数的开方(平方根与立方根)

一、知识点归纳:
1、平方根
(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。

a 的平方根记作：±20或±丿5。

求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。

(3) 平方和开平方互为逆运算；
2、算术平方根
(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。

一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质
①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。

3、立方根
(1)立方根的意义
如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。

如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。

记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。

(2)立方根的性质
">0②一个负数有一个负的立方根， 即若a<0,则V^0
③0的立方根是0,即若a=0，则3
垢=0 。

重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。

二、典型例题： 例1、x 为何值时，
寸X +1
(5)
X —1
例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。

例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。

例4、如果M =
a
P a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立
方根。

第12章数的开方
重要性质：J a 2
=a ,(需 $ = a(a >0)
下列代数式有意义。

(1W 3 + 2x
(2) J x -2 + J 2—X
(3) J x 2
+3
1
(4) -^= 如一
1
①一个正数有一个正的立方根， 即若a>0,则 (6) (X-1)2
例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简
V a 2
- a -b + c-a + J (b -C)2
三、课堂练习:
1、填空：
(10)某种洗衣机的包装箱是长方形
，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3
,底面是正方形，则该包装箱的底面边长
m.
(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2
=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为
112
=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,
所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =
2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、 下列各式中无意义的是
A 、 —J 3
B J-32
).
±J(-3
丫
(3) A
下列说法正确的是( 、4的平方根是2
、-16 的平方根是
C 、实数a 的平方根是 土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是
)
(1) 0.25的平方根是
9 2
的算术平方根是
J 16 的平方根是 - J 2的相反数是
,73的倒数是
J 3 -1的绝对值是
(16
=
±层
，V (」)2
(4)
时，有意义；若 有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m
时，3
治-3有意义
(5)j 81的平方根是 ，74的算术平方根是
邸64的平方根是
，764的立方根
若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =
，这个正数是
(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =
(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=
；(a+2)2
+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =
、0.1
A 、1
B 、0 C
（5）下列说法中，正确的是
（ D 、不存在
）•
A 、27的立方根是3,记作J27=3
B 、-25的算术平方根是5
C 、a 的三次立方根是 土蚯
D 、正数a 的算术平方根是 j a
(6) V a 的值是（ ）• （A ） 是正数 (B) 是负数 （C ）是零 以上都可能
(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7
(C ) 0.7 ( D ) 0.49
下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2
, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)
下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根 下列各式中错误的是（ 下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32
X 2=3 运 ).
B 、16的平方根是 4
C 、
).
B 、Q 0.36 = 0.6
).
④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3
"乎击
不改变根式的大小把 （a —q
丄 根号外的因式移入根号内，正确
的是（
(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根
J1.44 =±1.2
莎=2 D
、J 4^ =2a
(D) - J 1-a
).
3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f
(3) (- 2卜(一
8 )•
4、计算:
6、已知实数 a,b,c 满足 一 a-b + J 2b +c +(c -
7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2
.
a
b
I _ !■ _. I J. ■ 1 •
-2-1 0 1 2
+
------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b
+2)
+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.
(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2
=9 2
(2) (X +1) =1
⑶(5-3x(
121
-——=0 . 49
3
(4)(x+3) =27
(5) (2x-1)' =-8
(6) 64(x-1)
3
+125=0
8、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。

9、已知: 实数a 、 b 满足条件 J a -1 +(ab-2)2 =0
一)2
=0,求 a(b +c)的值.
试求-。