第3章恒定电流的电场和磁场
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第3章 恒定电流的磁场
第3章 恒定电流的磁场
【例3-3】 一根沿z轴的无限长直导线通过z方向的 电流I。试用安培定律求空间任一点的磁场强度与磁通 密度。 解 由对称性， 该电流产生的磁力线必然是同心圆， 如图3-6所示。沿每个圆的磁场强度值是相同的， 因此 对任意半径ρ， 有
∫
C
H dl = ∫
2π
0
H ρd = 2πρH = I
1 aR = 2 R R
， 式（3-1-3）又可以写为
0 B( r ) = 4π
应用恒等式▽
∫
V
1 J ( r′) × dV ′ R
▽ ×(ψA)=▽ ψ×A+ψ▽ ×A
第3章 恒定电流的磁场
同时注意到▽ 是对场点作用的算子， 故 ▽ ×J(r′)=0， 磁通密度可以表达如下
0 B( r ) = × 4π
F12 = ∫
C2
0 I 2dl2 × 4π
∫
C1
I1dl1 × aR 2 R
第3章 恒定电流的磁场
式中， 括号中的量值取决于电流回路C1的电流分 布及源点到场点的距离矢量R， 而与电流回路C2 无关， 故可定义
0 B1 = 4π
∫
C1
I1dl1 × aR 2 R
第3章 恒定电流的磁场
由于顺磁物质与抗磁物质所受的力很弱， 因此实 际上将它们归在一起， 统称为非磁性物质， 非磁性物 质的磁导率与自由空间的相同。 下面我们讨论磁性物质的磁化。 在磁性物质（常称为媒质）中， 分子中的电子以 恒速围绕原子核作圆周运动形成分子电流， 它相当于 一个微小电流环可以等效为磁偶极子。 其磁偶极矩pm 的表达式为 pm=IaS （3-2-1）
第3章 恒定电流的磁场
由于▽ 2(axAx)=(▽ 2ax)Ax+(▽2Ax)ax=(▽ 2Ax)ax， 因 而上式可分解为三个分量的泊松方程:
恒定电流的电场和磁场
同轴线横截面
2021/4/7
19
第三章 G恒＝定电I 流的I电场J和磁场E U
构成方程
J
E
U
解：
J
I
2 rL
er
I
2 r
er
电场强度为
1
I
E J 2 r er
两导体间的电位差为
b
U Edr
I
ln b
a
2 a
这样，可求得单位 长度的漏电电导为
G0
I U
b
I Edr
2
ln b
a
a
2021/4/7
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5
第三章 恒定电流的电场和磁场
III、面电流密度： n
JS
I lim l 0 l
n
dI dl
n
面电流密度
注：n 是垂直于dl，且通过 dl与曲面相切的单位矢量。
任意线 l 上的电流强度I：
IS l J S dl
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6
第三章 恒定电流的电场和磁场
IV、J 的另一表达式：
P U I E lI EJ lS EJ V
J 与 E 之关系
其极限值：p
lim P V 0 V
EJ
E 2
导体内任 一点的热
功率密度
或：
p
JE
（焦耳定律的微分式）
注：焦耳定律不适应于运流电流。
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第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.5 恒定电流场的基本方程
积分形式 微分形式
边界条件
边值问题
电位
一般解法
2021/4/7
电导与接地电阻
3.0第三章 恒定电流的电场和磁场
dq d S J dS dt dt V dV
定理 度 散
SJ dS V t dV
积 式 形 分
J dV 0 V t
对任 意的 体 积V 均成 立， 需
电流连续性方程
微 分 形 式
J 0 t
第三章 恒定电流的电场和磁场 在恒定电流场中，电荷分布与时间无关，即 则有恒定电流场方程：
当导体两端的电压为 U，流过的电流为 I 时，则在单位时间内电场力对 电荷所作的功（功率）是
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS 的体积元，该体 积元内消耗的功率为
P U I E l I EJ l S EJ V
焦耳定律的微分形式：导体内任一点的热功率密度（ΔV→0 ），
I J er 2rL
内、外导体间的电压为
E
1
J
b
I 2 rL
er
U
a
Edr
I 2 L
ln
b a
第三章 恒定电流的电场和磁场 例 3-1 设同轴线的内导体半径为 a, 外导体的内半径为 b，内、 外导 体间填充电导率为σ 的导电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。
r z
a
b
电流密度矢量是恒定磁场的源变量
电流密度 J: 单位时间内垂直穿过单位面积的 电荷量，反映电流分布的不均匀性，其方向 为正电荷的运动方向。则
J lim I dI n n S 0 S dS
dS
dS
dS
E dS E
电流密度的单位是安培/米2 (A/m2)。
J E E
v
I
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
