高中数学选修2-1北师大版 简单的逻辑联结词(二)复合命题教案
4.1逻辑联结词“且”-北师大版选修2-1教案
4.1逻辑联结词“且”-北师大版选修2-1教案概述逻辑联结词是逻辑学中一种用来连接命题或谓词的符号。
它能够使命题之间产生一定的逻辑关系，而“且”作为逻辑联结词的一种，代表“并且”的意义，常用于连接两个同时成立的条件。
在数学中，“且”通常用“∩”表示，表示集合交运算。
在本教案中将会重点讲解逻辑学中“且”逻辑联结词的使用方式和规律。
目标•通过学习，能够准确使用“且”逻辑联结词来表示两个条件同时成立的情况；•能够结合实际问题运用“且”逻辑联结词进行推理。
学习内容逻辑联结词“且”的定义“且”是逻辑学中的一种联结词，表示“两个条件同时成立”的意义。
在数学中，“且”常用符号“∩”表示，表示集合交运算。
“且”的真值表表达式P Q P∧QT T T T F F F T F F F F从上表可见，“且”联结符的真值表只有在两个命题都为“真”的时候才为“真”，否则为“假”。
“且”的应用•实际问题中可以使用“且”表示两个条件同时成立的情况，例如：小明要同时满足数学和英语均90分以上才能获得奖学金；•在数学上，“且”常用于表示两个集合的交集，例如：设A={2,3,4,5}，B={1,3,5,7}，则A∩B={3,5}。
“且”的运用规律•交换律：P∧Q = Q∧P；•结合律：(P∧Q)∧R = P∧(Q∧R)；•分配律：P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R)；•吸收律：P∧P = P；•推广律：P∨(P∧Q) = P。
实践活动在日常生活和学习中，经常会遇到需要使用“且”逻辑联结符的实际问题。
根据上述内容，结合实际问题，进行以下练习：1.如果学生同时参加了校内20场比赛并获得第一名，则可以获得名校推荐资格。
现在小王同时获得了全部比赛的第一，他是否能够取得名校推荐资格？答案：可以，因为小王满足了同时参加了校内20场比赛并获得第一名的条件，即成立了“参加20场比赛且获得第一名”的命题。
2.如果某群体中只有同时掌握了一门外语和一门计算机技能，才能够被视为高技能群体，那么小李甲掌握了英语和JSP技能，而小王乙掌握了Java和中文，问哪个人或哪些人属于高技能群体？答案：小李甲和小王乙都不在高技能群体，因为小李甲和小王乙掌握的技能不满足同时掌握了一门外语和一门计算机技能这一条件。
4.2逻辑联结词“或”-北师大版选修2-1教案
4.2 逻辑联结词“或”-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.学生能够掌握逻辑联结词“或”的概念和用法；2.学生能够合理运用逻辑联结词“或”进行逻辑推理和分析；3.学生能够分辨常见的“或”式谬误。
二、教学重点和难点1.重点：逻辑联结词“或”的概念和用法；2.难点：分辨常见的“或”式谬误。
三、教学内容1.逻辑联结词“或”的概念和用法；2.“或”的真值表；3.“或”的推理规则；4.“或”式谬误。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解逻辑联结词“或”的概念和用法，让学生初步掌握“或”的基本知识；2.分组讨论法：将“或”的推理规则和“或”式谬误的应用分成若干组提供给学生讨论，让学生在分组中发扬讨论、合作和创新精神；3.情境模拟法：通过案例分析、实例演示等方式，让学生在实际情境中应用“或”的推理规则和分辨“或”式谬误。
五、教学资源1.北师大版选修2-1教材及课件；2.课外阅读材料。
六、教学过程1.导入（5分钟）教师介绍本节课要讲授的内容，并通过一个有趣的问题来引导学生理解“或”的概念，如：假设你有一张演唱会门票，但是你同时被两个不同的人邀请了。
你会怎么做？会将门票给其中一个人还是把门票分成两半送给两个人？为什么？请比较一下这两种做法的利弊和优劣。
2.学习内容（35分钟）2.1 逻辑联结词“或”的概念和用法教师通过PPT讲解“或”的概念和用法，包括“或”的定义、“或”的符号表示法、“或”的类型、“或”的语气及其表现形式等。
2.2 “或”的真值表教师通过具体的例子和问题，让学生理解“或”的真值表及其逻辑关系。
2.3 “或”的推理规则教师介绍并讲解“或”的推理规则，包括并且引导学生思考具体的案例，让学生掌握和熟练运用“或”的推理规则。
2.4 “或”式谬误教师介绍常见的“或”式谬误，包括排中律谬误、虚假二选一谬误、自相矛盾谬误等，让学生能够分辨这些“或”式谬误的应用范围以及分析其错误原因。
3.活动互动（40分钟）3.1 分组讨论教师将“或”的推理规则和“或”式谬误的应用分成若干组提供给学生讨论，并根据讨论情况对学生进行指导和帮助，让每个小组准确理解所掌握的知识。
高中数学(北师大版)选修2-1教案：第1章 逻辑联结词“且”“或”“非” 参考教案2
1.4.3 “非”教学目标知识与技能目标：掌握逻辑联结词“非”的含义；正确应用逻辑联结词“非”解决问题；掌握真值表并会应用真值表解决问题过程与方法目标：观察和思考中，在解题，注重学生思维能力中严密性品质的培养．情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.教学难点：1、正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“￢P”.课时安排：1授课类型：新授课教具准备：优化。
教学过程一、讲评作业二、新课讲授1．问题引入：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；（2）①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
2．归纳定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：￢p。
读作“非p”或“p的否定”。
3．命题“￢p”与命题p的真假间的关系命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？引导学生分析前面所举例子，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；（还可用集合“补“理解）4、命题的否定与否命题的区别命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。
举例：如果命题p:5是15的约数，那么￢p：5不是15的约数；p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
三.例题分析例1 写出下表中各给定语的否定语。
分析：“等于”的否定语是“不等于”；“大于”的否定语是“小于或者等于”；“是”的否定语是“不是”；“都是”的否定语是“不都是”；“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；例2 写出下列命题的否定，判断下列命题的真假（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；（2）p：3＜2；（3）p：空集是集合A的子集。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题教案北师大版选修2-1(2021学年)
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§１.１命题【教学目标】1。
命题的概念 2.能指出命题的条件和结论３.四种命题之间的转化【知识梳理】一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句,叫做 _＿_＿＿___＿__.判断为真的命题是＿____＿＿____,判断为假的命题是__________＿___．二、四种命题的形式原命题:若ｐ，则ｑ(p为命题的条件,q为命题的结论）.逆命题：＿___＿________＿____＿（交换原命题的条件和结论)．否命题:________＿＿____________（同时否定原命题的条件和结论)．逆否命题:_____＿＿__＿＿______＿___（交换原命题的条件、结论之后同时否定它们).三、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题,则它们有___＿____的真假性.若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假性＿＿_＿____.在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或２或4．四、四种命题的关系【典型例题】例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1)空集是任何集合的子集;（２）若整数a是素数,则a是奇数;(３)指数函数是增函数吗?(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行;（5)ｘ〉15.(6)祝大家新年快乐！例2 将下列命题改写成“若ｐ，则q”的形式，并判断真假;（1)垂直于同一条直线的两条直线平行；（２)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(４）等腰三角形两腰的中线相等；(5)偶函数的图像关于y轴对称;(6)垂直于同一个平面的两个平面平行。
4.2逻辑联结词“或”-北师大版选修2-1教案
4.2 逻辑联结词“或”-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.了解逻辑联结词“或”的概念和使用方法；2.能够分别运用排中律和二选一原则解决较为复杂的逻辑问题；3.能够通过分析实际生活中的语境运用“或”解决问题。
二、教学内容1.逻辑联结词“或”；2.排中律和二选一原则的概念和应用。
三、教学重点1.逻辑联结词“或”的含义及使用；2.掌握排中律和二选一原则的概念和运用。
四、教学难点1.运用排中律和二选一原则解决复杂的逻辑问题；2.分析实际生活中的语境运用“或”解决问题。
五、教学过程与方法1. 导入（10分钟）1.引入今天的教学主题：“或”的使用；2.通过一个实际案例，让学生了解逻辑问题解决方法。
2. 演示讲解（30分钟）1.讲解逻辑联结词“或”的概念及含义；2.分别介绍排中律和二选一原则的概念及应用。
3. 案例分析（60分钟）1.提供一系列逻辑问题，要求学生通过排中律和二选一原则解决；2.让学生运用所学知识，分析实际生活中的语境，如何运用“或”解决问题。
4. 课堂总结（10分钟）1.总结本节课的教学内容；2.对学生的表现进行评价。
六、教学评估1.通过课堂练习检测学生是否掌握排中律和二选一原则的应用方法；2.通过实际案例考察学生分析问题、解决问题的能力。
七、教学反思1.本节课的教学目标与授课时间的安排较为合理，学生学习效果较好；2.学生在案例分析过程中表现出了一定的思考能力，但在实际问题的运用中仍然存在一定的挑战；3.下一步可以结合实际生活场景，通过更加具体的案例进行教学，并引导学生自主思考并解决问题。
北师大版高中数学选修2-1教案：1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构.教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。
教学难点：对“或”的含义的理解；教学手段：多媒体知识点用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”.当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p 且q”就是假命题.用逻辑联结词构造新命题例1(1)命题“1不是素数且不是合数”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题.(2)命题“5≥3”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题.(3)命题p“方程x2＋5＝0没有实数根”，则﹁p为________.名师指津1.本例主要训练学生对逻辑联结词“或”“且”“非”的应用，加深对逻辑联结词的理解.所以在解题过程中，不但要注意从结构上组成“p或q”与“p且q”形式的复合命题，同时还应从字面上对语句的表达加以适当地调整.2.命题的否定与命题的否命题的区别：含逻辑联结词的命题的真假判断例2.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假.(1)p：3＞3，q：3＝3；(2)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根.名师指津1.含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：(1)确定它的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假.2.“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假判断可分别对应概括为三句话：“p且q中有假则假”、“p或q中有真则真”“p与﹁p真假相反”.逻辑联结词的应用例3.已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.名师指津1.正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键.由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p，q至少一真.2.充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集.练习1.命题“若a＞b且b＞c，则a＞c”的否定是( )A.若a＞b且b＞c，则a≤c B .若a＞b且b＞c，则a＜cC.若a≤b或b≤c，则a≤cD.若a≤b或b≤c，则a＜c练习2.分别用“p且q”“p或q”“非p”填空：(1)命题“15能被3与5整除”是________形式；(2)命题“16的平方根不是－4”是________形式；(3)命题“李强要么是学习委员，要么是体育委员”是________形式.。
高中数学：1.2 简单的逻辑联结词2-复合命题 教案苏教版选修2-1
A）.U指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：的倍数，也是6的倍数；）李强是篮球运动员或跳高运动员；q的形式，其中复合命题的构成要注意：（1）“p 或q ”、“p 且q ”的两种复合命题中的p和q 可以是毫无关系的两个简单命题（2）“非p ”这种复合命题又叫命题的否定；是对原命题的关键词进行否定；下面给出一些关键词的否定： 正面 语词 或等于大于 小于 是 都是至少一个至多 一个 否定 且 不等于 不大于（小于等于） 不小于（大于等于）不是 不都是一个也 没有至少 两个六、回顾反思本节课讨论了简单命题与复合命题的构成，以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
