常用完全平方数
小学中级奥数第26讲-完全平方数
课后作业
课后作业 <作业6>
从1到1997的所有自然数中,乘以90后是完全平方数的数共有多少个?
平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
精讲7(20+8)2
(12-2)2
= 202 +2×20×8+ 82 = 400 +320+ 64
= 122 -2×12×2+ 22 = 144-48+ 4
= 784
= 100
完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式:
(X-Y)2=X2 - 2XY+Y2
精讲1
解法精讲
02 = 0
52 = 25
102 = 100
252 = 625
完全平方数
精讲2 尾数特征1
完全平方数的 个位只可能是 0,1,4,5,6,9
常用完全平方数表
尾数特征2
奇数平方 个位数字是奇数 十位数字为偶数
精讲3 尾数特征3
偶数平方 个位数字 是偶数
常用完全平方数表
尾数特征4
两个相临平方数 之间不可能再有 平方数
1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是 的平方。
12345678987654321×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)
是
的平方。
写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。
从1到2011中有几个有偶数个因数的整数?
最小数的最小值为
.
一个数的完全平方有39个约数,求该数的因数个数是多少?
完全平方数
完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。
完全平方数的数字特征:性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数(1,5,9),十位数字为偶数。
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。
性质4:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
完全平方数的同余特征:性质5:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数。
性质6:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数。
性质7:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
形如3k+2型的整数一定不是完全平方数。
性质8:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k 型。
形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。
性质9:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
完全平方数的因子特征:性质10:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数。
性质11:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若性质12:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
例有四个数①921438,②76186,③750235,④2660161,其中只有____是完全平方数。
例试证:12345678987654321是完全平方数。
例设正整数d不等于2、5、13。
证明在2,5,13,d四个数中可以找到两个不同的数a、b使得ab-1不是完全平方数.例是否存在自然数n与d,使得2n2能被d整除且n2+d是完全平方数.例由非零的偶数码组成一个四位数,它又恰是某个由偶数码组成的数的完全平方,求这个四位数.例有一个四位数恰好是个完全平方数,它的千位数字比百位数字多1,比十位数字少1,比个位数字少2,这个四位数是。
完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式有哪些完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式,它们在解决一些与平方数相关的问题时发挥着重要的作用。
下面将详细介绍完全平方公式和平方差公式的定义和应用。
一、完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式转化为一个完全平方式表示的公式。
二次多项式可以写成\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中,a和b可以是任意实数。
完全平方公式通过将二次多项式写成一个完全平方式的形式,可以方便地进行运算和化简。
完全平方公式的应用十分广泛,特别是在因式分解与整式运算、解二次方程、求函数的最值等方面,其作用不可忽视。
二、平方差公式平方差公式是指将两个数的平方差表示为一个因式的形式的公式。
平方差公式有两种常见形式:1. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)其中,a和b可以是任意实数。
平方差公式可以应用于因式分解、整式运算等问题的解答。
2. \(a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)\)其中,a和b表示实数,i为虚数单位。
当b不为0时,该公式可以应用于复数运算,如复数的乘法和除法。
当b为0时,该公式可以用于判定一个实数是否为一个复数的平方。
平方差公式的广泛应用使得解决与平方数相关的问题变得更加简便。
总结:完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式,它们在解决与平方数相关的问题时发挥着重要作用。
完全平方公式将二次多项式转化为完全平方式,便于运算和化简;平方差公式通过将平方差表示为因式的形式,方便因式分解、整式运算和复数运算等问题的解答。
这些公式的应用广泛,对于学习和应用数学都至关重要。
在实际问题中,我们可以根据具体情况选择合适的公式来解决与平方数相关的问题。
熟练掌握完全平方公式和平方差公式的定义、应用和证明,将会极大地提高我们在数学领域的能力和解题技巧。
通过不断的练习和实践,我们可以更好地理解和运用这些公式,为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
五年级下第11讲 完全平方数
第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义:一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表:3.完全平方数的常用性质:完全平方数乘完全平方数是完全平方数。
二、例题精选【例1】计算:215,225,235,245,255,并说明规律。
【巩固1】计算:162,262,362,462,562,并说明规律。
【例2】试判断下列数是否是完全平方数,若不是请在横线上简述判断理由;若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
