模糊数学例题大全教材
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解： A C 0.1 0.1 0.3 0.3 0.3
A⊙C = 0.9 0.6 0.6 0.4 0.4
B C 0 0.1 0.3 0.4 0.4
B⊙C = 0.1 0.6 0.4 0.8 0.1
0(
A,C
)
1 [0.3 2
1 0 1 0 0
0
1
0
0
0
R* 0.6
1
0
1
0
0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R* 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
经典集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A(u),
其中
A
(u)
1, 0,
u A u A
非此即彼
函数 A 称为集合A的特征函数。
2020年3月5日
1
特征函数的性质：
结论：对比原来的高电压，现在需要电压调至和高电压差 不多，或者是近似高。
贴近度
例：设论域U { x1, x2 , x3 , x4 }上的三个模式为 A (0.9,0.1,0.6,0.3), B (0,0.3,0.4,0.8), C (0.1,0.6,0.3,0.4),判别 A 和 B 中哪个与 C 最贴近。
16
例题：若人工调节炉温，有如下经验规则：如果炉温低，则外加电压高， 否则电压不很高。现在炉温很低，试确定外加电压应如何调节？
C=“电压不很高”= 0.96 0.84 0.64 0.36 0 1 2 3 45
D=“炉温很低”= 1 0.64 0.36 0.16 0.04 12 3 4 5
故此时{x1, x3}为一类，{x2}为一类, {x4, x5}为一类。
2020年3月5日
12
选取 = 0.8，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 1 0.4 0.8 0.5 0.5
0
1
0
0
0
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R* 0.8
1
0
0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
R1*
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R* 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
2020年3月5日
7
模糊聚类分析
5 5 3 2
解：由题设知特性指标矩阵为
2
X* 5
3 5
4 2
5
3
1
5
3
1
2 4 5 1
采用“绝对值减数法”建立近似关系：
xij
xij Mrij j
M
1
j m1ax(x1 j ,
4
c xik x jk
k 1
x2ij i
,
j, j
xnj
)
其中，c = 0.1, i, j = 1, 2, 3, 4, 5
2020年3月5日
8
模糊聚类分析
根据上述关系求出rij，建立模糊相似关系矩阵
1 0.1 0.8 0.5 0.3
0.1
1
0.1
0.2
0.4
5 5 3 2
2
3
4
5
0Baidu Nhomakorabea0 0
1 0 0
0 1 0
0
0
1
R* 0.8
0.5
0.5
0.2 0.4 0.4
1 0.5 0.3
0.5 1 0.6
0.3
0.6
1
故此时{x1, x3}为一类，{x2}, {x4}, {x5}各为一类。
2020年3月5日
13
选取 = 1，则此时R*的截矩阵变为
2020年3月5日
3
例3：设模糊子集 A 0.5 0.6 1 0.7 0.3
u1 u2 u3 u4 u5
取其截集如下：
A1 u3 A0.7 u3,u4
A0.6 u2,u3,u4
A0.5 u1,u2,u3,u4 A0.3 u1,u2,u3,u4,u5
当 0.8时，分类为{ x1, x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 };
当 0.6时，分类为{ x1, x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 当 0.5时，分类为{ x1, x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 当 0.4时，分类为{ x1, x2 , x3 , x4 , x5 }.
Ax 0 A
Ax 0 A U A x B x A B
A x B x A B
A x 1 Ax
AB x max{A x, B x}
AB x min{A x, B x}
(1
0.4)]
0.45
0(B,C
)
1 [0.4 2
(1
0.1)]
0.65
故B比A更贴近于Ｃ.
