最新整理组合优化中的数学建模.ppt
合集下载
数学建模中的优化模型ppt课件
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
数学建模优化建模实例【精选】27页PPT
、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
组合优化及算法 共36页PPT资料
组合优化
Combinatorial Optimization
组合优化是运筹学的后继课程，同时也是运筹学的 一个重要独立分支，是一类重要的优化问题
• 最优化(数学规划)
– 连续优化(数学规划)： – 数学规划（线性规划、非线性规划）、非光
滑优化、全局优化、锥优化等 – 离散优化：网络优化、组合优化、整数规划等 – 不确定规划：随机规划、模糊规划等
30! / 10e+10 > 2.65e+22 (秒) 即 2.65e+22 / (365*24*60*60)
> 8.4e+13 (年)
计算复杂性的概念
多项式时间算法
构造算法的目的是能够解决问题（或至少是问题某个 子类）的所有实例而不单单是某一个实例
问题（Problem）是需要回答的一般性提问，通常含有若干个满 足一定条件的参数. 问题通过下面的描述给定：（1）描述所有
实例I,算法A总能找到一个可行解，那么这个算法
称为该问题的近似算法.
最优算法：如果进一步，如果这个可行解的目标值 总等于最优解值，则称A为最优算法.
典型组合优化问题
• 背包问题 • 装箱问题 • 平行机排序问题 • 图与网络优化问题
最小支撑树、最短路、最大流、最小费用流、最大基数匹 配问题 • 指派问题 • 旅行售货商问题 • 斯坦纳最小树问题
计算复杂性的概念
多项式时间算法
例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法
输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++)
for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
Combinatorial Optimization
组合优化是运筹学的后继课程，同时也是运筹学的 一个重要独立分支，是一类重要的优化问题
• 最优化(数学规划)
– 连续优化(数学规划)： – 数学规划（线性规划、非线性规划）、非光
滑优化、全局优化、锥优化等 – 离散优化：网络优化、组合优化、整数规划等 – 不确定规划：随机规划、模糊规划等
30! / 10e+10 > 2.65e+22 (秒) 即 2.65e+22 / (365*24*60*60)
> 8.4e+13 (年)
计算复杂性的概念
多项式时间算法
构造算法的目的是能够解决问题（或至少是问题某个 子类）的所有实例而不单单是某一个实例
问题（Problem）是需要回答的一般性提问，通常含有若干个满 足一定条件的参数. 问题通过下面的描述给定：（1）描述所有
实例I,算法A总能找到一个可行解，那么这个算法
称为该问题的近似算法.
最优算法：如果进一步，如果这个可行解的目标值 总等于最优解值，则称A为最优算法.
典型组合优化问题
• 背包问题 • 装箱问题 • 平行机排序问题 • 图与网络优化问题
最小支撑树、最短路、最大流、最小费用流、最大基数匹 配问题 • 指派问题 • 旅行售货商问题 • 斯坦纳最小树问题
计算复杂性的概念
多项式时间算法
例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法
输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++)
for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
《组合优化问题》幻灯片PPT
在过去的几十年中，在求旅行商问题的最优解方面取得了极大 的进展。
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的答复。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
近年来在启发式方法中，一种被称之为亚启发式的方法 ，得到了广泛的研究，发现了一些较好的求解方法
GA就是其中之一，另外还有 TS，SA，PSO等算法。
近似求解方法
亚启发式(Meta-Heuristics)
➢ 从算法的角度来讲，是指不依赖于特定问题的启发 式算法。 其算法的根本框架被设计成不管对什么样的问题都
际上要想遍历所有的解，几乎是不可能的。
一般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往 往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度 非线性的NP完全(难)问题 组合最优化无法利用导数信息
准确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效〞算法一 般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
?组合优化问题?幻灯片PPT
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
什么是组合优化
定义：
min f (x) s.t. x S, S X
同样一个算法，用于不同的问题，其性能与效 率也不尽一样。
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的答复。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
近年来在启发式方法中，一种被称之为亚启发式的方法 ，得到了广泛的研究，发现了一些较好的求解方法
GA就是其中之一，另外还有 TS，SA，PSO等算法。