997:____________________;6983:____________________;5112:____________________;6478:____________________;【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数,若不是请在横线上简述判断理由;若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
1199:____________________;7886:____________________;1834:____________________;1275:____________________;【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数,即920179999个 ,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B ;如果不是,请说明理由.【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数,即 5620185656...5656个,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B;如果不是,请说明理由.【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方,则a的最小值是多少?b的最小值是多少?【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数,a的最小值是多少?b的最小值是多少?【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数,所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。
如公元900年,900=302,所以公元900年是快乐年。
那么从1000年到今年(2018年),有多少个“快乐年”?【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份,因为这些年份总会遭遇困恼,其他年份则不会。
完全平方
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数, 则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方 数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
证明: 已知m2=10k+6,证明k为奇数。因为 m2的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于 是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)2=100n2+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)2=100n2+(12n+3)x10+6 即 k=10n2+8n+1=2(5n2+4n)+1 或 k=10n2+12n+3=2(5n2+6n)+3 ∴ k为奇数。
完全平方数 (一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方, 那么我们就称这个数为完全平方数,也叫 做平方数。例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,19 6,225,256,289,324,361,400,441,484,…
性质1:完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9。
故所求的自然数是1981。
[例2]:求证:四个连续的整数的积加上1,等 于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
分析 设四个连续的整数为n,n+1,n+2,n+3,其中n为整 数。欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方,只需将 它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m,
(9k±1)2=9(9k2±2k)+1 (9k±2)2=9(9k2±4k)+4 (9k±3)2=9(9k2±6k)+9 (9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7
_完全平方数
完全平方数 知识要点,255,164,93,42,1122222=====故1,4,9,16,25,…这些数就是完全平方数。
完全平方数有许多性质,例如:1.完全平方数分解质因数时,它的每个质因子都有偶数个。
2.如果一个数分解质因数后,每个质因数的指数都是偶数,这个数就一定是完全平方数。
3.完全平方数的个位数字只可能为0,1,4,5,6,9这六个数。
4.两个完全平方数的积是完全平方数;一个完全平方数与一个非完全平方数的积一定不是完全平方数。
5.偶完全平方数被4整除;奇完全平方数被4除余1. 1. 、把1,2,3,…,9这9个数按另一种顺序填在下表2. 自然数的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49,……。
问第612个位置的数是几?3. 50张卡片,写着1到50这50个数字,正反两面写的数字相同,卡片一面是红,一面是蓝。
某班有50名学生,老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆放在桌上,对同学说:“请你们按学号顺序逐个到前面来翻开卡片,规则是:只要卡片上的数字是自己学号的倍数,就把它翻过来,蓝色翻成红色,红色翻成蓝色。
”那么到最后,每个学生都翻完后,红色朝上的卡片有多少张?4. 在前100个自然数中,所有非完全平方数的和是多少?5. 从1到1989的自然数中,完全平方数共有多少个?6. 试问21世纪中哪一年的年分数是一个完全平方数?7. 从1到1998的所有自然数中,有多少个数乘以72后是完全平方数?8. 一个四位正整数,加上400后就成为一个自然数的平方数,这样的四位数的个数有多少?9. 135乘以一个自然数a ,是一个平方数,a 最小是多少?10. 46035乘以一个自然数a ,是一个平方数,a 最小是多少?11. 一个四位数的数码是非零的偶数,它又恰是某个偶数数字组成的数的平方。
则这个四位数是几?12. 已知四个数:35□2,3□57,3□36,□329,其中哪几个数可以写出完全平方数?13. 下面是一个算式:1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6这个算式的得数是否是某个数的平方?14. 在1,1+1×2,1+1×2+1×2×3,1+1×2+1×2×3+1×2×3×4,……,1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+…+1×2×3×4×…n ,…,这一列数中,可知,第一个数1是完全平方数,第三个和数1+1×2+1×2×3=9是完全平方数。
完全平方数
