时频分析与小波变换的发展历程
瞬态信号分析
注： gn - -小波系数
hn - -尺度系数
分解算法
cnj1
h* k 2n
ckj
k
d
j n
1
g
* k 2n
ckj
k
gn d j1 c hn j1
逼近信号 细节信号
小波重构
重构算法与上述分解算法恰好相反，重构算法的表达 式为：
两个正弦信号 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
20
40
5.小 结
一、瞬态信号
1、定义
一般将持续时间短，有明显的开端和结束的信号称 为瞬态信号。
2、特点
强时变、短时段
3、实例
机器部件受瞬时冲击、各种撞击声、火箭发射等
4、处理方法
Wigner-Ville(魏格纳-威利)分布
时频分析 小波分析
二、时频分析
1、方法引入
在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量 （如相关函数、功率谱等）是时变函数，只了解信号在时 域或频域的全局特性远远不够，而希望得到信号频谱随时 间变化的情况。因此，引入了信号的时频分析概念
60
80
100
120
分解信号1 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
20
40
60
80
100
120
重构低频信号 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
20
40
60
80
瞬态信号分析
重构高频信号
60
80
100
120
重构信号与原始信号比较 2 重构信号 原始信号
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
120
四、Wigner-Ville分布
1、发展历程
⌂1932年，由Wigner在提出，最初用于量子力学的研究
⌂1948年，Ville开始将它引入信号分析领域
幅值 A
-2
-3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 频率 f
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Wigner-Ville波 形 0.45 0.4 0.35 10000 8000
三维图形
频率 f
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 20 30 时间 t 40 50 60
幅值 A
0.3
式中，C
t b dadb WTx b, a a a 2
2
d
是 b,a t 的傅里叶变换
t b a
小波变换的实质就是以基函数 号 x t 分解为不同频带的子信号
的形式将信
6000 4000 2000 0 0.8 0.6 0.4 0.2 频率 f 0 0 20 时间 t 60 40 80
小 结
以上部分分析非平 稳信号的分类以及 对应于各类信号的 时频分析方法。现 就各种方法的适用
范围总结如右：
d2
gn
小波变换发展史
小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。
建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。
尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。
另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。
小波分析简述第五章
可编辑ppt
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
可编辑ppt
11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
可编辑ppt
4
二、小波定义
可编辑ppt
5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”
北航 时间-频率分析(2017_L3)
大时，窗中心向低频方向移动，窗口变窄。
CWTf (a, b) f , a , b 1 2 ˆ, ˆ a,b f a 2 | a |
ˆ( ) e ib ˆ ( a )d f
连续小波变换
时－频特性
前述窗口有一重要特点：它的中心频率
之比为与尺度a无关的常数。
种思想方法已有相当长的历史，可以追溯到1910年Haar 提出的“小波”规范正交基；
小波的原始概念是七十年代末法国Elf Acquitaine石油公
司的地球物理学工程师J.Morlet在处理地震波数据时提 出的，用于能对信号的高频成分获得好的时间分辨率 和对信号的低频成分获得好的频率分辨率；
小波变换概述
连续小波变换
小波变换与STFT的的相互表达关系：
相互表达关系
CWTf ( a, b ) 1 2 Cg
g STFT ( , ) g , , a , b d d f
STFTfg ( t , )
1 C
CWT ( a , b ) a , b , gt , f
( ) 称为由基本小波 (t ) 生成的依赖于参数的连续小波。 是 (t )的Fourier变换。
如果满足
(3.2) 则称为允许小波(Admissible Wavelet)，而式(3.2)称为允许 条件。
( ) | 2 | | 1 d C |
( ) ( ) | | 1 d C ,
有更一般的重构公式
f (t)
1 C,
CWT
f
( a , b ) a, b
da db (t) a2
