实变函数第二章点集
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I.
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度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
(1) d(x , y ) ⩾ 0，且 d(x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ； (2) d(x , y ) = d(y , x )； (3) d(x , y ) ⩽ d(x , z) + d(z, y )， 则称 d(x , y ) 是 x , y 之间的距离，(X , d) 称为度量空间或距离空间，X 中 的元素称为点.
第二章 Rn 中的点集理论
作者： 学院：
2020 年 11 月 3 日
1. 基本概念 2. 开集，闭集，完备集 3. 直线上的开集、闭集和完备集的构造 4. Cantor 三分集
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§2.1 基本概念
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度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I. ∏n • bi − ai (i = 1, 2, · · · , n) 称为 I 的第 i 个边长， (bi − ai ) 称为 I 的体积，
(1) d(x , y ) ⩾ 0，且 d(x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ； (2) d(x , y ) = d(y , x )； (3) d(x , y ) ⩽ d(x , z) + d(z, y )， 则称 d(x , y ) 是 x , y 之间的距离，(X , d) 称为度量空间或距离空间，X 中 的元素称为点.
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间.
• 如果 (X , d) 是度量空间，Y 是 X 的非空子集，则 (Y , d) 也是一个度量空
间，称为 (X , d) 的子空间.
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n 维欧氏空间
n 维欧氏空间 Rn：Rn = {(x1, x2, · · · , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}.
• 对任意实数 α ∈ R 及 Rn 中的任意两点 x = (x1, x2, · · · , xn)，
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邻域
定义 1.4 设 x0 ∈ Rn，δ > 0，称集合 B(x0, δ) = {x ∈ Rn | d(x , x0) < δ} 为 x0 的 δ 邻域.
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n：Rn = {(x1, x2, · · · , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}.
• 对任意实数 α ∈ R 及 Rn 中的任意两点 x = (x1, x2, · · · , xn)，
y = (y1, y2, · · · , yn)，定义 x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)， αx = (αx1, αx2, · · · , αxn)，则 Rn 成为一个向量空间，其中 (0, 0, · · · , 0) 称 为 Rn 的原点
i =1
记为 |I|.
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有界点集
定义 1.2 设 E 是一个非空点集，定义 E 的直径为
δ(E ) = sup d(x , y ).
x ,y ∈E
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有界点集
定义 1.2 设 E 是一个非空点集，定义 E 的直径为
δ(E ) = sup d(x , y ).
x ,y ∈E
定义 1.3 如果 δ(E ) < +∞，则称 E 为有界点集. 规定空集也是有界点集.
y = (y1, y2, · · · , yn)，定义 x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)， αx = (αx1, αx2, · · · , αxn)，则 Rn 成为一个向量空间，其中 (0, 0, · · · , 0) 称 为 Rn 的原点
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∑n
• 定义 d(x , y ) =
(xi − yi )2，则 d(·, ·) 是 Rn 上的一个距离函数，d 称
i =1
为欧几里得距离，(Rn, d) 称为n 维欧氏空间.
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间.
Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I.
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度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
(1) d(x , y ) ⩾ 0，且 d(x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ； (2) d(x , y ) = d(y , x )； (3) d(x , y ) ⩽ d(x , z) + d(z, y )， 则称 d(x , y ) 是 x , y 之间的距离，(X , d) 称为度量空间或距离空间，X 中 的元素称为点.
第二章 Rn 中的点集理论
作者： 学院：
2020 年 11 月 3 日
1. 基本概念 2. 开集，闭集，完备集 3. 直线上的开集、闭集和完备集的构造 4. Cantor 三分集
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§2.1 基本概念
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度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I. ∏n • bi − ai (i = 1, 2, · · · , n) 称为 I 的第 i 个边长， (bi − ai ) 称为 I 的体积，
(1) d(x , y ) ⩾ 0，且 d(x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ； (2) d(x , y ) = d(y , x )； (3) d(x , y ) ⩽ d(x , z) + d(z, y )， 则称 d(x , y ) 是 x , y 之间的距离，(X , d) 称为度量空间或距离空间，X 中 的元素称为点.
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间.
• 如果 (X , d) 是度量空间，Y 是 X 的非空子集，则 (Y , d) 也是一个度量空
间，称为 (X , d) 的子空间.
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n 维欧氏空间
n 维欧氏空间 Rn：Rn = {(x1, x2, · · · , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}.
• 对任意实数 α ∈ R 及 Rn 中的任意两点 x = (x1, x2, · · · , xn)，
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邻域
定义 1.4 设 x0 ∈ Rn，δ > 0，称集合 B(x0, δ) = {x ∈ Rn | d(x , x0) < δ} 为 x0 的 δ 邻域.
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n：Rn = {(x1, x2, · · · , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}.
• 对任意实数 α ∈ R 及 Rn 中的任意两点 x = (x1, x2, · · · , xn)，
y = (y1, y2, · · · , yn)，定义 x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)， αx = (αx1, αx2, · · · , αxn)，则 Rn 成为一个向量空间，其中 (0, 0, · · · , 0) 称 为 Rn 的原点
i =1
记为 |I|.
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有界点集
定义 1.2 设 E 是一个非空点集，定义 E 的直径为
δ(E ) = sup d(x , y ).
x ,y ∈E
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有界点集
定义 1.2 设 E 是一个非空点集，定义 E 的直径为
δ(E ) = sup d(x , y ).
x ,y ∈E
定义 1.3 如果 δ(E ) < +∞，则称 E 为有界点集. 规定空集也是有界点集.
y = (y1, y2, · · · , yn)，定义 x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)， αx = (αx1, αx2, · · · , αxn)，则 Rn 成为一个向量空间，其中 (0, 0, · · · , 0) 称 为 Rn 的原点
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∑n
• 定义 d(x , y ) =
(xi − yi )2，则 d(·, ·) 是 Rn 上的一个距离函数，d 称
i =1
为欧几里得距离，(Rn, d) 称为n 维欧氏空间.
4/33
Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间.