第二十四课完全平方数一个自然数与它本身相乘,乘积叫做完全平方数,或叫做平方数.例如1×1=1,2×2=4,3×3=9,…,那么1、4、9、…就是完全平方数.完全平方数有一些有趣而且重要的性质:(1)完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9.因为任何一个完全平方数的尾数,只能等于02,12,22,32,…,92的尾数,而这些数的尾数只有0,1,4,5,6,9.(2)完全平方数的约数个数是奇数个.因为完全平方数a2,a是自然数,则a=a1×a2×a3×…×ar,a1,a2,a3,…,ar是a的质因数.尾数一定是奇数,所以a2的约数个数是奇数个.(3)一个完全平方数被3除的余数是0或1.因为一个自然数被3除的余数只能是0,1,2这3个数中的一个.如果这个自然数被3除余数是0,那么这个数的完全平方数被3除余数也是0;如果这个自然数被3除余数是1,那么这个数的完全平方数被3除的余数是12,也是1;如果这个自然数被3除余数是2,那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1;所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1.(4)偶数的平方数能被4整除,奇数的平方被4或8除的余数是1.因为偶数表示为2n,n是整数.那么偶数的平方为(2n)2=4n2,能被4整除.奇数表示为2n+1,n是整数,那么奇数的平方为(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n+1)n+1,所以奇数的平方被4除的余数是1;又因为n+1,n是两个连续整数,必有一个是偶数,所以4(n+1)n能被8整除,也就是4(n+1)n+1被8除的余数是1,故奇数的平方被8除的余数是1.(5)一个完全平方数的末位数如果是0,那么它的末两位数也一定都是0. 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,289,324,361,400.完全平方数的末位数如果是0,那么它的末两位数也一定都是0.(6)末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25.这是因为,末位数是5的正整数都可以写成10a +5的形式(其中a 为正整数),它的平方数是=+2)510(a 2100a .25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a +1),它的末两位数都是0,另一个加数是25,它们的和的末两位数一定是25.例:判断1369是否为完全平方数,可作如下分析:1369如果是完全平方数,它的算术平方根一定是二位整数.又它的末位数是9,所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7.因为160040,9003022==,而900<1369<1600,所以1369的算术平方根只可能是33或37.经计算验证得136937,10893322==.因此,1369是一个完全平方数,它的算术平方根是37.“”例:如果判断1214是否完全平方数,可以仿照前面对1369的分析,得到它的算术平方根只可能是32或38.验算得1214144438,121410243222≠=≠=,因此可以判断出1214不是完全平方数. 例:如果判断237,4323,1348等末位数是3,7,8的数是否完全平方数,则结果是显然的.因为末位是3,7,8的正整数不可能是完全平方数.另外,个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数.下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数,则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )A.x =25530,y =29464B .x =37615,y =26855C .x =15123,y =32477D .x =28326,y =28614思路启迪: 把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算,就可以得到正确答案.但这种方法运算量太大.可以用筛选法.对所给四组值分别进行分析、筛选,看哪一组数能使22y x +是完全平方数,哪些组数不能使22y x +是完全平方数.如果能使22y x +是完全平方数的只有一组,显然这一组就是正确答案.规范解法对于A :x =25530,y =29464,,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于B:x =37615,y =26855.2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是 的末两位数是50,由于末位数是0时,只有末两位都是0时才能为完全平方数,.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴.22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴ 对于D:x =28326,y =28614.2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是 的末位数是8.而末位数是8的数不可能是完全平方数,.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知,只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数,其余三组数都没有这个可能.而此题有且只有一个正确答案,所以应选A性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
五年级数学完全平方数的性质和应用
完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数:16=42 25=52 36=62 49=72 64=82 81=92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数,情况就不一样了。
例如: 100=102 121=112 144=122这些平方数都已包含重复数字。
不过,也有许多三位平方数的各位数字互不相同,例如: 169=132 196=142 256=162 62=5252 含有四位数的完全平方数,包含重复数字的现象更为普遍。
1444=382 不含重复数字的四位平方数也很多,例如1024=322 2401=492 1369=372 1936=442如果一个平方数有九位数字,每位数字各不相同,并且不含数字0,那么在这个数中,从1到9全都出现,全只出现一次。
其中最小的是:139854276=118262,最大的是:923187456=303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.不可能是2,3,7,8。
性质2:在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3:自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4:若质数p 整除完全平方数,则p 能被整除。