连续小波变换
【第1讲】小波变换概述
2.傅里叶分析与小波分析的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数 表示信号，对时域信号进行傅立叶变换，求得信号 频率函数，这时已经没有时间因素，因此，傅立叶 变换只能作频域分析，不能同时作时域频域分析。 在小波分析中，利用联合时间 — 尺度函数分析信号 ，通过平移和伸缩巧妙地构造小波基，使小波同时 具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进 行时频域分析。 小波分析是一种时间和频率的局域变换，采用多分 辨率分析的思想，非均匀地划分时频空间。
在我国，对小波分析的研究起步较晚，20世纪90年代以 来，小波理论研究和应用研究几乎同时开始，1994年形 成国内小波研究的高潮。
4.小波分析的发展前景
目前人们普遍认为以下研究具有重要意义：
非线性小波变换的理论研究和应用。 快速小波算法与小波包算法。 超大规模科学计算的快速小波变换与算法。 小波理论在混沌湍流中的应用。 小波理论在偏微分方程求解中的应用。
出伸缩和平移的概念，第一次使用“Wavelet”。 1985年，Meyer证明了一维小波基的存在。 1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。
1988年，Mallat与Meyer提出了多分辨分析理论。
1988年，比利时数学家Daubechies发表一篇长达
87页的论文，被认为是小波分析的纲领性文献。 1989年，Mallat构造了Mallat算法。 1990年，Meyer出版第一部专著《小波与算子》。 1992年，Daubechies的《小波10讲》系统介绍了 离散小波变换和连续小波变换等。 1992年以后，转向小波的应用推广。
通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分 析（Multiscale Analysis），可以在不同尺度上来观 察信号。 对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，在高频部分采取较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率。 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意 细节，因而它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号。 被誉为“数学显微镜”。
信号变换技术的发展历史
信号变换技术的发展历史
信号变换技术是指将信号从一种表示形式转变为另一种表示形式的技术。
它的发展历史可以追溯到很早的时期，以下是信号变换技术的主要发展历史：
1. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，由法国数学家傅里叶在19世纪初提出。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将时域信号转换为复频域信号的方法。
它在控制系统、电路分析等领域有重要应用。
拉普拉斯变换由法国数学家拉普拉斯在19世纪初提出。
3. Z变换：Z变换是一种将离散时间信号转换为复变量信号的方法。
它在离散时间系统分析与设计中广泛使用。
Z变换于20世纪40年代由美国电气工程师拉斯·高斯特提出。
4. 小波变换：小波变换是一种将信号分解为不同频率的成分的方法。
它能提供更好的时域和频域局部特性描述，被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域。
小波变换的理论和方法在20世纪60年代到80年代逐渐形成。
5. 离散余弦变换：离散余弦变换是一种将离散时间信号转换为离散频域信号的方法。
它广泛应用于图像编码、数据压缩等领域。
离散余弦变换于20世纪70年代提出。
6. 离散傅里叶变换：离散傅里叶变换是一种将离散时间信号转
换为离散频域信号的方法。
它在信号处理和通信领域中得到广泛应用。
离散傅里叶变换是在20世纪60年代到70年代发展起来的。
随着技术的不断进步和需求的不断变化，信号变换技术也在不断发展和演进，不断涌现出新的变换方法和算法，为各个领域的信号处理提供了更多选择和解决方案。
【实用】时频分析与小波变换PPT文档
Wx (t, )
1
2
X ( / 2)X *( / 2) e j td
信号 x(t) 和 y(t) 的联合 Wigner-Ville 分布定义为
Wx, y (t, )
1
2
X ( / 2)Y *( / 2) e j td
Wigner-Ville分布的性质
(1) 实值性，即信号 x(t) 的自 Wigner-Ville 分布是 t 和的实函数：
一个著名的例子就是 Dirac 引入的 (t) 函数，时间上的点脉冲在 频域上具有正负无限伸展的均匀频谱。因此，信号 x(t) 和频谱 X ( ) 彼 此是整体刻画，不能反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于信 号的局部分析。
例8-1
两个频率突变信号及其频谱。这两个信号均是由两种频率分量 sin(8 t) 和 sin(16 t) 组成，但两个频率分量在两个信号中出现的顺序 不同。对于信号 1，频率分量 sin(8 t) 和 sin(16 t) 分别占信号持续过 程的前一半和后一半，信号 2 则正好相反，频率分量 sin(16 t) 占信号 持续过程的前一半，后一半为 sin(8 t) 。对比两个信号的频谱可以看 出，不同的时间过程却对应着相同的频谱，这说明仅采用频谱不能区 分这两个信号。
