第18章平行四边形数学活动课件
八年级数学下册教学课件《平行四边形 单元解读课件》
单元解读课件
八年级下册
• 两条线的位置关系
线 • 角的数量关系
点
几何图形的学段内容
• 三角形 • 四边形 • 多边形 •圆
面
体 高中
八年级
九年级
七年级
几何研究对象与方向
几何学
研究对象
研究方向
自身属性
多个关系
概念（定义） 性质 判定 应用
大小、位置、形状 大小（数量）与位置
几何学习方法
会用数学眼光观察
能进行简单的几何猜想
逻辑推理 会数学思维分析
能推演出几何证明，归纳出结论
演绎推理 抽象概括
会数学语言表达
运用几何图形的基本性质进行推理证明 逻辑推理
一个图形中介入其他图形后的影响与作 用，图形形成后的拆分
添加辅助线的能力
识图能力
会用数学眼光观察; 会数学思维分析;
移动图形的能力 会数学语言表达.
➢ 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形 的四条边相等，对角线互相垂直。
学习目标
4类判定
平行四边形的判定定理 矩形的判定 菱形的判定
（注意：一组对边平行，一组对边相等 的是等腰梯形）
正方形的判定
《课标》（2022年版）要求：
➢ 探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对 边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。
考查平行四边形的判定,常与平行四边形的性质综合考查.题型多样, 属中档题. 考查三角形的中位线定理的灵活运用,常与其他知识综合考查.题型多样, 属中档题. 矩形,主要考查矩形的性质和判定,多与三角形有关的知识结合考查， 题型多样,属中档题.
四年级数学平行四边形和梯形课件
四年级数学平行四边形和梯形课件教材分析1、课标分析：《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验。
”所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式。
本节课的设计充分利用学生已有的生活经验，把这一学习内容设计成实践活动，让学生在自主探究合作学习中理解平行四边形面积的计算公式，并了解平行四边形与其他几种图形间的关系，让学生经历学习过程，充分体验数学学习，感受成功的喜悦，增强信心，同时培养学生思维的灵活性，与他人合作的态度以及学习数学的兴趣。
2、教材分析：《平行四边形的面积》就是义务教育课程标准实验教材五年级下册第五单元第一课时的内容。
该内容就是在学生已学会长方形、正方形的面积排序，已掌控平行四边形的特征，可以画平行四边形的底和对应的低的基础上教学的。
通过本节课的自学，能够为学生推论三角形、梯形面积的计算公式提供更多方法搬迁，同时也为进一步自学立体图形的表面积搞了准备工作。
由于学生已掌控了长方形的面积计算公式，所以当学生掌控Z370补法，把平行四边形转化成长方形之后，平行四边形面积的计算公式就自然而然的产生了。
本节课的教学不仅培育了学生的观测比较、分析综合的能力，还培育了学生动手操作方式、积极探索技术创新的能力，就是自学多边形面积排序，掌控转变思想的初始内容。
学情分析五年级学生正处于形象思维和逻辑思维过渡时期。
他们存有了一定空间观念和逻辑思维能力。
但对于认知图形面积排序的公式推论和叙述推论的过程还是存有难度的。
这就须要教师利用生动形象的教学媒介使学生回去参予、回去操作方式、回去课堂教学，就可以使学生通过体验，掌控规律，构成技能。
这节课中生动形象的多媒体有利于学生将这些抽象化的事物转变为不易认知、不易拒绝接受的事物，多媒体的采用在教学中起著了不容替代的促进作用。
教学目标(1)并使学生通过积极探索认知和掌控平行四边形的面积公式，可以排序平行四边形的面积。
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
第十八章 平行四边形【数学活动】折纸
D
C
BC 21 0.618 AB 34
(精确到0.001)
A
21× 34
B
黄金分割数
黄金分割数
世界艺术珍品——维纳斯女 神，她是公元前一百多年希腊雕 塑鼎盛时期的代表作，她的上半 身和下半身的比值接近0.618.
黄金分割数
上海东方明珠电视塔
468
高468m,上球体到塔 底部的距离大约是
问题提出
问题7 ：你能说明矩形BCDE为什么是黄 金矩形吗？（提示：设MN=2）
利用折纸得到黄金矩形
证明: 设正方形MNCB中,MN=2， 则NC=BC=2, ∠ACB=90°， ∴AC=1， ∴在Rt△ABC中，AB= 5. ∵AD=AB= 5,
∴CD=AD-AC= 5 1,
∴ CD 5 1. BC 2
利用折纸得到黄金矩形
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出 一个正方形，然后把纸片展平.