恒定电流的电场和磁场课件
恒定电流的电场和磁场 课件
目录
• 恒定电流的基本概念 • 电场与电场力 • 磁场与磁场力 • 恒定电流的磁场效应 • 恒定电流的应用 • 实验与实践
01
恒定电流的基本概念
电流的定义与性质
电流
电荷在导体中定向移动形成电流 ，单位时间内通过导体横截面的 电荷量称为电流强度，简称电流 。
电流的性质
电荷的定向移动形成电流，其方 向由正电荷定向移动的方向决定 ，而与导体内自由电荷的运动方 向无关。
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小与电荷的电量成正比，与电场强度成正比 。
电场强度是描述电场强弱和方向的物理量，等于单位正电荷在电场中受到的力。
电场强度具有方向性，规定正电荷受力方向为电场强度的方向。
电势与电场能量
电势是描述电场能的物理量，等于单 位正电荷在电场中具有的电势能。
电场能量是电场中储存的能量，与电 势能密切相关。
电阻
导体对电流的阻碍作用，由导体的材 料、长度、横截面积和温度等因素决 定。
02
电场与电场力
电场的概念与性质
电场是由电荷产生的 ，对放入其中的电荷 有力的作用。
电场的性质包括对放 入其中的电荷有力的 作用、静电感应现象 等。
电场具有物质性，是 传递电荷间相互作用 的一种特殊物质形态 。
电场力与电场强度
详细描述
电磁感应现象是当导体在磁场中发生相对运动时，会在导体中产生电动势或电流的现象。这个现象由英国物理学 家迈克尔·法拉第于19世纪30年代发现，是电磁化的电场和磁场相互激发，形成电磁波并传播出去。
详细描述
电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而形成的。当电场或磁场发生变化时，就会产生电磁波，并传 播出去。电磁波的传播速度等于光速，在真空中传播不受影响，但在介质中传播速度会减慢。
目录
• 恒定电流的基本概念 • 电场与电场力 • 磁场与磁场力 • 恒定电流的磁场效应 • 恒定电流的应用 • 实验与实践
01
恒定电流的基本概念
电流的定义与性质
电流
电荷在导体中定向移动形成电流 ，单位时间内通过导体横截面的 电荷量称为电流强度，简称电流 。
电流的性质
电荷的定向移动形成电流，其方 向由正电荷定向移动的方向决定 ，而与导体内自由电荷的运动方 向无关。
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小与电荷的电量成正比，与电场强度成正比 。
电场强度是描述电场强弱和方向的物理量，等于单位正电荷在电场中受到的力。
电场强度具有方向性，规定正电荷受力方向为电场强度的方向。
电势与电场能量
电势是描述电场能的物理量，等于单 位正电荷在电场中具有的电势能。
电场能量是电场中储存的能量，与电 势能密切相关。
电阻
导体对电流的阻碍作用，由导体的材 料、长度、横截面积和温度等因素决 定。
02
电场与电场力
电场的概念与性质
电场是由电荷产生的 ，对放入其中的电荷 有力的作用。
电场的性质包括对放 入其中的电荷有力的 作用、静电感应现象 等。
电场具有物质性，是 传递电荷间相互作用 的一种特殊物质形态 。
电场力与电场强度
详细描述
电磁感应现象是当导体在磁场中发生相对运动时，会在导体中产生电动势或电流的现象。这个现象由英国物理学 家迈克尔·法拉第于19世纪30年代发现，是电磁化的电场和磁场相互激发，形成电磁波并传播出去。
详细描述
电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而形成的。当电场或磁场发生变化时，就会产生电磁波，并传 播出去。电磁波的传播速度等于光速，在真空中传播不受影响，但在介质中传播速度会减慢。
工程电磁场-恒定磁场
例2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
μ0 α2
α1
μfe
铁磁媒质与空 气分界面
解：
tan 2
2 1
tan 1
0 fe
tan 1
0
2 0
表明 只要 1 90 ，空气侧的B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
2023/10/27
34/119
例 3 在两种媒质分界面两侧，
1 50，2 30
即 H2 H2yey H2xex 10ex 4ey A/m
B2 2H2 0(30ex 12ey ) T
M1 ∆l2
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
2023/10/27
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4） 磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电
偶
极
子
p qd
ρp - P p P en
电场与磁场
磁 偶
Jm M
极 子
Bx
0Ky 2
dx (x2 y2)
B
0K
2
ex
0K
2
e
x
y0 y0
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3.2 安培环路定律 Ampere’s Circuital Law 1. 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0 I 2