8.2 小波变换
8.2.1 空间与基的概念 8.2.2 连续小波变换 8.2.3 离散小波变换 8.2.4 多分辨率分析 8.2.5 小波变换的应用
8.1 时频分析
8.1.1 概述
对于给定信号 x(t) ， t ，如果 x(t)满足 Dirichlet 条件， 且绝对可积，则 x(t)的 Fourier 变换及其逆变换存在
MATLAB提供了计算谱图的函数spectrogram， 其调用格式为：
小波变换与时频分析的关系与比较
小波变换与时频分析的关系与比较时频分析是一种常用的信号处理方法，用于研究信号在时间和频率上的特性变化。
而小波变换则是一种数学工具，可以将信号分解成不同尺度的成分，从而更好地理解信号的局部特性。
本文将探讨小波变换与时频分析之间的关系与比较。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法。
它采用一组称为小波基函数的函数族，通过与信号进行内积运算，将信号分解成不同频率和时间尺度的成分。
小波基函数具有局部性和可调节性的特点，可以更好地适应信号的局部特性。
二、时频分析的基本原理时频分析是一种通过研究信号在时间和频率上的特性变化，来揭示信号的时域和频域特性的方法。
时频分析方法有很多种，常见的有短时傅里叶变换（STFT）、Wigner-Ville分布（WVD）和Cohen类分布等。
这些方法都是通过对信号进行时域和频域的联合分析，来得到信号的时频特性。
三、小波变换与时频分析的关系小波变换与时频分析都是用来研究信号的时域和频域特性的方法，它们之间存在一定的关系。
小波变换可以看作是时频分析的一种特殊形式，它通过将信号分解成不同尺度的成分，实现了对信号的时频分析。
而时频分析方法则是通过对信号在时间和频率上的特性变化进行联合分析，来得到信号的时频特性。
可以说，小波变换是一种更加灵活和可调节的时频分析方法。
四、小波变换与时频分析的比较虽然小波变换和时频分析都可以用来研究信号的时频特性，但它们在某些方面有所不同。
1. 分辨率：小波变换具有可调节的分辨率，可以根据需要选择不同的小波基函数，从而实现对信号的局部特性进行更精细的分析。
而时频分析方法的分辨率通常是固定的，无法根据需要进行调节。
2. 窗宽效应：时频分析方法通常采用窗函数来实现对信号的局部分析，但窗函数的选择会引入窗宽效应，导致时频分辨率的折衷。
而小波变换通过选择不同尺度的小波基函数，可以避免窗宽效应的问题。
3. 计算复杂度：小波变换的计算复杂度较高，特别是在高分辨率时频分析中，计算量更大。
傅立叶变换、时频分析与小波
小波特性：用小波基来表示一个信号
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基 “时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基 （中） 和时间采样基（下）的比较
小波的优点
小波变换，既具有频率分析的性质，又 能表示发生的时间。有利于分析确定时 间发生的现象（傅里叶变换只具有频率 分析的性质）
奇异点检测
小波去噪
小波去噪
小波去噪
小波变换用于图象压缩
采用小波进行压缩。作“小波变换”后，统计 特性有改善，消除行和列之间的相关关系。
有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波 系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编 码，如算术编码或霍夫曼编码。
无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误 差。但不能进行比特分配。
大的小波系数比小的小波系数更加重要。
EZW图象编码
零树：一棵零树是一个四叉树，它的所 有子结点的数值小于或等于根节点。
JPEG2000简介
JPEG2000的新特性：
超低码率传输 连续色调图象和二值图象压缩的统一编码 有损和无损压缩的统一编码 保真度/分辨率渐进传输 随机码流存取和处理 容错能力 开放结构
小波分析发展历史
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论 （MRA），统一了语音识别中的镜向滤 波，子带编码，图象处理中的金字塔法 等几个不相关的领域。
多分辨分析
——离散小波变换与信号分析的桥梁
多分辨分析（MRA, Multiple Resolution Analysis）
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。
信号的时频分析与小波分析
灵活性
计算效率
小波变换具有高度的灵活性，可以选择不 同的小波基函数，以满足不同类型信号和 不同应用场景的需求。
相对于傅里叶变换，小波变换的计算复杂 度较低，使得在实时信号处理中更为高效 。
缺点
选择合适的小波基
选择合适的小波基是进行小波分析的关键步骤，但选择过 程具有一定的主观性和经验性，需要依据具体应用场景和 信号特性进行判断。
小波变换可以用于特征提取和降 维，为机器学习算法提供有效的 特征表示。
模式识别
小波变换可以用于信号分类和模 式识别，例如在声音、图像和文 本识别等领域。
数据挖掘
小波变换可以用于数据挖掘和聚 类分析，例如在时间序列数据、 金融数据和社交网络分析等领域。
THANKS
感谢观看