图1
图2
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形， 再把纸片展平.
利用折纸得到黄金矩形
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折倒图3 所示的AD处.
图3 图4
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，矩形BCDE 就是黄金矩形（图4）.
AC=20×(1-0.618)≈7.6
CD=AD-AC=20×0.618-7.6≈4.8 C D ••
课堂小结
1.通过本节课的学习，你利用折纸可以做什么？ 2.在推理论证的过程中,我们用到了哪些以前学过的知识？ 3.在本节课的学习中,你体会到了哪些数学思想方法？
折60°、30°、15°的角 折纸
折黄金矩形
三塔中心校
生活剪影
平行四边形的对角线互相平分-课件
(1)△AOD的周长= 21 cm；
(2)△DBC的周长是边BC + DC + BD ，△ABC的周
长是边 BC + AB + AC ，△DBC的周长比△ABC的
周长长了 6 cm.
A
D
O
B
C
1.我们学习了平行四边形的哪些性质？ 2.谈谈研究平行四边形性质的思想方法,解决了哪些问题？
平行四边形的对边相等；
2.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若⊿AOB
的面积为3，则 ABCD的面积为（ C ） A
D
A.6 B.9 C.12 D.18
O
B
C
3.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AD=8,BD+AC=18,则⊿BOC的周长为（ B ）
A.13 B.17 C.20 D.26
A
D
证明：∵ 四边形 ABCD是平行四边形，
D1
3C
∴ AB=CD，AB∥CD； ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4；A 4
O 2B
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分.
活动二 前面问题中，老人的四个孩子分到的土
而AD+DC恰好是平行四边形周长的一半，
D
可以把这两边看作一个整体。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
O
∴AC=2AO=2×6=12.
B
又∵ 平行四边形ABCD的周长为50，
C
∴AD+DC=25，
∴△ACD的周长=12+25=37
赵县五中八年级数学下册 第18章 平行四边形18.2 平行四边形的判定第2课时由对角线判定平行四边形
2x－3y＝5， 8．(2019·潍坊)已知关于 x，y 的二元一次方程组x－2y＝k 的解 满足 x＞y，求 k 的取值范围．
解：2xx－－23y＝y＝k5②①，， ①－②，得 x－y＝5－k， ∵x＞y，∴x－y＞0. ∴5－k＞0.解得 k＜5
9．(2019·天门)不等式组x5－－12＞x≥01， 的解集在数轴上表示正确的是( C)
13．如图，▱ ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB、CD 的延 长线交于点 E、F，求证：四边形 AECF 是平行四边形．
解：证△BOE≌△DOF 或△AOE≌△COF 得 OE＝OF，易知 OA＝OC， ∴四边形 AECF 是平行四边形．
14．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F，BG ⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为 G、H.判断四边形 GEHF 的形状，并说明理由．
请用这种方法解决下面的问题： 如图，在△ABC 中，AB＝AC，延长 AB 到点 D，使 DB＝AB，E 是 AB 的中点．求证： CD＝2CE.
解：延长 CE 到点 F，使 EF＝CE，连结 AF、BF， ∵EF＝CE，E 是 AB 的中点，∴四边形 ACBF 是平行四边形， ∴AF 平行且等于 BC，∴∠FAB＝∠ABC. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠FAB， ∴∠FAC＝∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC＝∠DBC. 又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，∴△AFC≌△BCD(S.A.S.)，∴CF＝CD＝2CE.
解：四边形 BECF 是平形四边形，理由如下：∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD. ∵D 是 BC 的中点，∴CD＝BD.∵∠FDC＝∠EDB，∴△CDF≌△BDE(A.S.A.)， ∴DF＝DE.又∵DC＝DB，∴四边形 BECF 是平形四边形．
《正方形》平行四边形PPT
A
D
B
C
对称性： 对称轴：
轴对称图形. 4条 .
阶段总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如何表述呢？ 平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 你能说出正方形具有哪些性质吗？ 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 性质：1.角的方面：四个角都是直角
3.对角线： 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；对角线平分一组对角，且 平分正方形为四个全等的等腰直角三角形 几何语言表示：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC＝BD AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC
4.对称性： 既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，分别为过 两对边中点的直线和两条对角线所在的直线，它的对称中心是对 角线的交点
当堂练习
练一练
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ A ）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°. ∵∠DAG＋∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF. ∴△BAF≌△ADG(AAS)． ∴BF＝AG，AF＝DG. ∵AG＝AF＋FG， ∴BF＝DG＋FG. ∴BF－DG＝FG.