2020年3月5日
19
模糊综合评判
例：考虑一个服装的评判问题。
（1）建立因素集U {u1, u2 , u3 , u4 },其中 u1 :花色；u2 :式样；u3 :耐穿程度；u4 :价格。
X* 5 5 2 3
R 0.8 0.1 1 0.3 0.1
0.5
0.2
0.3
1
0.6
1
5
3
1
2 4 5 1
0.3 0.4 0.1 0.6
1
1 rij
1
c
4 k 1
xik
x jk
i j i j
2020年3月5日
故此时{x1}, {x2}, { x3}, {x4 }, {x5}各为一类。
2020年3月5日
14
模糊聚类分析
画出动态聚类图如下：
1
x1 x2 x3 x4 x5
0.8
0.6 0.5 0.4
注意：根据实际问题，调整的值以获得恰当的分类结果
2020年3月5日
15
2020年3月5日
结论：外加电压调 节的和高电压完 全一样
1 0.4 0.8 0.5 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
当 1时，分类为{ x1},{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 };
（2）建立评判集V {v1,v2 ,v3 ,v4 }，其中 v1 :很欢迎；v2 :较欢迎；v3 :不太欢迎；v4 :不欢迎。
（3）进行单因素评判得到：
u1 r1 (0.2,0.5,0.2,0.1) u2 r2 (0.7,0.2,0.1,0) u3 r3 (0,0.4,0.5,0.1)
0.3
R* 0.8
0.5
0.5
1 0.2 0.4 0.4
0.2 1 0.5 0.3
0.4 0.5 1 0.6
0.4
0.3
0.6
1
故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
2020年3月5日
11
选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
配的权重分别为
A1 (0.1,0.2,0.3,0.4)
A2 (0.4,0.35,0.15,0.1)
2020年3月5日
21
用隶属度最大原则（模型 M(,)）计算综合评判为 B1 A1 R (0.2,0.3,0.4,0.1) B2 A2 R (0.35,0.4,0.2,0.1)
u4 r4 (0.2,0.3,0.5,0).
2020年3月5日
20
（4）由单因素评判构造综合评判矩阵
0.2 0.5 0.2 0.1
R
0.7 0 0.2
0.2 0.4 0.3
0.1 0.5 0.5
0 00.1
（5）综合评判
设有两类顾客，他们根据自己的喜好对各因素所分
2020年3月5日
2
经典集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A(u),
其中
A
(u)
1, 0,
u A u A
函数 A 称为集合A的特征函数，A u 称为u的隶属度。
分数
5 4 3 2 1 0
2020年3月5日
亩产量 /kg 550-600 500-550 450-500 400-450 350-400 350以下
产品质量 /级 1 2 3 4 5 6
亩用工量 /工日 20以下 20-30 30-40 40-50 50-60 60以上
23
亩纯收入 /元 130以上 110-130 90-110 70-90 50-70 50以下
9
用平方法合成传递闭包
1 0.3 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R2 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
1 0.1 0.8 0.5 0.3
0.1
1
0.1 0.2 0.4
R 0.8 0.1 1 0.3 0.1
0.5
0.2
0.3
1
0.6
0.3 0.4 0.1 0.6 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R4 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
按最大隶属原则，第一类顾客对此服装不太欢迎，而
第二类顾客对此服装比较欢迎。
对于类似于 B2 的情形，在下结论前通常将其归一化为
B 2
(0.35 , 0.4 , 0.2 , 0.1 ) 1.05 1.05 1.05 1.05
(0.33,0.38,0.19,0.1)
2020年3月5日
22
实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收) 乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩 用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的 权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表
2020年3月5日
4
内容回顾：
定义：设X, Y是两个非空集合，则直积X Y = {(x, y) x X, y Y}中的一个模糊子集R称为从X到Y的一个 模糊关系。
关模糊系——例
2020年3月5日
5
模糊聚类分析
模糊聚类分析
例1：设U { x1, x2 , x3 , x4 , x5 },它上面有模糊等价关系
2020年3月5日
6
模糊模等糊价关聚系类的分聚析类分析
例：考虑某环保部门对该地区 5 个环境区域 X { x1, x2 , x3 , x4 , x5 }按污染情况进行分类。设每个区 域包含空气、水分、土壤、作物 4 个要素，环境区域 的污染情况由污染物在 4 个要素中的含量超过的程度 来衡量。设这 5 个环境区域的污染数据为： x1 (5,5,3, 2), x2 (2,3, 4,5), x3 (5,5, 2,3), x4 (1,5,3,1), x5 (2, 4,5,1). 试对 X 进行分类。