e
dl
0I d l 2
0I
2
2
0 d 0 I
α
I dΦ
Bdl
解: 平行平面磁场，且轴对称，故
图3.2.19 磁场分布
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
3.2磁感应强度
场点
z
0
r
R
a
r'
y
由于 B 只有 ez 分量，故 0
B ez
er d 0
x
0 Ia 2
2 R3
内容小结
安培定律
F12
C 4 C 2 1
0
I 2 d l2 I1dl1 eR R2
毕奥-萨伐尔定律
Idl eR 0 B 2 C 4π R 4π
2. 安培定律 安培实验定律：两个线电流回路C1和C2，其上的电流元分别 为I1dl1,I2dl2。线元I1dl1对线元I2dl2的安培作用力为
d f 12
0 I 2 dl2 ( I1dl1 eR )
4π R
2
I 2 dl2 (
0 I1dl1 eR
4π
I1
R
C1
I1dl1
【例1】求长度为 l 载有电流I的有限长直导线产生的磁场。
【解】：采用圆柱坐标系，令直流电流与Z轴重合，直线电流的中点位 于坐标原点。由于磁场的分布具有轴对称性，选取在 0 的 平面内计算磁场。 Z 源点 r ' z ' ez 场点 r rer zez
距离
'
R r r ' rer ( z z ' )ez , R
2
)
I 2dl2
整个载流回路C1对电流元 I 2dl2 的作用力
dF12 =I 2dl2 ( 4π
c1
0
I1dl1 eR ) 2 R
I1dl1 eR ) 2 R
I2
C2
dF12 1
R
恒定电流的电场
如果导体的横截面不均匀，上式应写成积分式
式中的σ称为电导率，它由导体的材料决定。
从欧姆定律，可导出载流导体内任一点 上电流密度与电场强度的关系。 如图所示，在电导率为σ的导体内沿电流 线取一极微小的直圆柱体，它的长度是 Δ l ，截面积是Δ s，则圆柱体两端面 之间的电阻 。通过截面Δ s的电 流Δ I＝J Δ s ，圆柱体两端面之间的电 压是Δ U =E Δ l，根据式有
这就是电流连续性方程的积分形式。由高斯散度定理，上式中的 面积分可化为体积分 闭合曲面s是任意选的，因此，它所限定的体积v也是任意的。
这是电流连续性方程的微分形式
恒定电流的电流强度是恒定的，电荷的分布也是恒定 的。任一闭合面内都不能有电荷的增减，即
这就是恒定电流的连续性方程的积分形式。 它的物理含义是，单位时间内流入任一闭合面的电荷 等于流出该面的电荷。电流线是连续的闭合曲线。由 上式，应用高斯散度定理可得恒定电流的连续性方程的 微分形式。这说明恒定的电流场是无源场（管形场）
电流的强弱用电流强度来描述。 它的定义是，单位时间内通过导体任一横截面 的电荷量。 如果在时间Δ t内流过导体任一横 截面的电量是Δ q，便取下式作为时变电流强 度的定义。 恒定电流的电流强度的定义是
式中的q是在时间t内流过导体任一横截面的电 荷。I是个常量。电流强度一般简称为电流。
二、电流密度
J表示传导电流密度，如果所取的面积元的法线方向n0与电流方 向不垂直而成任意角度θ，则通过该面积元的电流是
通过导体中任意截面s的电流强度I与电流密度矢量J的关系是
电流密度矢量J在导体中各点有不同的方向和数值，从而构成一个 矢量场，称为电流场。这种场的矢量线称为电流线。电流线上每 点的切线方向就是该点的电流密度矢量J的方向。 从电流强度I与电流密度矢量J的关系看出，穿过任意截面s的电流 等于电流密度矢量J穿过该截面的通量．如图所示。
第3章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场 将非静电力对电荷的影响等效为一个非保守场(非库仑 场)，其电场强度E'只存在于电源内部(如图)。在电源外部只 存在由恒定分布的电荷产生的电场(库仑场)，用E表示。 在电源内部既有库仑场,也有非保守场，二者方向相反。 电动势：在电源内部搬运 单位正电荷从负极到正极时非 静电力所做的功，用ε表示。其 数学表达式为
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
运动的电荷在它周围不但产生电场，同 时还产生磁场。由恒定电流或永久磁铁产生 的磁场不随时间变化，称为恒定磁场，也称 静磁场。本章主要讨论恒定电流产生的电场 和磁场的基本特性以及磁场计算等，主要内 容有：
第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.7 3.8 3.9 恒定电流的电场 恒定电流的电场* 磁感应强度 磁感应强度* 恒定磁场的基本方程* 恒定磁场的基本方程 矢量磁位 磁偶极子 恒定磁场的边界条件* 恒定磁场的边界条件 标量磁位 标量磁位 互感和自感* 互感和自感
ε = ∫ E' ⋅ d l
B
A
图 3-3 电动势
第三章 恒定电流的电场和磁场 电动势主要用来描述电源的特性。与有无外电路无关， 它是表示电源本身的特征量。 对恒定电流场来说，其性质与静电场相同，故有
∫ E ⋅ dl
l
A
=0
式中的积分路径是电源之内或之外的导体中的任何闭合回路。
