拉普拉斯变换

通常：m n
m=n时：
N1 ( S ) F ( S ) F0 ( S ) D1 ( S )
N(S)=0的根被称为N(S)的零点； D(S)=0的根被称为D(S)的极点 。 设法把F(S)分解成若干个较简单的、能够从表中查到的项 的和，通过查表，可直接得到所求的原函数，这称为
.
拉普拉斯反变换的部分分式法。
三、重根
设F(S)在s1处有三重根，则：
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
K13 K12 K11 K2 N (S ) N (S ) F (S ) 3 3 2 D( S ) ( S S1 ) ( S S2 ) ( S S1 ) ( S S1 ) S S2 ( S S1 )
i1 (0 ) E 140 4 A, R1 R2 30 5
图(a)
uC (0 ) R2i1 (0 ) 5 4 20 V
图(b)：
( 1 1 SC )U C ( S ) R1 SL1 R2 R3
uC (0 ) E S L1i1 (0 ) SC R1 SL1 R1 SL1 S
1
j 0,1, 2L ( p 1) , 0! 1 ,
d0 dS
0
1
f (t ) L p ( S S1 ) p 1 ( S S1 ) K1 p p 1 [ t K12t K11 ]e S1t K 2e S2t K n e Snt ( p 1)!

0 0

(t )dt 1
13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开
f (t ) 1 2 j

j
j
F ( S )e St dS
N ( S ) a0 S m a1S m1 am F (S ) D( S ) b0 S n b1S n1 bn
1 L uC L uC (0 ) C

t 0
iC ( )d
uC (0 ) 1 UC (S ) IC (S ) S SC
U C 0 1 : 运算容抗; : 附加电压源； SC S
13.4 运算电路
du L iC L C C dt
2、微分定理
L f t F S
df L SF ( S ) f (0 ) dt
3、积分定理
L f t F S ,
t F S L f t dt 0 S
13.2 拉氏变换的性质
t 0 S
L f t F S ,
f () lim f (t ) lim SF ( S )
t S 0
注：终值定理成立的条件是： F(S)的所有极点都应位于S平面的左半部或者位于S＝0处。
常见函数的拉氏变换
1、指数函数
L[e
t
13.2 拉氏变换的性质
L[u1 ] L1[SI L1 (S ) iL1 (0 )] M [SI L2 (S ) iL2 (0 )] L[u2 ] L2[SI L2 (S ) iL2 (0 )] M [SI L1(S ) iL1(0 )]
SM：运算互感抗； SMIL2(S)：互感电压； L1iL(0)：自感附加电压源； MiL2(0)：互感附加电压源
IC(S)=SCUC(S)CuC(0)
SC : 运算容纳;CUC 0 : 附加电流源；
电感元件:
13.4 运算电路
diL L u L L L dt
UL(S)=SLIL(S)LiL(0)
SL：运算感抗；LiL 0 ：附加电压源；
1 L iL L iL (0 ) L
图(b)
13.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
20S 2 104 S 140 104 U C (S ) S ( S 2 400S 4 104 )
U k (S ) R3 1 U C (S ) U C (S ) R2 R3 2
5(2 S 2 1000 S 140 103 ) S ( S 200) 2 3.5 1.5 100 5( ) 2 S S 200 ( S 200)
f (t ) L1[ F ( S )]
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j 1
n
K je
S jt
二、共轭复数根
K1 K1 N (S ) N (S ) F (S ) 2 2 2 S j S j S aS b ( S )
f (t ) L1[ F (S )] 2 K1 et cos t
D(S)=0的根有三种情况： 一、不等实根
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
Kj Kn K1 K2 N (S ) F (S ) D(S ) S S1 S S2 S Sj S Sn
Kn的系数如何确定？ 方法一：
(S S j ) Kn K1 K2 N (S ) (S S j ) (S S j ) K j (S S j ) D( S ) S S1 S S2 (S Sn ) K j (S S j ) N (S ) D( S )
2 1 d 3 N (S ) K11 2 [( S S1 ) ] 2! D( S ) dS S S
1
K1( p j )
dj 1 N (S ) j [( S S1 ) p ] , j! D ( S ) dS S S
1
K1 p
K1( p 1)
Kn S Sn
13-4 运算电路
电阻元件：
a i + R u b a I(S) R + U(S) b
L[U]=L[Ri]，L[U]=U(S)，L[i]=I(S) U(S)=RI(S)，or I(S)=GU(S) 电容元件:
i a C uC b
]