2.一些重要的推论(1)任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
(2)一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
(3)自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
⇔⇔2a a(4)完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。
(5)完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。
第_9_讲__完全平方数(学习指导)
第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数,也叫平方数。
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,……都是完全平方数,同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数,可以得到完全平方数的一些常用性质:性质1:完全平方数的末位数字只能是0,1,4,5,6,9。
推论:个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数;性质2:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数。
性质3:完全平方数除以3余0或1;完全平方数除以4余0或1;。
性质4:如果一个完全平方数的个位数字是6,则是位数字是奇数。
性质5:完全平方数分解质因数后,每个质因数的次数都是偶数。
性质6:一个正整数如果是完全平方数,那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身),那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7:平方差公式A2-B2=(A+B)(A-B),其中A+B与A-B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9,可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数,那么我们定义:个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”,那么在两位数中,偶数与伪平方数那个多?分析:⑴两位数从10到99共90个,其中偶数90÷2=45(个)。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9=54(个),其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个,伪平方数有54-6=48个。
⑶两位数中偶数45个,伪平方数48个,伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式,如果这些质数的乘积正好是平方数,那么这个平方数可能是几?分析:⑴要使这些质数的乘积是完全平方数,那么质数必须成对出现,我们把16分成8+8的两组,每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
五年级下 完全平方数
第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义:一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表:3.完全平方数的常用性质:完全平方数乘完全平方数是完全平方数。
二、例题精选【例1】计算:215,225,235,245,255,并说明规律。
【巩固1】计算:162,262,362,462,562,并说明规律。
【例2】试判断下列数是否是完全平方数,若不是请在横线上简述判断理由;若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
997:____________________;6983:____________________;5112:____________________;6478:____________________;【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数,若不是请在横线上简述判断理由;若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
1199:____________________;7886:____________________;1834:____________________;1275:____________________;【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数,即920179999个 ,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B ;如果不是,请说明理由.【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数,即 5620185656...5656个,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B;如果不是,请说明理由.【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方,则a的最小值是多少?b的最小值是多少?【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数,a的最小值是多少?b的最小值是多少?【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数,所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。
如公元900年,900=302,所以公元900年是快乐年。
那么从1000年到今年(2018年),有多少个“快乐年”?【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份,因为这些年份总会遭遇困恼,其他年份则不会。
完全平方式的定义
完全平方式的定义完全平方式是一个数学概念,它指的是一个数可以被平方数整除。
换句话说,如果一个数n能够表示成m的形式,那么n就是一个完全平数。
例如,4、9、16、25等都是完全平数。
在数学中,完全平数是一个重要的概念,它与平方数、因数、素数等数学知识密切相关。
因此,我们有必要深入了解完全平方式的定义及其相关内容。
一、完全平方式的定义完全平方式的定义非常简单,它是指一个数n可以表示成m的形式,其中m为整数。
例如,16=4,25=5,36=6等都是完全平数。
完全平数也可以用另一种方式来表示,即n可以表示成p1^a1 * p2^a2 * … * pn^an的形式,其中p为素数,a为正整数,并且每个a都是偶数。
例如,36=2 * 3,100=2 * 5等都是完全平数。
二、完全平数的性质完全平数有许多有趣的性质,下面列举一些常见的性质。
1. 完全平数的个数是无限的。