时频分析通过将信号表示为时间和频 率的联合函数，提供了一种同时观察 信号在不同时间和频率下表现的方式。
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换是一种常用的时频分析方法，通过使用滑动窗口函数对信号进行加 窗处理，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换。
窗口函数的选择对短时傅里叶变换的性能有很大影响，常见的窗口函数包括高斯窗、 汉明窗等。
小波变换的分类与应用
总结词
小波变换可以分为连续小波变换和小波离散变换两种类型，它们在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有蛇形广泛应用。
详细描述
连续小波变换能够对信号进行连续某种的时频分析，能够同时获得信号在时间域和频率域的信息。而 小迷离变换 则是基于离散傅里叶变换的一种改进，可以对信号进行快速变换分析。在应用方面，连续 小矶碎变换摸摸可以应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域某种。
小波分析在大数据时代的应用
信号处理
01
在通信、雷达、声呐等领域，小波分析用于信号降噪、压缩感
信号分析的显微镜—小波变换简介
cos(5x)
它的尺度函数不存在，且不具有正交性。
2014年12月5日星期五
北京交通大学光电检测技术研究所
Institute of optoelectronic measurement and control technology, Beijing Jiaotong University
3.2常见的小波 3.2.1 Harr小波函数 Harr函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交 小波函数，同时也是最简单的一个函数。Harr函数的定义 为
1 0 x 1/ 2 H 1 1/ 2 x 1 0 其他
2014年12月5日星期五
北京交通大学光电检测技术研究所
0
1 a 2 W f (a, b)Wg (a, b)dbda C R f (t ) g (t )dt
ˆ ( ) 1 2 2 d 特别地， W ( a , b ) dbda C f ( t ) dt f 2 0 a
2
0
性质5（反演公式） f (t )
Institute of optoelectronic measurement and control technology, Beijing Jiaotong University
尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交 的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如下描述
Institute of optoelectronic measurement and control technology, Beijing Jiaotong University
3.2.2 Morlet（morl）小波 Morlet函数定义为
第二章时频分析与连续小波变换资料
时频原子基本概念
时频原子
具有时频局部化特性的基本信号分析单元
短时傅里叶时频原子
(t ) gu, (t ) g (t u)eit
1 t u (t ) u ,s (t ) s s
短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的； 小波原子是通过平移和伸缩得到的。
2 t2
2
tf (t ) dt
'
2
fˆ d
2
1
4 f
tf (t ) dt
f (t ) dt..... （Parseval定 理 及 傅 里 叶 变 换 的质 性）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t2
1 f
再 考 虑 到 许 瓦 兹 不 等成 式立 的 条 件 ， 有 ： 存b, 在 使得： f ' (t ) 2btf (t ) 进一步推出存在 C , 使 得f (t ) a exp(bt 2（ ) 得证）
时频不可能同时有限长
尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在 某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是 不成立的。
如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根 据(1)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)在该邻域的值有关。 如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围, 根据(2)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值 有关。
“最高的时频分辨率 ”
如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时 刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变 换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个 频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。 问题:上述时频原子存在否?