七、课后练习1．命题“方程x 2＝2的解是x ＝±2是( )A ．简单命题B ．含“或”的复合命题C ．含“且”的复合命题D ．含“非”的复合命题 2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题： （1）x ∈A ∪B ，则x ∈A__________x ∈B ； （2）x ∈A ∩B ，则x ∈A__________x ∈B ；（3）a 、b ∈R ，a ＞0__________b ＞0，则ab ＞0． 3．把下列写法改写成复合命题“p 或q ”“p 且q ”或“非p ”的形式： （1）（a －2）（a+2）=0； （2）⎩⎨⎧==21y x ；（3）a ＞b ≥0．4．已知命题p ：a ∈A ，q ：a ∈B ，试写出命题“p 或q ”“p 且q ”“┐p ”的形式．5．用否定形式填空：(1)a ＞0或b ≤0； (2)三条直线两两相交(3)A 是B 的子集.___________________ (4)a ，b 都是正数.___________ (5)x 是自然数.___________________(在Z 内考虑)6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p １是“第一次射击中飞机”，命题p ２是“第二次射击中飞机”试用p １、p ２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：命题S ：两次都击中飞机； 命题r ：两次都没击中飞机； 命题t ：恰有一次击中了飞机； 命题u ：至少有一次击中了飞机.。
北师大版数学选修2-1教案：第一章+第四节+逻辑连接词或且非(2)
科目:数学教师：授课时间：第周星期年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
北师大版高中数学选修2-1教案
第一讲常用逻辑用语(一)§１命题1.了解命题的概念．（重点）2.掌握四种命题的结构形式．会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(难点）3.熟练判断命题的真假性.(易混点)(1)定义:可以判断，用文字或符号表述的语句叫命题.(2)分类错误!未定义书签。
(3)形式:通常把命题表示为“若p则q”的形式,其中ｐ是,q是．２.四种命题之间的关系互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系.考点一命题及其真假判断例1．命题：“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题 D.等价命题例2.将下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断相应命题的真假．（1)正数ａ的平方根不等于0；(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形.练习1.命题“若x,y都是奇数,则ｘ+y是偶数”的条件为_＿______，结论为______＿_.练习２．①x2-５x+6＝０.②函数ｆ（x)＝ｘ2是偶数.③若ac＞bc则b＞ｃ.④证明x∈R，方程x2＋x+1＝０无实数根．以上语句是命题的为__＿___＿_．练习3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:（１)若a2+b2＝0,则ａ,b都为0;(2）两个奇数的和是偶数.名师指津1．当一个命题不是“若ｐ，则q”的形式时，要先将命题改写成“若ｐ，则q”的形式，明确条件是什么，结论是什么，然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．“都是”的否定是“不都是”;“全是”的否定是“不全是”.考点二四种命题的真假判断例3.设命题为“若m>0，则关于x的方程x２+x-m＝0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题,并分别判断它们的真假．名师指津对一个原命题来说，其逆命题和否命题、原命题和逆否命题同真同假．在进行真假判断时，应抓住四个命题之间的关系，在二者之间选择较简单的命题进行判断．练习1.设命题为：“若q＜1，则方程x２+2ｘ＋q=0有实根”．试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.练习2.将命题“当a＞０时,函数y＝ａx＋b的值随x的增大而增大，”写成“若p,则q”的形式，并写出其否命题.练习３.写出命题“已知x，ｙ为正整数，当y=x+1时，y=3，x=2”的逆命题.基础通关一、选择题1．下列语句不是命题的有()①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2ｘ-1>3.③7+6＝1４. ④两直线平行内错角相等．A.①②B.①③C.②④D.①②③2.若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是( )Ａ．命题ｐ是真命题 B.命题p的否命题是假命题C.命题p的逆否命题是假命题Ｄ．命题p的否命题是真命题3.(20１6·烟台高二检测)命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( )A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D.这个四边形是平行四边形4.（2016·大理高二检测)在下列命题中,真命题是(）A.“x＝２时，x2-３x＋2＝0”的否命题B.“若b＝３,则ｂ2＝9”的逆命题C.若x∈R,则ｘ2+３<0 D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题5．(201６·湖北黄冈调研)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(ｘ）的图像不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.3B.2C.1 ﻩD.0二、填空题６.若命题p的否命题为r,命题ｒ的逆命题为s，则s是ｐ的逆命题t的______＿_命题.7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)=3+lｏg2x的图像与g（x)的图像关于＿___＿___对称，则函数g(x)=_____＿__.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)8.给定下列命题:①“若k>0，则方程ｘ２＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b＞0,c＞d>0，则aｃ＞ｂd；③对角线相等的四边形是矩形; ④若xy=0，则ｘ、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是__＿_____．三、解答题9.（2016·苏州高二检测)将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假.（1)偶数能被2整除;(２)奇函数的图像关于原点对称．1０.分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题,并判断这四个命题的真假：(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除；（2)四条边相等的四边形是正方形.［能力提升]１．有下列四个命题:①“若x＋y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1，则x2＋2ｘ＋q=０有实根”的逆命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为()Ａ.①② B.②③ C.①③ D.③④2.(201６·长春高二检测)若命题p的逆否命题是q,ｑ的逆命题是r,则p与ｒ是(）A.互逆命题B．互否命题Ｃ.互逆否命题D．不确定3.（201６·唐山高二检测)下列说法正确的是_＿____＿_．①“若x2＋ｙ2=0,则x,ｙ全为零”的否命题为“若x2＋y2≠０,则x,y全不为零”.②“正多边形都相似”的逆命题是真命题.③“若x－3错误!未定义书签。
高中数学 第一章《常用逻辑用语》全部教案 北师大版选修2-1
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案1.1命题及其关系一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合三、教学过程（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？（二）、探析新课1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。
其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
高二数学选修2-1_《简单的逻辑联结词(第1课时)》教学设计
1.3简单的逻辑联结词（第1课时）（名师：魏杰）一、教学目标 （一）学习目标1．掌握逻辑联结词“且、或”的含义； 2．正确应用逻辑联结词“且、或”解决问题； 3．掌握真值表并会应用真值表解决问题． （二）学习重点1．通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容． （三）学习难点1．正确理解命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定； 2．简洁、准确地表述命题“p q ∧”与“p q ∨”． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）“或”“且”叫做__________；（2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作_______，读作_________； （3）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作_______，读作_________． 【答案】 逻辑联结词 p q ∨ p 或q p q ∧ p 且q 预习自测1．分别写出由下列命题构成的“p q ∧”与“p q ∨”式的命题． (1) :p π是无理数，:q e 不是无理数；(2) :p 方程2210x x ++=有两个相等的实数根，:q 方程2210x x ++=两根的绝对值相等．答案：（1）p q ∨：π是无理数或e 不是无理数；p q ∧：π是无理数且e 不是无理数；（2）p q ∨：方程2210x x ++=有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p q ∧：方程2210x x ++=有两个相等的实数根且两根的绝对值相等． 解析：【知识点】 命题p q ∧、p q ∨． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．2．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．（1）分式2201x x x +-=-； （2）不等式220x x +->的解集是{|12}x x x ><-或答案：（1）是p q ∧的形式，其中2:20:10p x x q x +-=-≠；；（2）是p q ∨的形式，其中:p 不等式220x x +->的解集是{|1}x x >；:q 不等式220x x +->的解集是{|2}x x <-．解析：【知识点】命题p q ∧、p q ∨的判断． 点拨：掌握逻辑联结词的用法． 3．判断下列符合命题的真假． （1）菱形的对角线互相垂直平分； （2）若21x =，则2310x x ++=．答案：（1）命题是p q ∧的形式，真命题；（2）命题是p q ∨的形式，假命题． 解析：【知识点】命题的真假． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．4．命题:p 不等式2(1)10x a x -++≤的解集是∅；命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数，如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围． 答案：(3,0][1,)-+∞解析：【知识点】命题p q ∧、p q ∨真假的判断．【解题过程】命题:p 不等式2(1)10x a x -++≤的解集是∅，则2(1)40a ∆=+-<恒成立，解得31a -<<；命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数，则11a +>，即0a >．因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p 、q 一真一假．（1）p 真q 假时，30a -<<；（2）p 假q 真时，1a ≥．综上：(3,0][1,)a ∈-+∞．点拨：p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p 、q 一真一假，要分两种情况讨论． (二)课堂设计 1.知识回顾命题：若p ，则q ．(1)若p q ⇒且q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若p q ⇒/且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件； (4)若p q ⇒/且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分与不必要条件． 2．问题探究探究一 结合实例感受逻辑联结词 ●活动① 设置情景，引入概念下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①24能被4整除；②24能被6整除；③24能被6整除且能被4整除． （2）①1x >；②2x <-；③1x >或2x <-．教师引导学生：在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题．问题：以前我们有没有学习过像这样用联结词“且”或者“或”联结的命题呢？ 你能否举一些例子？例如：命题p ：正方形四个角相等且均为直角．命题q ：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分．命题r ：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似．【设计意图】通过观察实例，让学生直观感受逻辑联结词，自然过渡． ●活动② 结合例子，提取概念一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作：p q ∧ ，读作“p 且q ”．一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作：p q ∨ ，读作“p 或q ” ．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”中的“且”字与“或” 字与集合理论里的两个命题中“且” 字与“或” 字的含义相同吗？（1）若x A ∈且x B ∈，则x A B ∈．（2）若x A ∈或x B ∈，则x A B ∈．定义中的“且”字与“或”字与集合理论里的两个命题中“且”字与“或”字的含义是相似．但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时满足； 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去学习或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.类比：符号“∧ ”与“”开口都是向下，符号“∨”与“”开口都是向上. 强调：“p 或q ”，“p 且q ”，命题中的“p ”、“q ”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p ”、“q ”是一个命题的条件和结论两个部分. 