高斯光束及其特性

2(z) ]exp{i[k(z
x2 y2 ) arctg
2 R( z )
z f
]}
引入一个新的参数q(z)，定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2(z)
§3.1 基模高斯光束
11
q(z)
R(z)
i
2
(
z
)
q：复曲率半径
参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在 某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值
§3.1 基模高斯光束
§3.1 基模高斯光束
当满足 f l F ，即物高斯光束束腰离透镜足够远时
l lF 1 1 1 l F l l F
腰斑放大率
k
0
F
l
0 l F l
可用几何光学处理傍轴光线的方法来处理高斯光束
特殊情况：当 l F l F 与几何光学迥然不同
§3.1 基模高斯光束
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
如果某一腔内存在高斯分布的自再现模，或者说高斯光束是 某一谐振腔的自再现模，则该腔必是稳定的
怎样构建稳定腔？ 将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径的球面反射镜来 代替，将构成一个稳定腔，该高斯光束被腔的两个反射镜作自 再现变换，成为腔中的自再现模。
对任意稳定腔，只要适当选择高斯光束的束腰位置及腰斑大 小，就可使它成为该腔的本征模
有n个节线圆，沿辐角方向有m根节线
E(r,
,
z)
Cmn
0 (z)
2r
(z)
m
Lmn
2r 2
2(z)
exp
r2
2(z)
cos m sin m
exp
ik
z
2
r2 R(
z
)
i(m
2n
1)tg
1
z f
§3.2 高阶高斯光束
附加相移为 mn
(m 2n 1)tg1
z f
1 11
R2 R1 F
R2
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AR1 CR1
B D
曲率半径R
高斯球面波 曲率中心变化的
q2=q1+L
1 11 q2 q1 F
q2
Aq1 Cq1
B D
复曲率半径q
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸： 入射高斯光束的光腰在l处， 出射高斯光束的光腰在l ’处
q q0
if
02
q
1 D A 1 (D A)2 4
i
qM 2B
B
1 q(z)
1 R(z)
i 2(z)
R(z) 2B (D A)
(z) (
)1 2
B12
1
D
2
A
2
1
4
腔内存在着真实的高斯模的条件应该是可求解出实的值
( D A)2 1 1 1 ( A D) 1
2
2
结论：在稳定光学开腔中不存在傍轴光线的几何逸出损耗与 腔内存在着高斯光束型的本征模这一断言是等价的。
F F )2
f
2 0
0，
l
l(l F ) (l F )2
f f
2 2
F
F
l F f 时，l
l
1 F,
1
1 近似几何成像
l F l l F
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
0
(l
F F )2
f
2
0
l
l(l F) (l F )2
f f
2 2
F
l
F时，0 (l)
l 0
F 2 f2
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2
高斯光束的复数曲率半径q与普通球面波的曲率半径遵循 相同的传播规律
§3.1 基模高斯光束
高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束是非均匀的、 曲率中心不断变化的球面波
注意区别f与F
§3.1 基模高斯光束
束腰距离透镜分 别为l和l’
可以得到l’处的q’ : 已知透镜的焦距，只要知道入射高斯光束的q和l，就可 求得出射高斯光束在l/处的q/
R1(z) R z1 z1 R2(z) R z2 z2 R2(z) R1 z z2 z1 R1 z L
R2 (z)
AR1(z) CR1(z)
B D
,
A C
B 1
D
0
L
1
§3.1 基模高斯光束
傍轴波面通过焦距为f的薄透镜： (应用牛顿公式)其波前曲率半径 满足：
§3.1 基模高斯光束
高斯光束
结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式， 由光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径)
§3.1 基模高斯光束
研究对象
普通球面波
特点
曲率中心固定的
在自由空间的传输规律
R2=R1+L
通过薄透镜的变换 总的变换规律
用q0=q(0)表示z=0处的参数值，得出
（q0 是纯虚数）
用q参数研究高斯光束传输更为方便
§3.1 基模高斯光束
4） 高斯光束q参数的变换规律 普通球面波的传播规律 高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 用q参数分析高斯光束的传输问题
§3.1 基模高斯光束
普通球面波在自由空间的传播规律
O点发出的球面波波前曲率 半径随传播过程的变化为：
u00 ( x, y, z) c00
0 exp[ (z)
x2 y2
2(z) ]exp{i[k(z
x2 y2 ) arctg
2 R( z )
z f
]}
其中，c为常数，k=2/， 0为基模高斯光束的腰斑半径，f 为高斯光束的共焦参数。曲率中心不断变化的球面波
重要！通过练习来加强理解和记忆
§3.1 基模高斯光束
光斑半径 mn (z) m 2n 1(z)
发散角 mn m 2n 10
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
实际应用中常需要将激光器输出的近似为基模的高斯光束 聚焦到很小的面积上
实际应用中要求高斯光束在大气或太空中传播较远的距离， 需要通过变换使激光束的发散角尽可能小，这种情况称为高 斯光束的准直。
H
m
2y
(z)
exp
r2 2(z)
exp
i
kz
kr 2 2R(z
)
m
n
1
tg
1
z f
§3.2 高阶高斯光束
附加相移 mn
(m n 1)tg1
z f
x方向和y方向的光腰尺寸
mn22
(2m 1)02 (2n 1)02
在z处的光斑尺寸
2 m
(
z
)
2 n
(
z
)
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
结论：为获得良好聚焦： 1)采用短焦距透镜； 2)使入射高斯光束束腰位置远离透镜焦点； 3)取l=0，并使 f >>F。
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
高斯光束的准直：目的是让光束发散角减小、能量更集中，
传播的距离更远 单透镜对高斯光束发散角的影响：
lim 2(z) 2
q0
if
02
等和式实两部端对的应虚相部等
f l
l
(
F2 f (l F )2
(l F ) f l F )2 f
f
2 2
2 F
q
(1
l F