小波变换的发展简史
从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。
信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
瞬态信号分析解读
2、小波与小波变换
小波：由基本小波 t 通过伸缩a和平移b产生的一个函数
b,a t 称为小波 族
注：a是伸缩因子，改变a可使函数的波形沿时间轴伸展或 压缩 b是平移因子，改变b可使函数的波形沿时间轴移位
小波变换：信号x t 的小波变换定义为：
反变换：
1 xt C
间变化的情况。因此，引入了信号的时频分析概念
2、基本思想
设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不
同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合 函数简称为时频分布。
3、方法分类 短时傅里叶变换(STFT) 线性时频分布 Gabor展开 小波变换 Winger-Ville分布 二次时频分布
小波变换与傅里叶变换的比较
傅里叶变换
短时傅里叶变换
小波变换
由上图可以看出，小波变换就是用小波基函数 代替傅 j 2ft 里叶变换中的基函数 e 以及短时傅里叶变换中的基函数
ht e j 2ft
t b a
3、小波分解(Mallat算法)
gn
d1
gn
x t
分 解 原 理
hn
d2
gn
c1
hn
c2
hn
k
d j 1
注：
g n - -小波系数 hn - -尺度系数
* j cnj 1 hk c 2 n k * j d nj 1 g k c 2 n k k
c j 1
分解算法
逼近信号
细节信号
小波重构
重构算法与上述分解算法恰好相反，重构算法的表达 式为：
Wigner-Ville分布有许多优良的特性，诸如时移不变性、 频移不变性、时域有界性、频域有界性等等。
小波_基础知识
说明
Z表示整数集合 R表示实数集合 C表示复数集合 Z ＋表示正整数集合 R n 表示n为欧氏空间 内积 x, y
x(t ) y (t )d t
R
常用的距离空间
1.n维欧氏空间R
n
n维向量x ( x1 , x2 , , xn )的全体所组成的集合 . x, y R n , 定义距离 ( x, y ) [ ( xi yi ) ]1/ 2
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
小波变换如同一台可变焦距的数学显微
镜，改变各种焦距便可探测到被处理信 号中所隐含的奇异点并识别出它的性质， 或分析出非平衡信号所包含的各种成分， 从而可有效地探测并诊断出精密复杂设 备中的疑难故障，是该领域具有明显应 用前景的前沿课题
小波分析的发展历程
小波分析的发展历程一、小波分析1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。
（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
小波性质与时频分析历史
小波性质与时频分析历史小波的性质及构造很明显随附加条件不同，我们可以构造出无穷多的正交或双正交小波，Mallat说过，如果没有应用的刺激，小波的构造将变成聊的游戏，这里我们先分析小波具有的性质，然后谈谈如果根据应用来构造（更多情况是选择）小波。
前面虽然给出了小波构造的统一方法，但感觉太笼统，太灵活，这需要些著名的定理来逐步加强认识，既然是定理，大家就试着接受，记住，再理解好了。
这里我们只谈紧支正交小波的构造，因为紧支双正交小波的构造已经涉及到了提升的概念。
性质1：消失矩（Vanishing Moment），这可以说是小波最具杀伤力的一个性质，压缩，去噪，快速计算等无不希望小波VM越高越好，虽然是通过滤波器卷积来求小波系数，但是思考上仍然用信号与小波的内积来表示，这样有助于理解小波的性质。
由VM的定义可知具有p阶消失矩的小波与小于p次的多项式是正交的，也就是内积为0，这样若函数f是正则的且小波有足够的消失矩，则内积产生很小的系数。
注，讨论函数的局部正则性其实是一个比较复杂的问题，在这里，姑且将f在某点附近想成一个k阶多项式和一个误差函数的逼近，这样当k<p，f与多项式内积为0，这样，若函数正则性好，则f与误差函数产生较小的系数。
小波的消失矩与对应滤波器h的傅立叶变换在pi处的零点重数是等价的，事实上我们也用这一点作为附加条件来构造具有p阶消失矩的小波（Daubechies系列的构造方法），当然我们可以构造出任意消失矩的小波，但是我们不得不注意到滤波器长度随小波消失矩增加而增加的事实，时的我们同样只能在支集与消失矩之间折衷！性质2：正则性，小波的正则性（光滑程度），即使理论上的完全重构，在计算机实施的时候会引起由于量化和截断造成的误差，这样在重构的时候，若小波基不够光滑，则引入的误差很容易被人察觉，如haar小波，若小波基足够正则，引入的光滑误差不容易被察觉。
有结论说明，对重要的共轭镜像滤波器族，如样条和Dx系列，小波的正则性随消失矩提高而提高性质3：紧支性，我们当然希望我们的滤波器越短越好，因为这意味着计算量的大大减少，同时考虑到小波滑动作内积时包含到函数奇异点的时候同样可能造成大幅值系数（支集越长，包含奇异点的小波次数越多），这样若想大幅值系数数目最小，必须尽可能减小支集长度。
