可线性化的回归分析优秀课件
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线性回归分析PPT
分析宏观经济因素对微观 经济主体的影响，为企业 决策提供依据。
评估政策变化对经济的影 响，为政策制定提供参考。
市场分析
STEP 02
STEP 03
评估市场趋势和竞争态势， 为企业战略规划提供支持。
STEP 01
分析消费者行为和偏好， 优化产品设计和营销策略。
预测市场需求和销售量， 制定合理的生产和销售计 划。
参数解释
(beta_0) 是截距项，表示当所有自变量值为0时，因变量的值；(beta_1, beta_2, ..., beta_p) 是斜率项，表示自 变量变化一个单位时，因变量变化的单位数量。
线性回归分析的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系， 即它们之间的关系可以用一条直线近 似表示。
01
02
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它 们之间没有高度的相关性，每个自变 量对因变量的影响是独特的。
03
无异方差性
误差项的方差不随自变量的值变化。
无随机性
误差项是随机的，不包含系统的、可 预测的模式。
05
04
无自相关
误差项之间不存在自相关性，即一个 误差项与另一个误差项不相关。
Part
02
线性回归模型的建立
确定自变量与因变量
01
根据研究目的和数据特征，选择 与因变量相关的自变量，并确定 自变量和因变量的关系。
02
考虑自变量之间的多重共线性问 题，避免选择高度相关的自变量 。
散点图与趋势线
通过绘制散点图，观察自变量与因变 量之间的关系，了解数据的分布和趋 势。
根据散点图的分布情况，选择合适的 线性回归模型，如简单线性回归或多 元线性回归。
2021_2022学年高中数学第一章统计案例1.3可线性化的回归分析课件北师大版选修1_2
0.47
y
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
0.10
0.37
试求y对x的回归方程.
思路分析:对题中所给的公式 y=Ae (b<0)两边取自然对数,通过
换元将其转化为含有x的一次方程,即两个新变量形成的线性回归
方程,求出回归方程中的参数值,再通过一次变换把原参数值求出
来即得要求的回归方程.
探究一
当 x0=0.038 时,y0≈41.95,即 y0 的值约为 41.94.
44.444 4
49.2
探究一
探究二
思维辨析
未知函数类型的非线性回归分析
【例2】为了研究某种细菌繁殖的个数y随时间x变化的情况,收
集数据如下:
天数 x
繁殖个数 y
1
6
2
12
3
25
4
49
5
95
6
190
(1)用天数作为解释变量,繁殖个数作为预报变量,作出这些数据
状,有时不太容易辨别,可采用多种模型拟合,并转变为线性回归关
系.利用线性相关系数来检验用哪一种拟合效果较好,就用哪一种
模型.
【做一做】 (1)下列两个变量之间的关系不是函数关系的是
(
)
A.角度和它的余弦值
B.正方形的边长和面积
C.正n边形的边数和各内角度数之和
D.人的年龄和身高
(2)两个变量的散点图如图所示,可应用的函数类型是(
探究二
思维辨析
已知模拟函数类型的可线性化回归分析
【例1】 在彩色显影中,由经验可知,形成染料的光学密度y与析
出银的光学密度x由公式 y=Ae (b<0) 表示,现测得试验数据如下:
新培优高中数学选修课件第一章可线性化的回归分析
斜率项
表示自变量每变化一个单位时 因变量的平均变化量，反映回
归直线的倾斜程度。
相关系数
表示自变量与因变量之间的线 性相关程度，取值范围为[1,1]。
决定系数
表示回归直线对观测数据的拟 合程度，取值范围为[0,1]。
实际操作中注意事项和误区提示
数据预处理
在进行可线性化变换前，需要 对数据进行清洗、整理和标准
弹性网回归
结合岭回归和Lasso回 归，同时引入L1和L2正 则化项，既能实现变量 的自动选择，又能保持 回归系数的稳定性。
案例分析：优化前后效果对比
案例背景
初始模型
选择一个实际的数据集，如房价预测、股 票收益预测等，介绍数据的来源和预处理 过程。
建立初始的回归模型，如多元线性回归模 型，并展示模型的拟合效果和预测精度。
交叉验证
将数据集分为训练集和验证集，通过多次迭代训练和验证 ，选择平均误差最小的模型。
逐步回归法在模型优化中应用
1 2
向前选择法
从无变量开始，逐步引入对响应变量影响最大的 变量，直到新引入的变量不再显著为止。
向后剔除法
从全变量开始，逐步剔除对响应变量影响最小的 变量，直到剩余的变量都显著为止。
3
逐步回归法
结合向前选择法和向后剔除法，每一步都考虑引 入或剔除变量，以达到最优的模型。
岭回归、Lasso等正则化技巧简介
岭回归
通过引入L2正则化项， 使得回归系数尽量小且 均衡，适用于变量之间 存在多重共线性的情况 。
Lasso回归
通过引入L1正则化项， 使得部分回归系数压缩 为0，实现变量的自动 选择，适用于需要进行 特征选择的情况。
假设条件
多元线性回归模型同样需要满足误差项独立同分布、期望为零、方差恒定等假设条件，同 时还需要考虑自变量之间的多重共线性问题。
2021年高中数学1.1.3可线性化的回归分析课件人教A版选修1_2.ppt
2．常见的函数模型及其转化 常见的函数模型有：幂函数曲线y＝axb；指数曲线y＝
b
aebx；倒指数曲线y＝ae x ；对数曲线y＝a＋blnx.
