高中高考理科数学导数题型归纳.doc

导数题型归纳

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法

5、二次函数区间最值求法： （ 1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

'

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值 ----- 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0 ） 第二种：变更主元 （即关于某字母的一次函数） ----- （已知谁的范围就把谁作为主元

）；

例 1：设函数 y

f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ( x) ，f (x) 在区间 D 上的导数为

g (x) ，若在区间 D 上，g (x) 0 恒成立，则称函数 y

f ( x) 在区间 D 上为“凸函数” ，已知实数

x 4 mx 3 3x 2

m 是常数， f (x)

6

2

（ 1）若 y

f ( x) 在区间 0,3

12

上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；

（ 2）若对满足 m

2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x) 在区间 a, b 上都为“凸函数” ，求 b a 的最大值 .

x 4

mx 3 3x 2 得 f ( x)

x 3

mx 2

3x

解 : 由函数 f ( x)

6

2 3

2

g( x) x 2

12

mx 3

（ 1） Q y

f (x) 在区间 0,3 上为“凸函数” ，

则

g ( x) x 2 mx 3 0

在区间 [0,3]

上恒成立 -

解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于 g max (x)

g(0) 0

3 0

m

2

g(3)

9 3m 3 0

解法二： 分离变量法：

∵ 当 x 0 时 ,

g( x)

x 2 mx 3 3 0 恒成立 , 当 0

x 3 时, g( x)

x 2 mx 3 0恒成立

等价于 m x 2 3

3 的最大值（ 0 x 3 ）恒成立，

x

x

x

而 h(x)

3 0 x 3 ）是增函数，则 h max ( x) h(3) 2

x

（ x

m 2

(2) ∵当m 2 时f ( x) 在区间a, b 上都为“凸函数”

则等价于当m 2 时 g( x) x2 mx 3 0 恒成立

变更主元法

再等价于 F ( m) mx x2 3 0 在m 2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

F ( 2) 0 2x x2 3 0 F (2) 0 2x x2 3 1 x 1

b a 2

-2 2

例 2：设函数 f (x) 1 x3 2ax2 3a 2 x b(0 a 1,b R)

3

（Ⅰ）求函数 f （ x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的 x [ a 1, a 2], 不等式 f (x) a恒成立，求 a 的取值范围 .

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ） f ( x)x24ax 3a2x 3a x a

Q 0 a 1

f (x)

a 3a a 3a

令 f ( x) 0,得 f ( x) 的单调递增区间为（a,3 a）

令 f ( x) 0,得 f ( x) 的单调递减区间为（－， a）和（3 a，+ ）

∴当 x=a 时， f (x)极小值= 3 a3 b; 当 x=3a 时，f (x)极大值=b.

4

（Ⅱ）由 | f (x) | ≤a，得：对任意的x [ a 1, a 2], a x2 4ax 3a 2 a 恒成立①

则等价于 g( x) 这个二次函数g max ( x) a

g( x) x2 4ax 3a2 的对称轴 x 2a Q 0 a 1, g min ( x) a

a 1 a a 2a （放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g(x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x) x2 4ax 3a2在[ a 1,a 2] 上是增函数. （

∴

g(x)max g (a 2) 2a 1.

g(x)min g( a 1) 4a 4.

a 1, a 2 于是，对任意 x [a 1, a 2] ，不等式①恒成立，等价于x 2a

g(a 2) 4a 4

a,

解得 4 a 1.

g(a

1) 2a 1 a 5

又 0 a 1, ∴

4

a 1.

5

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征： f ( x) g( x) 恒成立

h( x) f ( x) g( x) 0 恒成立；从而转化为

第一、二种题型

例 3；已知函数 f (x) x 3 ax 2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为

3 ，

g(x) x 3 t 6 x 2 (t 1)x 3 (t 0)

2

（Ⅰ）求 a, b 的值；

（Ⅱ）当 x [ 1,4] 时，求 f ( x) 的值域；

（Ⅲ）当 x [1,4] 时，不等式 f (x)

g( x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。

解：（Ⅰ） f /

( x) 3x 2

f /

(1)

3 ， a 3

2ax ∴

解得

2

b 1 a

b

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f ( x) 在 [ 1,0] 上单调递增，在 [0, 2] 上单调递减，在 [2, 4] 上单调递减

又 f ( 1) 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16

∴ f ( x) 的值域是 [ 4,16]

（Ⅲ）令 h( x)

f ( x) g( x)

t x 2 (t 1)x 3 x [1,4]

2

思路 1：要使 f ( x)

g( x) 恒成立，只需 h( x) 0 ，即 t( x 2

2x) 2x 6 分离变量

思路 2：二次函数区间最值

二、题型一： 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法 1：转化为 f ' ( x) 0或 f ' ( x) 0 在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（ m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b ）”，要弄清楚两句话的区

别：前者是后者的子集

例 4：已知 a

R ，函数 f ( x)

1 x 3 a 1 x

2 (4a 1) x ．

12 2

（Ⅰ）如果函数 g( x) f ( x) 是偶函数，求 f ( x) 的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数 f ( x) 是 (

,

) 上的单调函数，求 a 的取值范围．

解：

f ( x)

1 x

2 (a 1) x (4a 1) .

4

1

1 x 2

（Ⅰ）∵ f (x) 是偶函数，∴

a

1.

此时 f ( x)

x 3 3x ， f ( x)

3 ，

12

4

令 f ( x)

0 ，解得： x 2 3 .

列表如下：

x

( －∞, － 2

3 )

－ 2

3

( －

2

3

(2

3 ,+ ∞)