证明:假设完全平数的个数有限,那么我们可以将它们按照大小排序,设最大的完全平数为N。
由于完全平数是无限的,所以一定存在一个更大的完全平数M>M,且M<N,这与N是最大的完全平数矛盾,因此假设不成立,完全平数的个数是无限的。
2. 完全平数的奇数次方根是无理数。
证明:假设√n是一个有理数,即√n=p/q,其中p和q互质。
那么n=p/q,即nq=p。
由于p是完全平数,所以p也是完全平数。
设p=m,那么nq=m,即n可以表示成m/q的形式,而这与n是完全平数矛盾,因此假设不成立,完全平数的奇数次方根是无理数。
3. 完全平数的因数个数是奇数。
证明:假设n是一个完全平数,即n=m。
那么n的因数可以表示成m的因数的平方。
设m的因数个数为k,那么n的因数个数为k。
由于k是奇数,所以k也是奇数,因此完全平数的因数个数是奇数。
4. 完全平数的因数和是完全平数。
证明:假设n是一个完全平数,即n=m。
那么n的因数可以表示成m的因数的平方。
设m的因数为p1、p2、…、pk,那么n的因数可以表示成p1、p2、…、pk的形式。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数?相等两个整数的乘积是完全平方数,常见的完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441……例1.从1~10中最多可以选出个数,使得选出的数中,任何两个数的和不是完全平方数.[答疑编号0518320101]【答案】6【解答】选出2,3,4,8,9,10这六个数,可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数,将1~10分为6组,(10,6),(9,7),(8,1),(5,4),(2),(3),则必有一组中的两个数都被选出来了,那么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征:将一个完全平方数质因数分解后,每个质因数的次数都是偶数。
推论:只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中,有个数乘以72后是完全平方数.1[答疑编号0518320102]【答案】31【解答】因为,所以要想乘以72以后是完全平方数,这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为,所以从1到2012中,符合要求的数有31个.例3.素数A、B互不相等,已知A的平方的2倍有4个约数,则B的平方的4倍有个约数.[答疑编号0518320103]【答案】9【解答】如果A不是2,则A平方的2倍有3×2=6个约数,故A=2.所以B就不能是2,它平方的4倍有3×3=9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式:例4. 一个正整数,加上100后的结果是一个完全平方数,加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.[答疑编号0518320104]【答案】156【解答】设加上100后为,加上168后为,那么,2即.因为b+a和b-a的奇偶性相同,所以只可能是,解得.因此原正整数是.例5.一个正整数,如果能表示成两个完全平方数的差,就称它是一个“智慧数”,那么在1~2012中,有多少个“智慧数”?[答疑编号0518320105]【答案】1509【解答】设这个正整数是n,。
五年级下第11讲 完全平方数
第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义:一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表:3.完全平方数的常用性质:完全平方数乘完全平方数是完全平方数。
二、例题精选【例1】计算:215,225,235,245,255,并说明规律。
【巩固1】计算:162,262,362,462,562,并说明规律。
【例2】试判断下列数是否是完全平方数,若不是请在横线上简述判断理由;若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
997:____________________;6983:____________________;5112:____________________;6478:____________________;【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数,若不是请在横线上简述判断理由;若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
1199:____________________;7886:____________________;1834:____________________;1275:____________________;【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数,即920179999个 ,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B ;如果不是,请说明理由.【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数,即 5620185656...5656个,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B;如果不是,请说明理由.【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方,则a的最小值是多少?b的最小值是多少?【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数,a的最小值是多少?b的最小值是多少?【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数,所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。
如公元900年,900=302,所以公元900年是快乐年。
那么从1000年到今年(2018年),有多少个“快乐年”?【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份,因为这些年份总会遭遇困恼,其他年份则不会。
完全平方的公式。
完全平方的公式。
完全平方的公式是高中数学中的一个重要概念,它在代数运算和解方程中起着重要的作用。
本文将介绍完全平方的概念以及其应用。
一、什么是完全平方完全平方是指一个数能够表示成一个整数的平方的形式。
例如,4是一个完全平方,因为它可以表示为2的平方。
同样,9、16、25等也都是完全平方。
二、完全平方的公式完全平方的公式是指求一个完全平方的平方根的方法。
根据完全平方的定义,我们可以得到以下公式:1. 若a是一个完全平方数,则a的平方根等于b,即√a = b。
2. 若a是一个正整数,则a的平方等于b,即a^2 = b。
三、完全平方的应用完全平方的概念和公式在数学中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 解一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容,解二次方程的一种常用方法就是利用完全平方的公式。