(1)幂函数曲线、指数曲线、倒指数曲线中的a的取值都
为正值．若a为负值，则其图像应相应地关于x轴对称．
(2)在将非线性曲线转化为线性函数时，通常要对幂指 数式子两边取对数，将指数“移挪”下来，变为一次式， 即线性函数关系．
合作探究
已知模拟函数类型确定解析式
【例 1】 我国 1950～1959 年人口数据资料如下表所 示：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
t/年 人口 55 56 57 58 60 61 62 64 65 67 y/万人 196 300 482 796 266 456 828 563 994 207
若 y 与 t 之间满足 y＝aeb(t－1 950)的关系，求函数解析式．若 按此增长趋势，问我国 2012 年人口将达到多少亿？
【思路探究】 本题中已知函数模型的类型，可通过变 形转化为线性关系，从而求出．
【尝试解答】 设 u＝lny，c＝lna，t′＝t－1 950，则 u＝c＋bt′.u 与 t′之间的关系数据如下表：
t′ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.9 10.9 10.9 10.9 11.0 11.0 11.0 11.0 11.0 11.1
u 18 6 38 4 59 2 81 8 06 5 26 1 48 2 75 4 97 3 15 5
t ′ ＝4.5， u ＝11.016 7，
u＝10.916 4＋0.022 3×(2 012－1 950)＝12.299， ∴y＝e12.299≈219 476.40(万人)， 即如果按此增长趋势，到 2012 年将达到 21.947 640 亿 人．
可线性化的回归分析PPT学习教案
即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
第16页/共46页
y eu e5.056 e0.138x
对上表数据求线性回归方程得：c 5.056 ,b 0.138 , 即： u 5.056 0.138 x
第17页/共46页
由此可得：y eu e5.056 e0.138x ，曲线如图：
第14页/共46页
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。
而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
第15页/共46页
分析： 考虑函数y aebx 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y lna bx
设 u ln y, c lna ，则上式变为 u c bx ，
曲线图形
变换后的 变换公式
线性函数
c＝ln a v＝1x
u＝ln y
u＝c＋bv
第34页/共46页
自主交流：
曲线方程 曲线图形
y＝a＋ bln x
变换公 变换后的
式
线性函数
u＝a＋bv
v＝ln x u＝y
第35页/共46页
【解题流程】
第36页/共46页
【练习】 电容器充电后，电压达到100
V，然后开始放电，由经验知道，
y2i
1
4 16 64
16
256
2
2 12 24
4
144
3
1
5
5
1
25
4
0.5 2
1
0.25
4
5
0.25 1 0.25 0.062 5
1
∑
7.75 36 94.25 21.312 5 430
第16页/共46页
y eu e5.056 e0.138x
对上表数据求线性回归方程得：c 5.056 ,b 0.138 , 即： u 5.056 0.138 x
第17页/共46页
由此可得：y eu e5.056 e0.138x ，曲线如图：
第14页/共46页
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。
而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
第15页/共46页
分析： 考虑函数y aebx 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y lna bx
设 u ln y, c lna ，则上式变为 u c bx ，
曲线图形
变换后的 变换公式
线性函数
c＝ln a v＝1x
u＝ln y
u＝c＋bv
第34页/共46页
自主交流：
曲线方程 曲线图形
y＝a＋ bln x
变换公 变换后的
式
线性函数
u＝a＋bv
v＝ln x u＝y
第35页/共46页
【解题流程】
第36页/共46页
【练习】 电容器充电后，电压达到100
V，然后开始放电，由经验知道，
y2i
1
4 16 64
16
256
2
2 12 24
4
144
3
1
5
5
1
25
4
0.5 2
1
0.25
4
5
0.25 1 0.25 0.062 5
1
∑
7.75 36 94.25 21.312 5 430
高中数学 1.1 第2课时可线性化的回归分析课件 北师大版选修12
第二十七页，共41页。
函数模型(móxíng)的选取
某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有 关，经统计得到数据如下：
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数1x之间是否具有 线性相关关系，如有，求出 y 对 x 的回归方程．
