2019年高考理科数学二轮复习专题立体几何解题方法与技巧总结
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考向二 球与多面体的切接问题
【高考改编☆回顾基础】
1.【球与多面体的切接、面积与体积】【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若
这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为
.
【答案】 9 2
2．【球与多面体的切接、面积与体积】【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面
【典例分析☆提升能力】
【例 1】17 世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数
k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，
对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式 V＝kD3，其中，在等边
2019 年高三二轮复习 理科数学
专题五 立体几何
考向一 三视图与几何体的面积、体积
【高考改编☆回顾基础】
1．【数学文化与三视图】【2018 年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫 榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件 咬合成长方 体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
∴O 到平面 ABC 的距离为 2 ， 2
故 V 到平面 ABC 的最大距离为 2 1 ． 2
又 C 到 AB 的最大距离为 2 ， 2
∴三棱锥 V﹣ABC 的体积的最大值为 1 1 32
2
2 2
2 2
1
=2 2 ． 12
故答案为： 2 2 ． 12
【趁热打铁】在封闭的直三棱柱 ABC-A B C 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA =3,则 V 的最大
，在四棱锥
中，
，
由勾股定理可知：
，则在四棱锥中，直角三角形有：
共
三个，故选 C.
2
【命题预测☆看准方向】
1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体 的面积、体积以及几何体的结构特征,题型以选择题、填空题的形式考查. 2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高 考的一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查. 3.2019 年应注意抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有四个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积; 二是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的相切、接问题中的有关几何体的表面积、 体积；四是立体几何与数学文化相结合的问题.
得其体积为V
1 3
1 2
2
4
4
1 2
1 3
22
4
8
16 3
.选
A.
【方法总结☆全面提升】
1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. 画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. 2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有 面的面积,在计算时要注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋 转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和. 3. 等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来 解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.
()
A. π 27
B. 8π 27
【答案】B
C. π 3
D. 2π 9
【解析】
如图所示，设圆柱的半径为 r ，高为 x ，体积为V ，由题意可得 r 2 x ，所以 x 2 2r ，所以圆柱的 12
体积V r2 2 2r 2 r2 r3 0 r 1 ，设V r 2 r2 r3 0 r 1 ，则
正三角形且和球心 在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为
【答案】
【解析】
与球心 在同一平面内， 是 的外心，
设球半径为 ，
则 的边长
，
的所有顶点都在同一球面上，底面 是 ，则球 的表面积等于__________．
，
7
当 到 所在面的距离为球的半径 时， 体积最大，
， ，
球表面积为
，故答案为 .
【趁热打铁 】已知 S, A, B,C 是球 O 上的点 SA 平面ABC ， AB BC , SA AB 1， BC 2 , 则球 O 的表面积等于________________． 【答案】 4
术》中记载 “刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形， 顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰 梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑 厚度）需要的茅草面积至少为（ ）
4
A. 24 B. 32 5 C. 64 [
下面及母线均相切.记圆柱
O1
,
O2
的体积为
V1
,球
O
的体积为
V2
,则
V1 V2
的值是
.
O2
O
O1
(第 6 题)
【答案】 3 2
【命题预测☆看准方向】
球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或 填空题，难度以低、中档为主.
【典例分析☆提升能力】
【例 1【四川省泸州市 2019 届高三第一次诊断】已知三棱锥
A．
B．
【答案】A
【解析】
C．
D．
观擦图形图可知，俯视图为
故答案为 A.
2. 【三视图与空间几何体的体积】【2018 年浙江卷改编】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几
何体的体积（单位：cm3）是
.
1
【答案】6
3. 【空间几何体的体积】【2018 年全国卷 II 文】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】【2016·全国卷Ⅰ改编】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直 的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是________．
5
【规范解答】该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为 r，则78×43πr3＝283π，解得 r＝2，故该几何 体的表面积为78×4π×22＋34×π×22＝17π. 【反思提高】在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正 视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图 中观察者与几何体的相 对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽 相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸. 【误区警示】 1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方 法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.
表面积为 4 的球面上，球心 O 在 AB 上， SO 平面 ABC ， AC 2 ,则三棱锥 S ABC 的体积 3
【解析】如图所示,设球的半径为 r,则 4 r2 4 ，解得 r=1.
∵OC2+OA2=2=AC2，∴OC⊥OA.