通过将二次方程转化为完全平方的形式,可以更方便地求解方程的解。
2. 求平方根在数学中,求一个数的平方根是一个常见的操作。
利用完全平方的公式,我们可以更快地求得平方根的值。
3. 计算面积在几何学中,许多图形的面积可以利用完全平方的公式来计算。
例如,一个正方形的面积就等于边长的平方,即a^2,其中a为正方形的边长。
4. 分解因式在代数运算中,我们经常需要将多项式进行因式分解。
利用完全平方的公式,我们可以更容易地进行因式分解,找到多项式的因式。
5. 判断完全平方数完全平方的公式也可以用来判断一个数是否为完全平方数。
通过计算一个数的平方根并判断是否为整数,我们可以确定该数是否为完全平方数。
四、总结通过以上的介绍,我们了解了什么是完全平方以及完全平方的公式。
完全平方在数学中有着广泛的应用,它可以帮助我们解方程、求平方根、计算面积、分解因式等。
掌握完全平方的概念和公式,将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
同时,我们也应该注意在实际问题中灵活运用完全平方的概念,将数学知识与实际问题相结合,提高解决问题的能力。
完全平方数
性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。
性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
完全平方数一个自然数与它本身相乘,乘积叫做完全平方数,或叫做平方数.例如1×1=1,2×2=4,3×3=9,…,那么1、4、9、…就是完全平方数.完全平方数有一些有趣而且重要的性质:(1)完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9.因为任何一个完全平方数的尾数,只能等于02,12,22,32,…,92的尾数,而这些数的尾数只有0,1,4,5,6,9.(2)完全平方数的约数个数是奇数个.因为完全平方数a2,a是自然数,则a=a1×a2×a3×…×ar,a1,a2,a3,…,ar是a的质因数.尾数一定是奇数,所以a2的约数个数是奇数个.(3)一个完全平方数被3除的余数是0或1.因为一个自然数被3除的余数只能是0,1,2这3个数中的一个.如果这个自然数被3除余数是0,那么这个数的完全平方数被3除余数也是0;如果这个自然数被3除余数是1,那么这个数的完全平方数被3除的余数是12,也是1;如果这个自然数被3除余数是2,那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1;所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1.(4)偶数的平方数能被4整除,奇数的平方被4或8除的余数是1. 因为偶数表示为2n ,n 是整数.那么偶数的平方为(2n )2=4n 2,能被4整除.奇数表示为2n+1,n 是整数,那么奇数的平方为(2n+1)2=4n 2+4n+1=4(n+1)n+1,所以奇数的平方被4除的余数是1;又因为n+1,n 是两个连续整数,必有一个是偶数,所以4(n+1)n 能被8整除,也就是4(n+1)n+1被8除的余数是1,故奇数的平方被8除的余数是1.(5)一个完全平方数的末位数如果是0,那么它的末两位数也一定都是0. 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,289,324,361,400.完全平方数的末位数如果是0,那么它的末两位数也一定都是0.(6)末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25.这是因为,末位数是5的正整数都可以写成10a +5的形式(其中a 为正整数),它的平方数是=+2)510(a 2100a.25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a +1),它的末两位数都是0,另一个加数是25,它们的和的末两位数一定是25.例:判断1369是否为完全平方数,可作如下分析:1369如果是完全平方数,它的算术平方根一定是二位整数.又它的末位数是9,所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7.因为160040,9003022==,而900<1369<1600,所以1369的算术平方根只可能是33或37.经计算验证得136937,10893322==.因此,1369是一个完全平方数,它的算术平方根是37.“”例:如果判断1214是否完全平方数,可以仿照前面对1369的分析,得到它的算术平方根只可能是32或38.验算得1214144438,121410243222≠=≠=,因此可以判断出1214不是完全平方数. 例:如果判断237,4323,1348等末位数是3,7,8的数是否完全平方数,则结果是显然的.因为末位是3,7,8的正整数不可能是完全平方数.另外,个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数.下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数,则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )A.x =25530,y =29464B .x =37615,y =26855C .x =15123,y =32477D .x =28326,y =28614思路启迪: 把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算,就可以得到正确答案.但这种方法运算量太大.可以用筛选法.对所给四组值分别进行分析、筛选,看哪一组数能使22y x +是完全平方数,哪些组数不能使22y x +是完全平方数.如果能使22y x +是完全平方数的只有一组,显然这一组就是正确答案.规范解法对于A :x =25530,y =29464,,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于B:x =37615,y =26855.2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是 的末两位数是50,由于末位数是0时,只有末两位都是0时才能为完全平方数,.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴ .22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴对于D:x =28326,y =28614.2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是 的末位数是8.而末位数是8的数不可能是完全平方数,.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知,只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数,其余三组数都没有这个可能.而此题有且只有一个正确答案,所以应选A性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
完全平方数大全.