【设计意图】结合实例，提取概念，通过类比，加深对逻辑连结词的理解. ●活动③ 应用反馈，巩固概念例1 请同学们选择合适的逻辑联结词“且”“或”改写下列命题.（12）32≥; （3）4是合数或2是质数. 【知识点】逻辑联结词“且”“或”． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】（12）3232>=或；（3）4是合数或2是质数.同类训练 请选择合适的逻辑联结词“且”“或”改写下列命题. （1）∅既是A 的子集又是它的真子集； （2）*(1)(2)()n n n n N ++∈是偶数或是3的倍数. 【知识点】 逻辑联结词“且”“或”． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】 （1）∅是A 的子集且∅是A 的真子集；（2）*(1)(2)()n n n n N ++∈是偶数或*(1)(2)()n n n n N ++∈是3的倍数． 探究二 “p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定 ●活动① 设置情景，引入概念问题1：请接着判断例1中的三个命题的真假：（1（2）32≥；（3）4是合数或2是质数．（抢答） 问题2：你能确定“p q ∧”与“p q ∨”真假吗？“p q ∧”与“p q ∨”真假与p q 、的真假有什么关系?（引导学生思考）分析：（1）中p 假q 真，所以为假；（2）中p 真q 假，但（2）为真（学生可能有不同意见）；（3）中p 真q 真，所以为真． 【设计意图】结合实例，学生更容易理解． ●活动② 结合例子，提取概念 一般地，我们规定：当p q 、都是真命题时，p q ∧是真命题；当p q 、两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题；当p q 、两个命题中有一个是真命题时，p q ∨是真命题；当p q 、两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 总结出真值表：【设计意图】使概念更加清晰，学生理解起来容易． ●活动③ 应用反馈，巩固概念例1 将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p q ∧”与“p q ∨”的形式，并判断它们的真假．（1）p ：长方形的对角线互相平分，q ：长方形的对角线相等； （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：14是2的倍数，q ：14是4的倍数．【知识点】逻辑联结词“且”与“或”及复合命题真假的判断． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】（1）p q ∨：长方形的对角线互相平分或相等（真）；p q ∧：长方形的对角线互相平分且相等（真）；（2）p q ∨：菱形的对角线互相垂直或平分（真）；p q ∧：菱形的对角线互相垂直且平分（真）．（3）p q ∨：14是2的倍数或是4的倍数（真）；p q ∧：14是2的倍数且是4的倍数（假）. 3.课堂总结 知识梳理1．逻辑联结词“且、或”的含义；2．命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定． 重难点归纳1.正确理解命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的真值表和判定；2.简洁、准确地表述命题“p q ∧”与“p q ∨”． （三）课后作业 基础型 自主突破1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是( ) A ．简单命题B ．“()()p q ⌝∧⌝”的形式C ．“p ∧q ”的形式D ．“p ∨q ”的形式 答案：C解析：【知识点】逻辑联结词“且”．【解题过程】含有逻辑联结词“且”，故为“p ∧q ”的形式． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．2．由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的新命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假的是( )A ．p ：3是偶数，q ：4是奇数B ．p ：3＋2＝6，q ：5>3C ．p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }⊆/{a ，b }D ．p ：Q ⊇R ，q ：N ＝N * 答案：B解析：【知识点】“p 或q ”“p 且q ”真假的判断．【解题过程】“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假． A ．p 假，q 假；B ．p 假，q 真； C ．p 真，q 真；D ．p 假，q 假．点拨：p 或q 为真，则p 、q 至少一个为真；p 且q 为假，则p 、q 至少一个为假． 3．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：【知识点】命题充分、必要性的判断．【解题过程】当p 或q 为真时，可以得到p 和q 中至少有一个为真，这时q 且p 不一定为真；反之当q 且p 为真时，必有p 和q 都为真，一定可得p 或q 为真． 点拨：p 或q 为真，则p 、q 至少一个为真；p 且q 为真，则p 、q 都为真．4．给出命题p ：3≥3；q ：函数1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上的值域为[－1，1]．则p∧q 、p ∨q 为( ) A ．假命题；真命题 B ．真命题；真命题 C ．假命题；假命题 D ．真命题；假命题 答案：A解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【解题过程】p 为真命题．对于q ，∵f (x )对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f (x )的值域为{1，－1}，∴q 为假命题，∴p ∧q 假，p ∨q 真． 点拨：先分别判断p 、q 的真假．5．已知p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋x1在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”为( ) A ．真命题；假命题 B ．真命题；真命题 C ．假命题；假命题 D ．假命题；真命题 答案：D解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【解题过程】命题p 是真命题．y ＝x ＋1x在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q 为假命题.∴p 且q 为假，p 或q 为真． 点拨：先分别判断p 、q 的真假．6．已知命题p 1：函数y ＝2x －2x -在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2x -在R 上为减函数．在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 答案：C解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【解题过程】∵y ＝2x在R 上为增函数，y ＝2－x＝(21)x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－(21)x 在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题． y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D. q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：⌝p 1是假命题， (⌝p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A ． 点拨：先分别判断p 、q 的真假． 能力型 师生共研7．已知p ：30x -<，q ：x 2－4x －5<0，若“p 且q ”为假命题，则x 的取值范围是________． 答案：x ≥3或x ≤－1解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【解题过程】p ：x <3；q ：－1<x <5.∵p 且q 为假命题 ∴p ，q 中至少有一个为假 ∴x ≥3或x ≤－1点拨：p 且q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假． 8．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >ba-}，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________． 【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【数学思想】【解题过程】∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假⇔a≤0，q假⇔a≥b，则b≤a≤0．【思路点拨】p∨q为假命题，则p、q均为假命题．【答案】b≤a≤0探究型多维突破9．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．答案：(1,2]∪[3，＋∞)解析：【知识点】p或q、p且q命题真假．【解题过程】p：240mm⎧∆=->⎨>⎩，得m>2．q：∆=16(m－2)2－16=(m2－4m＋3)<0．解得1<m<3．∵p或q为真，p且q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．解得m≥3，或1<m≤2.所以m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．点拨：由∆判断一元二次方程的根的个数．10．a>0，a≠1．设p：函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．答案：[12，1)∪(52，＋∞)解析：【知识点】p或q、p且q命题的真假．【解题过程】当0<a<1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减当a>1时，y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p真时．0<a<1．q真等价于(2a－3)2－4>0，即12a<或52a>．又a>0，∴0<a<12或a>52．∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中必定是一个为真一个为假．(1)p真，q假⇒12≤a<1，即a∈[12，1)．(2)p假，q真⇒a>52，即a∈(52，＋∞)．综上可知，a的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．点拨：根据p，q的真假求参数a的范围．自助餐1．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题．(1)他是运动员兼教练；(2)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且逻辑上有错误；(3)3≥1．答案：(1)这个命题是“p∧q”形式．其中p：他是运动员；q：他是教练．(2)这个命题是“p∧q”形式．其中p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品逻辑上有错误．(3)此命题为“p∨q”形式．其中p：3>1；q：3＝1．解析：【知识点】命题的形式．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．2．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：∅⊆{0}；q：∅＝{0}．答案：(1)p∧q：6是自然数且是偶数．它是真命题．p∨q：6是自然数或是偶数．它是真命题．(2)p∧q：∅⊆{0}且∅＝{0}．它是假命题．p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}．它是真命题．解析：【知识点】命题的形式．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．3．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案：A ．解析：【知识点】复合命题的真假．【解题过程】依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 点拨：熟悉p ∨q 的真假．4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，x a e ≥ ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”． 若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：[e,4]．解析：【知识点】复合命题的真假．【解题过程】若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4． 点拨：熟悉p ∧q 的真假判断．5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案：(1)A (2)一．解析：【知识点】复合命题，逻辑推理．【解题过程】(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．6．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．答案：(－∞，－2]解析：【知识点】p或q、p且q命题的真假．【解题过程】设g(x)＝x2＋2ax＋4．因为关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0．∴－2<a<2，∴命题p：－2<a<2.函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a>1，即a<2.∴命题q：a<2.由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1) 若p真q假，则此不等式组无解．(2)若p假q真，则a≤－2．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．点拨：解答这类问题的一般步骤：①求出命题p，q为真时参数的条件；②根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p，q的真假；③根据p，q的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．。
简单的逻辑连接词-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件
且 （and）
思考 下面三个命题间有什么关系？ （1）12能被3整除； （2）12能被4整除；
命题(3)是由命 题(1)(2)使用联 结词“且”联 结得到的新命 题.