∵球心 O 在 AB 上，SO⊥平面 ABC，
面所成角为 ，若
的面积为 ，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【解析】
如下图所示，
又
，
解得
，所以
所以该圆锥的体积为
， .
4. 【三视图与空间几何体的结构特征】【2018 年北京文改编】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的 侧面中，直角三角形的个数为
【答案】3
【解析】
由三视图可得四棱锥
111
1
值是( )
A.4π
B.
C.6π
D.
[来
【答案】B
【解析】由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.
设球的半径为 R,易得△ABC 的内切圆的半径为
=2,则 R≤2.因为 2R≤3,即 R≤ ,
所以 Vmax=
,故选 B.
【方法总结☆全面提升】
【答案】 8 2 3
【解析】因为 BD 中点 O 到 A距离为 2 2
，O 到 C 距离为 6 2
，所以
R2
6 2
2
2 2
R
2
R
2，
体积为 4 R3 8 2
3
3
【例 3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求 2017》的题目，请你解答此题：球 O
的球心为点 O，球 O 内切于底面半径为 3 、高为 3 的圆锥，三棱锥 V﹣ABC 内接于球 O，已知 OA⊥OB，AC
【答案】B
D. 32 6
【趁热打铁】【2018 届湖北省稳派教育高三上第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为（ ）
A. 8 16 3
【答案】A
B. 8 16 3
C. 12 6
D. 4 4 3
【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成.由三视图中的数据可
上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表 面积为________．
【答案】 36
【解析】取 SC 的中点 O ，连接 OA,OB
因为 SA AC, SB BC
所以 OA SC,OB SC 因为平面 SAC 平面 SBC
⊥BC，则三棱锥 V﹣ABC 的体积的最大值为_____．
【答案】 2 2 12
【解析】圆锥的母线长为 3 9 =2 3 ，设球 O 的半径为 r，则 r 3 r ， 3 23
9
解得 r=1．
∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB= 2 ，
∵AC⊥BC，∴C 在以 AB 为直径的圆上， ∴平面 OAB⊥平面 ABC，
4 3
D 2
3
6
D3
k1D3,k1
6
；
等边圆柱中，
V
D 2
2
D
4
D3
k2D3,k2
； 4
正方体中， V D3 k3D3, k3 1；
3
所以
k1
:
k2
:
k3
6
:
4
:1
1:
3 2
:
6
.故选
D.
【趁热打铁】将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为
则三棱锥的底面积：
S
ABC
1 21 1， 2
三棱锥的体积：
V
1S 3
ABC
SO
1 3
11
1 3
.
8
故答案为： 1 . 3
【趁热打铁】【2018 届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图 1，在平面 ABCD 中，AB=AD=CD=1，
BD= 2 , BD CD ,将其对角线 BD 折成四面体 A BCD ,如图 2，使平面 ABD 平面 BCD,若四面体 A BCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为____________
【解析】
由已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点，所以 OA OB OC OS ，又 SA 平面ABC ， AB BC ，所以
四面体 S ABC 的外接球半径等于以长宽高分别以 SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为
SA AB 1， BC 2 ,所以 2R= SA2 AB2 BC2 2, R 1，所以球 O 的表面积 S 4 R2 4 . 【例 2】【2018 届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知三棱锥 S ABC 的各顶点在一个
圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、
正方体的“玉积率”分别为 k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝( )
A. ∶ ∶1 46
B. ∶ ∶2 64
C. 1∶3∶ 12
D. 1∶ 3 ∶ 6 2
【答案】D
【解析】球中，
V
4 R3 3
V 'r 2
2r 3r2
，由 2
2r 3r2
0得r 2 ， 3
V
r
在
0，2 3
上递增，
V
r
在
2 3
，1
上递
减，所以圆柱的最大体积Vmax
2
2 2 3
2 3
3
8 27
，故选
B.
【例 2】【2018 届河南省郑州市第一次模拟】刍薨（ chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算
6
所以 OA 平面 SBC
设 OA r
VASBC
1 3
SSBC
OA
1 1 2r r r 32
1 r3 3
§网]
所以 1 r3 9 r 3 ，所以球的表面积为 4 r2 36 3
3. 【球与旋转体的切接、面积与体积】【2017 江苏，6】 如图,在圆柱 O1, O2 内有一个球 O ,该球与圆柱的上、
【高考改编☆回顾基础】
1.【球与多面体的切接、面积与体积】【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若
这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为
.
