2-2求导法则(2)

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例3 解
设 x 4 xy y 4 1, 求 y' ( x) 在点 (0,1) 处的值.
方程两边对 x 求导, 得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
y 4 x3 法一：得y' 4 y 3-x
(1)
1 ; 4
y x 0
y 1
法二：直接将x 0、y 1代入（ 1 ），得
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例4
解
设 yx
sin x
( x 0) , 求 y .
等式两边取对数, 得
ln y sinx ln x ,
上式两边对 x 求导, 得
1 1 y cos x ln x sinx , y x 1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ). x
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作
习题2-2 1.(3)(5)(7) 3.(2)(4) 4.(1)(2)(9) 5.(3) ------------6. (1)(3) 7.(2)(4) 9.(2)(3)
业
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思考题
x (t ) ( t ) 设 ，由 y ( ( t ) 0) x ( t ) y (t ) ( t ) 可知 y ，对吗？ x ( t )
( tant ) d ( tan t ) d y d dy ( ) 2 dx x( t ) dx dx dx
se c t se c4 t . 2 3a cos t sint 3a sint
2
d y 问： 3 ? dx
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3
14/18
(2) 炮弹在t0 刻沿 x 、y 轴方向的分速度分别为
dx vx t t 0 ( v 0 t cos ) t t 0 v0 cos ; dt dy 1 2 vy gt ) t t 0 t t 0 ( v 0 t sin dt 2 v0 sin gt 0 ,
高等数学
第二节_2 隐函数的导数及由参数方程所 确定的函数的导数
一、 隐函数的导数 二、 对数求导法
三、 由参数方程所确定的函数的导数
四、 小结、作业
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一、隐函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为 隐函数.
y f ( x) 形式的函数称为 显函数 .
在 t0 时刻炮弹的速度为
v v v v 2v0 gt 0 sin g t .
2 x 2 y
2 0 2 2 0
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x a cos3 t 例8 求 表 示 的 y y( x ) 的 二 阶 导 数 . 3 y a sin t
解
2
2 3 a sin t cost dy y ( t ) tan t , 2 dx x( t ) 3a cos t ( sint )
dy dy 的导数 , x 0 . dx dx 解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导 , 得
dy y dy y x 0 e dx dx dy y , 由原方程知 x 0 时, y 1, 解得 y dx x e
dy dx
x 0
y x ey
x 0 y 1
y
v0
vy
v vx
o
x
, 即轨迹在 t0 时刻的 解 (1) 在 t0 时刻的运动方向 切线方向 , 可由切线的斜率来反映 . 1 2 ( v t si n gt ) 0 v0 sin gt dy y( t ) 2 , dx x( t ) (v0 t cos ) v0 cos dy v0 sin gt 0 . t t0 dx v0 cos
在 t0 时刻炮弹的速度为
v v v v 2v0 gt 0 sin g t .
2 x 2 y
2 0 2 2 0
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四、小结
隐函数求导法则:视 y=y(x)， 利用复合函数求导法 则直接对方程两边求导; 对数求导法: 对函数两边取对数, 然后按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导法: y对x的导数=y对参数的导数/x对参 数的导数;
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 于是，所求切线方程为 y ( x ) , 即 x y 3 0 . 2 2
3 3 法线方程为 y x , 即 yx . 2 2 注 本例中的方程形为 F(x, y)=G(x, y), 其确定的y=y(x) 的求导方法仍然是...。
dy dy dt y( t ) y y( t ) { 确定 y y( x ) 的求导法: dx dx x( t ) x x( t ) dt
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x a(t sint ) 例7 求摆线 在 t 时的切线方程。 2 y a(1 cost ) sin t dy y( t ) a sin t , 解 1 cos t dx x( t ) a a cos t sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
解