（3）12能被3整除且能被4整除。
一般的，用逻辑联结词“ ”把命题p和q连接起来， 就得到一个新命题， 记作p∧q，读作“p且q”.
假假假
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一般地，我们规定:
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题； 当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时， p∧q是假命题。
我们可以从串联电路理解联结 词“且”的含义。若开关p，q 的闭合与断开分别对应命题p， q的真与假，则整个电路的接 通与断开分别对应命题p∧q的 真假。
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练习
1、判断下列命题的真假：
(1)12是48且是3且平分。假
2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判 断真假。
(1)y=cosx是周期函数,又是偶函数；真
(2)24是8的倍数,又是9的倍数. 假
“或”：不等式 x2x6>0的解集{ x | x<2或x>3 } “且”：不等式 x2x6<0的解集 { x | 2< x<3 }
即 { x | x>2且x<3 } “非”：三角形的内角和不大于180°
（1）p:y=sinx 是周期函数；
解： p ： y=sinx不是周期函数。
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
高二数学选修2-1_《简单的逻辑联结词(第2课时)》教学设计
1.3简单的逻辑联结词（第2课时）（名师：魏杰）一、教学目标（一）学习目标1.掌握逻辑联结词“非”的含义；2.正确应用逻辑联结词“非”解决问题；3.掌握真值表并会应用真值表解决问题.（二）学习重点1.通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.（三）学习难点1.正确理解命题“p⌝”真假的规定和判定；2.简洁、准确地表述命题“p⌝”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）逻辑联结词“非”是从日常语言中的________等抽象而来的；（2）一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作________，读作_______. （3）命题的否定要对命题的结论进行否定，主要是否定命题中的关键词，如把：“是”改为________，“大于”改为__________等；（4）若p是真命题，则p⌝必是__________.⌝必是__________；若p是假命题，则p【答案】不是、全盘否定、问题的反面p⌝非p或者p的否定不是不大于假命题真命题预习自测1.已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A.“p或q”为真，“q⌝”为假B.“p且q”为假，“p⌝”为真C.“p且q”为假，“p⌝”为假D.“p或q”为真，“p且q”为假答案：C解析：【知识点】含有逻辑连结词的命题真假的判断.【解题过程】p为假命题，q为真命题，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“p⌝”为真,“q⌝”为假.点拨：先判断命题p、q的真假.2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“p⌝”是( )A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉A∩BD.2∈(∁S A)∩(∁S B)答案：D解析：【知识点】命题的否定与集合间的关系.【解题过程】因为2∈(A∪B)，所以p⌝：2∉(A∪B)，即2∉A且2∉B，所以2∈∁S A且2∈∁S B，所以2∈(∁S A)∩(∁S B).点拨：进行命题的否定时，逻辑联结词要作相应变化.3.下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形.其中使用逻辑联结词的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解析：【知识点】逻辑连结词的判断.【解题过程】①中“既又”表示逻辑连结词“且”；②为简单的陈述句；③含有逻辑连结词“非”.点拨：常用逻辑连结词的判断.4.设p、q是两个命题，则新命题“()且为假”的充要条件是( )p q⌝或为假，p qA .p 、q 中至少有一个为真B .p 、q 中至少有一个为假C .p 、q 中有且只有一个为假D .p 为真，q 为假答案：C解析：【知识点】逻辑连结词的判断.【解题过程】()p q ⌝或为假，则p q 或为真，所以p 、q 中至少有一个为真；p q 且为假，则p 、q 中至少有一个为假，所以综上可得p 、q 一真一假，故选C. 点拨：常用逻辑连结词的判断.(二)课堂设计1.知识回顾(1)逻辑联结词“且、或”的含义；(2)命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定.2.问题探究探究一 命题的否定●活动① 设置情景，引入概念下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）:p 平面内垂直于同一直线的两条直线平行，:q 平面内垂直于同一直线的两条直线不平行.（2）:p sin y x =是周期函数，:q sin y x =不是周期函数.学生容易得到：在第（1）（2）组命题中，命题p 是命题q 的否定.【设计意图】从具体问题入手，有利于学生主动参与.●活动② 结合例子，提取概念一般地，对命题p 加以否定，就得到一个新命题，记作p ⌝.读作“非p ”或者“p 的否定”.让学生们自己随便说几个命题，并得到所说命题的否定，加深印象.问题：命题“p ⌝”和命题“p ”的真假之间有什么关系？引导学生通过活动①中命题的真假性概括出命题“p ⌝”和命题“p ”的真假关系的一般结论.活动①中的两组命题均是一真一假，由此看出命题“p ⌝”和命题“p ”不能同时为真，也不能同时为假，即必然一真一假.【设计意图】结合实例让学生觉得更有说服力.●活动③ 类比旧知，巩固概念问题：前面我们学习和否命题，那么否命题和命题的否定有什么区别？ 提出问题后引导学生思考.请写出命题“若3x >，则1x >”的否命题和命题的否定，借此回答刚刚的问题. 否命题：若3x ≤，则1x ≤；命题的否定：若3x >，则1x ≤.总结：否命题是将命题的条件和结论进行否定，命题的否定只否定结论.事实上，原命题与否命题真假性无关系，但原命题与命题的否定一定一真一假.【设计意图】类比让知识点更加清晰问题：在学“或”“且”的时候，我们类比集合中的并集和交集理解，那么如何从集合的角度理解“非”.呢？补集思想，设}|{p x x A 满足=，则“p ⌝”对应“}|{A x U x x A C U ∉∈=且”. 问题：请同学们给出下列常见关键词的否定（1）等于：不等于（大于或小于）；（2）大于：不大于（小于或等于）；（3）都是：不都是（部分否定）；（4）所有：某些（或部分）；（5）至多n 个：至少1n +个；（6）任意一个：某一个；（7）p 或q ：非p 且非q ；（8）p 且q ：非p 或非q .●活动④ 运用反馈例1 命题“,a b 不全为0”是指（ ）A.,a b 全不为0B.,a b 最多有一个为0C.,a b 至少有一个为0D.,a b只有一个不为0答案：B.解析：【知识点】命题的否定.【解题过程】运用概念.点拨：命题“,a b全为0”的否定.⊆/是_______形式；该命题是________命题.（填“真”，“假”）同类训练A B A【知识点】命题的否定.【数学思想】【解题过程】运用概念.【思路点拨】集合的基本知识.【答案】非p假.例2 写出下列命题的“非p”命题，并判断其真假：(1)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0有实数根.(2)平方和为0的两个实数都为0.(3)若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角是锐角.(4)若abc＝0，则a，b，c中至少有一为0.(5)若(x－1)(x－2)＝0，则x≠1且x≠2.答案：(1)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根(真)；(2)平方和为0的两个实数不都为0(假)；(3)若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角不都是锐角(假)；(4)若abc＝0，则a，b，c中没有一个为0(假)；(5)若(x－1)(x－2)＝0，则x＝1或x＝2(真).解析：【知识点】命题的否定.【解题过程】运用概念.点拨：命题的否定只否定结论.同类训练指出下列命题的形式，并判断真假.(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零.答案：(1)此命题是“p⌝”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解.因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即非p 为假命题，所以已知命题为假命题.(2)此命题是“p ⌝”的形式，其中p ：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m 、n 、a 、b 全为零.因为p 是真命题，所以已知命题为假命题. 解析：【知识点】命题的否定.【解题过程】运用概念.点拨：命题的否定只否定结论.例3 命题p ：“存在实数m ，使得210x mx ++=有实数根”，则“非p ”为：_________.【知识点】命题的否定.【解题过程】 运用概念.【思路点拨】 命题的否定只否定结论，但此题要把存在改成任意.【答案】 任意实数m ，方程210x mx ++=无实数根.同类训练 命题p ：“任意实数m ，均有210m m ++>”，则“非p ”为：_________. 答案：存在实数m ，使得210m m ++≤.解析：【知识点】命题的否定.【解题过程】运用概念.点拨：命题的否定只否定结论，但此题要把任意改成存在.3.课堂总结知识梳理1.逻辑联结词“非”的含义；2.命题“p ⌝”真假的判定；3.命题的否定和否命题的区别.重难点归纳1.命题的否定只需要否定结论，而否命题是结论和条件均要否定；2.命题的否定和原命题一真一假，而否命题和原命题真假性没有关系.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知命题p ：函数12x y -=的图象关于直线x ＝1对称，命题q ：函数y ＝x ＋1x 在(0，＋∞)上是减函数，下面结论正确的是( )A.命题p且q是真命题B.命题“p且非q”是假命题C.命题“非p或q”是真命题D.命题“非p且非q”是假命题答案：D.解析：【知识点】命题真假的判断.【解题过程】∵p真q假，∴p⌝为真，∴选D.⌝为假，q点拨：命题“p⌝”和命题“p”必然一真一假.2.“a2＋b2≠0”的含义是( )A.a，b不全为0B.a，b全不为0C.a，b至少有一个为0D.a不为0且b为0，或b不为0且a为0答案：A解析：【知识点】对命题的理解.点拨：若两个数的平方和等于0，则这两个数都等于0；若两个数的平方和不等于0，则这两个数不全为0.3.命题“若a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题为________.答案：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数.解析：【知识点】逆否命题的形式.点拨：“都是”的否定形式为“不都是”.4.命题“若x＋y＞0，xy＞0，则x＞0，y＞0”的否命题为________.答案：若x＋y>0，xy>0，则x≤0，y≤0.解析：【知识点】否命题的形式.点拨：条件不变5.用反证法证明“a、b、c中至少有一个大于0”的假设内容应是________.答案：a≤0且b≤0且c≤0（或a、b、c全都小于等于0）.解析：【知识点】否定词.点拨：“至少有一个大于0”的否定为“全都小于等于0”.6.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数.试判断以下四个命题的真假：①(⌝p )∨q ②p ∧q ③(⌝p )∧(⌝q ) ④(⌝p )∨(⌝q ). 答案：①假；②假；③假；④真.解析：【知识点】含有逻辑联结词的命题真假的判断.【解题过程】命题p ：所有有理数都是实数是真命题，命题q ：正数的对数都是负数是假命题.所以⌝p 为假，⌝q 为真.①(⌝p )∨q 为假；②p ∧q 为假，③(⌝p )∧(⌝q )为假，④(⌝p )∨(⌝q )为真. 点拨：“至少有一个大于0”的否定为“全都小于等于0”.能力型 师生共研7.命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根，若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.答案：m ∈(－∞，－1)解析：【知识点】p 或q .【解题过程】“p 或q ”为真命题，则p 真q 假，或p 假q 真，或q 和p 都是真命题.当p 为真命题时，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+>-=∆0100421212x x m x x m ，得m ＜－2；当q 为真命题时，则∆＝16(m ＋2)2－16＜0，得－3＜m ＜－1；当q 和p 都是真命题时，得－3＜m ＜－2.∴m ∈(－∞，－1)点拨：“p 或q ”为真命题有三种情况：（1）p 真q 假；（2）p 假q 真；（3）q 真p 真.8.已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p 或q 、p 且q 、⌝p 中的真命题是________.答案：⌝p解析：【知识点】含有逻辑联结词的命题真假的判断.【解题过程】对于p ，当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，⌝p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p 或q 假，p 且q 假.