0
e

t St
e
dt

0
e ( S )t dt
0
1 ( S )t e S

0

1 S
2、常数
1 L[1(t )] 1 t e st dt e st 0 S


1 S
3、正弦函数
L[ 1 jt 1 1 1 (e e jt )] ( ) 2 2j 2 j S j S j S 2
4、余弦函数
1 jt 1 1 1 S j t L[cos t ] L[ (e e )] ( ) 2 2 2 S j S j S 2
5、冲激函数
L[ (t )]

0
St ( t ) e dt

0 0

(t )e St dt


t 0
uL ( )d
iL (0 ) 1 I L (S ) U L (S ) S SL
iL 0 1 ：运算感纳； ：附加电流源； SL S
互感:
13.4 运算电路
diL1 diL2 diL2 diL1 u1 L1 M , u2 L2 M dt dt dt dt
4、时域位移定理
L f t F S , L[ f (t t0 ) 1(t t0 )] F ( S )e St0
5、初值定理与终值定理
L f t F S , f (0 ) lim f (t ) lim SF ( S )
S j
f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。 拉普拉斯反变换：
f (t ) L [ F ( S )]
1
1 2 j

j
j
F ( S )e St dS
13.2 拉氏变换的性质
13-2拉氏变换的性质
1、线性定理
L f1 t F1 S , L f 2 t F2 S : L af1 t bf 2 t aL f1 t bL f 2 t aF1 S bF2 S
d N (S ) K12 [(S S1 )3 ] D( S ) S S dS 1
N (S ) d2 3 K2 [( S S ) ] 2 K [( S S ) ] 1 11 1 2 2 D( S ) S S2 dS dS
d2
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
解：原电路图(a)转换为频域电路图(b)
1 SRC 1 Y (S ) SC R R 1 iS 1(t ) , I (S ) S I (S ) R R R UC (S ) Y ( S ) S ( SRC 1) S S 1 RC t
uC (t ) R(1 e
RC
图(a)
) 1(t)
图(b)
IC (S )
UC (S ) 1 1 1 S SC RC
iC (t ) e

t RC
1(t )
13.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：如图电路，R1=30，R2=R3＝5，L1=0.1H，C=1000F， E=140V，开关闭合已久，求开关打开后的uk(t)和uC(t)。 解：
复频域的阻抗
13.4 运算电路
1 (0 ) R SL I ( S ) U ( S ) Li (0 ) u S C S SC
Z (S )＝R SL
1 ：广义阻抗；运算阻抗； SC
：等值电压源象函数。
uC (0 ) U seg (S )＝U S (S ) LiL (S ) S
S S j
j 1, 2,, n
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
方法二：
d [( S S j ) N ( S )] N (S ) K j lim [( S S j ) ] lim dS d S S j D( S ) S S j D( S ) dS N ( S ) ( S S j ) N ( S ) N ( S ) lim S S j S S j D ( S ) D ( S )
第十三章 拉普拉斯变换
13-1 拉普拉斯变换的定义 13-2 拉氏变换的性质 13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 13-4 运算电路 13-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
13-1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换是 f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。
F (S )

0

f (t )e St dt
Z(S)I(S)=Useg(S)
13-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉氏变换分析线性电路的步骤： 把电路变换成频域电路； 电路可用结点电压法、网孔法、叠加法等来求解； 利用拉氏反变换得到时域的值。
13.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源， 求 uC(t)和 iC(t)。
K13 ( S S1 )3 N (S ) D( S )
S S1

K2 d [ K13 K12 ( S S1 ) K11 ( S S1 )2 ( S S1 )3 ] dS S S2 K2 d [(S S1 )3 ] dS S S2
3
K12 2( S S1 ) K11