求 ∠EAD和∠EDA的度数 . 解：∵ △BEC是等边三角形，
第18章 平行四边形(小结与复习)教案-八年级数学下册课件(人教版)
回顾与思考：本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理;探索并证明了三角形的中位线定理，介绍了平行线问距离的概念;通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系;根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理.在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法:利用图形的性质定理与判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图形的判定定理,这些方法在今后的学习中都是很有用的.请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1,你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?2.平行四边形有哪些性质?如何判定一个四边形是平行四边形?3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗?4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理,你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗?本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？（1）本章研究内容：各种平行四边形的边、角、对角线的特征；（2）研究步骤：下定义→探性质→研判定；（3）研究方法：观察、猜想、证明；建立当前图形（平行四边形）与三角形的联系；从性质定理的逆命题的讨论中研究判定定理；类比、一般到特殊．【课堂探究案】考点讲练考点一 平行四边形的性质与判定例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG.(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形；(2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，CD ＝10，求四边形AGCD 的面积.(1)证明：∵ AG ∥CD ，AD ∥BC∴ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD∵ E 、F 分别为AG 、CD 的中点∴ EG=21AG ，DF=21CD ∴ EG=DF 且EG ∥DF∴ 四边形DEGF 是平行四边形(2)解：∵ 点G 是BC 的中点，BC=12∴ BG=CG=21BC=6 ∵ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD=10在R t △ABG 中，根据勾股定理2222610-=-=BG AG AB =8∴ S 四边形AGCD =6×8=48例2如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF＝CE，EF与AB交于点G.(1)求证：AC∥EF；(2)若点G是AB的中点，BE＝6，求边AD的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD∥BC∴ AF∥CE又∵ AF=CE∴四边形AFEC是平行四边形∴ AC∥EF(2)解：∵ AD∥BC，∴∠F=∠BEG，∠FAG=∠B∵点G是AB的中点，∴ AG=BG∴△AGF≌△BGE (AAS)∴ AF=BE=6∴ CE=AF=6∴ BC=BE+CE=12∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD=BC=12考点二三角形的中位线与R t△斜边上的中线例3如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点∴ DE、EF都是△ABC的中位线∴ DE∥AC，EF∥AB∴四边形ADEF是平行四边形(2)∵四边形ADEF是平行四边形∴∠DEF=∠BAC∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高∴ DH、FH分别是R t△ABH和R t△ACH斜边上的中线∴ DH=AD，FH=AF∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA∵∠DAH+∠FAH=∠BAC∠DHA+∠FHA=∠DHF∴∠DHF=∠BAC∴∠DHF=∠DEF考点三特殊平行四边形的性质与判定例4如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC，两线相交于点E.(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数.(1)证明：∵ AE ∥BD ，DE ∥AC∴ 四边形AODE 是平行四边形∵ 四边形ABCD 是矩形∴ AC=BD ，OA=21AC ，OD=21BD ∴ OA=OD∴ 四边形AODE 是菱形(2)解：连接OE.由(1)得，四边形AODE 是菱形，∴ AE=AO=BO∵ AE ∥BO ，∴ 四边形AEOB 是平行四边形∵ BE ⊥DE ，DE ∥AC ，∴ BE ⊥AO∴ 四边形AEOB 是菱形∴ AE=AB=BO∴ AB=BO=AO∴ △AOB 是等边三角形∴ ∠AOB=60°∴ ∠AOD=180°-60°=120°例5 如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE.(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论.解：(1)四边形BECF 是菱形.理由如下：∵ EF 垂直平分BC ，∴ BF=CF ，BE=CE∴ ∠3=∠1∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°∴ ∠2=∠A ，∴ CE=AE∴ BE=AE∵ CF=AE∴ BE=CE=CF=BF∴ 四边形BECF 是菱形(2)当∠A=45°时，四边形BECF 是正方形.证明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°∴ ∠CBA=45°∵ 四边形BECF 是菱形∴ ∠EBF=2∠CBA=90°∴ 菱形BECF 是正方形【课堂检测案】一、分类讨论思想例6 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm 和3cm 的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.解：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，。
初中人教版数学八年级下册18.2.1【教学课件】《矩形》
形的方法呢？
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形． 猜想2：三个角是直角的四边形是矩形．
人民教育出版社 八年级 | 下册
二、合情猜想 得出结论
2.请同学们证明上面两个猜想.
