千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在性问题
专题5.6存在性问题-2021年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列(解析版)
一、解答题1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴恰好是圆的一条直径.(1)求椭圆的方程(2)设分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上不同于的任意点，是否存在直线，使直线交直线于点，且满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)【解析】【详解】(1)由题可知,.联立，故椭圆的方程为.(2)由题意知,,设，则直线的方程为.设存在直线满足条件,则当时，，所以.又点在椭圆上,所以，所以，【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．学科&网2．已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（1）求椭圆的方程；【答案】(1) (2)不存在直线，使得【详解】（1）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以，又离心率为，所以，所以，所以，所以的方程为.（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得化简得到，因为为方程的一个根，所以，所以，所以.【点睛】对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.3．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足为线段的中点，且AB⊥。
（I）求椭圆C的离心率；（II）若过A、B、三点的圆与直线：相切，求椭圆C的方程；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由题意可得过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r==2c，根据直线与圆相切可得，解得c=1，从而，，可得椭圆的方程．（Ⅲ）由条件可设直线MN的方程为，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，由此得到，整理得，最后可求得．（II）过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r==2c．∵直线：相切，∴，解得c=1．又，∴，∴．∴椭圆C的方程为．（III）由(I)知，F2(1，0)，直线MN的方程为，由消去y整理得∵直线与椭圆C交于M，N两点，∴．设M(，)，N(，)，点睛：（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点或参数)存在，并用待定系数法设出，根据题意列出关于待定系数的方程（方程组），若方程（组）有实数解，则元素(点或参数)存在；否则元素(点或参数)不存在．（2）解析几何中求范围或最值时，首先建立关于某一参数为为变量的目标函数，再根据函数的特征求出范围或最值．4．已知抛物线，过直线：上任一点向抛物线引两条切线（切点为，且点在轴上方）．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）抛物线上是否存在点，使得．【答案】(1)证明见解析.(2)当或时，抛物线上存在点B；当时，抛物线上不存在点B．【解析】【分析】(1)先求得直线直线：，再证明直线过定点.(2) 设：，联立直线和抛物线的方程得到，代入得或，即得，所以当或时，抛物线上存在点B；当时，抛物线上不存在点B．（2）因为直线过定点，故设：，由得，所以．设，因为，所以，所以，即，，，．又，所以，所以，所以或．因为点B不在直线ST上，所以．因为，所以当或时，抛物线上存在点B；当时，抛物线上不存在点B．【点睛】（1）本题主要考查直线的定点问题，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是由得到.学科&网5．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上， ABF ∆是边长为4的等边三角形. （1）求p 的值；【答案】（1）2；（2）()2,0N .试题解析：（1）由题知， AF AB =，则AB l ⊥.设准线l 与x 轴交于点D ，则//AB DF .又ABF 是边长为4的等边三角形， 60ABF ︒∠=，所以60BFD ︒∠=， 1cos 422DF BF BFD =⋅∠=⨯=，即2p =.（2）设点(),0N t ，由题意知直线l '的斜率不为零， 设直线l '的方程为x my t =+，点()11,Q x y ， ()22,R x y ，6．已知抛物线()2:20E y px p =>的顶点在坐标原点O ，过抛物线E 的焦点F 的直线l 与该抛物线交于,M N 两点， MON ∆面积的最小值为2．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）试问是否存在定点D ，过点D 的直线n 与抛物线E 交于B C 、两点，当,,A B C 三点不共线时，使得以BC 为直径的圆必过点,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭．若存在，求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 24y x = ；（2）()5,2D -.【解析】试题分析：（1）第（1）问，通过利用函数的思想研究MON ∆面积的最小值得到关于P 方程，解方程即可. (2)第（2）问，根据以BC 为直径的圆必过点,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭得到AB AC ⋅=0， 化简得到m 和k 的关系，看是否满足题意. 试题解析：（1）设直线的方程为2px my =+，设()()1122,,,M x y N x y ， 联立222{ 2022px my y pmy p y px=+∴--==MON ∆面积的最小即12y y -最小， ()2222212121244421y y y y y y p m p p m -=+-=+=+所以当m=0时， 12y y -最小为2p,△MON 面积的最小， 所以21222422pp p y x =⨯⨯∴=∴=点睛：本题的难点在于定点问题的处理，关于直线的定点问题，一般先求出直线的方程，再把变量的关系代入分离参数，求出直线经过的定点.关键是根据已知条件找到变量的关系.。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第65炼 直线的方程与性质
第65炼 直线的方程与性质一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ 表示 （1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x -=-，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。
3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x -=-证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x -=-，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x -=-，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x -=- 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x --=-- ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a-==-- ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴-=--⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。
千题百炼 高考数学100个热点问题(一)：第4炼 函数值域的求法
千题百炼高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法第二章第4章值域函数及其精化函数的性质第4炼求函数的值域函数值域问题作为函数的三要素之一，也是高考中的一个重要考点，值域问题往往渗透到各种问题中，成为问题解决过程的一部分。
因此，掌握一些求取取值范围的基本方法。
当你需要找到函数的取值范围时，你可以掌握解析式的特点，找到相应的方法冷静地解决它。
1、基本知识：1。
寻找值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2.寻找数值范围的常用工具：虽然有时，寻找数值范围就像仙女的拼写公式。
分析特征对应于寻找值范围的方法。
只要你掌握了每种方法并对功能进行了分类，你就可以进行操作，但你也应该掌握一些常用的想法和工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若f?x?为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数图像（数字与形状的组合）：如果可以制作函数图像，则值范围一目了然（3）换元法：f?x?的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最大值法：如果函数f？十、哪里a、 b？连续的，f？十、M的最大值和最小值，然后是f？十、数值范围是多少？m、 m？注：一定在f?x?连续的前提下，才可用最值来解得值域3.常用函数的取值范围：在处理常用函数的取值范围时，通常可以通过组合数字和形状以及使用函数图像来求解取值范围。
巧妙地处理公共函数的取值范围，也便于通过变形和变换将复杂的解析公式转换为公共函数。
（1）一次函数（y?kx?b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y？Ax？BX？C）：二次函数的图像是抛物线。
一般来说，这个公式可以用来确定函数的对称轴，然后用图像来求解它。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第100炼利用同构特点解决问题
合用文档第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同样，其余地方均同样的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：若是方程f a 0 和 f b 0 表现同构特点，则 a,b 可视为方程f x 0的两个根（ 2）在不等式中的应用：若是不等式的两侧表现同构特点，则可将同样的构造构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。
可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用： 若是 A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 满足的方程为同构式， 则 A,B 为方程 所表示曲线上的两点。
特其余，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 AB 的方程（ 4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特点，即关于a n ,n 与a n 1, n 1 的同构式，进而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：x 1 例 1：（ 2015 天津十二校联考） 设 x, y R ，满足y1（）552 x sin x1 3，则 x y2 y sin y11A.B.2C.4D. 6思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y1，进而可变形为x15 x1 sin x1 125，观察上下式子左边构造同样，进而可将同样的构造y 1 y 1 sin y112视为一个函数， 而等式右边两个结果互为相反数， 可联想到函数的奇偶性， 进而利用函数性质求解5x 1 解：5y 12x sin x1 3 x 15x 1 sin x 1 12 2 y sin y 11y 1 5y1 sin y112设 f tt 5 2t sin t ，可得 ft 为奇函数，由题意可得：f x 11 f y 1f y 1f x 11x 1y 1x y2答案： B例 2：若函数 fxx 1 m 在区间 a,b 上的值域为a ,b b a 1 ，则实数 m 的2 2取值范围是 _____________a 1 maa, f b思路：注意到f x 是增函数，进而获取f ab，即2，发现22b 1 mb2两个式子为 a,b 的同构式， 进而将同构式视为一个方程，而 a,b 为该方程的两个根， m 的取值只需要保证方程有两根即可解：f x 为增函数a1 aa mf ab2 , f bb221b m2a, b 为方程 x 1 mx 在 1,上的两个根，即 mx x 1 有两个不同样的根2 2令 tx 1 t 0xt 2 1所以方程变形为：m 1 t21 t1 t2 2t 1 ，结合图像可得：m0,1222答案： m0,12例 3：设 a,b ? R ，则 | “ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）A. 充分不用要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不用要条件思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种构造设为函数f xx x ，解析f xx xx 2 , xf x a > b ? f ( a )f( )其单调性。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第97炼 不等式选讲