近似求解方法
亚启发式(Meta-Heuristics)
➢ 从算法的角度来讲，是指不依赖于特定问题的启发 式算法。 其算法的根本框架被设计成不管对什么样的问题都
际上要想遍历所有的解，几乎是不可能的。
一般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往 往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度 非线性的NP完全(难)问题 组合最优化无法利用导数信息
准确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效〞算法一 般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
?组合优化问题?幻灯片PPT
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
什么是组合优化
定义：
min f (x) s.t. x S, S X
同样一个算法，用于不同的问题，其性能与效 率也不尽一样。
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致
数学建模优化建模实例课件
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 1. 原料钢管剩余总余量最小 标准 2. 所用原料钢管总根数最少
18
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
目标 函数 (利润)
Max Z 3100(x11 x12 x13) 3800(x21 x22 x23) 3500(x31 x32 x33) 2850(x41 x42 x43)
货舱 x11 x21 x31 x41 10 重量 x12 x22 x32 x42 16
3
货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
约束
平衡 要求
x11 x21 x31 x41 10
x12 x22 x32 x42 16
10； 6800
16； 8700
8； 5300
条件
x13 x23 x33 x43 8
货物 供应
x11 x12 x13 18 x21 x22 x23 15
如何装运， 使本次飞行 获利最大？
1
货机装运
模型假设
每种货物可以分割到任意小； 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙；
模型建立
决策 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨） 变量 i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
第19页/共29页
S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
《数学建模-优化》课件
数学建模的应用领域
数学建模广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等多个领域，帮助解决各种实际问题， 优化决策和提高效率。
数学建模的意义
数学建模能够培养学生的综合思考和问题解决能力，提高数学知识的实际运用能力。
优化问题概述
1 什么是优化问题？
优化问题是在满足特定 约束条件下，寻找使目 标函数达到最优或最大 值的解。
4
数值优化问题可以采用模拟退火、爬 山算法和遗传算法等方法来寻找最优
解。
单目标优化问题
单目标优化问题包括最小二乘法、线 性规划、非线性规划和动态规划等方 法。
非线性规划问题
非线性规划问题可以使用一阶可导方 法、二阶可导方法和非平滑优化方法 进行求解。
优化工具使用
MATLAB
MATLAB是一种功能强大的数值计算和数据可 视化软件，经常用于数学建模和优化问题的求 解。
数学建模和优化在社会管理领 域起到重要作用，可以帮助解 决各种社会问题和提高社会管 理效率。
Python
Python是一种流行的编程语言，拥有丰富的数 值计算、优化和数据分析库，适用于数学建模 和优化问题的处理。
应用案例
工业应用
数学建模和优化在工业生产中 有广泛的应用，可以帮助优化 生产流程、减少资源消耗和提 高产品质量。
经济决策
社会管理
数学建模和优化被广泛应用于 经济领域，帮助制定经济决策、 优化资源配置和提高经济效益。
《数学建模－优化》PPT 课件
数学建模-优化课程介绍了数学建模的概念、优化问题的概述以及各种优化方 法的分类和应用。通过本课程，您将深入了解数学建模和优化的重要性。
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。它将现实问题抽象为数学模型，并通过数 学求解方法得到问题的解决方案。
数学建模广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等多个领域，帮助解决各种实际问题， 优化决策和提高效率。
数学建模的意义
数学建模能够培养学生的综合思考和问题解决能力，提高数学知识的实际运用能力。
优化问题概述
1 什么是优化问题？
优化问题是在满足特定 约束条件下，寻找使目 标函数达到最优或最大 值的解。
4
数值优化问题可以采用模拟退火、爬 山算法和遗传算法等方法来寻找最优
解。
单目标优化问题
单目标优化问题包括最小二乘法、线 性规划、非线性规划和动态规划等方 法。
非线性规划问题
非线性规划问题可以使用一阶可导方 法、二阶可导方法和非平滑优化方法 进行求解。
优化工具使用
MATLAB
MATLAB是一种功能强大的数值计算和数据可 视化软件，经常用于数学建模和优化问题的求 解。
数学建模和优化在社会管理领 域起到重要作用，可以帮助解 决各种社会问题和提高社会管 理效率。
Python