【答案】 9 2
2．【球与多面体的切接、面积与体积】【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面
【典例分析☆提升能力】
【例 1】17 世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数
k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，
对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式 V＝kD3，其中，在等边
2019 年高三二轮复习 理科数学
专题五 立体几何
考向一 三视图与几何体的面积、体积
【高考改编☆回顾基础】
1．【数学文化与三视图】【2018 年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫 榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件 咬合成长方 体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
∴O 到平面 ABC 的距离为 2 ， 2
故 V 到平面 ABC 的最大距离为 2 1 ． 2
又 C 到 AB 的最大距离为 2 ， 2
∴三棱锥 V﹣ABC 的体积的最大值为 1 1 32
2
2 2
2 2
1
=2 2 ． 12
故答案为： 2 2 ． 12
【趁热打铁】在封闭的直三棱柱 ABC-A B C 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA =3,则 V 的最大
，在四棱锥
中，
，
由勾股定理可知：
，则在四棱锥中，直角三角形有：
共
三个，故选 C.
2
【命题预测☆看准方向】
1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体 的面积、体积以及几何体的结构特征,题型以选择题、填空题的形式考查. 2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高 考的一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查. 3.2019 年应注意抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有四个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积; 二是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的相切、接问题中的有关几何体的表面积、 体积；四是立体几何与数学文化相结合的问题.
得其体积为V
1 3
1 2
2
4
4
1 2
1 3
22
4
8
16 3
.选
A.
【方法总结☆全面提升】
1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. 画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. 2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有 面的面积,在计算时要注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋 转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和. 3. 等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来 解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.
()
A. π 27
B. 8π 27
【答案】B
C. π 3
D. 2π 9
【解析】
如图所示，设圆柱的半径为 r ，高为 x ，体积为V ，由题意可得 r 2 x ，所以 x 2 2r ，所以圆柱的 12
体积V r2 2 2r 2 r2 r3 0 r 1 ，设V r 2 r2 r3 0 r 1 ，则
正三角形且和球心 在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为
【答案】
【解析】
与球心 在同一平面内， 是 的外心，
设球半径为 ，
则 的边长
，
的所有顶点都在同一球面上，底面 是 ，则球 的表面积等于__________．
，
7
当 到 所在面的距离为球的半径 时， 体积最大，
， ，
球表面积为
，故答案为 .
【趁热打铁 】已知 S, A, B,C 是球 O 上的点 SA 平面ABC ， AB BC , SA AB 1， BC 2 , 则球 O 的表面积等于________________． 【答案】 4
术》中记载 “刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形， 顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰 梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑 厚度）需要的茅草面积至少为（ ）
4
A. 24 B. 32 5 C. 64 [
下面及母线均相切.记圆柱
O1
,
O2
的体积为
V1
,球
O
的体积为
V2
,则
V1 V2
的值是
.
O2
O
O1
(第 6 题)
【答案】 3 2
【命题预测☆看准方向】
球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或 填空题，难度以低、中档为主.
【典例分析☆提升能力】
【例 1【四川省泸州市 2019 届高三第一次诊断】已知三棱锥
A．
B．
【答案】A
【解析】
C．
D．
观擦图形图可知，俯视图为
故答案为 A.
2. 【三视图与空间几何体的体积】【2018 年浙江卷改编】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几
何体的体积（单位：cm3）是
.
1
【答案】6
3. 【空间几何体的体积】【2018 年全国卷 II 文】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】【2016·全国卷Ⅰ改编】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直 的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是________．
5
【规范解答】该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为 r，则78×43πr3＝283π，解得 r＝2，故该几何 体的表面积为78×4π×22＋34×π×22＝17π. 【反思提高】在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正 视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图 中观察者与几何体的相 对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽 相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸. 【误区警示】 1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方 法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.
表面积为 4 的球面上，球心 O 在 AB 上， SO 平面 ABC ， AC 2 ,则三棱锥 S ABC 的体积 3
【解析】如图所示,设球的半径为 r,则 4 r2 4 ，解得 r=1.
∵OC2+OA2=2=AC2，∴OC⊥OA.