第97炼 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++②几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：2nn a Q ++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题 Word版含解析
第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。
所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设()011222nn n n r n r r n nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，①令1a b ==，可得：012n nn n nC C C =+++ ②令1,1a b ==-，可得： ()012301nnn n n n n C C C C C =-+-+- ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++ （假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++= （2）设()()201221nn n f x x a a x a x a x =+=++++① 令1x =，则有：()()0122111nn a a a a f ++++=⨯+= ，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010na f =⨯+=，即常数项③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211nn a a a a a f -+-++=-⨯+=- ()()()021311n n a a a a a a f -⇒+++-+++=- ，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出()02n a a a +++ 和()131n a a a -+++ 的值 二、典型例题：例1：已知()828012831x a a x a x a x -=++++ ，则1357a a a a +++的值为________思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值解：令1x =可得：80182a a a =+++ ①令1x =-可得：801284a a a a =-+-+ ② ①-②可得：()881357242a a a a -=+++()8813571242a a a a ∴+++=- 答案：()881242- 例2：已知()()()()()92112121112111xx a a x a x a x +-=+-+-++-，则12a a a+++的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 255 D. 2-思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a +++= ，只需再求出0a 即可。
高中数学考前100问(最终版)
“ .高中数学考前回归教材资料亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下 100 个问题，您是否有清醒的认识？1．集合中的元素具有无序性和互异性.如集合{a,2}隐含条件 a ≠ 2 ，集合 {x | ( x -1)(x - a) = 0}不能直接化成{1,a }.2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ x | y = lgx }与{ y | y = lgx }及{ (x, y)| y = l gx }三集合并不表示同一集合；再如： 设 A={直线}，B={圆}，问 A ∩B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3},B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A ∩B 中元素有几个？”有无区别？过关题：设集合 M = {x | y = x + 3}，集合 N ＝ {y | y = x 2 + 1, x ∈ M }，则 MN = ___（答： [1, +∞) ）3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 AB= φ ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？ A = φ 或 B = φ ；对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是2n 、 2n - 1 和 2n - 2 ，你知道吗？你会用补集法求解吗？A 是B 的子集 ⇔ A ∪B=B ⇔ A ∩B=A ⇔ A ⊆ B ，你可要注意 A = φ 的情况.过关题：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A ∩B=B ，则所有实数 m 组成的集合为.1答： m = {0,1,- }2已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - 2( p - 2) x - 2 p 2 - p + 1 在区间 [-1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) > 0 ，求实数 p 的取值范围.答： (-3, 3 2) ）4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？过关题：已知函数 f ( x ) = a - x x - a - 1的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 .答：{x | 2 < x < 3}5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果 原命题: p ⇒ q ;逆命题: q ⇒ p ;否命题: ⌝p ⇒ ⌝q ；逆否命题: ⌝q ⇒ ⌝p ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的条件.（答：充分非必要条件）若 p ⇒ q 且 q ≠ p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）;| 注意命题 p ⇒ q 的否定与它的否命题的区别:命题 p ⇒ q 的否定是 p ⇒⌝ q ；否命题是 ⌝p ⇒ ⌝q命题“p 或 q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且 q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “ a, b ∈ Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数，则 a + b是奇数”；否定是“若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是奇数”7.绝对值的几何意义是什么？不等式ax + b |< c ，| ax + b |> c (c > 0) 的解法掌握了吗？过关题：| x | + | x – 1|<a 的解集非空，则 a 的取值范围是，| x | – | x – 1|<a 恒成立，则 a 的取值范围是.有解，则 a 的取值范围是.答： a > 1 ； a > 1 ； a > -18.如何利用二次函数求最值？注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗？若 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，你对 a - 2 =0 的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，情况又怎么样呢？9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（ 3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？过关题：不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为{x | - 1 1< x < } ，则 a + b = .2 3答： -14过关题：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是.9答： [-2, ]8特别提醒：二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根即为不等式 ax 2 + bx + c > 0 (< 0) 解集的端点值，也是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标.对二次函数 y = ax 2 + bx + c ，你了解系数 a, b , c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的影响吗？对函数 y = lg( x 2 - 2ax + 1) 若定义域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式小于零；若值域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为，y = lg(x 2 – 1) 的值域为 ，你有点体会吗？答： [0, +∞);( -∞, +∞)10 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y = log (x 2 - 2x -3)的单调增区间？再如已知函数2y = log (x 2 - 2ax -1)在区间 [2,3] 上单调减，你会求 a 的范围吗？答： 0 < a <a34若函数 y = x 2 - 2ax + 2 的单调增区间为[2, +∞)，则 a 的范围是什么？答： a = 2若函数 y = x 2 - 2ax + 2 在 x ∈ [2, +∞)上单调递增，则 a 的范围是什么？答： a ≤ 2两题结果为什么不一样呢？y 11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）如已知 f ( x ) = 5sin x + x 3 ， x ∈ (-1,1)， f (1- a) + f (1- a 2 ) < 0 ，求 a 的范围. 答： (1, 2)求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示.12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）.1过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a = , b =.答： ;0313.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？函数图象与x 轴的垂线至多一个公共点，但与 轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个； 函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线y = x 对称，你知道吗？过关题：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？过关题：已知函数 y = f (x) (a ≤x ≤b )，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a ≤x ≤b } ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（ ）A. 0 或 1B. 0C. 1D. 无数个答： A14.由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (- x ) 的图象？答：以 y 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f ( x ) 的图象？答：以 x 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f (- x ) 的图象？答：以 (0,0) 为对称中心翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (| x |) 的图象？答：去左翻右⑴ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( x , - y) = 0 1⑵ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , y) = 0 2 ⑶ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y , x) = 0 3⑷ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线 C 是：.