Python是一种流行的编程语言，拥有丰富的数 值计算、优化和数据分析库，适用于数学建模 和优化问题的处理。
应用案例
工业应用
数学建模和优化在工业生产中 有广泛的应用，可以帮助优化 生产流程、减少资源消耗和提 高产品质量。
经济决策
社会管理
数学建模和优化被广泛应用于 经济领域，帮助制定经济决策、 优化资源配置和提高经济效益。
《数学建模－优化》PPT 课件
数学建模-优化课程介绍了数学建模的概念、优化问题的概述以及各种优化方 法的分类和应用。通过本课程，您将深入了解数学建模和优化的重要性。
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。它将现实问题抽象为数学模型，并通过数 学求解方法得到问题的解决方案。
数学建模组合优化问题和计算复杂性PPT共54页
数学建模组合优化问题和计算复杂性
36、殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
36、殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Nickel: 1.2 Nickels + .2 Dimes + .5 Quarters + .2 Dollars - Ni = 0
Zinc: 2.4 Pennies + .5 Dollars - Zi = 0 Manganese: .3 Dollars - Mn = 0
数学规划.求解器.实现难点
数学规划.标准型
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
数学规划.标准型.决策
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Decision
数学规划.标准型.已知
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Known
数学规划.标准型.目标
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Objective
数学规划.标准型.约束
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Constraint
coins.lp
Maximize .01 Pennies + .05 Nickels + .1 Dimes + .25
Quarters + 1 Dollars Subject To
Copper: .06 Pennies + 3.8 Nickels + 2.1 Dimes + 5.2 Quarters + 7.2 Dollars - Cu = 0
• 专用
• 动态规划 (Dynamic Programming) • 问题归约 (Reduction)
• Karp's 21 NP-complete problems
数学规划.常用范式
数学规划.常用范式
• 数学规划 (Mathematical Programming)
• [P] 凸优化 (Convex Optimization)
• 长途巴士/动车高铁/飞机/轮船
• 坐哪个班次 • 在哪里换乘
• 直升机? • 折跃???
基础.建模要素.举例.约束
• 首先…
• 当前科技水平能够实现 • 不能有生命危险 • 不违反国家法律法规 • 有足够的财力物力体力 • 时间花费不能过长 •…
基础.建模要素.举例.已知
• 道路
• 长度 • 油耗 • 耗时 • 与哪些道路交汇 • 过路费 • 危险性
建模技巧.多目标
• 优先级模式
•特性
• 高优先级对低优先级有压倒性优势 • 相邻优先级之间可以有一定容差 (Tolerance)
• 绝对容差 • 相对容差
•缺点
• 各个目标不一定有明显的主次之分 • 求解性能依赖热启动 (warm start) 效果
建模技巧.多目标
• 优先级模式
• 线性加权模拟实现
基础.建模的意义
•屏蔽技术细节
• 质与量的区别
•抽象出问题本质
• 主要矛盾与次要矛盾
•规约成经典问题
• 站在巨人的肩膀上
•适配成熟的解决方案
• 不重复造轮子
基础.建模要素.举例
基础.建模要素.举例.目标
基础.建模要素.举例.决策
基础.建模要素.举例.决策
• 徒步/骑行/自驾
• 走哪些道路 • 在哪里吃住
• 目标与约束相互转换
• 差到一定程度也是不可接受的 vs 总能做得很好不需要加以 限制
建模技巧.多目标
• 主要目标+次要目标及格线
• 特性
• 与单目标完全等价
• 缺点
• 无法保障次要目标的优度 • 依赖参数设置
• 线性加权模式
• 特性
• 本质上是单目标
• 缺点
• 各目标量纲不同时难以确定权重系数
• 载具
• 巡航速度 • 续航能力 • 熟悉程度 • 延误概率分布 • 安全性
基础.建模要素
基础.建模要素.思考题
• 抗延误的停机位分配
• 频谱分配避免碎片化
数学规划.常用范式
• 通用
• 狭义的数学规划 (Mathematical Programming) • 可满足性问题 (Boolean Satisfiability Problem) • 约束编程 (Constraint Programming)
申请
• CPLEX
• IBM旗下的“行业标 准”
• Xpress • Lindo
• 开源求解器
• SCIP
• 号称最快的开源求解器
• COIN-OR
• 功能繁多的运筹学工具包
• or-tools
• Google 的经典算法库 • 统一接口封装其他求解器
数学规划.求解器.使用方法
•
数学规划.求解器.使用方法
数学规划.一般型
• 决策
• 类型
• 显示决策 (根本需求) • 隐式决策 (十分重要但用户不关心) • 辅助决策 (非线性转线性)
• 定义域
• 布尔 / 整数 / 般型
•
数学规划.求解器
• 商业求解器
• Gurobi
• 目前最高效的求解器 • 支持免费学术许可证
• 充分大数 (Big-M)
• 多大才算大?
