第6章 系统识别

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6 . 4 应用实例
实例 6 1 外圆磨削加工系统的差分模型识别。 图 6 . 4 . 1 为外圆切入磨削系统的结构及测量过程示意 方框图。在磨削加工过程中许多参数的变化都会直接 影响到磨削力的变化。因此 , 选择磨削力作为系统输入 可以较全面地反映加工过程中的各种变化。但对磨削 过程这一系统而言 , 切削力是系统本身的内部因素 , 而 不是外界作用。为此 , 假设床身为一个刚性支承 , 这样 就可将工件系统和砂轮架系统分别作为两个独立的系 统 , 磨削力则可作为这两个系统的输入 , 而工件和砂轮 架的位移分别作为这两个系统的输出。
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6.1.5 频率响应识别程序 根据式 ( 6.1.14 ) 至式 ( 6.1.17 ) , 可以通过编程求 解线性代数方程识别出系统传递函数。在 MATLAB 信 号处理工具箱中 , 按此给出了由频率响应数据识别系统 传递函数的 invfreqs ( )函数 , 有两种语句格式 :
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6.1 频率响应识别
6.1.1 频率响应识别的原理 如图6.1.1(a)所示,是给系统输入一个正弦信号 xi(t) =Xisinωt,当系统稳定后,在输出端就有同频率的正弦信 号 xo(t) =Xosin(ωt+Φ)输出,通过实验用仪器把输入正弦 信号和系统的稳定输入记录下来, 如图 6.1.1(b) 所示, 则 可根据输入幅值 Xi、输出幅值 Xo求得幅值比Xo/Xi,而 τ求 得,即
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③系统中积分环节的处理 当系统含有积分环节1/sv时,就不能直接利用式 (6.1.13)来计算未知参数,需要先对频率特性进行变换。 变换方法是对幅频特性乘以 ωv,对相频特性加上 vπ/2。 然后由变换后的频率特性求传递函数。对所得的传递 函数乘以1/sv,就是实际系统的传递函数。
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( 2 ) 三角脉冲函数输入 若单位三角脉冲的宽度 T 比系统所有环节的时间 常数中最小者还要小很多时 , 可近似视之为理想的单位 脉冲。如图 6 . 2 . 3 所示的三角脉冲函数可表达为
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3 ) 根据渐近线斜率变化特征 , 可以确定该系统在 低频段后由下列环节组成 :
4 ) 若系统是最小相位系统 , 由幅频特性初步估计 其频率特性为
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5 ) 用实验得到的相频特性加以校验修正 如果由估计传递函数 G( s) 计算得出的对数相频曲 线∠G( jω) 与实验所得的曲线基本相符 , 而且在较低和 较高的频率范围内都一致 , 说明系统是最小相位系统 , 对从幅频特性实验曲线估计得到的传递函数无须修正 。
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6 . 3 小 结
本章主要介绍如何通过实验曲线和数据 , 用图解 法或解析法来识别系统的数学模型。频率响应识别比 较成熟 , 根据 Bode 图和 Nyqu ist 图都可以估计出系统 的频率特性或传递函数 , 其中 Bode 图包含了系统阶次 的信息。时间响应识别对低阶系统很方便 , 可根据响应 曲线直接用图解法估计系统的传递函数 , 对高阶系统则 需用解析法来估计系统模型的频率特性。时域识别的 优点在于可以不限定输入信号 , 还可以实现在线识别 , 特别是与计算机技术紧密结合 , 为识别复杂的对象提供 了可能。
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6.1.3 由 Bode 图估计系统开环传递函数 建立工程控制系统数学模型的基本前提 , 是对系 统参数和结构作出估计和识别。通过实验得到系统的 Bode 图后 , 就可以按下述的方法来估计和识别整个系 统或系统中任一环节的传递函数及其参数。 例 6.1 已知由实验作出系统的 Bode 图如图 6.1.4 中实线所示 , 试根据该实验曲线写出系统传递函数。
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①传递函数阶次的确定 系统传递函数的阶次可由 Bode 图确定 , 也可以先选择 初始阶次为一阶 , 然后逐次增加。每次所取的模型阶次 是否与真实系统相符 , 可通过其时域响应的相对误差e N 来检查。
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②频率范围及频率增量的选择 如果选择的频率 ωk( 0 < k < M) 的范围大到好几个 十倍频程 , 则 A 中含低频成分的元素就会很小 , 所以在 低频时不能得到很好的估计。为解决这一问题 , 建议频 率范围取为
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6.2 时间响应识别