点拨：这里⌝p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |. 探究型 多维突破9.已知下列三个关于x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个有实根，求实数a 的取值范围. 答案：),1()23,(+∞---∞ 解析：【知识点】否定词.【解题过程】设三个关于x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0……①，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0……②，x 2＋2ax －2a ＝0……③全都没有实根，则⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆0)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--<><<-021,312123a a a a 或，得123-<<-a ∴23-≤a ，或a ≥－1. 所以三个关于x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个有实根，实数a 的取值范围为),1()23,(+∞---∞ . 点拨：“至少有一个”的否定为“一个也没有”.10.已知命题p ：⎩⎨⎧ x ＋3≥0，x －10≤0，命题q ：2－m ≤x ≤2＋m ，m >0，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[8，＋∞)解析：【知识点】逆否命题的等价性.【解题过程】p ：x ∈[－3,10]，q ：x ∈[2－m,2＋m ]，m >0∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒/p .∴[－3,10][2－m,2＋m ]. ∴⎩⎨⎧ m >0，2－m ≤－3，2＋m ≥10.∴m ≥8.故实数m 的取值范围为[8，＋∞).点拨：⌝p是⌝q的必要不充分条件，则p⇒q且q⇒/p.自助餐1.已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A.¬p∨qB.p∧qC.¬p∧¬qD.¬p∨¬q答案：D.解析：【知识点】含有逻辑联结词的命题真假的判断.【解题过程】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有¬p∨¬q为真命题.点拨：首先判断命题p、q的真假.2.已知命题p：∃x∈R，cos x＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题(¬p)∧(¬q)是真命题D.命题(¬p)∨(¬q)是真命题答案：D.解析：【知识点】含有逻辑联结词的命题真假的判断.【解题过程】易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确.点拨：首先判断命题p、q的真假.3.命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，对命题的判断如下：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假.其中判断正确的序号是________(填上你认为正确的所有序号).答案：①④⑤⑥解析：【知识点】含有逻辑联结词的命题真假的判断.【解题过程】因为命题p假、q真，根据真值表，命题可以判定p且q为假、非p 为真、非q 为假.点拨：首先判断命题p 、q 的真假.4. 若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”“⌝p ”形式的命题中的真命题是________.答案：⌝p解析：【知识点】含有逻辑联结词的命题真假的判断.【解题过程】∵p 、q 均为假命题，∴“p 或q ”、“p 且q ”为假命题，“⌝p ”为真命题.点拨：首先判断命题p 、q 的真假.5.下列四个命题：①任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0；②若命题“p 且q ”为真命题，则命题p 、q 都是真命题；③若p 是⌝q 的充分而不必要条件，则⌝p 是q 的必要而不充分条件. 其中真命题的序号为________.(将符合条件的命题序号全填上)答案：①②③.解析：【知识点】充分、必要条件与命题真假的判断.【解题过程】①因为0∆>恒成立，为真命题；②p 且q 为真，则p 真q 真；③“p 是⌝q 的充分而不必要条件”的逆否命题为“⌝p 是q 的必要而不充分条件” . 点拨：③利用逆否命题的等价性.6.已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >. 若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 答案：523m ≤≤. 解析：【知识点】充分必要条件.【解题过程】易知p 是q 的充分不必要条件，又:25,:3p x q m x m <<<<，所以235m m ≤≥且.点拨：q⌝的充分不必要条件等价为p是q的充分不必要条件.⌝是p。
高中数学 第一章 常用逻辑用语教案 北师大版选修2-1
第一章常用逻辑用语§1命题(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解命题的概念．(2)通过简单的例子，让学生体会四种命题的构成形式．(3)通过实际例子，让学生体会四种命题的关系．2．过程与方法经历从具体数学实例中抽象出命题概念的过程，感受命题在数学学习中的重要性和广泛性．3．情感、态度与价值观通过命题的学习过程，使学生了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，提高思维的严谨性．●重点难点重点：1.命题的概念．2．四种命题的关系．难点：1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．利用四种命题之间的关系判断命题的真假．对于命题概念的教学，要从具体实例中去认知，从命题与开语句的比较中去把握．对于命题的四种形式及其关系的教学，要遵循认知规律，通过例子，引导学生探究四种形式及其关系，即让学生经历概念的形成和抽象过程，再通过例题分析得出四种命题之间的关系．(教师用书独具)●教学建议1．教学中应多举出一些学生熟悉的数学中的例子或生活中的实例．2．教师可以通过总结引例、例1、例2中的判断结果，引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图．3．在高中常用逻辑用语部分，一般只要求学生讨论“若p，则q”形式的命题，或者可以改写成“若p，则q”的形式的命题，而超出这一形式的命题，在这里不做讨论．●教学流程创设问题情境，引出问题――――→抽象概括命题的概念⇑命题的结构⇓命题的分类――――→提出问题学生探究四种命题――→例题四种命题之间的关系⇒反馈矫正⇒归纳总结课标解读 1.了解命题的概念，会判断命题的真假．(重点)2．掌握四种命题的结构形式，会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点)3．能用四种命题之间的相互关系判断四种命题的真假．(难点)命题及其形式【问题导思】下列能判断真假的语句序号是？ ①π是无理数吗？ ②x ＞1. ③2∈N .④若a ⊥b ，则a ·b ≤0. 【提示】 ③④能判断真假． 命题及其形式(1)定义：可以判断真假、用文字或符号表述的语句．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.(3)形式：通常表示为“若p ，则q ”的形式，其中p 是条件，q 是结论．四种命题及其相互关系1．下面有四个命题． ①若x ＞1，则x ＞0. ②若x ＞0，则x ＞1. ③若x ≤1，则x ≤0. ④若x ≤0，则x ≤1.它们的条件和结论分别是什么？【提示】 命题①的条件是x ＞1，结论是x ＞0. 命题②的条件是x ＞0，结论是x ＞1. 命题③的条件是x ≤1，结论是x ≤0.命题④的条件是x≤0，结论是x≤1.2．命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系？【提示】命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件．命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定．命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定．1．四种命题互逆一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件命题互否一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定命题互为逆一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定否命题2.四种命题之间的关系互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．命题及其真假判断判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．①若a＞b，则2a＞2B．②y＝sin x是奇函数吗？③x2－1＜0(x∈Z)．④空集是任何集合的子集．【思路探究】判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断其真假．【自主解答】①由指数函数y＝2x的性质知，①是真命题．②不是命题，不涉及真假．③不是命题，未给x赋值之前，无法判断真假．④由空集的性质知，④是真命题．1．判断一个语句是否为命题，关键看这个语句能否判断真假．2．判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)斜率相同的两直线平行．(2)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．(3)这是一棵大树．(4)当x＝1时，x2＋2x－3＝0.【解析】 (1)是假命题．(2)是假命题．当x ＝2时，y ＝－2时，x ＋y 是有理数． (3)无法判断真假，不是命题． (4)是真命题．命题的结构把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)矩形的对角线相等．(2)当m ＞14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根．(3)已知x ，y ∈N ＋，当x ＋y ＝2时，x ＝y ＝1.【思路探究】 分清命题的条件和结论，是解决这类问题的关键． 【自主解答】 (1)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；是真命题． (2)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根；是真命题．(3)已知x ，y ∈N ＋，若x ＋y ＝2，则x ＝y ＝1；是真命题． 改写命题时，需要注意的事项：①分清命题中的条件和结论；②要注意叙述的完整性，比如第(1)题；③当命题有大前提时，不能把大前提写在条件中，应写在前面，仍然作为命题的大前提，比如第(3)题．指出下列命题的条件和结论．(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2B ． (2)当x ＝1时，x 2＝1. (3)两个奇数的和是偶数．【解】 (1)条件：a ，b ，c 成等差数列，结论：a ＋c ＝2B ． (2)条件：x ＝1，结论：x 2＝1.(3)条件：两个数都是奇数，结论：它们的和是偶数．四种命题及其真假判断写出命题“若不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集为R ，则p 2－4q ≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【思路探究】 根据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写，要注意： (1)分清命题的条件和结论； (2)“＞”的否定是“≤”．【自主解答】 逆命题：若p 2－4q ≤0，则不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集为R ；假命题． 否命题：若不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集不是R ，则p 2－4q ＞0；假命题．逆否命题：若p2－4q＞0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R；真命题．互为逆否命题的两个命题同真假，因此，在直接判断一个命题的真假困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．写出命题“末位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．【解】逆命题：能被5整除的整数的末位数字是0，假命题．否命题：末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题．逆否命题：不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.对四种命题的结构认识不清致误已知a，b∈R，命题“若a＋b＝2，则a2＋b2≥2”的否命题是( ) A．若a＋b≠2，则a2＋b2＜2B．若a＋b＝2，则a2＋b2＜2C．若a＋b≠2，则a2＋b2≥2D．若a2＋b2≥2，则a＋b＝2【错解】只否定结论，错选B；只否定条件，错选C；误将互否理解成互逆，错选D．【答案】 D【错因分析】对四种命题的结构形式认识不清致误．【防范措施】掌握四种命题的结构形式．原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若p的否定，则q的否定．逆否命题：若q的否定，则p的否定．