关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
INTELLIGENCE 人 文 论 坛162关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质华北电力大学科技学院 朱亚茹摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。
本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。
关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。
教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。
本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。
一、对称矩阵定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==⋅⋅⋅，那么称A 为对称矩阵。
由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。
性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。
则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。
证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以TA A +也是对称矩阵。
性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A −也是对称矩阵。
证明：因为111()()T T A A A −−−==，所以1A −也是对称矩阵。
性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以TAA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示;非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题............................................................ - 12 -31、线性相关（无关)与线性表示的3个定理 ......................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ,12a ,13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ,M 13＝32312221a a a a对M 11的解释:划掉第1行、第1列,剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ,这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
斜对称矩阵和反对称矩阵
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斜对称矩阵和反对称矩阵
在线性代数中，斜对称矩阵和反对称矩阵是两种特殊的矩阵类型。
斜对称矩阵：
一个方阵 A 被称为斜对称矩阵（skew-symmetric matrix ），如果它的转置矩阵等于它的相反数，即T A A =−。
对于斜对称矩阵，它的主对角线上的元素必须为零，而其他元素与关于主对角线的元素关于主对角线对称。
一个 n × n 的矩阵 A 是斜对称矩阵的充要条件是aij=−aji 对于所有的 i 和 j 。
反对称矩阵：
一个方阵 A 被称为反对称矩阵（antisymmetric matrix ），如果它的转置矩阵等于它的相反数，即T A A =−。
反对称矩阵的定义与斜对称矩阵相同。
与斜对称矩阵类似，反对称矩阵的主对角线上的元素必须为零，而其他元素与关于主对角线的元素关于主对角线对称。
总结一下：
• 斜对称矩阵：T A A =−，主对角线元素为零，对称元素关于主对角线对称。
• 反对称矩阵：T A A =−，主对角线元素为零，对称元素关于主对角线对称。
这两种矩阵在数学和物理等领域中有广泛的应用，例如在刚体运动、电磁学和振动系统的建模中。
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵和反对称矩阵本文主要介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义、性质和应用。
1.定义对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相等，即矩阵的转置等于它本身。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于A本身，则称A为对称矩阵。
反对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相反，满足A=-AT。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于-A本身，则称A为反对称矩阵。
反对称矩阵中对角线元素都为0。
只有当n为奇数时，才有可能构造出反对称矩阵。
2.性质对称矩阵和反对称矩阵都是特殊的方阵，它们有以下性质：1）对称矩阵的特征值都是实数。
2）对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
3）对称矩阵的每个子矩阵都是对称矩阵。
4）反对称矩阵的行列式都是偶数次幂。
5）反对称矩阵的秩为偶数。
6）反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.应用对称矩阵和反对称矩阵在物理学、工程、数学等领域都有广泛应用。
下面介绍其中一些应用。
3.1 对称矩阵对称矩阵与二次型有密切关系。
二次型是由一个n维向量x和一个n阶矩阵A的乘积xTAx表示的。
如果A是对称矩阵，则称该二次型为正定二次型。
正定二次型的特征值都是正数，表现出对向量的正面影响，常用于优化问题中。
在物理学中，对称矩阵常用于表示物理系统的对称性，如空间对称性和内禀对称性。
此外，在计算机科学领域中，对称矩阵可以用于计算图像处理中的中值滤波和边缘检测。
3.2 反对称矩阵反对称矩阵在物理学中也很有用，可以表示无旋场，如电磁场和磁场等。
在机器学习算法中，反对称矩阵可以用于求解矩阵奇异值、特征值和特征向量等问题，具有很高的计算效率。
同时，反对称矩阵也能表示多种对称性和不变性，例如动量和角动量的守恒，以及物理系统中的对称映射。
此外，反对称矩阵还被广泛应用于控制论和自动化领域。
4.总结对称矩阵和反对称矩阵分别具有不同的特性和应用。
由于其广泛的应用性和重要性，对称矩阵和反对称矩阵成为数学、物理学、工程学等领域中不可或缺的基本工具。
反对称矩阵
反对称矩阵
满足A^T=-A的实矩阵A就叫实反对称阵。
比如
0 1 2
-1 0 -3
-2 3 0
元素aij都是实数，并且aij=-aji(i，j=1，2，…)，n的n阶矩阵A=(aij)。
它有以下性质：1.A的特征值是零或纯虚数；2.|A|是一个非负实数的平方；3.A的秩是偶数，奇数阶反对称矩阵的行列式等于零。
向左转|向右转
若矩阵A满足条件A=-AT，则称A为反对称矩阵。
由定义知反对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线两侧对称位置上的元素必符号相反，即
向左转|向右转
，其中i、j为任意不大于矩阵维数的实数。
实反对称矩阵有如下性质：
性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。
性质2：当A为n阶实反对称矩阵时，对于
向左转|向右转
有XTAX =0。
性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。
性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交。
对称矩阵与反对称矩阵
实对称矩阵 实数域内<1> 定义：设A 为一n 阶实方阵，则A 称为是对称的如果A ˊ=A 。
<2> 性质：设A 为一n 阶实对称矩阵，令A=(ij a )， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。