若y与t之间满足y＝aebt关系(guān xì)，求函数解析式，若按 此增长趋势，估计大约在哪一年我国人口达到14亿？
[分析] 函数模型为指数函数，可转化为线性相关关系 (guān xì)，从而求出．
[解析] 设μ＝lny，c＝lna，则μ＝c＋bt.
t
0
1
2
3
4
μ 10.918 6 10.938 4 10.959 2 10.981 8 11.006 5
设__u_＝__ln__y，__c_＝__ln_a______，则转化为线性关系：u＝c＋bx.
第十一页，共41页。
b
(3)倒指数曲线 y＝aex . 其散点图在如下图所示曲线附近．
设_u_＝__l_n_y_，__c_＝__ln_a_，__v_＝__1x___，则转化为线性关系：u＝c＋ bv.
第十二页，共41页。
58≈0.09，
c＝ u －b x ＝4.226 58－0.09×3.5＝3.911 58，
∴u＝3.911 58＋0.09x. ∴y＝e3.911 58＋0.09x.
第十八页，共41页。
典例探究学案
第十九页，共41页。
给定函数(hánshù)模型，求回归方程
可线性化的回归分析课件
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
正式作业
课本P86习题3- 1 第3 ，4题。
第三章 §1
第三章 §1
成才之路 ·高中新ຫໍສະໝຸດ 程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
4 ．常见的非线性回归模型转化为线性回归模型如下： (1)幂函数曲线y＝axb 作变换u＝lny ，v＝lnx ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bv. (2)指数曲线y＝aebx 作变换u＝lny ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bx.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
(2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm、体重82kg 的在校女生的体重是否正常？
[ 分析 ] 由样本点画出散点图，找出拟合函数曲线，转
化为线性回归模型解题．注意最后要将中间变量值用x代换．
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
[解析] (1)根据上表中的数据画出散点图如图所示．
由图可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝ ec1 ＋c2x 的周围，其中c1和c2是待定的参数，令z＝lny，变 换 后的样本数据表如下：
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 y 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
正式作业
课本P86习题3- 1 第3 ，4题。
第三章 §1
第三章 §1
成才之路 ·高中新ຫໍສະໝຸດ 程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
4 ．常见的非线性回归模型转化为线性回归模型如下： (1)幂函数曲线y＝axb 作变换u＝lny ，v＝lnx ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bv. (2)指数曲线y＝aebx 作变换u＝lny ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bx.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
(2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm、体重82kg 的在校女生的体重是否正常？
[ 分析 ] 由样本点画出散点图，找出拟合函数曲线，转
化为线性回归模型解题．注意最后要将中间变量值用x代换．
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
[解析] (1)根据上表中的数据画出散点图如图所示．
由图可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝ ec1 ＋c2x 的周围，其中c1和c2是待定的参数，令z＝lny，变 换 后的样本数据表如下：
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 y 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
线性回归分析教程PPT课件
实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
2018年高中数学北师大版选修2-3课件：1.3 可线性化的回归分析
∑ ������������������������-6������ ������
2 ∑ ������2 -6������ ������ ������ =1 6
∑ ������2 ������ -10������
10
≈0.999 8.