二次项
线性化
最大值 最小值
绝对值
建模技巧.改进模型.约束分类
类型
特征
最优性
完整性
检查时间
被忽略
User Cut
• 线性规划 (Linear Programming) • 分数线性规划 (Linear-Fractional Programming) • 二阶圆锥曲线规划 (Second Order Cone Programming)
• [NP] 非凸优化 (Nonconvex Optimization)
• 整数规划 (Integer Programming) • 混合整数规划 (Mixed Integer Programming) • 非正定二次规划 (Quadratic Programming) • 分数规划 (Fractional Programming)
• 数值误差
• 实数运算 (gmp) • 定期修正
• 稀疏矩阵 • 分支限界
建模技巧.观察角度
• 观察问题的角度
• 路径规划问题
• 依次经过哪些节点 • (依次) 经过哪些边
• 图着色问题
• 每种颜色的节点集合包含了哪些节点 • 每个节点染什么颜色
• 布尔表达式可满足性问题
• 保证每个布尔变量在所有子句中取值一致, 最大化真子句数量 • 保证每个子句均为真, 最大化布尔变量的一致性
• 确保高优先级目标一个单位的增量比低优先级的值域范围还大 • 直接优化组合后的单目标
• 朴素实现
• 逐个目标求解 • 逐步添加及格线约束
建模技巧.非线性表达式
•可以转化为线性表达式的非线性表达式
• 最大值最小值 • 绝对值 • 分段线性函数
蕴含
Big-M
• 逻辑运算
• 与或非 • 蕴涵
与或非
•常用方法
Zinc: 2.4 Pennies + .5 Dollars - Zi = 0 Manganese: .3 Dollars - Mn = 0
数学规划.求解器.实现难点
数学规划.标准型
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
数学规划.标准型.决策
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Decision
数学规划.标准型.已知
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Known
数学规划.标准型.目标
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Objective
数学规划.标准型.约束
• 矩阵表示
• 求和表示
•
•
Constraint
coins.lp
Maximize .01 Pennies + .05 Nickels + .1 Dimes + .25
Quarters + 1 Dollars Subject To
Copper: .06 Pennies + 3.8 Nickels + 2.1 Dimes + 5.2 Quarters + 7.2 Dollars - Cu = 0
• 专用
• 动态规划 (Dynamic Programming) • 问题归约 (Reduction)
• Karp's 21 NP-complete problems
数学规划.常用范式
数学规划.常用范式
• 数学规划 (Mathematical Programming)
• [P] 凸优化 (Convex Optimization)
• 长途巴士/动车高铁/飞机/轮船
• 坐哪个班次 • 在哪里换乘
• 直升机? • 折跃???