模糊规则R=
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.4 0.6 0.8 0.8
A
B
Ac
C
0.4
0.4
0.6
0.6 0.6
0.6 0.6 0.6 0.4 0.4
0.8
0.8
0.64
0.36
0.2
E D R 0.36 0.4 0.6 0.8 1
Q R4 • R4 R4, t(R) R4 R*
2020年3月5日
10
选取 = 0.5，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 1 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0
R* 0.5
1
1
1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0
0
1
1
A⊙C = 0.9 0.6 0.6 0.4 0.4
B C 0 0.1 0.3 0.4 0.4
B⊙C = 0.1 0.6 0.4 0.8 0.1
0(
A,C
)
1 [0.3 2
1 0 1 0 0
0
1
0
0
0
R* 0.6
1
0
1
0
0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R* 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
经典集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A(u),
其中
A
(u)
1, 0,
u A u A
非此即彼
函数 A 称为集合A的特征函数。
2020年3月5日
1
特征函数的性质：
结论：对比原来的高电压，现在需要电压调至和高电压差 不多，或者是近似高。
贴近度
例：设论域U { x1, x2 , x3 , x4 }上的三个模式为 A (0.9,0.1,0.6,0.3), B (0,0.3,0.4,0.8), C (0.1,0.6,0.3,0.4),判别 A 和 B 中哪个与 C 最贴近。
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例题：若人工调节炉温，有如下经验规则：如果炉温低，则外加电压高， 否则电压不很高。现在炉温很低，试确定外加电压应如何调节？
C=“电压不很高”= 0.96 0.84 0.64 0.36 0 1 2 3 45
D=“炉温很低”= 1 0.64 0.36 0.16 0.04 12 3 4 5
故此时{x1, x3}为一类，{x2}为一类, {x4, x5}为一类。
2020年3月5日
12
选取 = 0.8，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 1 0.4 0.8 0.5 0.5
0
1
0
0
0
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R* 0.8
1
0
0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
R1*
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R* 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
2020年3月5日
7
模糊聚类分析
5 5 3 2
解：由题设知特性指标矩阵为
2
X* 5
3 5
4 2
5
3
1
5
3
1
2 4 5 1
采用“绝对值减数法”建立近似关系：
xij
xij Mrij j
M
1
j m1ax(x1 j ,
4
c xik x jk
k 1
x2ij i
,
j, j
xnj
)
其中，c = 0.1, i, j = 1, 2, 3, 4, 5
2020年3月5日
8
模糊聚类分析
根据上述关系求出rij，建立模糊相似关系矩阵
1 0.1 0.8 0.5 0.3
0.1
1
0.1
0.2
0.4
5 5 3 2
2
3
4
5
0Baidu Nhomakorabea0 0
1 0 0
0 1 0
0
0
1
R* 0.8
0.5
0.5
0.2 0.4 0.4
1 0.5 0.3
0.5 1 0.6
0.3
0.6
1
故此时{x1, x3}为一类，{x2}, {x4}, {x5}各为一类。
2020年3月5日
13
选取 = 1，则此时R*的截矩阵变为
2020年3月5日
3
例3：设模糊子集 A 0.5 0.6 1 0.7 0.3
u1 u2 u3 u4 u5
取其截集如下：
A1 u3 A0.7 u3,u4
A0.6 u2,u3,u4
A0.5 u1,u2,u3,u4 A0.3 u1,u2,u3,u4,u5
当 0.8时，分类为{ x1, x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 };
当 0.6时，分类为{ x1, x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 当 0.5时，分类为{ x1, x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 当 0.4时，分类为{ x1, x2 , x3 , x4 , x5 }.
Ax 0 A
Ax 0 A U A x B x A B
A x B x A B
A x 1 Ax
AB x max{A x, B x}
AB x min{A x, B x}
(1
0.4)]
0.45
0(B,C
)
1 [0.4 2
(1
0.1)]
0.65
故B比A更贴近于Ｃ.
