高中数学必修二《空间几何体》练习题

第一章 空间几何体

一、选择题

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．

主视图 左视图 俯视图 (第1题)

A ．棱台

B ．棱锥

C ．棱柱

D ．正八面体

2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．

A ．2＋2

B ．

2

2

1＋ C ．

2

2

＋2 D ．2＋1

3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3

B ．23

C ．33

D ．43

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π

B ．50π

C ．125π

D ．都不对

5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1

B ．3∶2

C ．2∶3

D ．3∶3

6．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130

B ．140

C ．150

D ．160

7．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．

(第7题)

8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；

②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；

③若b a b a //,,//则ββ⊂；

④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；

⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

二、填空题

9．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．

10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O －AB 1D 1的体积为_____________． 11

．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．

三、解答题

12 ．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．

13．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．

(第13题)

15.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且2

ASB BSC CSA π

∠=∠=∠=

，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．

求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．

B M A

N

C

S

第一章 空间几何体

参考答案

一、选择题 1．A

解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台． 2．A

解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝2

1

(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A

解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×4

3

＝3． 4．B

解析：长方体的对角线是球的直径，

l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝

2

25，S ＝4πR 2

＝50π． 5．C

解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D

解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152

－52

，2

2l ＝92

－52

，

而21l ＋22l ＝4a 2

，即152

－52

＋92

－52

＝4a 2

，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．

7．D

解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，

V ＝2×31

×

43×3×2＋21×3×2×23＝2

15． 8．D

解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 9.A 二、填空题

10．参考答案：1∶22∶33．

r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．

11．参考答案：36

1

a ．

解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝

33a ，V ＝31Sh ＝3

1×43×2a 2

×33a ＝61a 3．

另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面． 12．参考答案：6，6．

解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1，

l ＝1＋2＋3＝6．

三、解答题 13．参考答案：

如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝

2

2

a ，OC'＝R ．

(第14题)

在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2

， 即 a 2

＋(2

2a )2

＝R 2． ∴R ＝

26a ，∴V 半球＝2

6πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 14．参考答案：

S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面

＝π×52

＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π．

V ＝V 台－V 锥

＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －3

1πr 2

h 1 ＝

3

148

π． 15.证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM

∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中

BN ＝

NQ ＝SM ＝

a BQ ＝

∴COS∠QNB＝

a 25

2

14

2

a 4

145

10

2222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN C'

A'

C

O A