2
由此可以得出 u 与 y 之间具有较强的线性相关关系.回归系数
∑ ������������������������-10������ ������
������ =1 10
b= ������=1 10
∑ ������2 ������ -10������
1.3
可线性化的回归分析
-1-
学习目标导航
基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
1.通过对典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应 用. 2.结合具体的实际问题,了解可线性化回归问题的解题思路. 3.体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用.
学习目标导航
基础知识梳理
6
6 4.418 8
∑ xi=21, ∑ ui≈25.361
6 2 2, ∑ ������������ =91, ∑ ������������2 ≈107.347 ������ =1 ������=1
6, ∑ xiui≈90.344
������ =1
2,������ =3.5,������ ≈4.226 9,
则 x,y 之间的关系可以选用函数 答案:y=x2
进行拟合.
学习目标导航
基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
2.对于非线性回归模型如果能化为线性回归模型,则可先将其转化为 线性回归模型,从而得到相应的回归方程. (1)幂函数曲线 y=ax .作变换 u= ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数 u=c+bv. (2)指数曲线 y=ae .作变换 u=ln y,c=ln a,得线性函数 u=c+bx. (3)倒指数曲线
2 ∑ ������2 -6������ ������ ������ =1 6
∑ ������2 ������ -10������
10
≈0.999 8.
2
由此可以得出 u 与 y 之间具有较强的线性相关关系.回归系数
∑ ������������������������-10������ ������
������ =1 10
b= ������=1 10
∑ ������2 ������ -10������
1.3
可线性化的回归分析
-1-
学习目标导航
基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
1.通过对典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应 用. 2.结合具体的实际问题,了解可线性化回归问题的解题思路. 3.体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用.
学习目标导航
基础知识梳理
6
6 4.418 8
∑ xi=21, ∑ ui≈25.361
6 2 2, ∑ ������������ =91, ∑ ������������2 ≈107.347 ������ =1 ������=1
6, ∑ xiui≈90.344
������ =1
2,������ =3.5,������ ≈4.226 9,
则 x,y 之间的关系可以选用函数 答案:y=x2
进行拟合.
学习目标导航
基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
2.对于非线性回归模型如果能化为线性回归模型,则可先将其转化为 线性回归模型,从而得到相应的回归方程. (1)幂函数曲线 y=ax .作变换 u= ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数 u=c+bv. (2)指数曲线 y=ae .作变换 u=ln y,c=ln a,得线性函数 u=c+bx. (3)倒指数曲线
高二数学北师大版选修1-2 可线性化的回归分析 课件(32张)
u 20.000 16.667 4.000 v -2.303 -1.966 0
3.226 0.113
14.286 10.000 -1.470 -0.994
u 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128
v 0.174 0.223 -0.528 -0.236 0.255
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟已知曲线类型进行回归分析的步骤: (1)将非线性函数通过变量代换转化为线性函数. (2)将所给数据点加以转换. (3)按最小二乘法原理求线性回归方程并进行检验. (4)将线性回归方程转换为关于原始变量x,y的回归方程. (5)依据回归方程作出预报.
探究一
探究二
思维辨析
1.1.3 可线性化的回归分析
学习目标
思维脉络
1.进一步了解回归分析的 基本思想,明确建立回归模 型的基本步骤. 2.会将非线性回归模型通 过变换转化为线性回归模
型,进而进行回归分析.