则有：1) ;'A A =2) ji ij a a =， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ；推论：1),'2AA A =A 2的主对角线上的元素为∑==nj ij n i a 12,...,2,1,全大于或等于0； 2)①若A 2的主对角线上的元素全为0，则A 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n A n ，则A 为一零方阵；3)每一个n 阶实对称矩阵A 对应于唯一的二次型f(X)=X ˊAX ， '*1321),...,,,(n n x x x x X =其中；4)存在一n 阶正交矩阵U(即UU ˊ=E)，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,..., ,0 0 0, 0,=-n AU U λλλ.................0,...,0,0,....,0,0,211，其中ιλ，i=1，2，···,n 为A 的全部特征根。
5)实对称矩阵的特征根都是实数；属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。
<3>对称矩阵的构造1)常见的对称矩阵：对角矩阵，单位矩阵，正定矩阵，半正定矩阵；2)设A为一n阶对称方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数k A，A k，A+k E，k A+E，3)设A为任一n阶方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数A+Aˊ；k(A+Aˊ)；AAˊ，k AAˊ，(A-Aˊ)2；4)设B为任一反对称矩阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数kB2，<4>相关例题1、n阶实方阵A为对称方阵的充要条件是'2AAA 。
对称矩阵的性质及应用
对称矩阵的性质及应用班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。
关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用1.导言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。
这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。
作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。
本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。
2.具体内容部分2.1对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。
2.1.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：（1）对称矩阵一定是方阵（2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。
即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立。
对称矩阵一定形如111211222212n n nnnn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角矩阵定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。
定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。
反对称矩阵
反对称矩阵反对称矩阵是一种非常有用的矩阵，它具有很多重要的性质。
在本文中，我们将详细介绍反对称矩阵的概念、性质以及相关应用。
1. 定义反对称矩阵是指一个方阵A，它满足矩阵的转置与它的相反数相等，即A=-A^T。
如果一个矩阵不满足这个条件，就不是反对称矩阵。
例如，下面的矩阵就不是一个反对称矩阵：$$\\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\\\4 &5 &6 \\\\7 & 8 & 9\\end{pmatrix}$$因为它的转置与相反数并不相等。
而下面的矩阵则是一个反对称矩阵：$$\\begin{pmatrix}0 & -1 & 2 \\\\1 & 0 & -3 \\\\-2 & 3 & 0\\end{pmatrix}$$因为它满足A=-A^T。
2. 性质反对称矩阵有很多重要的性质，下面我们将逐一介绍。
(1) 对角线元素为0如果一个矩阵是反对称矩阵，那么它的所有对角线元素都必须为0。
因为如果a_ij是对角线元素，那么它等于A_ij=-A_ji，即a_ij=-a_ij，因此a_ij必须为0。
(2) 行列式为0反对称矩阵的行列式一定为0。
这是因为对于一个反对称矩阵A，它的转置矩阵A^T就等于它的相反数-A，所以：det(A) = det(A^T) = det(-A) = (-1)^n det(A)其中n是矩阵的阶数，因为-1的n次方可能是1或-1，所以det(A)可能是0或者-a^2。
(3) 特征值为纯虚数反对称矩阵的特征值都是纯虚数。
这是因为反对称矩阵可以表示为A=iB的形式，其中B是一个实对称矩阵，而实对称矩阵的特征值都是实数。
所以对于矩阵A=iB，它的特征值一定是±i乘以B的特征值，因此都是纯虚数。
(4) 每个非零特征值都是成对出现的对于反对称矩阵A，它的特征值都是纯虚数。
如果存在非零特征值lambda，那么对应着特征向量v和共轭特征向量v*，满足A*v=lambda*v，A*v*=lambda*v*。
线代
A2 = 0 即 AA/ = 0, 故有： 证 由题
即有
∑
n
从而
a ij = 0 , ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ),
j=1
a ij
2
= 0 , ( i = 1,2 ,⋯ , n )
即 A = 0□
§4
矩阵的分块法
利用分块矩阵可以更清晰地表达矩阵的结构和 运算关系。 运算关系。 我们将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个 小矩阵， 子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵。 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 显然，一个矩阵常可有不同的分块方法。 显然，一个矩阵常可有不同的分块方法。
其中 Aij , B ij 也同型 , 那么
A11 + B11 ⋯ A1r + B1r A+ B = ⋯ ⋯ ⋯ A +B ⋯ Asr + Bsr s1 s1
⑵ 数乘
设 λ 是一个数 ,
λ A11 λA = ⋯ λA s1 ⋯ ⋯ ⋯
A11 ⋯ A1r A= ⋯ ⋯ ⋯ 则 A ⋯ A sr s1
A1−1 −1 A = A2−
−1
⋱ 1 As −
此结论易证
特别 当
a1 a 2 ⋯ a n ≠ 0
时，有
1 a1 1 = a2 ⋱ 1 an
a1 a2 A= , A −1 ⋱ an
若把A按行分成 块 按列分成n块 若把 按行分成m块，把B按列分成 块，便有 按行分成 按列分成
T a1 T a2 AB = b1 ⋮ aT m T a1 b1 T a2 b1 ⋯ bn = ⋮ aT b m 1 T T a1 b2 ⋯ a1 bn T T a2 b2 ⋯ a2 bn = (cij )m×n ⋮ ⋮ T T am b2 ⋯ am bn
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
性质 1 若是实对称矩阵，那么也是实对称矩阵. 证明：由于是实对称矩阵，所以.，故也是实对称矩阵. 性质 2 若是反对称矩阵，那么也是反对称矩阵.
3
证明：由于是反对称矩阵，所以.，故也是反对称矩阵.
性质 3 设为实对称矩阵，则的特征值均为实数. 证明：设是的特征值，于是有非零向量
满足
.
令
，
其中是的共轭复数，则 .
性质 4 任一复对称矩阵合同于规范形，其中 r； 任一实对称矩阵合同于规范形，其中 p 称为的正惯性指数，rp 称为的
