七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题08 整式乘法运算及其拓展

专题08 整式乘法运算及其拓展

专题解读】整式的乘法运算是初中代数的一块重要而基础的知识，是初中代数中“式”的重要内容之一.整式的乘法运算与有理数运算的联系紧密，是对该内容学习的拓展和延续，也是今后学习分式和根式的运算、函数及其图像等知识的基础.所以说，“整式的乘法运算”在整个初中代数学习中具有非常重要的意义. 思维索引

例1.计算：（1）（1－212）（1－2

13）（1－214）…（1－21

10）；

（2）3（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（264＋1）＋1.

例2.（1）已知4x ＝3y ，求代数式（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）－2y 2的值；

（2）若x 满足（80－x ）（x －60）＝30，求（80－x ）2＋（x －60）2的值.

素养提升

1.（x 2－mx ＋1）（x －2）的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是（ ） A .1 B .－1 C .－2 D .2

2.若(x ＋m )（x ＋n ）＝x 2＋ax ＋12，则a 的取值有（ ）

A .4个

B .5个

C .6个

D .7个 3.已知（x －2017）2＋（x －2019）2＝34，则（x －2018）2的值是（ ） A .4 B .8

C .12

D .16 4.若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2018＋y 2018的值为（ ）

A .4

B .20182

C .22018

D .42018

5.如图，用四个完全一样的长、宽分别为x 、y 的长方形纸片围成一个大正方形ABCD ，中间是空的小正方形EFGH .若AB ＝a ，EF ＝b ，判断以下关系式：①x ＋y ＝a ；②x －y ＝b ；③a 2－b 2＝2xy ；④x 2－y 2＝ab ；⑤x 2

＋y 2

＝

2

2

2

a b ，其中正确的个数有（ ） A .2个

B .3个

C .4个

D .5个

（第5题）

G

F

E H D

C

B

A

6.若要使x （x 2＋a ＋3）＝x （x 2＋5）＋2（b ＋2）成立，则a 、b 的值分别为 .

7.已知a －b ＝4，ab ＋c 2－6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c ＝ .

8.若多项式（x －1）（x ＋3）（x －4）（x －8）＋a 为一个完全平方式，则a 的值是 . 9.若m 1，m 2，…，m 2019是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m 1＋m 2＋…＋m 2019＝1529，(m 1－1)2＋（m 2－1）2＋…＋（m 2019－1）2＝1510，则在m 1，m 2，…m 2019中取值为0的个数为 . 10.有A 、B 、C 三种不同型号的卡片，其中A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是长为b 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形，其中a ＞b .现有A 型卡片3张，B 型卡片4张，C 型卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边长为 . 11.求下列代数式的值： （1）已知

a （a －1）－（a 2－

b ）＝2，求

2

2

2a b －ab 的值；

（2）已知x －

1x ＝3，求x 4＋41

x

的值； （3）若a ＋b ＋2c ＝1，a 2＋b 2－8c 2＋6c ＝5，求ab －bc －ac 的值.

12.观察下列各式：

（x－1）（x＋1）＝x2－1，

（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1，

（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1，

…………

由此我们可以得到：（x－1）（x n＋x1n＋…＋x2＋x＋1）＝；请你利用上面的结论，完成下面的计算：

（1）当x＝3时，（3－1）（3018＋32017＋32016＋…＋33＋32＋3＋1）＝；

（2）299＋298＋297＋……＋2＋1；

（3）（－2）50＋（－2）49＋（－2）48＋…＋（－2）＋1.

13.拓展创新：

（1）试说明：代数式（2x＋3）（6x＋2）－6x（2x＋13）＋8（7x＋2）的值与x的取值无关；

（2）若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x，y的大小；

（3）已知ax＋by＝8，ax2＋by2＝22，ax3＋by3＝62，ax4＋by4＝178，试求1995（x＋y）＋6xy的值.

14.将一长2m 、宽2n 的长方形，如图（1）沿虚线均分成四个小长方形，然后图拼成如图（2）一个正方形.

(图2)(图1)

n

n n

n

n

n n

n m

m

m m m

m m m

（1）用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积.

方法一： ；方法2： ；

（2）观察图（2），写出下列三个代数式：（m ＋n ）2，（m －n ）2，4mn 之间的等量关系： .

（3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题；若a ＋b ＝7，ab ＝10，求（a －b ）2的值. （4）试画一个几何图形，使它的面积能表示（m ＋n ）（m ＋3n ）＝m 2＋4mn ＋3n 2.

15.先阅读再解题.

题目：如果（x －1）5＝a 1x 5＋a 2x 4＋a 3x 3＋a 4x 2＋a 5x ＋a 6，求a 6的值.

解这类题目时，可根据等式的性质，取x 的特殊值，如x ＝0，1，－1…代入等式两边即可求得有关代数式的值.如：当x ＝0，（0－1）5＝a 6，即a 6＝－1. 请你求出下列代数式的值. （1）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； （2）a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.