一、非线性回归分析 对于一些特殊的非线性函数,可以通过变量替换,把非线性回归 转化为线性回归,然后用线性回归的方法进行研究,最后再通过相 应的变换得到非线性回归方程. 名师点拨非线性相关的变量,确定回归模型的方法: 首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布在某个带 状区域内,则两个变量不呈现线性相关关系,不能直接利用线性回 归方程来建立两个变量之间的关系,这时可以根据已有函数知识, 观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系,选定适当的回归 模型.
u=c+bv
v=ln x u=y
u=a+bv
特别提醒常见的几种函数模型的解析式在转变为线性相关关系 时,要根据函数式的特点,灵活地换元转变为线性函数关系.在使用 常见的几种模型时要注意散点图的形状符合哪一种类型曲线的形 状,有时不太容易辨别,可采用多种模型拟合,并转变为线性回归关 系.利用线性相关系数来检验用哪一种拟合效果较好,就用哪一种 模型.
高中数学选修2-3 北师大版 可线性化的回归分析 ppt课件(26张)
身高 x/cm 120 130 140 150 160 170 体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
≈0.999 8.
������∑1=01���������2��� -10������2 ������∑1=01���������2��� -10������2
由此可以得出 u 与 y 之间具有较强的线性相关关系.回归系数
10
b= ������∑=������∑1=10���1���������������������2������ ������--1100������������2������≈8.973,
a=3.14-8.973×0.224 5≈1.126, ∴y=8.973u+1.126. ∴y 对 x 的回归方程为 y=8.9������73+1.126.
根据原始数据求拟合函数应注意的事项 剖析:(1)可先由原始数据作散点图. (2)对于一些函数模型的图形要熟悉. 如:①幂函数曲线 y=axb.
【做一做 1】 x,y 的取值如下表:
x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5 3.2 3.98 4.82
则 x,y 之间的关系可以选用函数 答案:y=x2
进行拟合.
2.对于非线性回归模型如果能化为线性回归模型,则可先将其转化为 线性回归模型,从而得到相应的回归方程.
u=c+bv.
(4)对数曲线 y=a+bln x.作变换 v=ln x,得线性函数 y=a+bv.
【做一做 2】 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统 计得到数据如下:
2017-2018版高中数学 第三章 统计案例 1.3 可线性化的回归分析课件 北师大版选修2-3
第三章 §1 回归分析
1.3 可线性化的回归分析
学习目标
1.理解回归分析的基本思想. 2.通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 常见的可线性化的回归模型
幂函数曲线 y＝axb ，指数曲线 y＝aebx .
b
倒指数曲线 y＝a e x ，对数曲线 y＝a＋bln x .
答案
思考2
如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答案 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换， 先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回 归方程.
答案
梳理
在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系， 它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系.在某些情况下可以 借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系.
D.y＝x－1
解析 由数据可得四个点都在曲线 y＝1x＋1 上.
1234
解析 答案
4.某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关 系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式为 y＝e3.910 3＋0.090 5x .
月份x/月 1 2 3 4 5 6
人数y/人 52 61 68 74 78 83
由经验知，y与
1 x
之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方
程，当x0＝0.038时，预测y0的值.
解答
类型二 选取函数模型，求回归方程
例2 下表所示是一组试验数据：
x 0.5 0.25
1 6
0.125 0.1
y 64 138 205 285 360
1.3 可线性化的回归分析
学习目标
1.理解回归分析的基本思想. 2.通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 常见的可线性化的回归模型
幂函数曲线 y＝axb ，指数曲线 y＝aebx .
b
倒指数曲线 y＝a e x ，对数曲线 y＝a＋bln x .
答案
思考2
如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答案 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换， 先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回 归方程.
答案
梳理
在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系， 它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系.在某些情况下可以 借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系.
D.y＝x－1
解析 由数据可得四个点都在曲线 y＝1x＋1 上.