负惯性指数，2pr 称为 A 的符号差. 2、反对称矩阵的特有性质
由于反对称矩阵的特殊性，使其有了与对称矩阵不同的性质. 性质 1 若，都是数域 P 上的 n 级反对称矩阵，则，k(k)亦都是反对称矩阵. 证明：,都是反对称矩阵，根据定义，，而，k.故，k(k)亦都是反对称矩阵. 性质 2 反对称矩阵的主对角元素全为 0. 证明：为反对称矩阵，,对于主对角线上的元素,所以 0,故结论成立. 性质 3 数域 P 上奇数级反对称矩阵的行列式等于 0. 证明：设是 n 级反对称矩阵，n 是奇数，则.从而，于是,由此得出，20,因此 0, 结论得证. 性质 4 设是反对称矩阵，则合同于 diag，其中 S,即反对称矩阵的秩一定是偶数. 证明：设是非零反对称矩阵（显然对于零矩阵，结论成立），用归纳法证明.n2， 反对称矩阵，明显地合同于，结论成立.
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
性质 ２２ 在数域 Ｐ上 ，任 意一个 对称矩阵都 合同 ．
于一对角矩阵． ’
证明 设矩阵 对称 ， 阵 尸 ，使
：
与 合同 ，则存在可逆矩
性 质 ２３设 Ａ 为 阶 实 对 称 矩 阵 ， ．
是 Ａ 的 重
特征值， 则秩（ Ｅ一 ＝， ） ？ 一，， 从而特征值 恰好对
出版 社 ．
３ 设 Ａ＝（ｏ… ，Ａ的顺序主子式 ） ａ）
【】 ３陈殿 友 ， 洪 亮． 性 代 数 【 ．１ １ 术 线 Ｍ］ ５ ． Ｐ
称矩阵 ； ２）Ａ —Ａ 为 反 对 称 矩 阵．
称 矩 阵 的 转 置矩 阵仍 是 反 对 称 矩 阵 ．
性质 １ 对称矩阵与反对称矩 阵对 于和 、 、 ． ２ 差 数乘
运算都是封闭的．
为对
性质 １ ． ３两个对称 （ 反对称 ） 矩阵 的乘积不一定是
对称 （ 对称 ） 阵． 反 矩
性质 ２６ ． Ａ是 ｍ ×ｎ矩 阵 ，则
阵； 是 阶 对 称 矩 阵 ．
是 ， 阶对称矩 ２
为 Ａ ＝ ０．
性质 ３８设 是实反对称矩阵 的特征值 ，则 一 ． 五
也 是 的特 征 值 ． 参考文献 ：
性质 ２７设 ， 都是 ｎ阶实对称矩阵 ， ． 则 与 正交相似的充分必要条件是 Ａ 与 Ｂ有相 同的特征值．
性 质 ２８ ．
价：
阶实 对称 矩 阵 正 定 与下列 条件 等
１ ）Ａ与单位矩 阵 Ｅ合 同． ２） 存在 阶实可逆矩 阵 Ｃ ，使 得 Ａ ＝Ｃ ． Ｃ
【】 ｌ王萼芳， 生明． 石 高等代数 （ 第三版 ）Ｍ】 【 ． ：高等教 北京
对称矩阵和反对称矩阵
反对称矩阵和反对称变换若干问题研究2011-05-09 23:30:07| 分类：论文资料|字号反对称矩阵和反对称变换若干问题的研究Some Studies on Anti-symmetric Matrix andSkew symmetric Transformation摘要反对称矩阵是矩阵论中的一类特殊矩阵，而反对称变换则是欧氏空间中基本的线性变换，它们在高等代数和线性代数中占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只给出了反对称矩阵和反对称变换的定义，而没有提及其性质.本文在通过阅读大量文献资料的基础上，给出了反对称矩阵和反对称变换的定义及相关性质，并对这些性质逐一加以证明，论述了反对称矩阵在行列式、秩、特征值和特征向量等方面的性质，证明了关于反对称矩阵的一些重要结论.文章最后还讨论了反对称矩阵与其相对应的反对称变换之间的关系.关键词：反对称矩阵，反对称变换，行列式，秩，性质AbstractMathematics and Applied Mathematics 2007-2Anti-symmetric matrix is a kind of specific matrix in matrix theory, and skew symmetric transformation is the basic linear transformation in Euclidean space, they occupy a very important position in higher algebra and linear algebra. Their definitions are only given in teaching materials of higher algebra and linear algebra, but their properties are not given. On the base of reading lots of literatures, this paper provides the definitions and related properties of anti-symmetric matrix and skew symmetric transformations, in addition, these properties are proved in detail. Some properties of anti-symmetric matrixare comprehensively discussed, for example, the properties are determinant, rank, characteristic value, and eigenvector，and some important conclusions are proved about anti-symmetric matrix. At the end of this paper, the relationships between anti-symmetric matrix and skew symmetric transformation, which correspond with anti-symmetric matrix are discussed.Key words: anti-symmetric matrix, skew symmetric transformation, determinant,rank, properties目录1 引言. 12 反对称矩阵的概念和反对称矩阵的若干性质. 12.1 反对称矩阵的概念. 12.2 反对称矩阵的基本性质. 12.3 行列式的性质. 52.4 秩的性质. 72.5 特征值与特征向量的性质. 93 关于反对称矩阵的一些结论. 114 反对称变换的概念和反对称变换的若干性质. 144.1 反对称变换的概念. 144.2 反对称变换的若干性质. 155 小结. 166 致谢. 177 参考文献. 171 引言反对称矩阵是矩阵论中经常用到的特殊矩阵，与其相对应的反对称变换是欧氏空间中一类重要的线性变换，它们在高等代数和线性代数中占有重要的地位.现行的高等代数和线性代数教材中没有太多专门介绍反对称矩阵和反对称变换的定义和性质，只在习题中有一些涉及，因此，很多学者在这方面做了比较深入的研究，如文献[4]详细介绍了反对称矩阵的特征值与特征向量、秩等各方面的性质.文献[5]不仅论述了反对称矩阵的性质，还证明了关于反对称矩阵的一些重要结论.文献[6]则介绍了反对称矩阵行列式的性质.文献[7-11]也分别综合论述了反对称矩阵的概念和若干性质，并加以证明.文献[13-15]则是对反对称变换的定义和某些性质做了比较详细的分析.本文在通过阅读大量文献的基础上，给出了反对称矩阵和反对称变换的定义及相关的性质，并对这些性质逐一加以证明.在此基础上，本文还讨论了反对称矩阵与其相对应的反对称变换之间的关系.2反对称矩阵的概念和反对称矩阵的若干性质2.1反对称矩阵的概念定义2.1 设是数域上的阶矩阵，如果，则称为一个阶反对称矩阵.对于设阶矩阵，如果，由定义，显然是一个反对称矩阵.2.2反对称矩阵的基本性质性质2.2.1 反对称矩阵的和、差、数乘矩阵仍为反对称矩阵.性质2.2.2 设为阶反对称矩阵，则的主对角线的元素都为零.性质2.2.3 任一阶矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和..性质2.2.4 设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则(1) 是反对称矩阵；(2) 是对称矩阵.性质2.2.5 设为阶可逆反对称矩阵，则也是反对称矩阵.推论2.2.5 若为阶可逆反对称矩阵，则也是反对称矩阵.性质2.2.6 设为任一阶矩阵，则为反对称矩阵.性质2.2.7 设为阶实矩阵，则为反对称矩阵的充要条件是对任意维向量均有 .性质2.2.8 设是阶反对称矩阵，则合同于矩阵.2.3行列式的性质性质2.3.1 奇数阶反对称矩阵的行列式值为零..