∵球心 O 在 AB 上，SO⊥平面 ABC，
面所成角为 ，若
的面积为 ，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【解析】
如下图所示，
又
，
解得
，所以
所以该圆锥的体积为
， .
4. 【三视图与空间几何体的结构特征】【2018 年北京文改编】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的 侧面中，直角三角形的个数为
【答案】3
【解析】
由三视图可得四棱锥
111
1
值是( )
A.4π
B.
C.6π
D.
[来
【答案】B
【解析】由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.
设球的半径为 R,易得△ABC 的内切圆的半径为
=2,则 R≤2.因为 2R≤3,即 R≤ ,
所以 Vmax=
,故选 B.
【方法总结☆全面提升】
【答案】 8 2 3
【解析】因为 BD 中点 O 到 A距离为 2 2
，O 到 C 距离为 6 2
，所以
R2
6 2
2
2 2
R
2
R
2，
体积为 4 R3 8 2
3
3
【例 3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求 2017》的题目，请你解答此题：球 O
的球心为点 O，球 O 内切于底面半径为 3 、高为 3 的圆锥，三棱锥 V﹣ABC 内接于球 O，已知 OA⊥OB，AC
【答案】B
D. 32 6
【趁热打铁】【2018 届湖北省稳派教育高三上第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为（ ）
A. 8 16 3
【答案】A
B. 8 16 3
C. 12 6
D. 4 4 3
【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成.由三视图中的数据可
上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表 面积为________．
【答案】 36
【解析】取 SC 的中点 O ，连接 OA,OB
因为 SA AC, SB BC
所以 OA SC,OB SC 因为平面 SAC 平面 SBC
⊥BC，则三棱锥 V﹣ABC 的体积的最大值为_____．
【答案】 2 2 12
【解析】圆锥的母线长为 3 9 =2 3 ，设球 O 的半径为 r，则 r 3 r ， 3 23
9
解得 r=1．
∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB= 2 ，
∵AC⊥BC，∴C 在以 AB 为直径的圆上， ∴平面 OAB⊥平面 ABC，
4 3
D 2
3
6
D3
k1D3,k1
6
；
等边圆柱中，
V
D 2
2
D
4
D3
k2D3,k2
； 4
正方体中， V D3 k3D3, k3 1；
3
所以
k1
:
k2
:
k3
6
:
4
:1
1:
3 2
:
6
.故选
D.
【趁热打铁】将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为
则三棱锥的底面积：
S
ABC
1 21 1， 2
三棱锥的体积：
V
1S 3
ABC
SO
1 3
11
1 3
.
8
故答案为： 1 . 3
【趁热打铁】【2018 届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图 1，在平面 ABCD 中，AB=AD=CD=1，
BD= 2 , BD CD ,将其对角线 BD 折成四面体 A BCD ,如图 2，使平面 ABD 平面 BCD,若四面体 A BCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为____________
【解析】
由已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点，所以 OA OB OC OS ，又 SA 平面ABC ， AB BC ，所以
四面体 S ABC 的外接球半径等于以长宽高分别以 SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为
SA AB 1， BC 2 ,所以 2R= SA2 AB2 BC2 2, R 1，所以球 O 的表面积 S 4 R2 4 . 【例 2】【2018 届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知三棱锥 S ABC 的各顶点在一个
圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、
正方体的“玉积率”分别为 k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝( )
A. ∶ ∶1 46
B. ∶ ∶2 64
C. 1∶3∶ 12
D. 1∶ 3 ∶ 6 2
【答案】D
【解析】球中，
V
4 R3 3
V 'r 2
2r 3r2
，由 2
2r 3r2
0得r 2 ， 3
V
r
在
0，2 3
上递增，
V
r
在
2 3
，1
上递
减，所以圆柱的最大体积Vmax
2
2 2 3
2 3
3
8 27
，故选
B.
【例 2】【2018 届河南省郑州市第一次模拟】刍薨（ chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算
6
所以 OA 平面 SBC
设 OA r
VASBC
1 3
SSBC
OA
1 1 2r r r 32
1 r3 3
§网]
所以 1 r3 9 r 3 ，所以球的表面积为 4 r2 36 3
3. 【球与旋转体的切接、面积与体积】【2017 江苏，6】 如图,在圆柱 O1, O2 内有一个球 O ,该球与圆柱的上、