答： f (- y , - x ) = 04⑸ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f ( y - m , x + m ) = 0 5⑹ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = -x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f (m - y , m - x) = 06⑺ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线 C 是： .答： f (2m - x, y) = 0 7⑻ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = m 对称的曲线 C 是： .答： f ( x ,2 m - y) = 08 ⑼ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于原点的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , - y) = 09过关题： f (x) = log x 关于直线 y = x 的对称函数（反函数）.答： y = 2x或 [ b 的单调区间吗？（该函数在 (-∞,-. y指数式、对数式：a n = n a m ，a - n = 1 ，a 0 = 1 ，log 1 = 0 ，log a = 1 ，lg 2 + lg5 = 1 ，log x = ln x ，215.函数 y = x + kx(k > 0) 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若 k ＜0 呢？ 你知道函数bab b,+∞) 上单调递增；在 (0, ] 或 [- ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！a a a求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质]过关题： y = log1 (-x2+ 2x )的单调递增区间是________(答：（1,2）).2已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x ∈[1, 9]，则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 . 答：13求解中你注意到函数 g (x)的定义域吗？(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）过关题 12：已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T ，则 f (-（答：0）几类常见的抽象函数 ：①正比例函数型： f ( x ) = kx(k ≠ 0) --------------- f ( x ± y ) = f ( x ) ± f ( y ) ；T2) = __x ②幂函数型： f ( x ) = x 2 -------------- f ( x y) = f ( x ) f ( y) ， f ( ) =y f ( x ) f ( y)；③指数函数型： f ( x ) = a x ---------- f ( x + y) = f ( x ) f ( y) ， f ( x - y) =f ( x ) f ( y)；x ④对数函数型： f ( x ) = log x --- f ( x y) = f ( x ) + f ( y) ， f ( ) = f ( x ) - f ( y) ；a⑤三角函数型： f ( x ) = tan x ----- f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) 1 - f ( x ) f ( y).17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y = a x ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y = 1 接近程度；对数函数 y = log x 呢？ 你 a还记得对数恒等式（a log a N = N ）和换底公式吗？知道： n m log N = log aa m N n吗？mmm a a eana b = N ⇔ log N = b (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ， a log a N = N .a如 ( )log 28的值为________(答： 1 2 - β + 2k π ,( k ∈ Z )sin x > ； ⎨2 由三角函数线，我们很容易得到函数 y = sin x ， y = cos x 和 y = tan x 的⎪ tan θ ≥ 1函数 y =2sin(π15︒,75[ 2 ) 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？cos ϕ = ⎨ ⎩ϕ 1 2 64 )18.你还记得什么叫终边相同的角？若角α 与 β 的终边相同，则α = β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边共线，则：α = β + k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则：α = -β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则：α = π - β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于原点对称，则：α = β + (2 k + 1)π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于直线 y = x 对称，则：α =π各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦； ︒ 角的正弦、余弦、正切值还记得吗？ 19.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：⎧ 3 2 ⎪cos θ < 2 ⎩单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k ∈ Z ）ππ– 2x)的单调递增区间是- + k π ,+ k π]( k ∈ Z ) 吗？你知道错误的原因吗？663y = tan x 图象的对称中心是点 ( k π 2,0) ，而不是点 (k π ,0) (k ∈ Z ) 你可不能搞错了！你会用单位圆比较sinx 与 cosx 的大小吗？当x ∈ (0, π过关题:函数 y = tan x 与函数 y = sin x 图象在 x ∈[-2π,2π]上的交点的个数有个？ 答： 520 ．三角函数中，两角 α、β 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？⎧⎪ a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin(x + ϕ ) 中 ϕ 角是如何确定的？（可由 ⎪ ⎪ s in ϕ =⎪ aa 2 +b 2ba 2 +b 2确定，也可由tan= b a及 a , b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？重要公式： sin 2α = 1- cos2α ； cos 2α = 1 + cos2α ．；nat α = ± 1-osc α = nis α = 1-osc α ;222 1+osc α 1+osc α nis α1± sin θ = (cos ± sin )2 = cos ± sin12 ,k π + 2 ， α + βα + β = 2 ⋅ α + β (αβ ) (αβ )2-等），（答： y = - 3A.π函数 y = sin ⎛ 5π- 2 x ⎪ 的奇偶性是______（答：偶函数）y A 、 “ θ θ θ θ2 2 2 2等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？如：函数 f ( x ) = 5 s in x cos x - 5 3 c os 2x +53( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________（答：2[ k π - π5π 12]( k ∈ Z ) ）巧变角：如 α = (α + β ) - β = (α - β ) + β ， 2α = (α + β ) + (α - β ) ， 2α = (β + α) - (β -α) ，2=- -2如（1）已知 tan(α + β ) = 25π 1 π 3， tan( β - ) = ，那么 tan(α + ) 的值是_____（答： ）；4 4 4 22（2）已知 α , β 为锐角， sin α = x,cos β = y ， cos(α + β ) = -4 3 1 - x 2 + x( < x < 1) ）5 5 53 5，则 y 与 x 的函数关系为______（3）若 x =π6是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是ππ B.C.D. π （ ）答： B63221.会用五点法画 = A s in( ωx + ϕ ) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 ω、ϕ 的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？ 答： A,ϕ, wx + ϕ, | ω |2π22.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是： 奇变偶不变，符号看象限”⎫ ⎝ 2 ⎭23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无 解）？24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：见切化弦；, 且 < α < ，则 cos α -sin α的值为.答： -过关题: sin α = 5 ,sin β = , 且α ,β为锐角, 则 α + β =.答：y = sin x −左−或−平−−|Φ|→ y = sin( x + Φ) −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin(ω x + Φ)1 ω− 右 移 y = sin x −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin ωx −左−或−平−−|→ y = sin(ωx + Φ)1 Φω−−−−− 原来的− → y = A s in(ωx + Φ) −−−平−−→ y = A s in(ωx + Φ) + b 2 ]（3）次的变换：降幂公式；π π（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换1 = sin 2 α + cos 2 α = tan =sin =cos0）等，这些统称为 1 的代换.4 225.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？过关题： sin α cos α = 1 π π8 4 23210π 5 10426.形如 y = Asin(ωx + ϕ) +b ，y = A t an(ωx + ϕ) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？27、 y = Asin(ωx + ϕ) +b 与 y =sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移;标 缩标 缩 右 移 | ω标 缩 下 移28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 s in α cos β = 12 1 1 ，求 sin β cos α 的变化范围.答： [- , ]2 2提示：整体换元，令 s in β cos α = t ，然后与 sin α cos β 相加、相减，求交集.29.请记住(sin α ± cos α )与 sin α cos α 之间的关系.5过关题：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.答： [- , 2 + 1]430 常见角的范围①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是(0,②直线的倾斜角、 与的夹角的取值范围依次是[0, π ) ， [0,π31 以下几个结论你记住了吗？π π] ， [0, ] ， [0, π ] ； 2 2⎩y=2sinθB=b+c⑷面积公式：S=1a⑴如果函数f(x)的图象关于直线x=a对称，那么函数f(x)满足关系式为，且函数f(x)若为奇函数，则函数f(x)的周期为.答：f(a+x)=f(a-x),4|a|⑵如果函数f(x)满足关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)满足关系式为；答：f(a+x)+f(a-x)=2b⑶如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么f(x)是周期函数，周期是T=4|a-b|.