完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义:若一个数能表示成某个整数的平方,则称这个数为完全平方数,也叫平方数。
1.1例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529,…2、标准分解式:大于1的平方数n 的标准分解式如下:1222212kl l l kn pp p =(1)其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<<<是质数,12,,,k l l l 是自然数。
2.1例如:2222422223623,10025,14423,900235,=⨯=⨯=⨯=⨯⨯二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529,…完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质: 1、性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9. (此为完全平方数的必要不充分条件)证明:设2()n n N ∈为完全平方数,0n 是n 的个位数,则2n 的个位数与20n 的个位数相同。
利用整数同余的知识有如果0(mod10)n n ≡,那么220(mod10)n n ≡又0n 的全体是集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,20n 的全体是{}0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,20n 的个位数全体是{}0,1,4,5,6,9。
所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数,偶数的平方的个位数一定是偶数。
初一数学完全平方公式(最全面的考点设计)
初一数学完全平方公式(最全面的考点设计)全新题型归类总结圆学霸之梦第三讲:完全平方公式一、常用公式1、完全平方公式两数的和(或差)的平方,等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。
a+b)²=a²+b²+2aba-b)²=a²+b²-2abx±a)²=x²±2ax+a²注意:上述中的a,b不仅可以是单独的一个数或一个字母,也可以是多项式或分式。
2、变形公式1)a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab2)a²+b²=1/2[(a+b)²+(a-b)²]3)(a+b)²-(a-b)²=4ab4)a²+2ab+b²=(a+b)²5)a²+b²+c²±2ab±2bc±2ca=(a±b)²+(b±c)²+(c±a)²3、补充公式:1)立方和公式:a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)2)立方差公式:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)3)和立方:(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³4)差立方:(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³5)三项的完全平方:(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac a-b-c)²=a²+b²+c²-2ab-2bc-2ac二、经典题型汇总题型一、完全平方公式的判断例1、下列哪个不是完全平方式?()A、2x²B、x²-6x+9C、25x²-10x+1D、x²+22x+121 练:1、下列哪个不是完全平方式?()A、x²+4B、x²+4x+4C、4x²+4x+1D、x²+x+2题型二、计算题专练例1、计算1)(-a-12)²(2)、(b+c)(-b-c) (3)(a+b-3)(a-b-3)4)(2m-3n)(2m+3n) (5)(x+5)-(x-2)(x-3) (6)(m+n-p)²练:剔除下面文章的格式错误,删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。
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凑十法口诀
一九一九好朋友【1、9】,二八二八手拉手【2、8】,
三七三七真亲密【3、7】,四六四六一起走【4、6】,
五五五五一双手【5、5】。
拆分法与破十法
破十法:加九减一,加八减二,加七减三,加六减四,加五见五
数字拆分法
9+6=9+(1+5)=(9+1)+5=15
8+5=8+(2+3)=(8+2)+3=13
一五6,二四6,三三6,四二6,五一6;6的组成没遗漏。
一六7,二五7,三四7,四三7,五二7,六一7;7的组成记仔细。
一七8,二六8,三五8,四四8,五三8,六二8,七一8;8的组成记全它。