(1)矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形.
二、类比思考 探究性质
思考下列问题：
活动4：直角三角形斜边上中线的性质
三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标 物放在斜边的中点处.三个人的位置对每个人公平吗？请画图说明.
猜想1：矩形的四个角都是直角； 猜想2：矩形的对角线相等.
人民教育出版社 八年级 | 下册
二、类比思考 探究性质
（2）若矩形对角线长是10 cm，一边长是6 cm，则其周长是______cm，面积是___ cm2. （3）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线 的长 ，则矩形的面积为 cm2.
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二、类比思考 探究性质
活动6： 例1 [教材P53例1] 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求
当移动到一个角是直角时停止，观察这是什么图形？
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).
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二、类比思考 探究性质
活动3：矩形性质的探究
1.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有的性质．矩形还有哪些一般平行 四边形没有的特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角； 猜想2：矩形的对角线相等.
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最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形18.2.2菱形 课件(2课时共64张)
OA·OB＝
1 2
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
B
O
D
∵ AB AO2 BO2 52 122 13,
C
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ 11230.
课堂检测
能力提升题
求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B
F
C
EA
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
D
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
O
C
形
的
菱形的两组对角分别相等 角
性
菱形的邻角互补
质
B
怎样判断一 个四边形是 菱形？
菱形的两条对角线互相平分
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
素养目标
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比 思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已 知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
B
O
D
C
= AC(BO+DO)
= AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知 素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的 长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
18-2-1 矩形(含2个课时)(课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(人教版)
探究新知
通过观察，可以发现： 矩形的对角线相等．
你能证明这些结论吗？
探究新知
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O． 求证：（1）∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB， AB∥DC． ∴∠ABC＋∠BCD＝180°． 又∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°． ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
矩形的折叠问 题常与勾股定 理结合考查
03
直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
符号语言：
A
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝
1 2
AC．
B
O C
典型例题
例题4 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠BOC＝120°， AB＝6 cm. 求AC的长.
典型例题
在例题2中，连接DE，交AC于点F． （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论． 四边形ABDE是平行四边形． 证明：∵四边形ADCE为矩形，
∴AE∥DC，AE＝DC． 在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴BD＝DC．
F
∴AE∥BD，AE＝BD．
∴四边形ABDE为平行四边形．
矩形的判定
课堂小结
矩形判定：
➢ 有一个角是直角的平行四边形是矩形. ➢ 对角线相等的平行四边形是矩形. ➢ 有三个角是直角的四边形是矩形.
四边形
平行四边形 有一个角是直角 矩形
对角线相等
证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时， 可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
北师大版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT课件(第1课时)
结论 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是 它的对称中心.
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，过其对角线的交点O引一
直线交BC于点E，交AD于点F，若AB＝3cm，BC＝4cm，
OE＝2cm，则四边形CDFE的周长是（ C ）
A．9cm
B．7cm
C．11cm D．8cm
解析：∵四边形ABCD是平行四边形， 由图形的中心对称性
∴△ABF≌ △CDE(SAS), ∴∠ABF=∠CDE.
探究新知
方法总结 平行四边形角的性质: (1)平行四边形的对角相等,邻角互补. (2)平行四边形+角平分线→角相等→等腰三角形.
巩固练习
变式训练
如图,在▱ABCD中,AC=BC,AE⊥DC于点E,若∠B=65°,则 ∠CAE的度数为____2_5_°___.
得FD＝EB，OF＝OE＝2． ∴四边形CDFE周长＝DF+CE+CD+EF ＝BC+AB+2OE＝11（cm）． 故选C．
探究新知
知识点 3 平行四边形边和角的性质
活动：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你 能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼 法，并把它展示出来.
说一说：通过拼图你可以得到什么启示？ 平行四边形对边相等，对角相等. 这个结论正确吗？
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利用折纸得到黄金矩形
问题6： 能否用折纸的方法得到黄金矩形？
利用折纸得到黄金矩形
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出 一个正方形，然后把纸片展平.
图1
图2
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形， 再把纸片展平.
利用折纸得到黄金矩形
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折倒图3 所示的AD处.
你能精确折出30°的角吗？
利用折纸得到60°、30°、15°的角
1.对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折 D 痕EF，把纸片展平； A
E F
B
C
2.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经 过点B，得到折痕BM，同时，得到线段BN.