)q (l q (1
l l)
ll ) F
F
F
0
F (l F )2
f
2 0
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸 随入射光束的变化：
1
0
l 2
f
0
F (l )
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
➢l=F，
0达到极大值，0
F f
0
0
F
，且 l F
仅当F<f 时，透镜才有聚焦作用。
不论l的值为多大，只要F<f满足，就能实现一定的聚焦作用 l=F时，焦斑半径与波长成正比
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
l 确定， 0随F变化情况： 当 F R(l) 2 ，透镜才能 对高斯光束起聚焦作用。 F愈小，聚集效果愈好
第三章 高斯光束及其特性
本章大纲
§3.1 基模高斯光束 掌握高斯光束q参数的表达 高斯光束在线性光学系统中的变换 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔模式的关系
§3.2 高阶高斯光束 了解高阶高斯光束的特性。
§3.3 高斯光束的准直与聚焦 了解高斯光束的准直的与聚焦特点。
§3.1 基模高斯光束
1）沿z轴方向传播的基模高斯光束
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
总矩阵元
高斯光束的q参数和ABCD定律给出研究高斯光束传输的一个
基本方法
§3.1 基模高斯光束
5）高斯光束的自再现变换 自再现变换：如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变 化，即参数0或f不变，或同时满足0= 0、 l=l。 利用透镜实现自再现变换 球面反射镜对高斯光束的自再现变换
z z
0
➢对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什么值，都不 可能使0 ，也就不可能使0 0
R2 (z)
AR1(z) CR1(z)
DB ,
A C
B
D
1 1 /
f
0
1
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
R2
AR1 CR1
B D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决定高斯光
束腰斑的大小0和位置z
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用q参数表征高斯光束
u00 ( x,
y, z)
c00
0 exp[ (z)
x2 y2
振幅分布 、光斑半径
A( x,
y,
z)
A0
exp
x2 y2
(z)2
，I( x,
y,
z)
I0
exp
2( x2 y2 )
(z)2
§3.1 基模高斯光束
2）高斯光束在自由空间的传输规律：
(z) 的渐近线夹角θ定义为光束的发散角
§3.1 基模高斯光束
等相位面的曲率半径
曲率中心随z变化
傍轴，谐振腔 外较远距离
近似球面波！
§3.1 基模高斯光束
高斯光束在其传输轴线附近 可近似看作是一种非均匀球面波 曲率中心随着传输过程而不断改变 振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性 等相位面始终保持为球面 强度集中在轴线及其附近
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
§3.1 基模高斯光束
0 0,l l
利用透镜实现自再现变换：
当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波面曲率半 径的一半时，透镜对该高斯光束作自再现变换。
§3.1 基模高斯光束
球面反射镜对高斯光束的自再现变换：
当入射在球面镜上的高斯光束波前曲率半径正好等于球面镜的曲率半径 时，在反射时高斯光束的参数将不发生变化，即像高斯光束与物高斯光 束完全重合。通常将这种情况称为反射镜与高斯光束的波前相匹配。
焦点以内
l 0且F f 时，0
F0
=
(l F )2 f 2
F固定的情况下：
0
,l F
1 ( f / F )2
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
0
(l
F F )2
f
2 0
l l(l F ) f 2 F (l F )2 f 2
➢l >F时，0随l的增大而减小
l 时，0
(l
(2m 1) (2n 1) 2
2(z (z)
)
在x方向和y方向的远场发散角
m
lim
z
2m (z)
z
n
lim
z
2n (z)
z
2
2m 1
0
2m 10
2n 1 2 0
2n 10
§3.2 高阶高斯光束
拉盖尔-高斯光束(柱对称稳定腔、圆形孔径共焦腔)
柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布：沿半径r方向
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
常见的谐振腔
§3.2 高阶高斯光束
厄米特-高斯光束 (方形孔径的共焦腔或稳定球面腔)
其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式(Hermite polynomial) 的乘积决定，沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线
E(
x,
y,
z)
Cmn
0 (z
)
H
m
2x (z)
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
高斯光束的自再现变换与稳定球面腔 用q参数来分析：设某一高斯光束从腔内某一参考平面出发时的 q参数值为qM，在腔内往返一周后其参数值记为qM ，则二者满 足
该 高高斯斯模光在束腔能内成往为返谐一振周腔后的能重自现再）现模的条件为qM=qM（即任一
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
聚焦和准直都是用透镜组（或球面反射镜）对高斯光束进 行变换。
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
1）高斯光束的聚焦 目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0
§3.3 高斯光束的聚焦和准直
0
(l
F F )2
f
2 0
l
l(l F ) (l F )2
f f
2 2
F
l<F时， 0随l的减小而减小；
当l=0时， 0达到最小值，一定 有聚焦作用，像方束腰位置在前
§3.1 基模高斯光束
2）高斯光束q参数的传输变换规律
z 0
1
z f
2
，R
z
z
f2
z
1
qz
1 z f2
z
i
02
1
z f
2
z2
z
f2
i
( / 02 )
z2 f 2
f
2
z if z2 f 2
1 if
z
q
z
if z q(0) z
§3.1 基模高斯光束 q z i 02 z if z q(0) z