采用频率响应识别系统的优点是比较直观 , 测量 手段要求不高 , 可以用通用仪器获取频率响应。但它也 有许多不足之处。例如需要有准确的正弦信号发生器 , 否则不准确的谐波输入将给实验结果带来误差。当测 量的频率范围较大时 , 实验次数也相应增多 , 且每改变 一次频率就要测量一次 , 实验繁杂费时。若被测的是机 械对象 , 激振器与对象之间的机械连接的动态特性对被 测对象的动态特性有影响。
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( 3 ) 长方形脉冲输入 高度为 1 / T, 宽度为 T 长方形脉冲称为单位长方形 脉冲 , 如图 6 . 2 . 3 所示。单位长方形脉冲函数的表达 式为
式中 , u ( t ) 为单位阶跃函数。它的 Fou rier 变换 三角形式为 ( 推导省略 )
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6.1.4 由 Nyqu ist 图估计系统传递函数 设估计的系统传递函数形式为
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6 . 2 . 3 差分方程识别 前面介绍了根据系统输入、输出的连续时间信号 进行采样处理 , 将连续信号转化为离散的时间序列 , 然 后再进行离散 Fou rier 变换 , 建立系统频率特性或传递 函数的方法。其中已涉及到利用数字计算机计算获得 输入、输出的观测数据问题 , 根据这些数据 , 可以建立 起系统的另一种数学模型———差分方程 , 它与微分方 程可以相互转换。
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第6章 系统识别
系统分析和校正都必须依赖于系统的数学模型 , 当无法运用第 2 章的解析建模法获得数学模型时 , 就 需要用系统识别 ( 又称系统辨识 ) 的方法。系统识别 可以定义为 , 在输入和输出的基础上 , 从一类系统中确 定一个与所观测的系统是等价的系统。一般采用的等 价准则是 : 在相同输入下 , 被识别对象的输出与所建模 型的输出之间的误差最小。系统识别的原理 , 在第 1 章中已作了介绍 , 见图 1.4.3 , 它是用被识别对象的输 入和输出的观测数据 , 按一定算法估计出被识别对象 的阶次、结构和未知参数 , 从而获得与被识别对象具 有等价输入输出特性的数学模型。
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( 1 ) 时间响应数据的采集 ( Shannon 采样定理 ) 如图 6 . 2 . 4 所示 , 对于连续型函数 x( t) , 它在离 散点的值为 x( t ) , 则称 x( t) 为 x( t ) 的采样信号。即
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( 5 ) 系统频率特性的计算 将式 ( 6 . 2 . 17 ) 和式 ( 6 . 2 . 27 ) 代入式 ( 6 . 2 . 15 ) , 即得系统在以单位三角脉冲作为输入时的频率特 性:
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( 4 ) 任意时间函数输入 当系统的输入是任意一时间函数 xi( t ) 时 ,可将 x i ( t) 用 N 个连续脉冲之和来代替 , 从而可用卷积积分的 近似方法求出系统对任意输入的响应 , 如图 6 . 2 . 9 所 示。
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6.1.2 频率响应的数据采集 通过实验求取频率特性的仪器和方法很多 , 现以 图 6.1.2 所示用频率特性测试仪 BT6 和图 6.1.3 所示用 传递函数分析仪为例来说明系统频率特性的获得。
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6 . 2 . 1 阶跃响应识别 根据系统的阶跃响应 , 可以直接利用响应曲线上 的特征参数 , 识别系统的传递函数 , 最常用的是针对一、 二阶系统的识别。
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6 . 2 . 2 脉冲响应识别 对高阶系统, 阶跃响应的近似识别法的识别误差较 大, 一般采用脉冲响应的解析法识别。由式 ( 2. 2. 4) 已 知 , 系统的单位脉冲响应 W( t ) 的拉氏变换就是系统的 传递函数 G( s) , 即 G( s) =L[ W( t ) ] 或
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解 1 ) 作出实验曲线的渐近线如图中 细实线所示 , 它是斜率依次为 - 20 dB /dec ,- 40 dB /dec , - 20 dB /dec 和 - 60 dB / dec的四段直线 , 它的三个转角 频率依次为ω1= 1 rad / s, ω2 = 2 rad / s, ω3 = 8 rad / s。 2 ) 由最 左段 低 频渐 近 线斜 率 为 - 20dB /dec 可 知 , 系统为Ⅰ型系统。低频渐近线在 ω= 1 处的幅值为 20 lgK = 20 dB, 可知增益 K = 10 ( 低频渐近线延长线与 0 dB 线的交点频率为10 rad / s) 。由此得到低频段传递 函数为 10 / s。