【正解】“a＋b＝2”的否定是“a＋b≠2”，“a2＋b2≥2”的否定是“a2＋b2＜2”，由否命题的定义知，选项A正确．【答案】 A1．判断一个语句是否为命题，关键看它能否判断真假．2．对于四种命题要掌握其结构形式．3．由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思【解析】只有A选项能判断真假．【答案】 A2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是( )A．若b∉M，则a∈M B．若a∉M，则b∈M C．若b∈M，则a∉M D．若a∈M，则b∈M 【解析】由原命题与其逆否命题等价知：选项C正确．【答案】 C3．命题：“菱形的对角线互相垂直”的条件是__________，结论是____________．【解析】该命题可写成：若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线互相垂直．【答案】一个四边形是菱形它的对角线互相垂直4．命题：若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【解】逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题.一、选择题1．下列语句不是命题的是( )A．3是15的约数B．3小于2C．0不是自然数 D．正数大于负数吗？【解析】选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判断，故选D．【答案】 D2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B．【答案】 B3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B ．若－1＜x ＜1，则x 2＜1 C ．若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1【解析】 此命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1. 【答案】 D4．假设坐标平面上一非空集合S 内的点(x ，y )，具有以下性质：“若x ＞0，则y ＞0”，试问下列哪个叙述对S 内的点(x ，y )必定成立( )A ．若x ≤0，则y ≤0 B．若y ≤0，则x ≤0 C ．若y ＞0，则x ＞0 D ．若y ＞0，则x ≤0【解析】 若x ＞0，则y ＞0⇔若y ≤0，则x ≤0，故选B ． 【答案】 B5．有下列四个命题，其中真命题是( ) ①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的否命题； ③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“若x ≠π4＋2k π(k ∈Z )，则tan x ≠1”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题； ②否命题为“若a ＋b ＜2，则a ，b 都小于1”，假命题； ③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；④逆否命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4＋2k π(k ∈Z )”，假命题．【答案】 C 二、填空题6．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________命题． 【解析】 根据四种命题的关系，易知s 是t 的否命题． 【答案】 否7．在命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．【解析】 当a ＝1，b ＝－2时，a 2＜b 2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；当a ＝－2，b ＝1时，a ＜b ，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.【答案】 38．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．【解析】负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．【答案】非负数的平方不是正数三、解答题9．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称；【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除；(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的，可用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，逆命题真．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴逆否命题为真．11．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．【解】显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．由命题A为真可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b＞a＞c.同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.故由A 与B 均为真可知b ＞a ＞c .∴a ，b ，c 三人的年龄的大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小.(教师用书独具)判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．【思路探究】 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a 的范围，再去判断命题的真假．【自主解答】 法一 写出原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7，因为a ＜1，所以4a －7＜0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．法二 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74.因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真．也说明逆否命题为真．此类问题的求解，可先写出原命题的逆否命题，再判断其真假．也可以通过判断原命题的真假，来间接判断其真假．至于用哪种方法，要看原命题与它的逆否命题哪一个更好判断．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【解】 法一 (逆否证法)依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2”为真命题即可．若a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．于是a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二 (反证法)假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数． 得a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．§2充分条件与必要条件2．1 充分条件2．2 必要条件2．3 充要条件(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．2．过程与方法(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．3．情感、态度与价值观(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性．●重点难点重点：1.理解充分条件、必要条件的含义．2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．难点：对必要条件的理解．在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．(教师用书独具)●教学建议教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．●教学流程创设情境，激发兴趣引导归纳，给出定义深入探究，获得新知反馈练习，形成方法总结反馈，拓展引申课标解读1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．(重点) 2．充分条件、必要条件与充要条件的判断．(难点) 3．利用条件关系求字母的取值范围．(难点)充分条件与必要条件已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(1)由k1＝k2能推出l1∥l2吗？【提示】当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.(2)由l1∥l2能推出k1＝k2吗？【提示】由l1∥l2能推出k1＝k2.1．推断符号“⇒”的含义“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p⇒q，读作“p推出q”．2．充分条件与必要条件推式“若p，则q”真，即p⇒q“若p，则q”的逆命题真，即q⇒pp是q的充分条件必要条件q 是p 的 必要条件 充分条件充要条件【问题导思】一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？【提示】 不需要，因为由A 是B 的女儿，可推出B 是A 的妈妈，反之亦然． 如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇒q .充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)“b 2－4ac ＜0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【思路探究】着眼点分清条件p 与结论q 分别判断“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的真假 【自主解答】 (1)当a ＝c ＝－1，b ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅. 反过来，由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝b 2－4ac ＜0，因此，b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的必要不充分条件． (2)由a n ＋1>|a n |≥a n ，得a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．反过来，由{a n }是递增数列，知a n ＋1＞a n ，但不一定有a n ＋1＞|a n |，如递增数列{－(12)n }中，a 1＝－12，a 2＝－14，a 2＞|a 1|不成立．因此，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 【答案】 (1)B (2)A除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：已知集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论． (1)“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)当x ＝y ＝32时，x 2＋y 2＝32＞1，所以点P (x ，y )不在圆内；反过来，当点P (x ，y )在圆内时，x 2＋y 2＜1，所以x 2＜1，y 2＜1，所以|x |＜1，|y |＜1.因此，“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的必要不充分条件． (2){a n }是递增数列，可得a 1＜a 2＜a 3；反过来，由a 1＜a 2＜a 3， 得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，当a 1＞0时，q ＞1；当a 1＜0时，0＜q ＜1. ∴a n ＋1－a n ＝a 1q n －1(q －1)＞0，∴a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．因此，“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充要条件． 【答案】 (1)B (2)C充分条件、必要条件的应用已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＞0，且p 是q 的充分条件，求k 的取值范围．【思路探究】 求出p 、q 对应的集合A 、B ――→充分条件A ⊆B →k 满足的条件――→解不等式k 的取值范围【自主解答】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4.由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2.设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞2}．由p 是q 的充分条件，得A ⊆B ． ∴－k4＜－1，∴k ＞4.即k 的取值范围为(4，＋∞)．1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理． 2．解决本题的关键是把p 、q 之间的关系转化为p 、q 所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组)求解．