小波分析发展简史
尺度和时移参数旳离散化：
离散化后旳小波变换：
小波函数：
j,k
(t)
a
j 0
,ka0j
(t)
|
a0
|-j/2
(a -0jt
-
k)
变换系数：C j,k
(W
f
)(a
j 0
,
ka
j 0
)
f (t), j,k (t)
怎样选择小波函数才干够重构信号：
O f M log2 M , Ow M
小波基表达发生旳时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基
“时频局域性” 图解：Fourier变换旳基（上）小波变换基（中） 和时间采样基（下）旳比较
信号旳时频分析：
信号时频分析旳主要性：
时间和频率是描述信号旳两个最主要旳物理量。 信号旳时域和频域之间具有紧密旳联络。
时间连续，控制窗口大小旳参数和时移参数离散旳 小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小旳参数和时移参数都离散旳小 波变换。
连续小波变换：
连续小波变换旳定义：
假设信号 f(t) L2(R)，则它旳连续小波变换定义为：
(W f )(a, b) | a |-1 2
归一化因子
f (t)( t - b ) d t
语音辨认中旳镜向滤波，子带编码，图象处理中旳金 字塔法等几种不有关旳领域。
1988年 Mallat 提出旳多辨别度分析理论， 统一了几种不有关旳领域：涉及语音辨认中 旳镜向滤波，图象处理中旳金字塔措施，地 震分析中短时波形处理等。
当在某一种辨别度检测不到旳现象，在另一 种辨别度却很轻易观察处理。例如：
时频分析发展史
1 Hilbert变换对于单频率信号有很高的时间分辨率和频率分辨率，但对于多频率成分信号它失去了物理意义，因而其瞬时属性就会没有任何意义，造成解释的困难。
1998年，Huang在NASA工作期间提出了一种新的信号处理方法，被称为Hilberto Huang变换(简称HHT变换)，该方法包倉两个部分：经验模式分解(EmpiricalMode Decomposition.简称EMD)和希尔伯特(Hilbert)谱分析。
其中，EMD算法是HHT变换构成的核心。
采用EMD可将信号分解成拥有单分最特性的一组正交完备的，且呈现自适应特性的固有模态函数仃ntrinsic Mode Function,简称IMF),以此来刻画信号每个同部的振荡结构和频率分量，再借以希尔伯特变换(HilbertTransfonn简称HT)得到实信号的解析形式并获得具有明确物理意义的瞬时频率，进而得到信号的时间一频率一能最分布。
传统的HHT方法存在一定缺陷，针对HHT会产生虚假分最和模态混廉的问题，Peng等人提出了相应的改进算法，引入了小波包分解对信号进行预处理，使信号在进行EMD分解之前，通过小波包分解为一系列窄带信号：并利用归一化相关性甄别方法对EMD分解后得到IMF中的虚假分最进行相关性识别筛选,使得HHT的性能有了进一步提升。
Ki jewski. Correa将Morlet小波变换尺度•时间谱中的瞬时带宽信息剔除后，提取出小波脊并构成小波瞬时频率谱(WIFS) o而为了改善EMD分解中的模式混叠和端点飞异问题，01hede 和Walden基于离散小波包分解，提出了一种最大重叠离散小波包变换(maximal-ove dap discre te wavele t packet transform( MODWPT))的分解方法, 改进了传统离散小波变换对采样长度必须为2的指数幕的限制，并通过避免下采样，克服了离散小波尺度系数的不等变化循环变换问题。
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[转载]时频分析与小波变换的发展历程
已有 1441 次阅读2010-6-13 13:07|个人分类:学术|系统分类:科研笔记|关键词:时频分析，发展
傅立叶分析的发展历程
1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。
（1）操作过程：从数学角度而言，对一个函数进行傅立叶变换
（Fourier Transform，FT）。
从信号处理的角度而言，对任意信号f(t) 的频谱F(ω)进行分析。
（2）优点：能够准确刻画平稳信号在整个时（空）域的频率性质。
（3）缺点：不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT
在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）。
（1）操作过程：对信号进行加窗，再对加窗后的信号进行傅立叶变换，从而得到信号在局部区域的频谱。
（2）优点：能够分析信号局部频域特征。
（3）缺点：由于STFT中时间窗的宽度与频率无关，它仍然是一种恒分辨率分析。
1948年，Ville提出了维格纳-威尔分布（Wigner-Ville Distribution，WVD），并引入时频信号分析。
（1）操作过程：信号中心协方差函数的傅立叶变换。