A M D
E
N
F
B
C
利用折纸得到60°、30°、15°的角 问题3 ：观察所得到的∠ABM，∠MBN 和∠NBC，这三个角有什么关系？你能 证明吗？
① ③ ⑦ ④
5× 8
8× 13
⑥
13× 21
② ⑤ ⑧
21× 34
利用折纸得到黄金矩形
① ③ ⑦ ④
5× 8
8× 13
⑥
13× 21
② ⑤ ⑧
21× 34
利用折纸得到黄金矩形
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zx``x`
D
C
BC 21 0.618 AB 34
A
21× 34
B
(精确到0.001)
世界艺术珍品——维纳 斯女神 ，她是公元前一 百多年希腊雕塑鼎盛时 期的代表作，她的上半 身和下半身的比值接近 0.618.
图3
图4
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，矩形 BCDE就是黄金矩形（图4）.
利用折纸得到黄金矩形 问题7 ：你能说明矩形BCDE为什么是黄 金矩形吗？（提示：设MN=2）
利用折纸得到黄金矩形
证明: 设正方形MNCB中,MN=2， 则NC=BC=2, ∠ACB=90°， ∴AC=1， ∴在Rt△ABC中，AB= 5. ∵AD=AB= 5, ∴CD=AD-AC= 5 1,
CD 5 1 . ∴ BC 2 5 1 . 即矩形BCDE的宽与长的比为 2
课堂小结
1.通过本节课的学习，你利用折纸可以做什么？ 2.在推理论证的过程中,我们用到了哪些以前学过的知识？ 3.在本节课的学习中,你体会到了哪些数学思想方法？
折纸
折60°、30°、15°的角 折黄金矩形
轴对称 全等三角形 矩形 直角三角形
AB AC
那么称线段AC被点B黄金分割, 点B为线段AC的黄金分割点, BC与AB的比叫做黄金比 (约为0.618 ).
黄金矩形的美感
• 黄金矩形给我们以协调、均匀的美感.世界
各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效
果，都采用了黄金矩形的设计.
黄金矩形的“迷人面容”——《蒙娜丽莎的微笑》
这幅《蒙娜丽莎的微笑》给了数以万亿计的人们 美的艺术享受，备受推崇.意大利著名画家达•芬奇在 创作中大量运用了黄金矩形来构图.整个画面使人觉 得和谐自然，优雅安宁.
利用折纸得到60°、30°、15°的角
在图中，你能找出所有30°的角吗？ 60°的角呢？ 还有其他度数的角吗？
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A
M
D
E
G
N
F
B
C
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
问题4： 怎样折出15°的角呢？
利用折纸得到黄金矩形 问题5： 下列矩形中,哪些比较匀称?
雅典帕德农神庙是古希腊最著名的建筑，因为 其建于古希腊数学繁荣的古典时期. 所以整个神庙 的造型是建立在严格的比例关系上的，体现了以追 求和谐为目的的形式美.
• 各国的国旗都为长方形，都是近似的黄金矩形. • 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒 服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对开、 8开、16开、32开等，都是近似的黄金矩形 . • ……
468
289
上海东方明珠电视塔 高468m,上球体到塔 底部的距离大约是 289m.两者之比约为 0.618.
文明古国埃及 的金字塔，形 似方锥，大小 各异.但这些 金字塔底面的 边长与高这比 都接近于 0.618.
D
宽与长的比是
5 1 2
约为0.618的矩形叫做 黄金矩形.
B A C BC AB 点B把线段AC分成两部分,如果 ,
作业布置
1.如何利用折纸折出75°的角？ 2.问题7中的矩形MNDE是黄金矩形吗？你能ห้องสมุดไป่ตู้明吗？
A M D E N F
B
C
利用折纸得到60°、30°、15°的角
证明：连接AN. ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称， ∴AN=BN. ∵△ABM与△NBM关于BM轴对称， ∴AB=NB，∠1=∠2. ∴AB=AN=NB， ∴∠ABN=60°， ∴∠1=∠2=30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°. ∴∠3=90°-60°=30°， ∴∠1=∠2=∠3=30°.
第十八章
平行四边形
数学活动
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你们小时候折过纸吗？都折过些什么？
利用折纸得到60°、30°、15°的角
问题1 ：在一张矩形纸片上，你怎么折 出一个45°的角？
用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
利用折纸得到60°、30°、15°的角 问题2 ：你能通过折纸的方法，折出 30°的角吗？怎样折？