线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案

第一章行列式

练习一

班级学号

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）τ(3421)= 5 ;

（2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项

12233441

a a a a的符号为负.

4．003

042

215

=－24 .

5．计算下列行列式：

（1）

122

212

221

-

--

--

= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5

或

（2）

11

11

11

λ

λ

λ

-

-

-

= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ）

= －3λ＋3λ+2=2

(2)(1)

λλ

-+

练习 二

班级 学号

1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3

(1)11-⋅=-

2． 11

1

2

3

44916

= 2 .

3．已知D=

1

01211031

110

1254

--,则41424344A A A A +++= —1 .

用1，1，1，1替换第4行

4． 计算下列行列式：

(1)

111a

b c a b c a

b

c +++ = 13233110

1

10

011

,01

101

11111r r r r c c a b c b c

a b c

a b c

-----+-=

=++++++

(2)

x

y x y y x y x x y

x

y

+++

(3) 1306 0212 1476

--

-

-

(4) 1214 0121 1013 0131

-

5．计算下列n阶行列式：

(1)

n x a a a x a

D

a a x

=（每行都加到第一行，并提公因式。）

(2)

13111

1

n +

(3)

1231231

2

3

n

n n a b a a a a a b a a a a a a b

+++

练习 三

班级 学号

1．设线性方程组12312312

3111

x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪

++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？

1,0,1λλλ≠-≠≠

2. 求解线性方程组12341234

123412345242235232110

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩

3.已知齐次线性方程组12312312

3000

x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪

-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

1,0,1λλλ=-==

4.求三次多项式32

3210()f x a x a x a x a =+++，使得：

(2)3,(1)4,(1)6,(2)19f f f f -=-===。

自测题

1. n 阶行列式D=det()ij a ，则展开式中项1223341,1n n n a a a a a -的符号为1(1)n --.

2.已知3阶行列式det()ij a =12，则行列式det(2)ij a -=31(2)42

-⋅=-.

3.方程

2

3

1

111122014

4188

x x x -=-的根为 1,2，-2 .

4. 已知齐次线性方程组0300x y z x y z y z λλλ++=⎧⎪

+-=⎨⎪-+=⎩

仅有零解，则λ的值应为0,1λλ≠≠.

11

312(1)0,0

1

λλ

λλλ

-=-≠-

5.设21211132

11

11

x

x x D x

x

-=

，则D 的展开式中3

x 的系数为 -1 .

6. 计算下列行列式：

（1

）

1

32234

0922623

383

----

（2）122

2222

2223

2222

n D n

=