n (nh )=x n -1((n -1)h )+hf (x (n -1),(n -1)h ),当h 足够小时,即可获得x 随时间的变化轨迹.h 取值应适当,实际选用时,h 太小,计算量太大;h 太大,达不到计算精度.在Matlab 中一般选用四阶的龙格库塔方法,它对步长自动选取,既减少计算量又适应精度要求.尽管采用四阶龙格库塔方法,但误差还是不可避免.实际上,除非步长非常小,否则截断误差通常是较严重的误差来源.对于大多数系统而言,随积分步数的增加其误差将逐步减小.但是混沌系统的一个显著特征就是对初始条件的极端敏感性,扰动将明显地改变x (t )的轨迹,使得附近的轨迹呈指数分离.绝大多数工程上感兴趣的系统都是结构稳定的,即在f 中一个小扰动将导致在其吸引子中也产生一个相应的小扰动.而数值误差可看作是一种扰动,因此,对混沌吸引子的模拟在细节上可能和实际情况不完全相同,但它保持了吸引子的宏观形状.文章采用的方法可用于模拟由状态方程描述的时不变系统.该方法实用、简便,对混沌研究和教学有一定的实际意义.参考文献:[1]　李建芬,李农,张祥娥.利用SPICE 模拟混沌系统[J ].电路与系统学报,1997,2(1):68-71.[2]　施阳.M AT LAB 语言精要及动态仿真工具SIM U LINK[M].西安:西北工业大学出版社,1997.[3]　陈怀琛.M AT LAB 及其在理工课程中的应用指南[M].西安:西安电子科技大学出版社,2000.(下转第70页)13　第6期苏大生等:利用Matlab 模拟混沌系统　07　泉州师范学院学报(自然科学)2003年11月　3.3.5　发展农村小型会展业　通过综合或专业的会展提高“闽货”知名度,为农民解决“卖难”问题,同时也通过会展带动农民消费.会展业是投资回报高,又是促进消费,推动经济增长的一种有效的产业.2001年,泉州“会展经济”已初露端倪,仅1-11月,全市举办的大型商展活动67场,有9150多家企业参加,现场销售产品2008.7万多元,签订投资项目1007个,合同金额482.63亿元.参考文献:[1]　福建统计局.福建统计年鉴2003[M].北京:中国统计出版社,2003.[2]　熊宁,曾尊固.试论调整农业结构与构造区域特色农业[J].经济地理,2001,21(5):564-568.[3]　吴海峰.我国农村消费市场启而不动的原因及对策[J].西北农林科技大学学报,2002,2(3):51-53.An Analysis of the Impetus to Expand the Marketin Country of FujianLI Z i2rong(Department of G eography,Quanzhou N ormal University,Fujian362000,China)Abstract:It appears that the development of markets in the country is slow and even static in aspects of consum ption and supply.According to the analysis of its further causes,the author thinks that the im pe2 tus to expand the market lies in raising the peasantry’s incomes,quickening the construction of central country,advancing the urbanization,and cultivating new hotspots on consum ption in country.The article em phasizes that forming characteristic agriculture in Fujian,taking the way to industrialization of farming ,perfecting the service system of farming,and strengthening the cooperation of agriculture between Fujian and T aiwan are im portant approaches to raise the peasantry’s incomes efficiently.Meanwhile,the author suggests that g overnment should cultivate new hotspots such as service industry,in formation industry,ed2 ucation system,small exhibition center and s o on.K ey w ords:Fujian;consum ption marketing in country;cause;im petus(上接第31页)Simulating Chaotic System with MatlabS U Da2sheng,XI A X iao2jian(Department of Physics,Quanzhou N ormal University,Fujian362000,China)Abstract:This article presents a method to simulink R ossler equation,Du ffing equation and Van der pol equation with Matlab.Then presents the brief dem onstration and discussion of result.The exam ples ben2 efit to the research and teaching of chaos.K ey w ords:chaos;Matlab;simulink。

基于Matlab的混沌系统仿真与分析

基于Matlab的混沌系统仿真与分析王晓辉;谢胜曙;张志伟【摘要】对混沌现象和特征进行简要描述并用Matlab软件对一个混沌系统进行仿真和分析.给出了这个混沌系统的Simulink模型,通过编程计算画出了此系统的分岔图,刻画了系统参数A=0.6时的混沌吸引子形状、系统的庞加莱截面和功率谱,揭示了此系统混沌的本质.最后给出了系统的电路实现形式.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2006(029)010【总页数】3页(P105-107)【关键词】混沌;Simulink模型;混沌系统;混沌电路【作者】王晓辉;谢胜曙;张志伟【作者单位】湖南大学,电气与信息工程学院,湖南,长沙,410082;湖南大学,电气与信息工程学院,湖南,长沙,410082;济南市高级技工学校,山东,济南,250032【正文语种】中文【中图分类】TP391;O415混沌是国内外学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。

在现代的物质世界中，混沌现象无处不有。

1963年美国著名气象学家洛伦兹在数值实验中首先提出“决定论非周期流”，从此拉开了混沌研究的帷幕。

人们在研究中逐步认识到混沌的研究价值和应用价值。

1 混沌及其特征所谓混沌是指某种对初始条件敏感的运动，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现象。

他无序中又有序，混沌是非线性系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非所有非线性系统都会产生混沌[1]。

一般认为一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说特性主要有以下方面：(1)振荡信号的功率谱连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期性，也说明信号貌似噪声的原因。