2020年3月5日
19
模糊综合评判
例：考虑一个服装的评判问题。
（1）建立因素集U {u1, u2 , u3 , u4 },其中 u1 :花色；u2 :式样；u3 :耐穿程度；u4 :价格。
X* 5 5 2 3
R 0.8 0.1 1 0.3 0.1
0.5
0.2
0.3
1
0.6
1
5
3
1
2 4 5 1
0.3 0.4 0.1 0.6
1
1 rij
1
c
4 k 1
xik
x jk
i j i j
2020年3月5日
故此时{x1}, {x2}, { x3}, {x4 }, {x5}各为一类。
2020年3月5日
14
模糊聚类分析
画出动态聚类图如下：
1
x1 x2 x3 x4 x5
0.8
0.6 0.5 0.4
注意：根据实际问题，调整的值以获得恰当的分类结果
2020年3月5日
15
2020年3月5日
结论：外加电压调 节的和高电压完 全一样
1 0.4 0.8 0.5 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
当 1时，分类为{ x1},{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 };
（2）建立评判集V {v1,v2 ,v3 ,v4 }，其中 v1 :很欢迎；v2 :较欢迎；v3 :不太欢迎；v4 :不欢迎。
（3）进行单因素评判得到：
u1 r1 (0.2,0.5,0.2,0.1) u2 r2 (0.7,0.2,0.1,0) u3 r3 (0,0.4,0.5,0.1)
0.3
R* 0.8
0.5
0.5
1 0.2 0.4 0.4
0.2 1 0.5 0.3
0.4 0.5 1 0.6
0.4
0.3
0.6
1
故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
2020年3月5日
11
选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
配的权重分别为
A1 (0.1,0.2,0.3,0.4)
A2 (0.4,0.35,0.15,0.1)
2020年3月5日
21
用隶属度最大原则（模型 M(,)）计算综合评判为 B1 A1 R (0.2,0.3,0.4,0.1) B2 A2 R (0.35,0.4,0.2,0.1)
u4 r4 (0.2,0.3,0.5,0).
2020年3月5日
20
（4）由单因素评判构造综合评判矩阵
0.2 0.5 0.2 0.1
R
0.7 0 0.2
0.2 0.4 0.3
0.1 0.5 0.5
0 00.1
（5）综合评判
设有两类顾客，他们根据自己的喜好对各因素所分
2020年3月5日
2
经典集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A(u),
其中
A
(u)
1, 0,
u A u A
函数 A 称为集合A的特征函数，A u 称为u的隶属度。
分数
5 4 3 2 1 0
2020年3月5日
亩产量 /kg 550-600 500-550 450-500 400-450 350-400 350以下
产品质量 /级 1 2 3 4 5 6
亩用工量 /工日 20以下 20-30 30-40 40-50 50-60 60以上
23
亩纯收入 /元 130以上 110-130 90-110 70-90 50-70 50以下
9
用平方法合成传递闭包
1 0.3 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R2 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
1 0.1 0.8 0.5 0.3
0.1
1
0.1 0.2 0.4
R 0.8 0.1 1 0.3 0.1
0.5
0.2
0.3
1
0.6
0.3 0.4 0.1 0.6 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.3
1
0.2
0.4
0.4
R4 0.8 0.2 1 0.5 0.3
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
按最大隶属原则，第一类顾客对此服装不太欢迎，而
第二类顾客对此服装比较欢迎。
对于类似于 B2 的情形，在下结论前通常将其归一化为
B 2
(0.35 , 0.4 , 0.2 , 0.1 ) 1.05 1.05 1.05 1.05
(0.33,0.38,0.19,0.1)
2020年3月5日
22
实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收) 乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩 用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的 权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表
2020年3月5日
4
内容回顾：
定义：设X, Y是两个非空集合，则直积X Y = {(x, y) x X, y Y}中的一个模糊子集R称为从X到Y的一个 模糊关系。
关模糊系——例
2020年3月5日
5
模糊聚类分析
模糊聚类分析
例1：设U { x1, x2 , x3 , x4 , x5 },它上面有模糊等价关系
2020年3月5日
6
模糊模等糊价关聚系类的分聚析类分析
例：考虑某环保部门对该地区 5 个环境区域 X { x1, x2 , x3 , x4 , x5 }按污染情况进行分类。设每个区 域包含空气、水分、土壤、作物 4 个要素，环境区域 的污染情况由污染物在 4 个要素中的含量超过的程度 来衡量。设这 5 个环境区域的污染数据为： x1 (5,5,3, 2), x2 (2,3, 4,5), x3 (5,5, 2,3), x4 (1,5,3,1), x5 (2, 4,5,1). 试对 X 进行分类。
模糊规则R=
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.4 0.6 0.8 0.8
A
B
Ac
C
0.4
0.4
0.6
0.6 0.6
0.6 0.6 0.6 0.4 0.4
0.8
0.8
0.64
0.36
0.2
E D R 0.36 0.4 0.6 0.8 1
Q R4 • R4 R4, t(R) R4 R*
2020年3月5日
10
选取 = 0.5，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 1 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0
R* 0.5
1
1
1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0
0
1
1