（2）优点：具有对称性、时移不变性、真边缘性、平均瞬时频率等优良性质，WVD的时频分辨率比STFT的分辨率高。
（3）缺点：存在交叉干扰项（Cross-Term Interference，CTI），这是二次型时频分布的固有结果，大量的CTI会淹没或严重干扰信号的自项，模糊信号的原始特征。
小波分析的发展历程
一、小波分析
1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。
（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov 空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
它标志着第一代小波的开始？
（1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。
（2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。
它是小波分析从纯理论走向实际应用。
（3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies 在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。
1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。
1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。
1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。
（1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。
（2）优点：具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
（1）操作过程：不仅对低通子带进行分解，而且也对高通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段。
（2）优点：突破了小波分析对信号频带进行等Q划分的局限性。
（3）缺点：最优基的搜索问题
1992年，Zou等提出了多带小波（M-band Wavelet）理论，将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。
基于“二带”小波变换的多分辨率分析中，尺度函数对应一个低通滤波器，而小波函数对应一个高通滤波器。
“二带”小波变换把信号分解成不同的通道，而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的，因此高频通道具有较宽的带宽，而低频通道具有较窄的带宽。
1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波
（Multi-Wavelet）理论框架。
（1）操作过程：将单小波中由多个尺度函数生成的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成，以此获得更大的自由度。
（2）优点：
1994年，Geronimo等提出了多小波变换（Multi-Wavelet Transform，MWT），将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。
（1）操作过程：小波函数的构造是由多个尺度函数完成的。
（2）优点：与二带小波、小波包、多带小波等单尺度小波相比，多小波在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、利普希茨Lipschitz连续性（消失矩）等特性。
——发展中
1991年，Alpert用多项式构造了第一个多小波。
Geronimo等利用分形插值函
数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。
1995年，Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案
（Lifting Scheme）。
它标志着第二代小波的开始。
（1）操作过程：先将原始离散样本信号进行奇偶剖分，然后对奇偶样本点进行滤波处理。
（2）优点：所有的第一代小波都可以用提升方案构造出来。
具有运算速度快、对内存需求量小、能实现整-整变换等特点。
（3）缺点：对于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征，小波不是表示图像的最优基。
小波变换的局限性：
1）二维小波变换只有2.5个方向选择性。
小波是表示具有点奇异性目标函数的最优基（能有效表示信号的零维奇异特征，反映奇异点的位置和特性），但是难以表示更高维的几何特征。
2）二维小波变换的基函数都是各向同性的。
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