（4）f(x+a)=f(b-x)，则f(x)的图象关于x=a+b2对称.过关题：已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且满足g(x)=f(x–1)，则f(2006)+f(2007)+f(2008) =.答：0132.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？l=|α|r,S=lr若α是角度，公式又是什么形式2呢？过关题:已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2cm2），⎧x=2cosθ曲线⎨π（θ为参数,且-π≤θ≤-）的长度为.答：34π333.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？A B+C⑴内角和定理：三角形三内角和为π,sinA=sin(+C),cosA=-cos(B+C),s in=cos()22⑵正弦定理：a b c===2R（R为三角形外接圆的半径）, sin A sinB sinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解⑶余弦定理：a222-2bc cos A，cos A=定三角形的类型.b2+c2-a2(b+c)2-a2=-1等，常选用余弦定理鉴2bc2bc1abcah=ab sin C=224R，内切圆半径r=2S∆ABC a+b+c（5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？sinA>sinB⇔A>B，你会证明吗？（6）已知a,b,A时三角形解的个数的判定：bCh a其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时，无解；②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；④a≥b时，一解（一锐角）.⑵A为直角或钝角时：①a≤b时，无解；②a>b时，则b36.倒数法则还记得吗？（指ab>0,a>b⇒1）(x>③正数x,y满足x+2y=1，则1+的最小值为______（答：3+22）；（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？34．常见的三角换元法：已知x2+y2=a2，可设x=a cosθ,y=a sinθ；已知x2+y2≤1，可设x=r cosθ,y=r sinθ(0≤r≤1)；已知x2y2+a2b2=1，可设x=a cosθ,y=b sinθ；35.重要不等式的指哪几个不等式？若a,b>0，（1）a2+b2≥a+b≥ab≥2（当且仅当a=b时取等号）；221+1a b（2）a、b、c∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；（3）若a>b>0,m>0，b+m<a a+m（糖水的浓度问题）.111<，常用如下形式：a>b>0⇒0<<，a b a b11a<b<0⇒0>>）用此求值域的注意点是什么？a b如求函数y=12x-11的值域，求函数y=2x-1的值域呢？37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法（a2+b2≥(a+b)22≥2|ab|）等号成立的条件是什么？基本变形：①a+b≥；(a+b2)2≥；38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？如：①函数y=4x-91)的最小值2-4x2.（答：8）②若若x+2y=1，则2x+4y的最小值是______（答：22）；1x y39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）过关题：若正数a,b满足a b=a+b+3,则a+b的取值范围是.（答：[6,+∞)）40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？a + b， .“ x - 1 - . 答： ( 2, 3)过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 c = 2, P = log a, N = log b , M = log ab ，c cc则 A. P < M < NB. M < P < NC. N < P < MD. P < N < M ( )答： A41 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式） 另外“序轴标根法”解不等式的注意事项是什么？将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包含零点 如:解不等式 ( x + 3)( x - 1)3 ( x + 2)2 ≥ 0 .（答：{x | x ≥ 1或x ≤ -3 或 x = -2} ）；42.解分式不等式f ( x )g ( x )> a(a ≠ 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，一般不能去分母而是移项通分）43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上： 综上，原不等式的解集是…”解不等式ax 2 ax - 1> x(a ∈ R)（综上，当 a = 0 时，原不等式的解集是{x | x < 0} ；当 a > 0 时，原不等式的解集是{x | x > 1 a或 x < 0} ；当 a < 0 时，原不等式的解集是{x | 1 a< x < 0 } ）过关题：解关于 x 的不等式：ax + 1> 1 ，（| a |≠1） x + 1答： a > 1,{x | x > 0或x < -1}； a =1,∅； 0 < a < 1,{x | -1 < x < 0}44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）过关题：解关于 x 的不等式： log ( x 2- x - 2) > log1 1 421246.会用不等式 || a | - | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）过关题：对任意的 a ∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是.答： (-∞,1) (3, +∞)过关题：当 P(m, n )为圆 x 2 + ( y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c ≥0 恒成立，则 c 的取值范围是.答： [ 2 - 1,+∞)48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？}{公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用a=⎨直接写出所求数列的通项公式）S-S n≥2⎩nna2+(2n-1)=n2，（等差数列中的重要性质：若，则；等差数列的通项公式：a=kn+b型前n项和：S=An2+Bn型n n等比数列中的重要性质：若，则用等比数列求前n项和时一定要注意公比q是否为1？（过关题：求和：S=x+2x2+3x3++nx n要注意什么？n时，；时，）49.等差数列、等比数列的重要性质：an+1-an-1=d(a为常数)的数列有什么性质？若{a}为等差数列，n则{a2n-1，ka +b }也是等差数列，它们的公差是什么？n50.数列通项公式的常见求法：观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第项a与项数n之间的关系）n⎧S n=11nn-1叠加法（适用于递推关系为an+1-a=f(n)型）n连乘法（适用于递推关系为an+1=f(n)型）an构造新数列法（如递推关系n+1=pa+q;an n+1=pa+b(b为等差数列或等比数列)型）n n n51.数列求和的常用方法：公式法：⑴等差数列的求和公式（两种形式），⑵等比数列的求和公式⑶1+2++n=n(n+1)，1+3+5+1+3+5++(2n+1)=(n+1)2；12+22+32+1+n2=n(n+1)(2n+1)6分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1)n因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111 =-⑵=(-)n(n+1)n n+1n(n+k)k n n+k⑶11111<=(-)k2k2-12k-1k+11111111-=<<=-k k+1(k+1)k2k(-1)k-1kk kn (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)(n + 1)!n ! (n + 1)!裂项法求和：如求和：1 + 1 1 + 2 1 + 2 + 3 +① a n+1-a n =…… ⎨= 0如 a n = -2n 2+29n-3 ⎪< 0n +1 = ⎨= 1 (a n >0) 如 a n = ⎪< 1 ⎩ 求通项常法: （1）可利用公式: a = ⎨ ⎩S n - S n -1 n ≥ 22 22 22n n 14, n = 1n + 1 + n (n ≥ 2) ，则 a =________（答：a = n + 1 - 2 + 1） a n ＝ an －1 an －2 a⑷⑹ 2( n + 1 - n ) < 1 n< 2( n - n - 1) ⑺ a = S - S n nn -1 (n ≥ 2)⑻ C m -1 + C m = C m ⇒ C m = C m - C m -1 （理科）nnn +1nn +1n分组法求数列的和：如 a n =2n+3n 、错位相减法求和：如 a n =(2n-1)2n 、1 + + 11 +2 +3 + + n =（答：2nn + 1）、倒序相加法求和：如①求证： C 0 + 3C 1 + 5C 2 +nnn+ (2 n + 1)C n = (n + 1) 2n ；（理科）nx 2 1 1 1 7②已知 f ( x ) = ，则 f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) ＝___（答： ）1 + x2 234 2求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：⎧> 0⎪ ⎩②a ⎪ an ⎧> 19 n (n + 1)10 n③ a n =f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 a n =nn 2 + 156⎧S n = 1 1 n如：数列{a } 满足 n1 1 a +a + 1+ 1a= 2n + 5 ，求 a （答： a =n n{2n +1, n ≥ 2 ）（2）先猜后证（3）递推式为 an ＋1＝ a ＋f(n) (采用累加法)； a nn ＋1 ＝ a ×f(n) (采用累积法)；n如已知数列{a } 满足 a = 1 ，a - a n1nn -1 =1nn（4）构造法形如 a = kann -1+ b 、 a = kann -1+ b n （k , b 为常数）的递推数列如已知 a = 1,a = 3a1nn -1+ 2 ，求 a （答： a = 2 3n -1 - 1 ）；n n（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 2 个公式的合理运用a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ；aa a n ⋅ n －1 2a 11（ a ≠ 0）i+ 13n - 24 + 1 1 , 数列{a n }的前 n 项和为 Sn , 点 P n (a n , - a答：（1） a = 4n - 3 4n - 3 2 4n - 3 4n - 3 + 4n + 1 = >，求数列通项时注意到 n ≥ 2 了吗？一般情况是： a= ⎨ ⎩S - S 常用定理:①线面平行 b ⊂ α ⎬ ⇒ a //α ; ⎬ ⇒ a //α ; a ⊥ β ⎬ ⇒ a //α a ⊄ α⎪⎭ a ⊄ α ⎪⎭ ②线线平行: a ⊂ β ⎬ ⇒ a //b ; ⎬ ⇒ a // b ; α ⋂γ = a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫ ⇒ c // bα ⋂ β = b ⎭β ⋂γ = b ⎭③面面平行: a ⋂ b = O ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // γa // β ,b // β ⎪⎭④线线垂直: a ⊥ α⎫⎬ ⇒ a ⊥ b ;所成角 90；a ⊂ α ⎪ (三垂线);逆定理?b ⊂ α ⎭α // β ⎫ α // β ;; α//β ⎫⎬ ⇒a ⊥ β ; a // b ⎫⎬ ⇒ b ⊥ αa ⋂b = O ⎬ ⇒l ⊥α α ⋂β = l ⎬ ⇒ a ⊥ β l ⊥ a,l ⊥ b ⎪⎭ a ⊂α, a ⊥ l ⎪⎭⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂ β ⎫ a // β ⎫（6）倒数法形如 a =nan -1的递推数列都可以用倒数法求通项.ka + bn -1如①已知 a = 1,a =1n②已知数列满足 a =1， a1n -1- a = a an n n -1，求 a （答： a = n n 1 n 2），已知函数 f (x) = -x 2 a n +1)(n ∈N*)在曲线 y = f (x)上, 且 a 1 =1, a n > 0.