1234
解析 答案
4.某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关 系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式为 y＝e3.910 3＋0.090 5x .
月份x/月 1 2 3 4 5 6
人数y/人 52 61 68 74 78 83
由经验知，y与
1 x
之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方
程，当x0＝0.038时，预测y0的值.
解答
类型二 选取函数模型，求回归方程
例2 下表所示是一组试验数据：
x 0.5 0.25
1 6
0.125 0.1
y 64 138 205 285 360
北师大版数学高二课件 3.1.3 可线性化的回归分析
由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近， 所以可用线性回归方程来拟合.
由z与x的数据表，可得线性回归方程： z＝0.848＋0.81x， 所以y与x之间的非线性回归方程为 y＝e0.848＋0.81x.
反思与感悟 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的 散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换， 作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.
解 根据题干表中数据画出散点图如图所示.
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x 的周围， 于是令z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示.
题型三 非线性回归模型的综合应用 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 试建立y与x之间的回归方程.
广告费
2
4
5
6
8
销售额 30 40 60 50 70
1234
则广告费与销售额间的相关系数为( )
A.0.819
B.0.919
C.0.923
D.0.95
答案 B
1234
3.根据统计资料，我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生 产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
由z与x的数据表，可得线性回归方程： z＝0.848＋0.81x， 所以y与x之间的非线性回归方程为 y＝e0.848＋0.81x.
反思与感悟 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的 散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换， 作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.
解 根据题干表中数据画出散点图如图所示.
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x 的周围， 于是令z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示.
题型三 非线性回归模型的综合应用 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 试建立y与x之间的回归方程.
广告费
2
4
5
6
8
销售额 30 40 60 50 70
1234
则广告费与销售额间的相关系数为( )
A.0.819
B.0.919
C.0.923
D.0.95
答案 B
1234
3.根据统计资料，我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生 产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
【课堂新坐标】高中数学 3.1.3 可线性化的回归分析名师课件 北师大版选修2-3
则 x、y 之间的关系可以选用函数________进行拟合． 【解析】 作出散点图
从图中可以看出，可选用 y＝x2 来进行拟合． 【答案】 y＝x2
4．在试验中得到变量 y 与 x 数据如下表： x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2
(4)对数曲线 y＝a＋bln x，则作变换 v＝ln x，得线性函数 y＝ a＋bv .
已知模拟函数求其解析式
某地今年上半年患某种传染病人数 y 与月份 x 之间满足的函数关系模型为 y＝aebx，确定这个函数解析式．
月份 x 1 2 3 4 5 6 人数 y 52 61 68 74 78 83 【思路探究】 函数模型为指数型函数，可转化为线性 函数，从而求出．
【思路点拨】 (1)可直接依据表中数据画出散点图；(2) 可利用换元法，将两个变量转化为两个新的变量且成线性关 系；得出关系式，再转化为 x，y 的关系式；(3)利用(2)中的式 子，即可求出．
【规范解答】 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分 布在某一条指数函数曲线 y＝c1ec2x 的周围，其中 c1、c2 为待 定的参数．
身高 x/cm 60 70 80 90 100 110 体重 y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高 x/cm 120 130 140 150 160 170 体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)画出散点图；
(2)能否建立适当的函数模型使它能比较近似地反映这个 地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系？试写出这 个函数模型的解析式；
从图中可以看出，可选用 y＝x2 来进行拟合． 【答案】 y＝x2
4．在试验中得到变量 y 与 x 数据如下表： x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2
(4)对数曲线 y＝a＋bln x，则作变换 v＝ln x，得线性函数 y＝ a＋bv .