性质2.3.2 若偶数阶反对称方阵的行列式的每一个元素都加上同一个数，行列式的值不变.2.4秩的性质性质2.4.1 设是阶反对称矩阵，中有一个阶主子式，且所有含的阶主子式均为零，则 .性质2.4.2 设是反对称矩阵，若的所有阶与阶主子式均为零，则 .性质2.4.3 设是秩为的反对称矩阵，则至少有一个阶主子式不为零.证因为，所以的所有阶子式全为0，当然的所有阶主子式也全为0，此时若的所有阶主子式全为0，则可知：，矛盾.因此至少有一个阶主子式不为0.性质2.4.4 设为阶实可逆反对称矩阵，为元实列向量，则秩.2.5特征值与特征向量的性质性质2.5.1 反对称实矩阵的特征值为零或纯虚数.性质2.5.3 反对称实矩阵的特征值全为零的充分必要条件是 ..性质2.5.4 设为反对称矩阵，则对应于的纯虚数特征值的特征向量，其实部与虚部模相等且相互正交.3关于反对称矩阵的一些结论命题3.1 设为阶反对称矩阵，为自然数，则(1) 若为奇数，则为阶反对称矩阵；(2) 若为偶数，则为阶对称矩阵.命题3.2 设为阶反对称矩阵，为的伴随矩阵，则(1) 当为奇数时，为对称矩阵；(2) 当为偶数时，为反对称矩阵.命题3.3 设为阶反对称矩阵，则是反对称矩阵.推论若矩阵是偶数阶反对称矩阵，则的任意次伴随矩阵均是反对称矩阵.命题3.4 设为反对称矩阵，则当可逆时，，且也是反对称矩阵.命题3.5 若为反对称矩阵，则非奇异.命题3.6 假定是一实反对称矩阵，则为正交矩阵.命题3.7 为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且这两个矩阵的乘积是可交换的，即 .若是非奇异的，则是正交矩阵.命题3.8 设为数域上的阶正定矩阵，证明：若是数域上的阶反对称矩阵，则 .证见文献[2].命题3.9 设、为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且，则 .4 反对称变换的概念和反对称变换的若干性质4.1反对称变换的概念定义设是欧氏空间上的线性变换，若对任意有，则称为上的反对称变换.4.2反对称变换的若干性质性质4.2.1 设是维欧氏空间上的反对称变换，当且仅当在标准正交基下的矩阵为实反对称矩阵.证设为的一组标准正交基，在此基下的矩阵为，即则有，(1)：若是反对称变换，则有从而有(2)所以为反对称矩阵.：若为反对称矩阵，则由(1)式和(2)式有，设，，则有所以是上的反对称变换.性质4.2.2 设是维欧氏空间上的反对称变换.(1) 若是的一个特征值，则；(2) 在中存在着一组标准正交基，使得在这组基下的矩阵为对角阵.证(1) 记是属于的特征向量，则.又由题设有由此知 .(2) 设在某组标准正交基下的矩阵为，则，且在此基下的矩阵为 .而是一实对称矩阵，存在一可逆阵使为对角阵，因此也是对角阵.这就说明中必有一组基，使得在这组基下的矩阵为对角阵.性质4.2.3 设是维欧氏空间上的一个反对称变换，则(1) 线性变换均为满秩的；(2) 线性变换为正交变换.证取的一组标准正交基,设和在这组基下的矩阵分别为、，则在这组基下的矩阵为 .(1) 因为为反对称变换，所以由性质4.2.1可知为反对称矩阵.由性质2.5.1知的特征值只能为零或纯虚数，所以 .即，于是是满秩的.又，故也为满秩矩阵，所以也为满秩的.综上所述，线性变换均为满秩的.(2) 因为在上述基下的矩阵为，由命题3.6，容易验证为正交矩阵，故为正交变换.5 小结反对称矩阵和反对称变换的相关问题在现行的高等代数和线性代数课本中没有专门的章节来介绍，只是在课后习题中有所提及，本文研究了反对称矩阵和反对称变换的若干问题，诸如讨论了反对称矩阵行列式的性质、秩的性质、特征值与特征向量的性质，还总结出了关于反对称矩阵的一些重要结论，并且对这些性质和结论加以证明.本文也给出了反对称变换的概念，并讨论和证明了其若干性质，同时探讨了反对称矩阵和反对称变换之间的关系.由于我所学知识有限，未能对反对称矩阵和反对称变换的若干问题作进一步的研究.由于反对称矩阵和反对称变换内容的广泛性，本文未能对其作更全面的探讨，不足和错漏之处，恳请老师们批评指正.6 致谢本文是在杨京开老师的悉心指导下完成的，在选题、问题讨论和论文撰写过程中，杨老师多次询问撰写进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨，热忱鼓励，从选题到完成论文的整个过程，杨京开老师倾注了大量心血，给予我极大的关心和帮助.杨老师严谨的治学态度、敏捷的学术思维、踏踏实实的精神，都给我留下了深刻的印象.恩师为人、治学之道，我将终生受益，值此论文完成之际，谨向敬爱的杨老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！也祝杨老师工作顺利，身体健康，万事如意！此外，我还要向在我学习和生活中给予关心、支持和鼓励的所有老师、同学们表示衷心的感谢！。
对称矩阵的性质及应用
科技视界Science&Technology VisionScience&Technology Vision科技视界1对称矩阵的性质定义1设A为n阶方阵,如果满足A T=A,即a ij=a ji(i,j=1,2,…,n),那么A称为对称矩阵,简称对称阵。
对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等。
规定:本文中的矩阵都为实矩阵。
性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘运算得到的矩阵仍为对称矩阵。
性质2设A为n阶方阵,则A T A,A+A T,AA T为对称阵。
性质3设A为n阶对称阵,若A可逆,则A-1,A*为对称阵。
证明:因为A为对称阵,所以A T=A,又因为A可逆,所以(A T)-1=A-1,(A-1)T=A-1,所以A-1为对称阵。
因为A*=A A-1,且A可逆,所以A≠0,由性质1可知A*为对称阵。
性质4实对称矩阵得特征值为实数。
性质5设λ1,λ2是实对称矩阵A的两个特征值,p1,p2是对应的特征向量。
若λ1≠λ2,则p1与p2正交[1]。
证明:λ1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,λ1≠λ2。
因A对称,故λ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1T A T=p1T A,于是λ1p1T p2=p1T Ap2=p1Tλ2p2=λ2p1T p2,即(λ1-λ2)p1T p2=0,但λ1≠λ2,故p1T p2=0,即p1与p2正交。
性质5的推广设λ1,λ2,…,λp(p≥2)是实对称矩阵A的p个特征值,p1,p2,…,p n是对应的特征向量,若λ1≠λ2≠…≠λp,则p1,p2,…,p n两两正交。
性质6设A为n阶实对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根,则矩阵A-λE的秩r(A-λE)=n-r,从而对应于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量[2]。
性质7设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使P-1AP=Λ,其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。
性质8设A,B为对称矩阵,存在正交矩阵P使P T AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同。
对称矩阵和反对称矩阵的若干性质
对称矩阵和反对称矩阵的若干性质
邹本强
【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(021)002
【摘要】在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵转置时给出了对称矩阵和反对称矩阵的定义,但对它们的性质研究很少.对称矩阵和反对称矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵理论方面,还是在实际应用方面都有重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论这两种特殊矩阵的性质.本文先给出对称矩阵和反对称矩阵的定义,然后讨论了它们的若干性质.
【总页数】3页(P92-94)
【作者】邹本强
【作者单位】威海职业学院,山东,威海,264200