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证: S n >2n4n + 1 + 1 (n ∈N*);(3)若数列{b n }的前 n 项和为 T n , 且满足 Tn +12 n= Tnan +12+ 16n 2 - 8n - 3 , 试确定 b 1 的值, 使得数列{b n }是等差数列.n1 12 2（2）提示： a = （3） b = 1n 1 由 a = S - Sn n n -1n ⎧ S1 n n -1 n = 1 n ≥ 252.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α 、a ∩α =A (a ⊄ α ) 、a ⊂ α③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a线//线 ⇔ 线//面 ⇔ 面//面，线⊥线 ⇔ 线⊥面 ⇔ 面⊥面.a //b ⎫ α ⊥ β⎫⎪ ⎪a ⊂ β ⎭a //α⎫ ⎫⎪ a ⊥ α⎫ ⎬ ⎬ ⎪ b ⊥ α ⎭ ⎪ a // c ⎭a ⊂ α,b ⊂ α ⎫⎪a ⊥ α ⎫ α // β ⎫ a ⊥ β ⎭ γ // β ⎭PO ⊥ α ⎫⎬ ⇒ a ⊥ P Aa ⊥ AO ⎪⎭⑤线面垂直: a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥β ⎫⎪ ⎪ a ⊥α⎭ a ⊥ α⎭⎬⇒ α ⊥ β ; ⎬⇒ α ⊥ β a ⊥ α ⎭ a ⊥α ⎭两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是： (0, π ] 、 [0, ] 、， 53.异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解） 范围是什么？过关题：在正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在线段 A 1C 1 上运动，异面直线 BP 与 AD 1 所成的角为θ ，则 角θ 的取值范围是 .π22[0, π ] .(3)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）求空间角①异面直线所成角θ 的求法：π（1）范围： θ ∈ (0, ] ；2（2）求法：平移以及补形法、向量法.如（1）正四棱锥 P - ABCD 的所有棱长相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 P A 所成的角的余弦值等于____（答：3 3）；（2）在正方体 AC 1 中，M 是侧棱 DD 1 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A 1B 1 上的一点，则OP 与 AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围 [0,π2] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（理）（1）在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB 1 上，BD=1，则 AD 与平面 AA 1C 1C所成的角正弦为______（答：64）；（2）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 AB 、C 1D 1 的中点，则棱 A 1B 1 与截面 A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：3 3）；如（1）正方形 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，二面角 B-A 1C-A 的大小为________（答： 60 ）；（2）正四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中对角线 BD 1＝8 BD 1与侧面 B 1BCC 1 所成的为 30°，则二面角 C 1—BD 1—B 1的正弦为______（答：6 3）；（3）从点 P 出发引三条射线 PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是 60°，则二面角 B-P A-C 的余弦值是______（答： 13）；54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？过关题：平面α 、 β 、 γ 两两互相垂直，直线 l 与平面 α 、 β 所成的角分别为 30o 、45o ，则直线 l 与平面 γ 所成的角为 .答： 30︒; r = ; R = aa | ! （2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ；正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为 ，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为、 .答：3 ; 1 ; 1 h 3h 3 3 34 4（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？过关题：一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为. 答： 3π56．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔ 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔ 顶点在底面射影为底面垂心 ;斜高相等(侧面与底面所成相等 ) ⇔ 顶点在底面射影为底面内心 ;正棱 锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cos θ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;57.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（ 在 b 方向上的投影是 a | cos θ =a ⋅b , θ为向量a 与 b 的夹角）一定要记住 | b |过关题：在直角坐标平面上，向量 OA = (4,1) 与 OB = (2, -3) 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率为. 答： -12⑵ 0 和 0 是有区别的了， 0 的模是 0，它不是没有方向，而是方向不确定；0 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直.⑶ 若 a = 0 ，则 a ⋅ b = 0 ，但是由 a ⋅ b = 0 ，不能得到 a = 0 或 b = 0 ，你知道理由吗？还有： a = c 时， a ⋅ b = c ⋅ b 成立，但是由 a ⋅ b = c ⋅ b 不能得到 a = c ，即消去律不成立.58.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则 CD =12(CA + CB) ；已知直线 AB 外一点 O ，点 C 在直线 AB 上的充要条件为 O C = tOA + (1- t )OB .（三点共线）59 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？60.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量是－ a .)、共线向量、相等向量②当 a ， b 同向时， a • b ＝ a b ，特别地， a 2= a • a = a , a = ③ | a • b |≤| a || b |.如已知 a = (λ,2λ)，b = (3λ ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是b b 或 λ > 0且 λ ≠ ）； b 1 2如（1）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) , B(-1,3) ,若点 C 满足 OC = λ OA + λ OB ,（2）在 ∆ABC 中，① PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心，特别地 P A + PB + PC = 0 ⇔ P 为e e , →a e e 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）61、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB + B C = A C ; AB - AC =CB ; a - b ≤ a ± b ≤ a + b62、向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为θ ，则：① a ⊥ b ⇔ a • b = 0 ；2 a 2 ；当 a 与 b 反向时， a • b ＝－ a b ；当θ 为锐角时， a • b ＞0，且 a 、 不同向， a ⋅ b > 0 是θ 为锐角的充要条件；当θ 为钝角时， a • b ＜0，且 a 、 不反向， a ⋅ b < 0 是θ 为钝角的充要条件；→ →→ →______（答： λ < -4133④向量 b 在 a 方向上的投影︱ ︱cos θ ＝a ⋅ ba⑤ →和 →是平面一组基底则该平面任一向量 = λ →+ λ →( λ , λ 唯一)121 12 212特别： OP ＝ λ OA + λ OB 则 λ + λ = 1 是三点 P 、A 、B 共线的充要条件，向量基本定理是什么？12−−→ −−→ −−→12其中 λ , λ ∈ R 且 λ + λ = 1,则点 C 的轨迹是___（答：直线 AB ）1 2123∆ABC 的重心；② P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ⇔ P 为 ∆ABC 的垂心；③向量 λ ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |如：（1）若 O 是 △ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则 ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点，∆ABC 所在平面内有一点 P ，满足 P A + BP + CP = 0 ，设 | AP | | PD |= λ ，则 λ 的值为___（答：2）；（3）若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA + OB + CO = 0 ，则 △ABC 的内角 C 为__（答：120 ）；63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式记住了吗？直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？。
千题百炼- 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)
专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题精编版
第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。
所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设()011222nnn n r n r rn nn n n n n a b C a C ab C a b C a b C b ---+=++++++，①令1a b ==，可得：012n nn n n C C C =+++②令1,1a b ==-，可得： ()012301nnn n n nnC C C C C =-+-+-，即： 02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（2）设()()201221nn n f x x a a x a x a x =+=++++① 令1x =，则有：()()0122111nn a a a a f ++++=⨯+=，即展开式系数和② 令0x =，则有：()()02010na f =⨯+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211nn a a a a a f -+-++=-⨯+=-()()()021311n n a a a a a a f -⇒+++-+++=-，即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值二、典型例题：例1：已知()828012831x a a x a x a x -=++++，则1357a a a a +++的值为________思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值解：令1x =可得：80182a a a =+++ ①令1x =-可得：801284a a a a =-+-+ ②①-②可得：()881357242a a a a -=+++()8813571242a a a a ∴+++=- 答案：()881242- 例2：已知()()()()()921120121112111xx aax a x a x +-=+-+-++-，则121a a a +++的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 255 D. 2- 思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a +++=，只需再求出0a 即可。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在性问题