ε = ∫ E ' ⋅ d l = ∫ ( E + E ') ⋅ d l
1. 电源外部的欧姆定律
J =σ E U = RI
σ
(3 − 11)
－－微分式 －－积分式
是电导率，单位为西门子/米（S/m）。
恒定电流的电场与磁场参考PPT
R 1 G
如果同轴线的长度为l，总的漏电阻为R/l
18
二、特定等位面之间导体材料电阻的计算 计算步骤： (1) 假设两电极间流过的电流I,然后按
I J E U R 的步骤计算。
(2) 假设两电极的电压U，然后按
U E J I R 的步骤计算。
19
例2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计
13
当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电 流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同
可以利用已经获得的静电场 的结果直接求解恒定电流场
可用边界条件与静电场相同的 电流场来研究静电场的特性
静电比拟
14
例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：
P
N
P
N
电流场
静电场
那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。
2U
导电媒质中的电流密度 J 为
JE er e2 r U
那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为
2IS JdSS e2 πr U ( etdr)
2πUtabdrr2πUltnb a
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
RV π
I 2t ln b
a
21
例：电导率为的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1 和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d>> R1 ，d>> R2)，试求两小导体球面间的电阻。
解: 此题可采用静电比拟的方法求解。 ❖假设两小球分别带电荷q和-q，由于两球间的距离d>>R1 、 d>>R2 ，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。 ❖由电荷q和-q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求 得两小导体球面间的电容， ❖再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。
工程电磁场 倪光正第3章静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场
例 3.1 一接地系统
i
2
土壤 J线
1 a
接地体
等位面
[解] 15106 S/m钢
2102 S/m土 壤
1 895950
2 8 0
3.良导体与理想介质 ( 2 0 ) 分界面上的边界条件
1
+
+
+
+
J c1
+
+ E2t + 2 +
2 0 J1n J2n 0
U
E2n E2
E线
E2t
J c1n 0 J c2n 0
2I
R半球
接地器
I
1
a
屏蔽室接地电阻（深度 20 m） 返回 下页
高压大厅网状接地电阻（深度1米）
返回 上页
3.2.3 跨步电压
I
o
a 土壤
~r
E dl
AB
r
r
I
o
a 土壤
~r E dl
r
I dr
rb r 2
I
r
1 b
1 r
r b
bI r2
U 0 (安全电压)
AB r
r
bI
(3) 推广到其他学科，即可籍以用电测法求得非电 量的相似解答。
3.2.2 接地电阻
1.基本概念
接地——将电气设备的某一部分与大地在电气上相联结。 接地器——埋于地中的导体系统 ( 球、棒、网及其组合 ) 。 接地的工程意义：
• 保护性接地 • 工作接地
ⅰ 电子电路中 ⅱ 电力工程中
A
o
B
短路点
第3章 静态电磁场Ⅱ： 恒定电流的电场和磁场
第3章 恒定磁场
B A
引申——无限长直导线通直流I
A
az
0I 2
ln
r0 r
r0 是矢量磁位 的参考0点
电磁场与电磁波
北京邮电大学
27
§3.3 偶极子
Electric Dipole 由间距“很小”的2个等量正负“点”电荷组成 •间距：l
•“点”电荷：q1=q、q2=－q
Magnetic Dipole 半径“很小”的圆电流环 a I
B
0I
Idl sin
R2 dl aR
a
线电流
4 C R2
体电流
B
0
4
V
J aR R2
dV
面电流
B
0
J S aR dS
4 S R2
电磁场与电磁波
北京邮电大学
11
4. 受
F12
0 4
C2 C1
I 2dl2
它们说明：
C
B dl 0 I
C
• 磁通连续，磁力线是无头无尾的闭合曲线；
• 恒定磁场没有散度源，但有旋度源。
电磁场与电磁波
北京邮电大学
18
例1. 电流环在轴线上的磁场
已知: 半径a和电流I
有对称性，但找不到环线使磁场 强度相等.