基础.建模要素.举例.约束
• 首先…
• 当前科技水平能够实现 • 不能有生命危险 • 不违反国家法律法规 • 有足够的财力物力体力 • 时间花费不能过长 •…
基础.建模要素.举例.已知
• 道路
• 长度 • 油耗 • 耗时 • 与哪些道路交汇 • 过路费 • 危险性
建模技巧.多目标
• 优先级模式
•特性
• 高优先级对低优先级有压倒性优势 • 相邻优先级之间可以有一定容差 (Tolerance)
• 绝对容差 • 相对容差
•缺点
• 各个目标不一定有明显的主次之分 • 求解性能依赖热启动 (warm start) 效果
建模技巧.多目标
• 优先级模式
• 线性加权模拟实现
基础.建模的意义
•屏蔽技术细节
• 质与量的区别
•抽象出问题本质
• 主要矛盾与次要矛盾
•规约成经典问题
• 站在巨人的肩膀上
•适配成熟的解决方案
• 不重复造轮子
基础.建模要素.举例
基础.建模要素.举例.目标
基础.建模要素.举例.决策
基础.建模要素.举例.决策
• 徒步/骑行/自驾
• 走哪些道路 • 在哪里吃住
• 目标与约束相互转换
• 差到一定程度也是不可接受的 vs 总能做得很好不需要加以 限制
建模技巧.多目标
• 主要目标+次要目标及格线
• 特性
• 与单目标完全等价
• 缺点
• 无法保障次要目标的优度 • 依赖参数设置
• 线性加权模式
• 特性
• 本质上是单目标
• 缺点
• 各目标量纲不同时难以确定权重系数
• 载具
• 巡航速度 • 续航能力 • 熟悉程度 • 延误概率分布 • 安全性
基础.建模要素
基础.建模要素.思考题
• 抗延误的停机位分配
• 频谱分配避免碎片化
数学规划.常用范式
• 通用
• 狭义的数学规划 (Mathematical Programming) • 可满足性问题 (Boolean Satisfiability Problem) • 约束编程 (Constraint Programming)
申请
• CPLEX
• IBM旗下的“行业标 准”
• Xpress • Lindo
• 开源求解器
• SCIP
• 号称最快的开源求解器
• COIN-OR
• 功能繁多的运筹学工具包
• or-tools
• Google 的经典算法库 • 统一接口封装其他求解器
数学规划.求解器.使用方法
•
数学规划.求解器.使用方法
数学规划.一般型
• 决策
• 类型
• 显示决策 (根本需求) • 隐式决策 (十分重要但用户不关心) • 辅助决策 (非线性转线性)
• 定义域
• 布尔 / 整数 / 般型
•
数学规划.求解器
• 商业求解器
• Gurobi
• 目前最高效的求解器 • 支持免费学术许可证
• 充分大数 (Big-M)
• 多大才算大?
二次项
线性化
最大值 最小值
绝对值
建模技巧.改进模型.约束分类
类型
特征
最优性
完整性
检查时间
被忽略
User Cut
• 线性规划 (Linear Programming) • 分数线性规划 (Linear-Fractional Programming) • 二阶圆锥曲线规划 (Second Order Cone Programming)
• [NP] 非凸优化 (Nonconvex Optimization)
• 整数规划 (Integer Programming) • 混合整数规划 (Mixed Integer Programming) • 非正定二次规划 (Quadratic Programming) • 分数规划 (Fractional Programming)
• 数值误差
• 实数运算 (gmp) • 定期修正
• 稀疏矩阵 • 分支限界
建模技巧.观察角度
• 观察问题的角度
• 路径规划问题
• 依次经过哪些节点 • (依次) 经过哪些边
• 图着色问题
• 每种颜色的节点集合包含了哪些节点 • 每个节点染什么颜色
• 布尔表达式可满足性问题
• 保证每个布尔变量在所有子句中取值一致, 最大化真子句数量 • 保证每个子句均为真, 最大化布尔变量的一致性
• 确保高优先级目标一个单位的增量比低优先级的值域范围还大 • 直接优化组合后的单目标
• 朴素实现
• 逐个目标求解 • 逐步添加及格线约束
建模技巧.非线性表达式
•可以转化为线性表达式的非线性表达式
• 最大值最小值 • 绝对值 • 分段线性函数
蕴含
Big-M
• 逻辑运算
• 与或非 • 蕴涵
与或非
•常用方法