第76炼 圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，322P ⎛⎫⎪⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且O P O Q ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明OM OP ⋅是定值（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第70炼 求点的轨迹方程
第70炼 求点的轨迹问题一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。
常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。
若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第71炼求圆锥曲线方程Word版含解析
第71炼 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式：① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在性问题
e=
c 3 = ⇒ a : b : c = 3 : 2 :1 a 3
第九章
第 76 炼 圆锥曲线中的
在性问题
解析几何
则a =
3c, b = 2c ，依题意可得
F ( c,0 ) ，当 l 的斜率为 1 时
l: y = x−c⇒ x− y−c=0
∴ dO − l =
c
2
=
2 解得 2
c =1 x2 y 2 + =1 3 2
∴0 < r < 1
若直线 PQ 斜率 在，设 PQ : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 圆相
Q PQ
∴ dO − l =
m k +1
2
= r ⇐ m2 = r 2 ( k 2 + 1)
uuu r uuur OP ⊥ OQ ⇒ OP ⋅ OQ = 0
∴ a = 3, b = 2
椭圆方程为
2 设 P ( x0 , y0 ) ， A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 当 l 斜率 在时，设 l : y = k ( x − 1)
uuu r uuu r uuu r Q OP = OA + OB
x0 = x1 + x2 ∴ y0 = y1 + y2
在时，可知 l : x = 1 ， A 1,
2 3 2 3 , B 1, − ，则 P ( 2,0 ) 3 3
第九章
第 76 炼 圆锥曲线中的
在性问题
解析几何
∴ 综 所述
3 3 2 2 l : y = 2 ( x − 1) ， P , − 或 l : y = − 2 ( x − 1) ， P , 2 2 2 2
2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：存在性问题探究
第23讲 存在性问题探究所谓存在性问题是指圆锥曲线中存在某个量（点、线或参数等）使得某个几何关系成立，这种问题有两种常考题型：题型一：存在点P 或者参数，使得某个量为定值．解题思路：这类问题的解题思路是运用参数无关性来消参，即存在某点使得某个量和所设的参数无关，从而得到定值．题型二：存在点在曲线上．解题思路：设出点，带锥曲线方程，看方程是否有解． 解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．存在点使向量点积为定值【例1】过点(1,0)作直线l 交22:12x C y +=于,P Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】 （1）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：1x ky =+，()11,P x y ，()22,Q x y ． 联立22221x y x ky ⎧+=⎨=+⎩，整理得()222k y ++210ky -=，则()222(2)42(1)880k k k ∆=-+-=+>， 1221222212k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩． 假设存在定点(,0)M m ，使得MP MQ ⋅为定值，()()()()()()1122121212,,11MP MQ x m y x m y x m x m y y ky m ky m ⋅=-⋅-=--+=+-+-()()()2222212122212(1)1(1)(1)(1)22kk m k y y k m y y m m k k +-=+⋅+-++-=--+-++222(23)1(1)2m k m k --=+-+()2222222(23)2(54)5454(1)23(1)2222m k m m m m m m m k k k -++---=+-=-+-+=-++++当且仅当540m -=,即54m =时,MP .716MQ =-(为定值),这时5,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭, (2)当直线l 与x 轴重合时,此时(2,0),(2,0)P Q -,257(2,0),(2,0)2,416MP m MQ m MP MQ m m MP MQ =--=-⋅=-=⋅=-，，满足题意.∴存在定点,5,04M ⎛⎫⎪⎝⎭使得对于经过(1,0)点的任意一条直线l 均有MP MQ ⋅=716-(恒为定值).存在点使斜率的和或积为定值【例1】设直线l 经过椭圆22:143x y C +=的右焦点2F 且与C 交于不同的两点,M N ,试问:在x轴上是否存在点Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值?若存在,请求出点Q 的坐标.若不存在,请说明理由.【解析】若存在满足条件的点(,0)Q t .(1)当直线l 的斜率k 存在时,设(1)y k x =-.联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩, 消y 得()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ,则12x x +=2212228412,3434k k x x x k k-=++()()()()()()()()1221121212212121212112(1)2QM QN k x x t k x x t kx x k t x x kt y yk k x t x t x t x t x x t x x t --+---++++=+==-----++ ()()()22222222222222222228248(1)28248(1)2346(4)3434,41284128344(1)343434k k t t k k t t k k t k k k k k k k k t t k t k t t t k k-+-+--+++-++=⋅=⋅=---++-+--+++ ∴要使对任意实数,QM QN k k k +为定值,则只有4t =,此时,0QM QN k k +=.(2)当直线l 与x 轴垂直时,若4t =,也有0QM QN k k +=.故在x 轴上存在点(4,0)Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.【例2】过点(3,0)D 且斜率不为零的直线交椭圆22:14x C y +=于,A B 两点,在x 轴上是否存在定点Q ,使得直线,AQ BQ 的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.【解析】依题意可设直线AB 的方程为x =()()11223,,,,my A x y B x y +.联立221,43,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22465m y my +++0=∴()22364540m m ∆=-⨯+> ,1221226454m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,则()121222464x x m y y m+=++=+,()212121239x x m y y m y y =+++=223644m m -+. 假设存在定点(,0)Q t ,使得直线AQ ,BQ 的斜率之积为非零常数,则()()()2121212x t x t x x t x x t --=-++()2222222243624436424444t m t t m t t m m m -+-+-=-⋅+=+++()()212222222122500544362444362444AQ BQ y y m k k x t x t t m t t t m t t m --+∴⋅=⋅==---+-+-+-++ 要使AQ BQ k k ⋅为非零常数,当且仅当2240362440t t t ⎧-=⎨-+≠⎩,解得2t =±, 2t =时,553648164AQ BQ k k ⋅==-+.2t =-时,55136481610020AQ BQ k k ⋅===++. ∴存在两个定点1(2,0)Q 和2(2,0)Q -,使直线,AQ BQ 的斜率之积为常数.当定点为1(2,0)Q 时,直线,AQ BQ 的斜率之积为常数54.当定，点为2(2,0)Q -时,直线,AQ BQ的斜率乘积是120.存在点使角度相等【例】1设过椭圆:22184x y +=右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点,试问在x 轴上是否存在与点2F 不重合的定点T ,使得22ATF BTF ∠=∠恒成立?若存在,求出定点T 的坐标.若不存在,请说明理由.【解析】假设存在与2F 不重合的定点T ,使得22ATF BTF ∠=∠恒成立,设(),0T T x ,且()112,,T x A x y ≠,()22,B x y ,则1212,TA TB T Ty y k k x x x x ==-- 220 ,TA TB ATF BTF k k ∠=∠∴+=即12120.T T y y x x x x +=--整理得122112T x y x y x y y +=+. 设直线:2l x my =+.联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x ,整理得()222440m y my ++-=.()22(4)42(4)m m ∴∆=-⨯+⨯-=232320m +>,∴12122244,22m y y y y m m --+==++. ∵()()122112222x y x y my y my +=+++⋅()1121222y my y y y =++.∴()12121221121222T my y y y x y x y x y y y y +++==++21212242222242y y m m m m y y m -+=⋅+=⋅+-++122 4. m m =⋅+= ∴存在与2F 不重合的定，点T ,使得22ATF BTF ∠=∠恒成立,且，点T 坐标为(4,0)【例2】过椭圆22:14x C y +=的右焦点F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,试问在x 轴上是否存在定点M 使得OMA ∠=(OMB O ∠为坐标原点)?若存在,求出点M 的坐标.若不存在,说明理由.【解析】(1)当直线l 非x 轴时,可设直线l的方程为x my =+联立得2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()22410m y ++-=.由()(222)4416m m ∆=++=+1)0>, 设()()1122,,,A x y B x y ,定点(,0)M t 且12,t x t x ≠≠,由韦达定理可得12y y +=,12214y y m -=+. 由OMA OMB ∠=∠,可知等价于AM ,BM 的斜率互为相反数.()1212120y yy x t x t x t∴+=⇒-+--()210y x t -=,即)122y my t y -+)10my t -=,整理得()12)t y y ++1220my y =.从而可得)2t m -+.2104m -=+,即2(4)0m =,∴当t =即M ⎫⎪⎪⎝⎭时,OMA ∠=OMB ∠ (2)当直线l 为x 轴时,M ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意.综上,存在x轴上的定点M ⎫⎪⎪⎝⎭,满足OMA OMB ∠=∠.存在点使等式恒成立【例1】过椭圆22:12x C y +=的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,O 为坐标原点,问椭圆C 上是否存在点P ,使得OP OA =OB +?若存在,求出直线l 的方程.若不存在,请说明理由.【解析】(1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为1x =-,联立22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩,或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.