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围． 【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B ． ∴－k4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8].充要条件的证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：“对任意n ∈N ＋，S n ＝a 1＋a n n2”是“数列{a n }是等差数列”的充要条件．【思路探究】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”．【自主解答】 必要性：由等差数列的前n 项和计算公式，得S n ＝a 1＋a n n2.充分性：由S n ＝a 1＋a n n2，得S n ＋1＝a 1＋a n ＋1n ＋12.两式相减得，a n ＋1＝a 12＋n ＋1a n ＋12－na n 2整理得(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1－a 1，两式相减得，na n＋2－(n－1)a n＋1＝(n＋1)a n＋1－na n整理得2na n＋1＝na n＋2＋na n∴2a n＋1＝a n＋2＋a n，∴数列{a n}是等差数列．1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n∈N＋，S n＝a1＋a n n2”，结论是“数列{a n}是等差数列”．2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求)．3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．已知数列{a n}满足a n＋a n＋1＝2n＋1(n∈N＋)，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是a1＝1.【证明】必要性：由a n＋a n＋1＝2n＋1，得a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，由数列{a n}是等差数列，得2a2＝a3＋a1，∴2(3－a1)＝(2＋a1)＋a1，解得a1＝1.充分性：由a n＋a n＋1＝2n＋1，得a n＋1＋a n＋2＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，两式相减得a n＋2－a n＝2，∴数列{a2n－1}是首项为a1＝1，公差为2的等差数列．∴a2n－1＝1＋2(n－1)＝2n－1，即当n为奇数时，a n＝n.当n为偶数时，n＋1是奇数，∴a n＋1＝n＋1，∴a n＝(2n＋1)－a n＋1＝(2n＋1)－(n＋1)＝n.综上得a n＝n，∴a n＋1－a n＝(n＋1)－n＝1.因此，数列{a n}是等差数列.充分、必要条件颠倒致误已知p：x2－x－2＜0，q：x∈(－1，m)，且p是q的充分不必要条件，则( )A．m＞2 B．m≥2C ．－1＜m ＜2D ．－1＜m ≤2【错解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1，m )(－1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1m ＜2即－1＜m ＜2，故选C.【答案】 C【错因分析】 颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误． 【防范措施】 在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论q .只有分清条件和结论才能正确判断p 与q 的关系，才能利用p 与q 的关系解题．在由条件p 与结论q 之间的关系求字母的取值范围时，将p 与q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．【正解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1,2)(－1，m )，∴m ＞2.故选A. 【答案】 A1．判断p 是q 的什么条件，其实质是判断p ⇒q 与q ⇒p 两个命题的真假．2．当不易判断p ⇒q 与q ⇒p 的真假时，可从集合的角度入手．首先建立与p 、q 相应的集合，即p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件若A ⃘B ，且B ⃘A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3.命题“若p ，则q ”为真、p ⇒q 、p 是q 的充分条件、q 是p 的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.1．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝π4时，y ＝sin 2x 取最大值1；但当y ＝sin 2x 取最大值1时，x 不一定等于π4，比如x ＝54π.因此“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件．【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A3．用符号“⇒”、“⇐”、“⇔”填空： (1)x ＝0________x ＜1；(2)整数a 能被2整除________整数a 是偶数； (3)M ＞N ________log 2M ＞log 2N .【解析】 利用这三种符号的意义求解． 【答案】 (1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是什么？ 【解】 由直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，得|1＋1＋m |12＋12＝ 2. 解得m ＝0或－4.又当m ＝0或－4时，直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切．因此，直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝0或－4.一、选择题1．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}⊆M ；但当N ⊆M 时，推不出a ＝1，比如a ＝ 2.故选A. 【答案】 A2．“sin A ＞cos B ”是△ABC 为锐角三角形的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°<A,90°－B <90°，则sin A ＞sin(90°－B )＝cos B ．【答案】 B3．已知p ：lg x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜x ＜1 B ．－1＜x ＜1 C.12＜x ＜23 D ．12＜x ＜2 【解析】 由x 2lg x ＜0，得0＜x ＜1.设p 的一个必要不充分条件为q ，则p ⇒q ，但q ⇒/p .故选B ．【答案】 B4．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 不等式2x 2＋x －1＞0的解集为x ＞12或x ＜－1，所以“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”成立的充分不必要条件，选A.【答案】 A5．(2013·江浙高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B 二、填空题6．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞07．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________； (2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________； (3)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________；(4)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________． 【解析】 利用定义求解．【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分 8．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④三、解答题9．已知：p ：x ＞1，q ：1x＜1，试判断p 是q 的什么条件？【解】 由1x ＜1，得1－xx＜0，∴x (x －1)＞0， ∴x ＞1或x ＜0. ∴{x |x ＞1}{x |1x＜1}，∴p 是q 的充分不必要条件．10．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，试问：(1)s 是q 的什么条件；(2)r 是q 的什么条件；(3)p 是q 的什么条件．【解】 p 、q 、r 、s 的关系可以用右图表示： (1)∵s ⇒r ，r ⇒q ， ∴s ⇒q ，又q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件． (2)∵q ⇒s ，s ⇒r ， ∴q ⇒r ，又r ⇒q ， ∴r 是q 的充要条件． (3)∵q ⇒s ，s ⇒r ，r ⇒p ∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．11．已知p ：x －2x －3a ＋1＜0，q ：x －a 2－2x －a＜0，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 由q 是p 的必要条件，可知{x |x －2x －3a ＋1＜0}⊆{x |x －a 2－2x －a ＜0}．由a 2＋2＞a ，得{x |x －a 2－2x －a＜0}＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}，当3a ＋1＞2，即a ＞13时，{x |x －2x －3a ＋1＜0}＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋c ≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，{x |x －2x －3a ＋1＜0}＝∅，符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，{x |x －2x －3a ＋1＜0}＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a ＜13.综上得，a ∈[－12，3－52].(教师用书独具)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【思路探究】 先由必要性求出n 值，再验证所求得的n 值满足充分性． 【自主解答】 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 【答案】 3或4在一些充要条件的命题中往往是“A 的充要条件是B ”，这种情况下的条件实际是B ，结论是A ，因此其充分性是B ⇒A ，必要性是A ⇒B ．在寻求A 成立的充要条件时，可先由A ⇒B ，再验证B ⇒A .函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π的充要条件是a ＝________. 【解析】 f (x )＝cos 2ax ，由f (x )的最小正周期是π，得2π|2a |＝π，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝cos 2x ；当a ＝－1时，f (x )＝cos(－2x )＝cos 2x . ∴当a ＝±1时，f (x )的最小正周期都是2π2＝π.∴a＝±1.【答案】±1§3全称量词与存在量词3．1 全称量词与全称命题 3．2 存在量词与特称命题3．3 全称命题与特称命题的否定(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义． (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．过程与方法在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．3．情感、态度与价值观通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．●重点难点重点：理解全称量词和存在量词． 难点：1.含有一个量词的命题的否定． 2．含有一个量词的命题的真假判断．教学时，要从学生的认知水平入手，通过几组例子，引导学生观察、比较、分析，来理解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方法，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假判断方法为探究内容，让学生通过个人探究、小组讨论等多种解难释疑的尝试活动去发现方法、总结规律，通过例题与练习让学生在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的认识．●教学流程 通过实例引入课题――→探究全称量词与存。
高中数学(北师大版)选修2-1教案：第1章 知识归纳：逻辑联结词“且”“或”“非”
1．4 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。
3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。
4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两