直接求解.
B
S
dB
(安米) S
v
电磁场与电磁波
l
北京邮电大学
vΔt
5
§3-1 恒定磁场的基本方程
本节内容
先看一些试验定律：
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1、两种导电媒质的边界
边界条件
恒定电流场的边界条件为
n
(E2
E1 )
0
或
n (J2 J1) 0
J1n J 2n
E1t E2t
在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为
1 2
1
1
n
2
2
n
S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,
当
2 2
1时， 1
4r 2
er
E
I
4r 2
er
内、外导体间的电压为
U
b
Edr
a
I
4
1 a
1 b
漏电电导为 G I 4ab
U ba
也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏
电电阻R：
P
J EdV
V
b a
I2
(4r 2 )2
4r 2dr
I2
4
1 1 a b
R
P I2
1
I SJ dS SJ cosdS
JS
I lim
S0 l
dI dl
sv
I l Js ndl l Js cosdl
面电流密度
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的 方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度 J 与运动速度 v 的关系为
J v 式中 为电荷密度。
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI ElI EJlS EJV
当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功 率密度，表示为
p lim P EJ E2
V 0 V
或
p JE
此式就是焦耳定律的微分形式。
应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
SJ
dS
0
l E dl 0
电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。
以上的电场是指库仑场， 因为在电源外的导体中， 非库仑 场为零。
因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ, E= -▽φ。 在 均匀导体内部(电导率σ为常数)，有
E () 2 0
3.1.3 恒定电场的边界条件
3.1.2 恒定电流场的基本方程
电荷守恒定律
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ dS
V
dV t
V
J
t
dV
0
要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即
J
0
t
0
t
J 0
SJ dS 0
电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：
J 0 E 0 与其相应的积分形式为
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀， 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与 前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
❖ 1、欧姆定律的微分形式
实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密
度J 与该点的电场强度 E成正比
J E
欧姆定律的微分形式
由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以
视为在电场强度方向单位长度上的电压。
因此，对一段长为 l ，横截面为S的导线，欧姆定律的微分
形式可写成：
s
I U R
IJ s UE l
值愈大表明导电能力 愈强，即使在微弱的 电场作用下，也可形
J E 成很强的电流。
l
R l
电导率, 单位:s/m
电流及电流强度 分类：传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子 运动形成的电流。
运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成 的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流， 以 I 表示。电流的单位为A（安培）。
因此，电流 I 与电荷 q 的关系为
I dq dt
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷 的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
dI J dS
第25.26学时 5.1 恒定电流的电场
体电流密度
设通过ΔS的电流为ΔI， I Stv vS
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 介质的磁化 3.5 磁介质的场方程 3.6 恒定磁场的边界条件 3.7 矢量磁位和标量磁位 3.8 自感和互感 3.9 磁场能量与力
3.1 恒定电流的电场
在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定 电流对应的电场称为恒定电场。
t
则该点处的电流密度 J为
J
lim
I
dI
v
S0 S dS
电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，
因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做
电流线。
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流 密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电 流密度J在S上的通量，即
•另外恒定电流场中，D E, s D 仍成立。
例 一个同心电容器的内、
外半径为a、b，其间填
充电导率为σ的导电媒质， 如图所示，求该电容器 的漏电电导。
同心电容器
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设
流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内
任一点的电流密度和电场为
J
I
s
表 5-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
1.56×107 3.55×107 3.10×107 5.55×107 5.80×107 6.20×10 1.56×10-3
2、 焦耳定律的微分形式
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功，即功率是
分界面上面电荷密度为零。
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
2、两种导电媒质的电导率边界
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时， 第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在 不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可 以将良导体的表面看作等位面。