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.双反对称矩阵的性质分析与推广 [J], 李新海
2.广义反对称矩阵的几个新的性质定理 [J], 徐助跃
3.反对称矩阵的若干性质 [J], 张海山
4.对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 [J], 武秀美
5.反对称矩阵的若干性质 [J], 李诚举;李修清
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反对称矩阵的性质（秩、合同矩阵）
反对称矩阵的性质（秩、合同矩阵）反对称矩阵的特有性质反对称矩阵A =−A T１．不存在奇数级的可逆反对称矩阵.２．反对称矩阵的主对⾓元素全为零.３．反对称矩阵的秩为偶数４．反对称矩阵的特征值成对出现（实反对称的特征值为０或纯虚数）５．反对称矩阵的⾏列式为⾮负实数６．设A 为反对称矩阵，则A 合同于矩阵D =01−1⋱01−1⋱证明数学归纳法可证6因为Ａ为反对称矩阵，设A =0a 12…a 1n −a 120…a 2n ⋮⋮⋱⋮−a 1n −a 2n…(1)当ｎ= 1时 结论显然成⽴。
(2)当 n = 2时若a 12=0 结论显然也成⽴。
若$a_{12} \not=0 ，取U =1 −1a −112则有U^TAU =1 −10 $，所以Ａ与Ｄ合同。
(3)假定对于阶数⼩于ｎ时反对称矩阵A 合同于Ｄ[][][][]现证明对n(n≤3)的反对称矩阵A也合同于D 若Ａ的第⼀⾏全为０，则有A=00 0B其中Ｂ是n-1阶反对称矩阵，则存在n-1阶可逆矩阵Q与矩阵Ｄ，使得Q T BQ=D取S=00 0Q则S T AS=00 0Q T BQ再令T=01 I n−10此处I n−1是n-1阶单位矩阵有T T S T AST=Q T BQ0 00取P=ST，则有P T AP=Q T BQ0 00则Ａ合同于Ｄ2.若矩阵Ａ的第⼀⾏不全为０)A=0a12 (1)−a12⋮B−a1n不妨设a12≠0，可对Ａ实施初等变换如下：A2=Q T2AQ2=a−1121⋱10a12 (1)−a12⋮B−a1na−1121⋱1=01…a−112a1n−1⋮B2−a−112a1n再取Q j=11...−a−112a1j 0⋱1⋱1s.t.3≤j≤n可得A n=Q T n…Q T3A2Q3…Q n=01−10B n[][][][][][][][][][][] [][]由于所作为对称式的变换，所以B_n依旧为反对称矩阵，所以存在n-2阶可逆矩阵S使得S T BS=01−10⋱01−10⋱令Q=Q2…Q n且S′=I200S，此处I2为２阶单位矩阵则有Q T S T ASQ=01−10⋱01−10⋱所以Ａ是Ｄ的合同矩阵。
反对称阵相关性质的总结
反对称阵相关性质的总结设 M 是数域 K 上的 n 阶⽅阵, 则有如下的分解:M =12(M +M ′)+12(M −M ′),其中 A =12(M +M ′) 是 n 阶对称阵 (称为 M 的对称化), S =12(M −M ′) 是 n 阶反对称阵 (称为 M 的反对称化). 进⼀步, 我们可以证明 (⾼代⽩⽪书的例 3.48): n 阶⽅阵全体构成的线性空间 M n (K) 是 n 阶对称阵全体构成的⼦空间与 n 阶反对称阵全体构成的⼦空间的直和. 因此, 对称阵和反对称阵的研究对于矩阵理论来说⼗分重要.本⽂的主要⽬的是, 按照复旦⾼代教材的章节顺序将反对称阵的相关性质做⼀总结, 其中不仅包含反对称阵⼀些常见的性质和定理, 也包含⼀些有趣的习题和试题等, 供读者在准备各类考试时作⼀参考. 以下若⽆特殊说明, 总在数域 K 上考虑问题.第⼀章 ⾏列式利⽤⾏列式的性质容易证明反对称阵的性质 1, 这也是⾏列式章节中的⼀道常见习题.性质 1 (⾼代⽩⽪书第⼀章的解答题 8) 奇数阶反对称阵的⾏列式等于零.利⽤⾏列式的组合定义, 我们还可以证明偶数阶反对称阵的⾏列式是其 Pfaffian 的平⽅, 具体的证明过程请参考.性质 2 设 A =(a ij ) 为 2n 阶反对称阵, 则 |A |=Pf(A )2, 其中Pf(A )=∑(i 1,j 1,i 2,j 2,⋯,i n ,j n )∈A 2n (−1)N (i 1,j 1,i 2,j 2,⋯,i n ,j n )a i 1j 1a i 2j 2⋯a i n j n ,A 2n ={(i 1,j 1,i 2,j 2,⋯,i n ,j n )∈S 2n ∣i 1<j 1,i 2<j 2,⋯,i n <j n ,i 1<i 2<⋯<i n }.特别地, 把性质 1 和性质 2 合并起来, 可以得到关于实反对称阵的性质 3, 后⾯我们还会给出性质 3 的另外⼏种证明.性质 3 设 A 为 n 阶实反对称阵, 则 |A |≥0.例 1 (18 级⾼代 I 每周⼀题第 3 题) 设 A =(a ij ) 是 2n 阶反对称阵, b 为常数, B =(a ij +b ), 证明: |A |=|B |.证明 由⾼代⽩⽪书的例 1.32 可知 |B |=|A |+b 2n∑i ,j =1A ij , 其中 A ij 是 a ij 在 |A | 中的代数余⼦式. 对任意的 1≤i ≤2n , A ii 是奇数阶反对称⾏列式, 故由性质 1 可知 A ii =0. 对任意的 1≤i <j ≤2n , A ij 和 A ji 对应的矩阵相差⼀个反对称 (即转置后反号), 从⽽ A ij =(−1)2n −1A ji =−A ji . 由上述两点即得结论. ◻例 2 设 A 为 n 阶实反对称阵, 证明: |I n +A |≥1+|A |, 等号成⽴当且仅当 n ≤2 或当 n ≥3 时, A =0.证明 注意到 I n 的⾮零⼦式只有其主⼦式, 故由⾼代⽩⽪书的例 1.39 可知|I n +A |=|I n |+|A |+n −1∑k =1∑1≤i 1<i 2<⋯<i k ≤n A i 1i 2⋯i k i 1i 2⋯i k .A i 1i 2⋯i k i 1i 2⋯i k 对应的矩阵是 k 阶实反对称阵, 故由性质 3 可知 A i 1i 2⋯i k i 1i 2⋯i k ≥0, 从⽽ |I n +A |≥1+|A | 成⽴. 由 A 的反对称性容易验证当 n ≤2 时, 上述不等式的等号成⽴. 当 n ≥3 时, 若 A =0, 则等号显然成⽴; 反之若等号成⽴, 则对任意的 1≤i <j ≤n , 有0=A ij i j =0a ija ji 0=a 2ij , 从⽽ a ij =0, 即有 A =0 成⽴. ◻第⼆章 矩阵利⽤标准单位列向量的性质可以证明性质 4, 这是⼀个关于反对称阵的刻画, 在后续章节有着重要的应⽤.性质 4 (⾼代⽩⽪书的例 2.3) 设 A 是数域 K 上的 n 阶⽅阵, 则 A 是反对称阵的充要条件是对任意的 α∈K n , 有 α′A α=0.例 3 (16 级⾼代 I 期末考试第六⼤题) 设 A 为 2n 阶反对称阵, α 为 2n 维列向量, x 为未定元, 证明: |A +x αα′|=|A |.本道例题是例 1 的推⼴, 我们⼀共给出了四种证法, 请参考. 证法⼀先将 2n 阶⾏列式升阶为 2n +1 阶⾏列式, 然后利⽤⾏列式的性质和反对称阵的性质 1 得到结论. 证法⼆也是先将 2n 阶⾏列式升阶为 2n +1 阶⾏列式, 然后利⽤⾼代⽩⽪书的例 1.8 以及反对称阵的性质 (这与例 1 的()()()()||证明⼗分相似) 得到结论.证法三 先设 A 为⾮异阵, 考虑分块矩阵 A −x αα′1, 则由降阶公式可得|A +x αα′|=|A |⋅(1+x α′A −1α).注意到 A −1 仍为反对称阵, 由反对称阵的性质 4 可知 α′A −1α=0, 于是 |A +x αα′|=|A |. ⼀般地, 设 A t =A +tS , 其中S =diag0−110,⋯,0−110 为⾮异反对称阵 (S 的取法有很多种, 但注意不能取 I 2n ), 则 |A t |=|A +tS |=|S |⋅|tI 2n +S −1A |=|tI 2n +S −1A | 为 t 的 2n 次多项式, 它只有有限个根, 故存在⼀列有理数 t k →0, 使得 A t k 为⾮异反对称阵. 由⾮异的情形可得 |A t k +x αα′|=|A t k|, 两边都是 t k 的多项式. 上述等式的两边同时取极限, 令 t k →0 即得结论. ◻第三章 线性空间我们发展了线性空间理论 (包括向量的线性关系, 基和维数等概念), 并把矩阵的秩定义为其⾏向量组的秩或其列向量组的秩. 利⽤线性空间理论, 我们在⾼代⽩⽪书的例 3.82 和例 3.83 中证明了如下结论.