(2)在相空间，该系统的相相邻的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值的极端敏感性，这就使系统的行为长期不可预测。

偏微分方程matlab层流混沌

偏微分方程matlab层流混沌偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是描述多变量函数中的未知量与其偏导数之间关系的方程。

它在数学和物理学中具有广泛的应用，其中一个重要的应用领域是流体力学中的层流和混沌现象的研究。

层流（Laminar flow）是指流体在管道或通道中以平行且有序的方式流动。

在层流中，流体的速度场和压力场随着空间位置的变化是连续和可微的。

层流的特点是流体粒子之间没有明显的交错和扩散现象，整个流动过程比较稳定。

混沌（Chaos）是指流体在某些特定条件下表现出的复杂、不可预测和高度敏感的动态行为。

混沌流动的特点是流体粒子的运动路径无规律、不可预测，速度场和压力场在时间和空间上都呈现出无序的特征。

Matlab是一种数值计算和科学编程语言，它提供了丰富的工具和函数来求解各种数学问题，包括解偏微分方程。

在Matlab中，可以使用PDE Toolbox工具箱来求解偏微分方程，其中包含了各种求解器和算法。

要研究层流和混沌现象，我们可以考虑一些特定的偏微分方程模型，如Navier-Stokes方程。

Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它包含了速度场和压力场之间的关系，并考虑了流体的粘性、惯性和压力梯度等因素。

通过在Matlab中建立适当的偏微分方程模型，我们可以使用PDE Toolbox提供的函数和算法来求解这些方程，并得到层流和混沌流动的数值解。

这些数值解可以帮助我们理解流体的运动特性，并对实际问题进行预测和分析。

总结起来，偏微分方程在描述层流和混沌现象方面起到重要作用。

通过使用Matlab和PDE Toolbox，我们可以建立适当的数学模型并求解这些方程，从而深入研究流体力学问题，并得到有关层流和混沌流动的定量结果。

一个超混沌系统在MATLAB环境下的仿真实现

毕业设计（论文）题目一个超混沌系统在MATLAB环境下的仿真实现系（院）物理与电子科学系专业物理学班级2005级1班学生姓名XXX学号2005080119指导教师XXX职称二〇一一年六月十八日独创声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本声明的法律后果由本人承担。

作者签名:二〇一〇年六月一十八日毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。

本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。

（保密论文在解密后遵守此规定）作者签名:二〇一〇年六月一十八日一个超混沌系统在MATLAB环境下的仿真实现摘要在混沌、超混沌理论研究成果的基础上，利用外加驱动信号方法改进一个四阶超混沌系统，通过对外界驱动信号频率的控制，实现系统的动力学特性。

对新构建的超混沌系统的特性进行了详细分析，包括验证其超混沌性质，相空间轨迹分析，Lyapunov指数谱分析等，仿真结果关键词：超混沌；lyapunov指数；EWB；超混沌电路；MATLABIA hyperchaos circuit was simulated in MATLABsimulationAbstractBased on chaotic and the hyperchaotic theory research, by using plussing a drive signal to the fourth-order hyperchaos system to improve the fourth-order hyperchaos system, through to control the external drive signal frequency, realizeing the system’ dynamic characteristics. The construction of the new characteristics of hyperchaos system are analyzed in detail, including its hyperchaos nature, path analysis, phase space Lyapunov index and bifurcation diagram analysis and simulation results show that the system characteristics. Is abundant. Using the signal frequency control and drive can completely accurate control of the entire system dynamics characteristic. Finally,design a simulated circuit, and simulat in EWB environment, through the comparison of simulation results between MATLAB and EWB, Further verify the consistency between experiment results and numerical simulation.Keyword：hyperchaos；Lyapunov exponents；bifurcation；hyperchaotic CircuitII目录引言 (1)第一章动力系统形态及其分析 (2)1.1动力系统 (2)1.1.1动力学系统的基本概念 (2)1.1.2几种常见的平衡态 (4)1.1.3吸引子和结构稳定性 (6)1.2 分岔 (7)1.2.1分岔的基本概念 (7)1.2.2非线性映射及其分岔 (8)第二章混沌系统判别方法讨论 (10)2.1混沌的特性及其判别方法 (10)2.1.1混沌的定义 (10)2.1.2混沌运动的基本特征 (11)2.2超混沌特性及其判别方法 (11)2.3混沌电路研究方法 (12)第三章一个新的超混沌系统设计及其性能分析 (12)3.1超混沌系统 (12)3.1.1一个四阶的超混沌系统 (12)3.1.2平衡点及稳定性分析 (13)3.1.3系统相空间轨迹分析 (13)3.2一个新的超混沌系统 (15)3.2.1一个新的超混沌系统的设计 (15)3.2.2系统相空间轨迹分析 (16)3.2.3李雅普诺夫指数分析 (17)3.2.4系统的电路设计和实验结果 (17)结论 (23)参考文献 (24)i谢辞 (25)ii引言混沌科学是一门新兴的学科，混沌（Chaos）是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需要附加任何随机因素亦可出现的行为（内在随机性）。

蔡氏电路MATLAB混沌仿真

蔡氏电路的Matlab混沌仿真研究班级：姓名：学号：摘要本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。

通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。

最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。

关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真AbstractThis paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation1、引言混沌理论的基本思想起源于20世纪初，完善于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80年代，被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域第三次大革命。