dy y( t ) dx x( t )
b cos t b cot a sin t a
b 4 t a 4 a sin 4 a b 又当 t 时, x a cos , y b sin , 4 4 4 2 2 得 所求切线方程为
F ( x, y) 0
y f ( x ) 隐函数的显化
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导? 隐函数求导法则: 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
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例1 求由方程 xy e y - e 0 所确定的隐函数 y y ( x)
y
v0
vy
v vx
o
x
, 即轨迹在 t0 时刻的 解 (1) 在 t0 时刻的运动方向 切线方向 , 可由切线的斜率来反映 . 1 2 ( v t si n gt ) 0 v0 sin gt dy y( t ) 2 , dx x( t ) (v0 t cos ) v0 cos dy v0 sin gt 0 . t t0 dx v0 cos
( x 1 ) x 1 例6 设 y , 2 x ( x 4) e
3
求 y .
解
(D (, 4) (4, ) , 函数不恒正.)
等式两边取绝对值再取对数，得
上式两边对x 求导, 得
1 ln | y | ln | x 1 | ln | x 1 | 2 ln | x 4 | x , 3
dy dx
b cos

b b a y (x ), 即 bx ay 2ab 0 . a 2 2
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例10不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角 发射炮弹,
x v0t cos , 其运动方程为 1 2 y v t sin gt , 0 2 求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; (2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小.
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(2) 炮弹在t0 刻沿 x 、y 轴方向的分速度分别为
dx vx t t 0 ( v 0 t cos ) t t 0 v0 cos ; dt dy 1 2 vy gt ) t t 0 t t 0 ( v 0 t sin dt 2 v0 sin gt 0 ,
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, 以初速度 v0 , 发 射 角 发 射 炮 弹, 例7 不 计 空 气 的 阻 力 x v0 t cos , 其 运 动 方 程 为 1 2 y v0 t si n gt , 2 求 (1) 炮 弹 在 时 刻t0 的 运 动 方 向 ; ( 2) 炮 弹 在 时 刻t 0 的 速 度 大 小 .
例如
x 2 得 , 此参数方程确定的函数 y t ( ) , 2 2 x 即 y y( x ) . 4 问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
2
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x 2t , 2 y t ,
x t 2
消去参数 t
x x( t ) 对 t It , y y( t ) 若 x x( t ) 在 上 I t 单 调 、 可 导 且 x( t ) 恒 不 为 零
上式两边对x 求导, 得
y 1 1 2x 2 2 2 y 2 x x 1 ( x 1) x 2
,
.
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1 x( x 2 1) 1 2x 2 1 2 y' 2 2 ( x 2)(x 1) x x 1 ( x 1) x 2
x x( t ) 在 对 应 的I x 上 有 可 导 的 反 函 数 t t 1 ( x ); 又若 y y(t ) 在 I t 上可导, y y(t ) y(t 1 ( x)) y( x) 在 I x 上可导, 且 y( t ) dy dy dt dy 1 , y( x ) x( t ) dx dt dx dt dx dt
例8 解
x a cos3 t 求 表示的 y y( x) 的导数. 3 y a sin t
2 3 a sin t cost dy y( t ) tan t , 2 dx x( t ) 3a cos t ( sint )
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x a cost 例9 求椭圆线 (0 t 2 )在 t 时的切线方程。 4 y b sin t
问： 能否用显式求导法 求出（x
sin x
? ）
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x ( x 1 ) 例5 设 y , 2 ( x 2)(x 1)
2
求 y .
解 等式两边取绝对值再取对数，得
1 ln | y | [ln | x | ln( x 2 1) 2 ln | x 1 | ln | x 2 |] , 2
y 1 1 2 1, y x 1 3( x 1) x 4 ( x 1) 3 x 1 1 1 2 y ( 1) . 2 x ( x 4) e x 1 3( x 1) x 4
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三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若 可确定 y 与 x 间的函数关系, y (t ) 称此函数为由此 参数方程所确定的函数 .
1.
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Leabharlann Baidu
3 3 例2 设 曲 线C 的 方 程 为x y 3 xy, 求 过 C 上 点 ( , ) 2 2 的切线方程及法线方程 .
3 3
解
视 y y( x ) , 方程两边对 x 求导, 得 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy,
y
3 3 ( , ) 2 2
y x 0
y 1
1 ; 4
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二、对数求导法 ——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。
对数求导法：
先对 y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后
两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
适用范围:
(1) 幂指型 函数 u( x)v ( x ) ,
(2) 含有较多的乘、除、乘 方、开方运算的函数。