引理 1 设 m ×n 矩阵 A 的 m 个⾏向量为 α1,α2,⋯,αm , 其中 αi 1,αi 2,⋯,αi r是其极⼤⽆关组. ⼜设 A 的 n 个列向量为 β1,β2,⋯,βn , 其中 βj 1,βj 2,⋯,βj r 是其极⼤⽆关组. 证明: A i 1i 2⋯i r j 1j 2⋯j r ≠0. 特别地, 若 A 是 n 阶对称阵或反对称阵, 则 A 必有⼀个 r 阶主⼦式⾮零.性质 5 (⾼代⽩⽪书的例 3.84) 反对称阵的秩必为偶数.证明 ⽤反证法. 设反对称阵 A 的秩为 2r +1, 则由引理 1 可知, A 有⼀个 2r +1 阶主⼦式 |D |≠0. 由 A 的反对称性可知, 其主⼦阵 D 也是反对称阵. 再由反对称阵的性质 1 可知 |D |=0, ⽭盾. ◻例 3 的证法四 同证法三先证 A 为⾮异反对称阵的情形. 若 A 为奇异反对称阵, 则由反对称阵的性质 5 可知, r (A ) 必为偶数, ⼜ A 不满秩, 从⽽ r (A )≤2n −2. 由矩阵秩的不等式 (⾼代⽩⽪书的例 3.62) 可知r (A +x αα′)≤r (A )+r (x αα′)≤(2n −2)+1=2n −1,故 A +x αα′ 为奇异阵, 从⽽ |A +x αα′|=0=|A |. ◻线性⽅程组的求解理论可⽤来证明矩阵的⾮异性. 特别地, 配合上反对称阵的性质 4, 可以⽤来证明 A +S 型矩阵的⾮异性, 其中 A 是满⾜某种条件的实对称阵, S 是实反对称阵. 此类型的问题在第九章还会进⼀步探讨.例 4 (⾼代⽩⽪书的例 3.78) 设 A 是 n 阶实反对称阵, D =diag{d 1,d 2,⋯,d n } 是主对⾓元全⼤于零的 n 阶对⾓阵. 证明: |D +A |>0. 特别地, |I n ±A |>0, 从⽽ I n ±A 都是⾮异阵.证明 先证明 |D +A |≠0. 由线性⽅程组的求解理论, 只要证明 (D +A )x =0 只有零解即可. 任取 (D +A )x =0 的⼀个解α=(a 1,a 2,⋯,a n )′∈R n , 则 (D +A )α=0. 在等式的两边同时左乘 α′, 再由反对称阵的性质 4 可知 α′A α=0, 从⽽0=α′(D +A )α=α′D α=d 1a 21+d 2a 22+⋯+d n a 2n .考虑到 a i 都是实数且 d i 都是正数, 故 a 1=a 2=⋯=a n =0, 即有 α=0. 回到本题的证明. 设 f (t )=|D +tA |, 则 f (t ) 是关于实变元 t 的实系数多项式, 当然也是关于 t 的连续函数. 注意到 tA 仍为实反对称阵, 故由上⾯的讨论可得 f (t )=|D +tA |≠0, 即 f (t ) 是 R 上处处⾮零的连续函数. 因为 f (0)=|D |>0, 故由数学分析中的零点定理可知 f (t ) 只能是 R 上取值恒为正数的连续函数, 从⽽ |D +A |=f (1)>0. ◻例 5 (17 级⾼代 I 期中考试第七⼤题) 设 n 阶实⽅阵 A =(a ij ) 满⾜ a ij +a ji =0(∀i ≠j ) 且 a ii ≥0(1≤i ≤n ). 证明: |A |≥0.证明 令 D =diag{a 11,a 22,⋯,a nn }, 则 A −D 为实反对称阵. 对任意的 t >0, 对 tI n +A =(tI n +D )+(A −D ) 应⽤例 4 的结论可得 |tI n +A |>0,再令 t →0+ 即得结论. ◻注 1 设 A 为实反对称阵, 则由例 5 的结论 (或直接对 tI n +A 重复⼀遍例 5 的证明) 可得 |A |≥0. 这是反对称阵性质 3 的第⼆种证法, 属于分析的⽅法.例 6 (19 级⾼代 I 期中考试第七⼤题) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.例 6 的第⼆个结论是例 4 的⾃然延拓, 我们在 中给出了三种不同的证法以及三个推⼴.第六章 特征值 & 第七章 相似标准型性质 6 实反对称阵的特征值为零或纯虚数.性质 7 实反对称阵在复数域上可对⾓化, 从⽽全体特征值构成的对⾓阵即为其 Jordan 标准型.(){()()}()我们可以不利⽤复正规阵的⾣相似标准型理论, 直接采⽤可对⾓化的判定准则来证明性质 6 和性质 7, 具体的证明过程请参考中的引理 4 和定理 2.注 2 由于实反对称阵复可对⾓化, 故它的秩等于⾮零特征值 (即纯虚特征值) 的个数, ⼜实矩阵的虚特征值成对出现, 从⽽实反对称阵的秩必为偶数. 这给出了性质 5 的第⼆种证法 (仅限于实反对称阵).第⼋章⼆次型 & 第⼗章双线性型性质 8 (⾼代⽩⽪书的例 8.12, 反对称阵的合同标准型) 设A是n阶反对称阵, 则A必合同于分块对⾓阵 diag{S,⋯,S,0,⋯,0}, 其中S=01−10. 特别地, 反对称阵A的秩必为偶数 2r, 其中r是S在A的合同标准型中的个数.注 3 由反对称阵的性质 8 可以给出其性质 3 (实反对称阵的⾏列式⼤于等于零) 的第三种证法 (具体过程请参考⾼代⽩⽪书的例 8.13) 以及性质 5 (反对称阵的秩必为偶数) 的第三种证法. 值得⼀提的是, ⽆论是通过性质 2 (Pfaffian) 还是性质 8 (合同标准型), 都可以证明: 整数反对称阵的⾏列式是某个整数的平⽅ (⾼代⽩⽪书第⼋章的解答题 2).例 7 (⾼代⽩⽪书的例 8.25) 设A为⾮异实对称阵, S是实反对称阵且AS=SA, 求证: A+S是⾮异阵.证法⼀注意到 (A+S)′(A+S)=A′A+A′S+S′A+S′S=A′A+(AS−SA)+S′S=A′A+S′S, 其中A'A为正定阵 (因A⾮异)，S'S为半正定阵, 故(A+S)'(A+S)仍为正定阵, 从⽽A+S为⾮异阵.证法⼆注意到A+S=A(I_n+A^{-1}S), 并由AS=SA容易验证A^{-1}S仍然是实反对称阵, 故由例 4 可知I_n+A^{-1}S⾮异, ⼜A⾮异, 从⽽A+S也⾮异. \Box设g是n维线性空间V上的交错型, 则g在V的任⼀组基下的表⽰矩阵都是反对称阵. 由性质 8 (反对称阵的合同标准型) 或⾼代教材的定理10.4.1 可知, 存在V的⼀组基, 使得g在这组基下的表⽰矩阵为合同标准型\mathrm{diag}\{S,\cdots,S,0,\cdots,0\}, 其中S=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}. 接下去我们可以定义⾟空间和⾟变换的概念, 它们构成的⾟⼏何是现代数学的⼀个重要分⽀.第九章内积空间下⾯的性质 9 是实反对称阵的正交相似标准型, 性质 10 是正定实对称阵与实反对称阵的同时合同标准化.性质 9 (⾼代教材的定理 9.7.5 和推论 9.7.1) 设A为n阶实反对称阵, 则存在n阶正交阵P, 使得P'AP=\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix} 0 & b_1 \\ -b_1 & 0 \\ \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0 & b_r \\ -b_r & 0 \\ \end{pmatrix},0,\cdots,0\Bigg\},其中b_i\neq 0\,(1\leq i\leq r). 特别地, 实反对称阵的秩必为偶数, 其特征值为零或纯虚数.性质 10 (⾼代⽩⽪书的例 9.99) 设A为n阶正定实对称阵, S为n阶实反对称阵, 则存在n阶⾮异阵C, 使得C'AC=I_n,\,\,\,\,C'SC=\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix} 0 & b_1 \\ -b_1 & 0 \\ \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0 & b_r \\ -b_r & 0 \\\end{pmatrix},0,\cdots,0\Bigg\},其中b_i\neq 0\,(1\leq i\leq r).例 8 (⾼代⽩⽪书的例 9.100) 设A为n阶正定实对称阵, S为n阶实反对称阵, 证明: |A+S|\geq |A|+|S|, 等号成⽴当且仅当n\leq 2或当n\geq 3时, S=0.