则点1,,A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭或,1,. A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭故1,(2,0)OA OB ⎛⎛+=-+-=- ⎝⎭⎝⎭此时椭圆C 上不存在这样的点P . (2)当直线l 的斜率0k =时,((0,0),OA OB +=+=此时椭圆C 上不存在符合题意的点,P .(3)当直线l 的斜率k 不为0时,设,点.()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,直线l 的方程为(1)y k x =+.联立22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()222212421k x k x k +++-0=,故221224880,12k k x x k∆=+>+=-+. 则OP OA OB =+()1212,x x y y =++()()1212,2x x k x x =+++22242,1212k k k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. 则点22242,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点P 在椭圆上,则有2222242221212k k k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,整理得212k =,解得2k =±.∴椭圆上存在点P ,使得OP OA OB =+,此时直线l 的方程为1)y x =+.【例2】已知动直线l 过椭圆22:11612x y C +=右焦点F ,且与椭圆C 分别交于,M N 两点.试问x轴上是否存在定点Q ,使得QM .13516QN =-恒成立?若存在求出点Q 的坐标.若不存在,说明理由.【解析】(1)假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ,使得13516QM QN ⋅=-.(1)当直线l 的斜率不存在时,则(2,3)M ,(2,3),(2,3)N QM m -=-,(2,3)QN m =--,由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-,解得54m =或114m =. (2)当直线l 的䐷率为0时,则(4,0)M -,(4,0),(4,0),N QM m QN =--=(4,0)m -,由21351616QM QN m ⋅=-=-,解得114m =-或114m =.由(1)(2)可得114m =,即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭(2)当114m =时,13516QM QN ⋅=-恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时,由(1)知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时,设其方程为()11(2)(0),,y k x k M x y =-≠,()22,N x y .直线与椭圆方程联立得()()222234161630k x k x k +-+-=.直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++.()())22212121212222(4y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2121212111214416x x x x y y k =-++++()()22222221631116121124.311443564316k k k k k k k -⎛⎫=⎭=+-+⨯-+⨯+ ⎪++⎝综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭,使得13516QM QN ⋅=-恒成立.【例3】已知椭圆22154x y +=,过右焦点2F 的直线l 交椭圆于,M N 两点,若直线l 的斜率存在,在线段2OF 上是否存在点(,0)P a ,使得||||PM PN =,若存在,求出a 的范围.若不存在,请说明理由.【解析】当直线l 的斜率存在时,设()()1122,,,M x y N x y ,直线l 的方程为(1)y k x =-,①又椭圆的方程为22154x y +=,②由①②可得()222254105k x k x k +-+-200=,2212122210520,,5454k k x x x x k k -∴+==++()1212282.54k y y k x x k k -+=+-=+ 设MN 的中点为1212,22x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭,即22254,5454k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 假设存在点(,0)P a ,使得||||PM PN =, 即P 在MN 的中垂线上,则1PQ MNk k ⋅=-,解得2254k a k =+.当0k =时,,M N 为椭圆长轴的两个端点,则,点P 与原点重合.当0k ≠时,10,5a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述,存在点P 且10,5a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【例4】过点(5,2)D -作直线l 与抛物线2:4E y x =交于不同的两点,B C ,设BC 的中点为Q ,问曲线E 上是否存在一点A ,使得||AQ 1||2BC =恒成立?如果存在,求出点A 的坐标.如果不存在,说明理由.【解析】由题意,B C 两点在抛物线24y x =上,设点211,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点222,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设直线l 的方程为(2)5x m y =++.联立24(2)5y xx m y ⎧=⎨=++⎩得248200, y my m ---=12124,820. y y m y y m +==--设满足条件的点A 存在,设200,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭.若抛物线上的点A 满足1||||2AQ BC =,则点A 在以BC 为直径的圆上.即0BA CA ⋅=.∴222200120102,,4444y y y y BA CA y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220102010244y y y y y y y y --=⋅+-⋅-()()010********y y y y y y y y ++⎛⎫=-⋅-⋅+ ⎪⎝⎭()()200010248416y my m y y y y +--=-⋅-⋅()()()()010200142216y y y y y m y =-⋅-⋅++- 由题意即是0BA CA ⋅=恒成立,可得02y =.∴(1,2)A ,∴抛物线24y x =上存在点,(1,2)A 满足1||||. 2AQ BC =【例】是否存在斜率为2的直线，使得当直线l 与椭圆22:12x C y +=有两个不同交点,M N 时,能在直线53y =上找到一点P ,在椭圆C 上找到一点Q ,满足PM NQ =?若存在,求出直线l 的方程.若不存在,请说明理由.【解析】设直线l 的方程为2y x t =+,设()()112235,,,,,3M x y N x y P x ⎛⎫⎪⎝⎭,()44,,Q x y MN 的中点为()00,D x y ,联立22222y x tx y =+⎧⎨+=⎩,消去x 得292y ty -+280t -=, 1229ty y ∴+=且()2243680, t t ∆=-->故12029y y t y +==且33t -<<.由PM NQ =,知四边形PMQN 为平行四边形.而点,D 为线段MN 的中点,因此点,D 为线段PQ 的中点,4053,29y t y +∴==可得42159t y -=, 又33t -<<,可得4713y -<<-,因此点,Q 不在椭圆上,故不存在满足题意的直线l .存在性使线段关系式为定值【例1】椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点到直线30x y -=,离心率为,抛物线2:2(0)G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合,斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ,与G 交于,C D .(1)求椭圆E 及抛物线G 的方程.(2)是否存在常数λ,使得1||||AB CD λ+为常数?若存在,求出λ的值.若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设椭圆E ,抛物线G 的公共焦点为(,0)F c. 2.F l d c -∴=⇒=c e a a ∴=⇒= 222 1. b a c ∴=-= ∴椭圆22:15x E y +=.28. y x ∴=(2)设直线()11:(2),,l y k x A x y =-,()()()223344,,,,,B x y C x y D x y . 联立22(2)55y k x x y =-⎧⇒⎨+=⎩()222251202050,k x k x k +-+-= 2212122220205,. 1515k k x x x x k k-∴+==++||AB ∴==)22115k k ++联立()22222(2)48408y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩ 234248. k x x k +∴+=∵CD 是焦点弦,()234281||4. k CD x x k +∴=++=()2221||||81k AB CD k λλ∴+==+若1||||AB CD λ+为常数,则204=,λ∴=【例2】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>直线l 与x 轴交于点E ,与椭圆C 交于,A B 两点,当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时,弦AB 的. (1)求椭圆C 的方程.(2)是否存在点E ,使得2211EA EB +为定值?若存在,请求出点E 的坐标,并求出该定值.若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意可得c e a ==::a b c ∴= 当l 与x 轴垂直且E 为椭圆右焦点时,||AB 为通径.22||b AB a b a ∴==∴==∴椭圆C 的方程为22162x y +=. (2)假设存在点E ,设点()0,0E x .①若直线AB 与x 轴重合,则(A B00|||EA x EB x ∴==()()()202222220002121111.||||6x EA EB xx x+∴+=+=-+②若直线||AB 与x 轴垂直,则,A B 关于x 轴对称.∴设()()00,,,A x y B x y -,其中0y >,代入椭圆方程可得220162x y y +=⇒||||EA EB ∴==2222001126||||623x EA EB x ∴+==--()()()()2222200002220021262666666x x x x x x +∴=⇒+-=---可解得02221162.||||6x EA EB x =+==- ∴若存在,点E ,则(E .i.若E ,设()11,A x y ,()22,B x y .设直线:AB x my =与椭圆C 方程联立2236x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y可得22(36my y ++=⇒()22330m y ++-=1212233y y y y m ∴+==-+()2222221111111||EA m y y x y ==++()22111m y =+ 同理，()222211. ||1EB m y =+ ()()222222121111||||11EA EB m y m y ∴+=+++()2212222121y y m y y +==+()()21212222122.1y y y y m y y +-+①将1212233y y y y m +==-+代入①式可得()222222232311||||313m EA EB m m ⎛⎛⎫-⋅- ⎪ +⎝⎭⎝⎭+==⎛⎫+- ⎪+⎝⎭()()()()()222222222126331818291913m m m m m m m ++++==+++ ∴2211||||EA EB +为定值,定值为2. ii.若(E ,同理可得21||EA +21||EB 为定值2. 综上所述,存在,点(E ,使得2211||||EA EB +为定值2.。
千题百炼——高考数学100个热点问题
千题百炼——高考数学100个热点问题第四章第26炼求未知角的三角函数值三角函数与解三角形第26炼求未知角的三角函数值在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式：（1）两角和差的正余弦，正切公式：① sin sin cos sin cos② sin sin cos sin cos③ cos cos cos sin sin④ cos cos cos sin sin⑤ tan tan tan tan tan⑥ tan1tan tan1tan tan（2）倍半角公式：① sin22sin cos② cos2cos sin2cos112sin③ tan222222tan 1tan2，其中tan（3）辅助角公式：asin bcos2、解决此类问题的方法步骤： b a（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。