种解释: “不可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或 . 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。
5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保
险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路。
4.3逻辑联结词“非”-北师大版选修2-1教案
4.3逻辑联结词“非”-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.掌握逻辑联结词“非”的概念及使用方法；2.能够正确理解、分析使用“非”的命题；3.能够熟练运用逻辑联结词“非”进行推理和判断。
二、教学重点1.逻辑联结词“非”的概念和使用方法；2.命题中“非”的含义及影响。
三、教学难点1.如何准确理解命题中的“非”；2.如何在语境中正确使用“非”。
四、教学方法1.讲授法；2.案例分析法；3.合作学习法。
五、教学过程1. 课前预习在课前预习时，学生需要对于逻辑联结词“非”的概念进行了解，并查阅相关教材和资料，准备问题交流。
2. 导入新知教师将逻辑联结词“非”的概念进行讲解，并与学生分享使用“非”进行推理和判断的案例，加强学生对该概念的印象和理解。
3. 理论掌握教师将相关知识进行简要的系统讲解，包括逻辑联结词“非”的含义、使用方法和对命题的影响等方面的内容，帮助学生更好地掌握。
4. 实例探究教师引导学生进行实例探究，通过分析命题中使用“非”所造成的影响，并通过现实案例进行解释和验证，加强学生对于“非”的理解和应用。
5. 互动交流在教学过程中，教师引导学生进行思考、讨论和交流，分享彼此的思路和看法，促进学生之间的互动合作，提高学习效果。
六、教学总结通过本课的学习，学生已经掌握了逻辑联结词“非”的概念、使用方法和应用技巧等基本内容，同时，学生也通过案例分析和互动交流，深入理解了“非”在不同命题中的作用和影响，进一步提高了推理和判断的能力。
七、课后练习1.请列举3个使用“非”进行推理和判断的实例，并简要说明推理过程；2.请分析下列命题中的“非”，并判断该命题的真假性，总结影响真假性的主要因素。
命题：如果我考试及格，那么我会有奖学金。
八、教学反思本课教学过程中，教师针对学生的特点和具体需求，采取了多种方法进行教学，既有讲授法，又有案例分析法和合作学习法，使得学生能够在多个方面进行掌握和理解，更好地提高学习效果。
同时，在教学实践中，教师也应该更加注重引导学生发挥自主探索和思考的能力，帮助学生独立解决问题，思考出自己的见解，从而不断进一步提高自身的学习能力和技巧。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 4.1逻辑联结词“且”》
逻辑联结词“且”“或”“非”一、学习目标1.理解“且”“或”的含义.2.会用“且”“或”联结两个命题并能判断命题的真假．3.理解新命题p或q，p且q与p、q命题的关系．学习重点：会用“且”“或”联结两个命题并能判断命题的真假．学习难点：命题p或q，p且q与p、q命题的关系.二、导学过程引入歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位文艺批评家“狭路相逢”.这位批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬局面，但见歌德笑容可掬，谦恭地闪在一旁，一边有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反.”结果故作聪明的批评家，反倒自讨个没趣.在这个故事里，批评家用他的语言和行动表明了这样几句语句（1）我不给傻子让路，（2）你歌德是傻子,（3）我不给你让路.而歌德用语言和行动反击，（1）我给傻子让路（2）你批评家是傻子（3）我给你让路.在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）三、新知探究探究一：且（1）12能被3整除.（2）12能被4整除.（3）12能被3整除能被4整除.一般的，用逻辑联结词“且”把命题p和q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。
若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∧q的真与假.例1 将下列命题用“且”联结成新命题，并判断其真假.（1） p :平行四边形的对角线互相平分;q :平行四边形的对角线相等.（2） p :35是15的倍数;q :35是7的倍数.探究二：或（1）27是7的倍数.（2）27是9的倍数.（3）27是7的倍数或是9的倍数.一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∨q, 读作“p或q”我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义.若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.例2 判断下列命题的真假：（1）2 ≤ 2.（2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集.（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.如果p且q为真命题,那么p或q一定为真命题吗?反之,如果p或q为真命题,那么p且q一定是真命题吗?注意：1、“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分。
高中数学选修2-1北师大版 逻辑联结词“且”“或”“非”教案
课题 1.4.1.逻辑联结词“且” 1.4.2.逻辑联结词“或”学习目标1.理解“且”“或”的含义.2.会用“且”“或”联结两个命题并能判断命题的真假．3.理解新命题p或q，p且q与p、q命题的关系．学习重点：会用“且”“或”联结两个命题并能判断命题的真假．学习难点：命题p或q，p且q与p、q命题的关系.学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程（一）课前预习任务：（阅读教材16—17页完成下面问题）1．“p且q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，.2．“p或q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，.(二)预习检测1、将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假．(1)p：6<6，q：6＝6.(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．2、将下列命题用“或”联结成新命题,并判断它们的真假．(1) p：函数y＝cos x是周期函数， q：函数y＝cos x是奇函数．(2) p：矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相垂直．二、新课学习探究任务一：p且q命题例1、对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断新命题的真假：（1）p：12是3的倍数，q：12是4的倍数.（2）p：∏＞3，q：∏＜2.学后检测1 用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假．(1) 1不是质数也不是合数；(2) 2既是偶数又是质数；(3) 5和7都是质数．探究任务二：p或q命题例2、对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断新命题的真假：（1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；（2）p：3＞4，q：3＜4；（3）p：∏是整数，q：∏是分数.学后检测2 分别指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)2是4或6的约数；(2)－1是偶数或奇数探究任务三真值表三、当堂检测1．若p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是( )A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)2．下列命题，其中假命题的个数为 ( )①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”．A．0 B．1 C．2 D．33．p：2∉{1,3}，q：2∉{x|x2－4＝0}，则p且q是_____________________，是____命题，p或q是________________________，是_____命题．四、课堂小结五、课后作业六．板书设计。
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第八课时简单的逻辑联结词（二）复合命题
一、教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；
二、教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )
（二）、活动尝试
问题1:判断下列复合命题的真假：（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3） 不是整数；解：（1）真；（2）真；（3）真；
命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？（三）、师生探究
1．“非p”形式的复合命题真假：
例1：写出下列命题的非，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根；（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等
显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．
2．“p且q”形式的复合命题真假：
例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x2-5x=0的根是自然数
所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
3．“p或q”形式的复合命题真假：
例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零
当p 、q 中至少有一个为真时，p 或q 为真；当p 、q 都为假时，p 或q 为假。
（四）、概括归纳
1．“非p ”形式的复合命题真假：当p 为真时，非p 为假； 当p 为假时，非p 为真．
（真假相反）
2．“p 且q ”形式的复合命题真假：
当p 、q 为真时，p 且q 为真； 当p 、q 中至少有一个为假时，p 且q 为假。
（一假必假）
3．“p 或q ”形式的复合命题真假：
当p 、q 中至少有一个为真时，p 或q 为真；当p 、q 都为假时，p 或q 为假。
（一真必真）
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时为真，其他情况为假；“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
如：p 表示“圆周率π是无理数”，q 表示“△ABC 是直角三角形”，尽管p 与q 的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p 或q 的真假。
4°介绍“或门电路”“与门电路”。
或门电路（或） 与门电路（且）
（五）、巩固运用
例4：判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数01,2≥++x x x 分析：（4）为例：第一步：把命题写成“对一切实数01,2>++x x x 或012=++x x ”是p 或q 形式；第二步：其中p 是“对一切实数01,2>++x x x ”为真命题；q 是“对一切实数
,x 012=++x x ”是假命题。
第三步：因为p 真q 假，由真值表得：
“对一切实数01,2≥++x x x ”是真命题。
例5：分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、非p 形式的复合命题的真假：
（1）p ：2+2=5；
q ：3>2 （2）p ：9是质数；
q ：8是12的约数； （3）p ：1∈{1，2}；
q ：{1}⊂{1，2} （4）p ：⊂Φ{0}； q ：=Φ{0}
解：①p 或q ：2+2=5或3>2 ；p 且q ：2+2=5且3>2 ；非p ：2+2≠5.
∵p 假q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真.
②p 或q ：9是质数或8是12的约数；p 且q ：9是质数且8是12的约数；非p ：9不是质数. ∵p 假q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真.
③p 或q ：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p 且q ：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p ：1∉{1，2}. ∵p 真q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假.
④p 或q ：φ⊂{0}或φ={0}；p 且q ：φ⊂{0}且φ={0} ；非p ：φ⊄{0}.
∵p 真q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假.
（六）、回顾反思：1．判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。
2．注意数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a 或b ”是指a ，b 中的某一个，但不是两者.日常。