证法⼀由于问题的条件和结论在同时合同变换A\mapsto C'AC, S\mapsto C'SC下不改变, 故由性质 10 不妨从⼀开始就假设A=I_n,S=\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix} 0 & b_1 \\ -b_1 & 0 \\ \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0 & b_r \\ -b_r & 0 \\\end{pmatrix},0,\cdots,0\Bigg\}, 于是|A+S|=\Bigg|\mathrm{diag}\Bigg\{\begin{pmatrix} 1 & b_1 \\ -b_1 & 1 \\\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 1 & b_r \\ -b_r & 1 \\ \end{pmatrix},1,\cdots,1\Bigg\}\Bigg|=(1+b_1^2)\cdots(1+b_r^2)\geq 1+b_1^2\cdots b_r^2\geq |A|+|S|.当n\leq 2时, 等号显然成⽴. 当n\geq 3时, 等号成⽴当且仅当r=0, 这等价于S=0.证法⼆由于问题的条件和结论在同时合同变换A\mapsto C'AC, S\mapsto C'SC下不改变, 故不妨从⼀开始就假设A=I_n为其合同标准型, 此时本题的结论由例 2 即得.证法三由于问题的条件和结论在同时合同变换A\mapsto C'AC, S\mapsto C'SC下不改变, 故不妨从⼀开始就假设A=I_n为其合同标准型. 设S的全体特征值为\pm b_1\mathrm{i}, \cdots, \pm b_r\mathrm{i}, 0,\cdots,0\,(n-2r个), 则I_n+S的全体特征值为1\pm b_1\mathrm{i}, \cdots, 1\pm b_r\mathrm{i}, 1,\cdots,1\,(n-2r个), 于是|I_n+S|=(1+b_1^2)\cdots(1+b_r^2), 剩下的讨论和证法⼀完全类似. \Box注 4 证法⼆应该是最初等的⽅法. 证法三提醒我们: 当处理正定实对称阵+实对称阵或实反对称阵的问题时, 采⽤同时合同对⾓化的技巧 (⾼代⽩⽪书的例 9.66) 或同时合同标准化的技巧 (⾼代⽩⽪书的例 9.99) 来做当然⽆可厚⾮, 但若把正定实对称阵合同为单位阵, 然后直接利⽤特征值的⽅法来考虑问题, 有时也是⼀种简便的⽅法 (推荐⼤家⽤这种⽅法做⼀下⾼代⽩⽪书的例 9.67 和例 9.68). 顺便提及⼀下, 当两个实正规阵或复正规阵乘法可交换时, 则它们可同时正交标准化或同时⾣对⾓化 (⾼代⽩⽪书的例 9.108 和例 9.107). 利⽤这⼀技巧, 可以给出例 7 的证法三和证法四 (参考⾼代⽩⽪书的第 492 页).例 9 设A为n阶半正定实对称阵, S为n阶实反对称阵, 证明: |A+S|\geq |A|+|S|.证明注意到对任意的正数t, A+tI_n都是正定实对称阵, 故由例 8 的结论可得|A+tI_n+S|\geq |A+tI_n|+|S|, 令t\to 0+, 则结论得证. \Box注 5 若A为n阶正定 (半正定) 实对称阵, S为n阶实反对称阵, 则M=A+S是亚正定 (亚半正定) 阵. 关于这两类矩阵的定义及其性质, 请参考⾼代⽩⽪书第⼋章的解答题 14 以及 19 级⾼代 II 每周⼀题第 15 题. 上⾯的例 8 和例 9 给出了亚正定 (亚半正定) 阵⾏列式的⼀个下界估计, 其中例 8 给出了等号成⽴的充要条件, 然⽽例 9 并没有给出, 事实上例 9 中等号成⽴的充要条件应该会更加复杂⼀些. 由例 9 可知亚半正定阵的⾏列式⼤于等于零, 因此作为⼀个简单有趣的例⼦, 我们来探讨⼀下亚半正定阵的⾏列式⼤于零的充要条件.例 10 (16 级⾼代 II 期末考试第六⼤题) 设A为n阶半正定实对称阵, S为n阶实反对称阵, 满⾜AS+SA=0. 证明: |A+S|>0的充要条件是()r(A)+r(S)=n.例 10 的证明请参考, 由于附加了AS+SA=0的条件, 显然这并⾮是期待的结果. 下⾯的例 11 给出了上述问题的充要条件, 我们发现这⼀充要条件与两个半正定实对称阵之和为正定阵的充要条件完全相同 (参考⾼代⽩⽪书的例 9.73), 两者的证明也有类似之处, 例如都利⽤了线性⽅程组的求解理论和半正定阵的性质⼆ (⾼代⽩⽪书的例 8.44).例 11 设A为n阶半正定实对称阵, S为n阶实反对称阵, 证明:(1) r(A+S)=r(A\mid S);(2) |A+S|>0的充要条件是r(A\mid S)=n.证明 (1) 我们只要证明线性⽅程组(A+S)x=0与\begin{pmatrix}A\\S\\ \end{pmatrix}x=0同解即可. 显然\begin{pmatrix}A\\S\\ \end{pmatrix}x=0的解都是(A+S)x=0的解. 反之, 任取(A+S)x=0的解\alpha\in\mathbb{R}^n, 即有(A+S)\alpha=0. 在等式的两边同时左乘\alpha', 由反对称阵的性质 4 可知\alpha'S\alpha=0, 于是\alpha'A\alpha=0, 再由半正定阵的性质⼆ (⾼代⽩⽪书的例 8.44) 可知A\alpha=0, 代⼊上述等式即得S\alpha=0, 从⽽\alpha也是\begin{pmatrix}A\\S\\ \end{pmatrix}x=0的解.(2) 由例 9 可知|A+S|\geq 0, 从⽽|A+S|>0当且仅当r(A+S)=n, 由 (1) 可知这当且仅当r(A\mid S)=n. \Box最后, 我们利⽤实反对称阵强调⼀下实内积空间与复内积空间之间的区别.例 12 (⾼代⽩⽪书的例 9.9) 证明: 在\mathbb{R}^n (取标准内积) 中存在⼀个⾮零线性变换\varphi, 使得\varphi(\alpha)\perp\alpha对任意的\alpha\in\mathbb{R}^n成⽴, 但在\mathbb{C}^n (取标准内积) 中这样的⾮零线性变换不存在.证明任取⼀个n阶⾮零实反对称阵A, 定义\varphi(x)=Ax, 则对任意的\alpha\in\mathbb{R}^n, 由反对称阵的性质 4 可得(\alpha,\varphi(\alpha))=\alpha'A\alpha=0. 对\mathbb{C}^n的情形, 我们可以利⽤复数域上的 Jordan 标准型理论或直接利⽤标准单位列向量的性质 (注意需要虚数单位的帮助) 推出⽭盾, 具体的细节请参考⾼代⽩⽪书的例 9.9. \Box参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 60%。
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵是指一个$ntimesn$的矩阵$A$，满足$A=A^{mathrm{T}}$，其中$A^{mathrm{T}}$表示$A$的转置矩阵。
也就是说，对称矩阵的主对角线上的元素相等，且矩阵关于主对角线对称。
对称矩阵具有以下性质：1.对称矩阵的特征值都是实数。
2.对称矩阵的特征向量可以正交化。
3.对称矩阵可以对角化，即可以表示为$A=PDP^{-1}$，其中$P$是正交矩阵，$D$是对角矩阵。
对称矩阵的应用非常广泛，比如在物理学中，对称矩阵可以表示物理系统的对称性；在机器学习中，对称矩阵可以表示协方差矩阵，用于描述随机变量之间的关系。
二、反对称矩阵的定义和性质反对称矩阵是指一个$ntimes n$的矩阵$A$，满足$A=-A^{mathrm{T}}$，其中$A^{mathrm{T}}$表示$A$的转置矩阵。
也就是说，反对称矩阵的主对角线上的元素都为0，且矩阵关于主对角线反对称。
反对称矩阵具有以下性质：1.反对称矩阵的主对角线上的元素都为0。
2.反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.反对称矩阵的秩为偶数。
反对称矩阵在物理学中也有广泛的应用，比如在电磁学中，反对称矩阵可以表示磁场的旋度；在力学中，反对称矩阵可以表示刚体的角速度。
三、对称矩阵和反对称矩阵的运算对称矩阵和反对称矩阵之间的运算也有一些特殊的性质。
1.对称矩阵和反对称矩阵的和是一个一般的矩阵，不再具有对称性或反对称性。
2.对称矩阵和反对称矩阵的积是一个反对称矩阵。
3.对称矩阵和反对称矩阵的乘积是一个一般的矩阵，不再具有对称性或反对称性。
这些性质在矩阵运算中有广泛的应用，比如在物理学中，对称矩阵和反对称矩阵的运算可以用于描述物理系统的对称性和反对称性。
结语对称矩阵和反对称矩阵是线性代数中的两个重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文从定义、性质和应用三个方面来介绍对称矩阵和反对称矩阵，并讨论了它们之间的运算特性。