确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：5，则） 612243（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
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千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼存在性问题圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标(),x y00（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()0,P x y ，()()1122,,,A x y B x y当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB=+012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360k x k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =时，):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，322P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：（1）由1AF B的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒= 2221ba c ∴=-=椭圆22:14x y Γ+=（2）假设满足条件的圆为222xy r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内 01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ与圆相切 ()2221O ldr m r k -∴==⇐=+OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x xy y +=联立方程：2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221mr k =+代入可得：()()22251410r kk +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴= ∴存在符合条件的圆，其方程为：2245xy +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ为x =若:PQ x =，则,P Q ⎝⎭⎝⎭OP OQ ∴⋅=:PQ x ∴=若:PQ x =，同理可得也符合条件综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c （1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::2a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c +=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y +=（2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()0,N x y设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化为：()2222343264120k xk x k +++-=由0∆>解得：214k <且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++2120216243x x k x k +∴==-+()00212443ky k x k =+=+01034y k x k∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=- ② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F NAD kk ⋅=-12022021243416114134F Nky k k k k x k k+∴===+--++()2222422AD k x y k x x +==++()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k xk k x k x k +=-+-⇒=--<-因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾 所以不存在符合条件的直线l 例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100lx y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）l 与圆相切1025O ld r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y +=（2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120kx k x k +-+-=()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230kx k k x k k +--+--=()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分 ∴四边形PABQ 为平行四边形 AB PQ ∴=()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分 例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =（1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF Aλ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b xa=-代入可得：2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤（2）当12e =时，可得：2,a c b ==∴双曲线方程为222213x y c c -=，()()12,0,,0A c F c -，设()0,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3xc y c==13tan 13c BF A c∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B点均使得11BAF BF Aλ∠=∠成立考虑1001100tan ,tan 2ABBF y y BAF kBF A k x c x c∠=-=-∠==-+()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF A x cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c -=，可得：2220033yx c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2ce a == ::a b c ∴=∴椭圆方程为222212x y b b +=由直线l 被椭圆E 截得的线段长为及椭圆的对称性可得： 点)在椭圆上 22221122b b b+=⇒= 24a ∴=∴椭圆方程为22142x y +=（2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x 轴垂直时，则((,0,A B21,21PA PB ∴=-=+002,2QA y QB y =-=+ 00221212y QA PA QBPBy --∴=⇒=++可解得01y=或02y=,P Q不重合 02y ∴=()0,2Q ∴ 下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PAQB PB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QAQB QA QB kk k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴==()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==①因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211ykx ykx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+QA QB k k ∴+=成立QP∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QAPA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F（1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP为直径的圆经过F FA FP ∴⊥FA FP ∴⋅=()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221mk =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M - 例8：已知椭圆221:41C xy +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C（1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()0,x y ，则22041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴--00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041xy +=可得：2214x y +=（2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON=++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OMONkk ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==-121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++,M N是2C 上的点221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值,A B∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B 例9：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点到直线30x y -=的，抛物线()2:20G ypx p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程（2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F ld c-∴==⇒=5ce aa∴==⇒=2221b a c∴=-=22:15xE y∴+=28y x∴=（2）设直线():2l y k x=-，()()()()11223344,,,,,,,A x yB x yC x yD x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k xk x k x kx y⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩2212122220205,1515k kx x x xk k-∴+==++)22115kABk+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k xk x k x ky x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩234248kx xk+∴+=CD是焦点弦()2342814kCD x xk+∴=++=()2222420 181kkAB CD kλλ++∴+=+==+若1AB CDλ+为常数，则204+=5λ∴=-例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为26（1）求椭圆C 的方程 （2）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：63c e a== ::3:1:2a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22263b AB a ∴==6,2a b ∴==22162x y ∴+=（2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。