已知模拟函数求其解析式
某地今年上半年患某种传染病人数 y 与月份 x 之间满足的函数关系模型为 y＝aebx，确定这个函数解析式．
月份 x 1 2 3 4 5 6 人数 y 52 61 68 74 78 83 【思路探究】 函数模型为指数型函数，可转化为线性 函数，从而求出．
【思路点拨】 (1)可直接依据表中数据画出散点图；(2) 可利用换元法，将两个变量转化为两个新的变量且成线性关 系；得出关系式，再转化为 x，y 的关系式；(3)利用(2)中的式 子，即可求出．
【规范解答】 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分 布在某一条指数函数曲线 y＝c1ec2x 的周围，其中 c1、c2 为待 定的参数．
身高 x/cm 60 70 80 90 100 110 体重 y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高 x/cm 120 130 140 150 160 170 体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)画出散点图；
(2)能否建立适当的函数模型使它能比较近似地反映这个 地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系？试写出这 个函数模型的解析式；
1.3可线性化回归分析课件
21
27
3.178
24
29
4.190
66
32
4.745
115
35
5.784
325
由计算器得：z关于x的线性回归方程
为
zˆ=0.272x-3.849
,
yˆ
e0.272x-3.849
.
2.8 2.4
z
2
相关系数R2=0.98
1.6
1.2
当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归
0.8 0.4
x
模型中温度解释了98.5%的产卵数的
i=1
i 1
i 1
i=1
R2 1 3.1643 0.9999.
25553.3
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.
练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万
元），有如下的统计资料。
若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：
（1）线性回归方程 yˆ bˆx aˆ 的回归系数 aˆ、bˆ ；
当x=28时，y=0.367×282-
202.54≈85，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。
产卵数y/个
350 300 250 200 150 100
50 0 0
t
150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350
合作探究
指数函数模型
（2）求残差平方和；
R （3）求相关系数 2；
（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解：（1）由已知数据制成表格。
i
xi
yi
xi yi
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， 母亲身高 cm 154 157 158 159 160 161 16259 162 161 164 165 166
解： x 1 5 4 1 5 7 1 6 3 8 1 5 9 .2 5
y 1 5 5 1 5 6 1 6 6 8 1 6 1
8
x i2 8 (x )21 5 4 2 1 6 3 2 8 1 5 9 .2 5 2 5 9 .5
i 1 8 ， y i2 8 (y )21 5 5 2 1 6 6 2 8 1 6 1 2 1 1 6
8
i 1
x iy i 8 x y 1 5 4 1 5 5 1 6 3 1 6 6 8 1 5 9 .2 5 1 6 1 8 0
yi2 ny2
i1
i1
，其中 1r1。
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高；
r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0时，两变量正相关； 当 r 0时，两变量负相关； 当 r 0时，两变量线性不相关。
练习
1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试 根据这些数据探讨y与x之间的关系．
可线性化的回归分析优秀课件
复习回顾
n
n
(xi x)(yi y)
xi yi nxy
b i1 n
，
(xi x)2
i1
i1 n xi2 n(x)2 i1
a y bx
其中
x
1 n
n i1
xi
y
1 n
n i1
yi
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
n
xi yi nxy
r
i1
n
n
xi2 nx2
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。
而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
分析： 考虑函数 y aebx来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：lnylnabx
i 1
所以：r
80 0.96
59.5116
所以可以认为 x 与 y 之间具有较强的线性相关
关系．线性回归模型y=a+bx中的 8
a
,
b
，
xi yi 8x y
b
i 1 8
xi2 8
x
2
1.．345, aybx53.191
i 1
线性回归方程为 y 5.1 3 9 1 .3 1x 4
新课讲解
思考交流
b
3. 倒指数曲线：y ax x
(a0,b0)
(a0,b0)
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
4. 对数曲线：yablnx
b0
b0
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
设 uln y,cln a，则上式变为 ucbx，
即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
yeue5.056e0.13x8
对上表数据求线性回归方程得：c5.05,6b0.13,8
即： u5.05 06 .13 x8
由此可得：yeue5.056e0.13x8，曲线如图：
这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。
将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。 1.幂函数：y axb
(a1,b0)
(a1,b0)
作变换 u ln y ,v ln x ,c ln a ,
得线形函数 ucbv。
2. 指数曲线：y aebx
(a0,b0)
(a0,b0)
作变换 ulny,clna, 得线形函数 ucbx。