一八9,二七9,三六9,四五9,五四9,六三9,七二9,八一9; 9的组成全都有。
一九10,二八10,三七10,四六10,五五10,六四10,七三10,八二10,九一10;10的组成共九句。
常用完全平方数:
12=122=4 32=9 42=16 52=25
62=36 72=49 82=64 92=81102=100
112=121122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361202=400
11 X2=22 11 X3=33
12 X2=24 12 X3=36
13 X2=26 13 X3=39
14 X2=28 14 X3=52
15 X2 =30 15 X3=45
16 X2=32 16 X3=48
17 X2=34 17 X3=51
18 X2=36 18 X3=54
19 X2=38 19 X3=57
20以内减法口诀表
20以内加法口诀表
大九九乘法口诀表(19X19)(有兴趣有余力的尝试一下)
1乘的乘法有:
1X1=1 1X2=2 1X3=3 1X4=4 1X5=5 1X6=6 1X7=7 1X8=8 1X9=9 1X10=10 1X11=11 1X12=12 1X13=13 1X14=14 1X15=15 1X16=16 1X17=17 1X18=18 1X19=19
2乘的乘法有:
2X2=4 2X3=6 2X4=8 2X5=10 2X6=12 2X7=14 2X8=16 2X9=18 2X10=20 2X11=22 2X12=24
2X13=26 2X14=28 2X15=30 2X16=32 2X17=34 2X18=36 2X19=38
3乘的乘法有:
3X3=9 3X4=12 3X5=15 3X6=18 3X7=21 3X8=24 3X9=27 3X10=30 3X11=33 3X12=36
3X13=39 3X14=42 3X15=45 3X16=48 3X17=51 3X18=54 3X19=57
4乘的乘法有:
4X4=16 4X5=20 4X6=24 4X7=28 4X8=32 4X9=36 4X10=40 4X11=44 4X12=48 4X13=52
4X14=56 4X15=60 4X16=64 4X17=68 4X18=72 4X19=76
5乘的乘法有:
5X5=25 5X6=30 5X7=35 5X8=40 5X9=45 5X10=50 5X11=55 5X12=60 5X13=65 5X14=70 5X15=75 5X16=80 5X17=85 5X18=90 5X19=95
6乘的乘法有:
6X6=36 6X7=42 6X8=48 6X9=54 6X10=60 6X11=66 6X12=72 6X13=78 6X14=84 6X15=90 6X16=96 6X17=102 6X18=108 6X19=114
7乘的乘法有:
7X7=49 7X8=56 7X9=63 7X10=70 7X11=77 7X12=84 7X13=91 7X14=98 7X15=105
7X16=112 7X17=119 7X18=126 7X19=133
8乘的乘法有:
8X8=64 8X9=72 8X10=80 8X11=88 8X12=96 8X13=104 8X14=112 8X15=120 8X16=128
8X17=136 8X18=144 8X19=152
9乘的乘法有:
9X9=81 9X10=90 9X11=99 9X12=108 9X13=117 9X14=126 9X15=135 9X16=144 9X17=153 9X18=162 9X19=171
10乘的乘法有:
10X10=100 10X11=110 10X12=120 10X13=130 10X14=140 10X15=150 10X16=160
10X17=170 10X18=180 10X19=190
11乘的乘法有:
11X11=121 11X12=132 11X13=143 11X14=154 11X15=165 11X16=176 11X17=187 11X18=198 11X19=209
12乘的乘法有:
12X12=144 12X13=156 12X14=168 12X15=180 12X16=192 12X17=204 12X18=216 12X19=228
13乘的乘法有:
13X13=169 13X14=182 13X15=195 13X16=208 13X17=221 13X18=234 13X19=247 14乘的乘法有:
14X14=196 14X15=210 14X16=224 14X17=238 14X18=252 14X19=266
15乘的乘法有:
15X15=225 15X16=240 15X17=255 15X18=270 15X19=285
16乘的乘法有:
16X16=256 16X17=272 16X18=288 16X19=304
17乘的乘法有:
17X17=289 17X18=306 17X19=323
18乘的乘法有:
18X18=324 18X19=342
19乘的乘法有:
19X19=361。