3、导体与理想介质的分界面 •在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表 面有恒定电荷，E2n0，E1t＝E2t，介质中紧挨导体表面处的电场强 度与导体表面不垂直。
边界条件
恒定电流场的边界条件为
n
(E2
E1 )
0
或
n (J2 J1) 0
J1n J 2n
E1t E2t
在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为
1 2
1
1
n
2
2
n
S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,
当
2 2
1时， 1
4r 2
er
E
I
4r 2
er
内、外导体间的电压为
U
b
Edr
a
I
4
1 a
1 b
漏电电导为 G I 4ab
U ba
也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏
电电阻R：
P
J EdV
V
b a
I2
(4r 2 )2
4r 2dr
I2
4
1 1 a b
R
P I2
1
I SJ dS SJ cosdS
JS
I lim
S0 l
dI dl
sv
I l Js ndl l Js cosdl
面电流密度
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的 方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度 J 与运动速度 v 的关系为
J v 式中 为电荷密度。
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI ElI EJlS EJV
当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功 率密度，表示为
p lim P EJ E2
V 0 V
或
p JE
此式就是焦耳定律的微分形式。
应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
SJ
dS
0
l E dl 0
电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。
以上的电场是指库仑场， 因为在电源外的导体中， 非库仑 场为零。
因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ, E= -▽φ。 在 均匀导体内部(电导率σ为常数)，有
E () 2 0
3.1.3 恒定电场的边界条件
3.1.2 恒定电流场的基本方程
电荷守恒定律
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ dS
V
dV t
V
J
t
dV
0
要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即
J
0
t
0
t
J 0
SJ dS 0
电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：
J 0 E 0 与其相应的积分形式为
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀， 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与 前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
❖ 1、欧姆定律的微分形式
实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密
度J 与该点的电场强度 E成正比
J E
欧姆定律的微分形式
由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以
视为在电场强度方向单位长度上的电压。
因此，对一段长为 l ，横截面为S的导线，欧姆定律的微分
形式可写成：
s
I U R
IJ s UE l
值愈大表明导电能力 愈强，即使在微弱的 电场作用下，也可形
J E 成很强的电流。
l
R l
电导率, 单位:s/m
电流及电流强度 分类：传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子 运动形成的电流。
运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成 的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流， 以 I 表示。电流的单位为A（安培）。
因此，电流 I 与电荷 q 的关系为
I dq dt
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷 的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
dI J dS
第25.26学时 5.1 恒定电流的电场
体电流密度
设通过ΔS的电流为ΔI， I Stv vS
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 介质的磁化 3.5 磁介质的场方程 3.6 恒定磁场的边界条件 3.7 矢量磁位和标量磁位 3.8 自感和互感 3.9 磁场能量与力
3.1 恒定电流的电场
在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定 电流对应的电场称为恒定电场。
t
则该点处的电流密度 J为
J
lim
I
dI
v
S0 S dS
电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，
因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做
电流线。
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流 密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电 流密度J在S上的通量，即
•另外恒定电流场中，D E, s D 仍成立。
例 一个同心电容器的内、
外半径为a、b，其间填
充电导率为σ的导电媒质， 如图所示，求该电容器 的漏电电导。
同心电容器
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设
流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内
任一点的电流密度和电场为
J
I
s
表 5-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
1.56×107 3.55×107 3.10×107 5.55×107 5.80×107 6.20×10 1.56×10-3
2、 焦耳定律的微分形式
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功，即功率是
分界面上面电荷密度为零。
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
2、两种导电媒质的电导率边界
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时， 第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在 不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可 以将良导体的表面看作等位面。
3、导体与理想介质的分界面 •在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表 面有恒定电荷，E2n0，E1t＝E2t，介质中紧挨导体表面处的电场强 度与导体表面不垂直。