对称矩阵和反对称矩阵的若干性质
Ｖａ ｉｕ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｙ ｒｏ ｓｐ ｏ ｅ ｔ ｆｓ ｍｍｅｒｃ ｍａ ｒ ｎ ｎ ｉｓ ｎ ｎ ｔｉ ｔｉ ｅ ｔｉ ｔｉ ａ ｄ ａ ｔ ｙ ｎ ｅｒｃ ｍａ ｒｘ ｘ －
Ｚ ＯＵ ｅ － ｉｎ Ｂ ｎ ｑ ：０４ ２ｏ ２ｏ ）２ ０２ ０ １０ —４８ （ｏ７ ｏ —０ ９ — ３
对 称矩 阵 和 反对 称 矩 阵 的若 干 性 质
邹本 强
（ 海职业学院 ， 威 山东 威 海 ２４０ ） ６２０
摘要 ： 在高等代数 中矩阵是研究 问题很重要 的工具 ， 在讨论矩 阵转 置时给出了对称矩阵和反对称 矩阵 的定 义 ， 但对 它们 的性质研究很少 。对 称矩阵和反对称矩阵作为特殊矩 阵无论在矩 阵理论方面 ， 还是在 实际应用方 面都有重要 的意义 。我们在研究矩 阵及 学习有关数学知识时 ， 经常要讨论这两种特殊矩 阵的性质 。本 文先给 出对称 矩阵和反 对称矩 阵的定 义 ， 然后讨论 了它们 的若 干性 质。 关键 词 ： 对称矩阵 ； 反对称矩阵 ； 性质
Ｋｅ ｒ ｓ：ｙ ｕ ｅｒｅ ｍａｒ ａ ｔ—ｙ ｙ ｗｏ ｄ ｓ ｎ ｎ ｔｉ ｔｉ ｎ ｉｓ ｍｍｅｒｃ ｍ ｔｉ ｐ ｐ ｒｉｓ ｘ； ｔ ｒ ｉ ａ ｘ； ｒｅ ｔ ｅ ｏ
一
我们知道 ， 任何一个方 阵都可以唯一地分解为 个对称矩阵与一个反对称矩 阵之和。因此 ， 我们
设 Ａ 都是反对称矩阵， 、 ｋ为任意数 ， Ａ ＝ 则 Ｔ
一
Ａ， ＢＴ＝ 一 Ｂ
，
因此 ，
将对称矩阵与反对称矩 阵对 照起来讨论 它们 的性 质， 以供读者学习矩阵时提供参考 。 定义 １ 若 Ａ ＝Ａ， 矩阵 Ａ为对称矩 阵； Ｔ 称 若
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INTELLIGENCE 人 文 论 坛
162
关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
华北电力大学科技学院 朱亚茹
摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。
本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。
关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质
对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。
教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。
本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。
一、对称矩阵
定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==⋅⋅⋅，那么称A 为对称矩阵。
由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。
性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。
则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。
证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以T
A A +也是对称矩阵。
性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A −也是对称矩阵。
证明：因为111()()T T A A A −−−==，所以1A −也是对称矩阵。
性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于
()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T
AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
性质5：A,B 都为n 阶对称矩阵，则A B +也是对称矩阵。
证明：因为()T T T A B A B A B +=+=+，所以A B +也是对称矩阵。
性质6：A,B 都为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =。
证明：必要性：设AB 为对称矩阵，则()T AB AB =，而()T T T AB B A BA ==，所以AB BA =。
充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===，所以AB 为对称矩阵。
二、反对称矩阵
定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =−，即(,1,2,,)ij ji a a i j n =−=⋅⋅⋅，那么称A 为反对称矩阵。
由于反对称矩阵形式的特殊性，使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。
性质7：设A 为n 阶反对称矩阵，则A 的主对角线上的
元素都为0。
证明：因为A 为n 阶反对称矩阵，所以A 的主对角线上的元素有(1,2,,)ii ii a a i n =−=⋅⋅⋅，所以0(1,2,,)ii a i n ==⋅⋅⋅。
性质8：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则A 的行列式值为0。
证明：因为(,1,2,,)ij ji a a i j n =−=⋅⋅⋅，所以将A 的每一行提
出一个公因子-1，由于n 为奇数，则：(1)n T T
A A A =−=−。
而根据行列式的性质有T
A A =，所以0A =。
性质9：设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则(1)AB BA −为对称矩阵。
(2)AB BA +为反对称矩阵。
证明：(1)因为()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA −=−=−=−,所以AB BA −为对称矩阵。
(2)同(1)，因为()()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA +=+=+=−+,所以AB BA +为反对称矩阵。
性质10：任一n 阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
证明:假设n 阶方阵A B C =+,其中B 为对称矩阵, C
为反对称矩阵,则()T T T T A B C B C B C =+=+=−。
由T
A B C
A
B C
=+⎧⎨
=−⎩得,22
T T
A A A A
B
C +−==。
而(
),()2222
T T T T T T T T A A A A A A A A
B B
C C ++−−=====
=−，则B 为对称矩阵，C 为反对称矩阵，且A B C =+。
性质11：设A 为n 阶反对称矩阵，B 为n 阶对称矩阵，
则AB 为反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =。
证明：必要性：设AB 为反对称矩阵，则()T AB AB =−，而()T T T AB B A BA ==−，所以AB BA =。
充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===−，所以AB 为反对称矩阵。
三、结束语
对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多，比如对称矩阵的特征值均为实数，对应不同特征值得的特征向量必正交等等，由于篇幅所限，本文只介绍一些基本的性质，方便读者参考。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系：《线性代数》.高等教育出版社,2004
[2]肖马成、周概容：《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社,2008
[3] 陈惠汝、余巧生：《矩阵同时相似于对角矩阵问题的研究》[J].重庆三峡学院学报,2009，25。