第八章_季节性时间序列模型

1023.3
1051.1 1102 1415.5
1396.2
1444.1 1553.8 1932.2
1756
1818 1935.2 2389.5
2083.5
2148.3 2290.1 2848.6
2239.6
2348 2454.9 2881.7
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
1
2 3 4 5 6 7 8
977.5
892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8
1192.2
1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5 1286

(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut



但式(8.11)仅仅拟合了间隔时间为周期长度点之 间的相关关系，序列还存在非季节趋势，相邻时 间点上的变量还存在相关关系，所以模型显然拟 ut 合不足，u t 不仅是非白噪声序列而且非平稳， 如满足以下的模型 (1 B)ut (1 1B) t (8.12) 式(8.12)拟合了序列滞后期为一期的时间点之间 的相关， at 为白噪声序列，将式(8.12)代入式 (8.11)，则得到模型一。




季节指数反映了该季度与总平均值之间 的一种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值 常常会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
例1 季节指数的计算
季节指数图
二、综合分析

常用综合分析模型

模型二 (8.13)
(1 B12 ) X t (1 1B)(1 12 B12 ) t

模型(8.13)也是由两个模型组合而成，一个是 (8.14)
(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut

它刻画了不同年份同月的资料之间的相关关系，但是又 有欠拟合存在，因为 u t 不是白噪声序列。如果 u t 满足 以下MA（1）的模型，则
第八章 季节性时间序列模型
第一节 第二节 第三节 第四节
季节指数 综合分析 X11过程 随机季节差分
【例】以北京市1995年——2000年月平均 气温序列为例，介绍季节性时间序列模 型的基本思想和具体操作步骤。
时序图
一、季节指数

季节指数的概念

所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期 内各时期季节性影响的相对数

(8.9)
(B)U (BS )d S D X t (B)V (BS )t

其中，
U (BS ) 1 1BS 2 B2S …-k BkS
V (BS ) 1 H1BS H2B2S …-HmBmS
(B) 1 1B … p B p
(B) 11B …q Bq
三、常见的随机季节模型

为了读者学习起来方便，这里列举几个常见的 随机季节模型，并简介其生成的过程。 在实际问题中，季节性时间序列所含有的成分 不同，记忆性长度各异，因而模型形式也是多 种多样的。这里以季节周期S=12为例，介绍几 种常见的季节模型。



模型一
(8.10)
(1 B)(1 B12 ) X t (1 1B)(1 12 B12 ) t


表4.1 单变量时间序列观测数据表

例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。



二、季节时间序列的重要特征 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。 例如，图4.16的数据是1993年1月到2000年12月的中国 社会消费品月销售总额。

加法模型
xt Tt St I t

乘法模型
xt Tt S t I t

混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
月份
对1993年——2000年中国社会消费品零售
总额序列进行确定性时序分析
ut (1 1B) t (8.15) 将式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。
4.3 季节性检验和季节模型的建立

检验一个时间序列是否具有季节性是十分必要的，如果一个时间序列季 节性显著，那么拟合适应的季节时间序列模型是合理的，否则会有欠拟 合之嫌。如果不是一个具有显著季节性的时间序列，即使是一个月度数 据资料，也不应该拟合季节性时间序列模型。下面我们讨论如何识别一 个时间序列的季节性。 一、季节性时间序列自相关函数和偏自相关函数的检验 根据Box-Jenkins的建模方法，自相关函数和偏自相关函数的特征是识 别非季节性时间序列的工具。从第七章第二节的讨论已经看到季节性时 间序列模型实际上是一种特殊的ARIMA模型，不同的是它的系数是稀疏 的，即部分系数为零，所以对于乘积季节模型的阶数识别，基本上可以 采用Box-Jenkins的方法，考察序列样本自相关函数和偏自相关函数， 从而对季节性进行检验。
4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 SALES

图4.16 1993年1月—2000年12月的中国社会消费品月销售总
额

当然影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，还存在趋势 变动和不规则变动等。我们研究季节性时间序列的目的就是分解影 响经济指标变量的季节因素、趋势因素和不规则因素，据以了解它 们对经济的影响。
1602.2
1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1
1909.1
1911.2 1860.1 1854.8 1898.3 1966 1888.7 1916.4
2288.5
2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4

模型(8.10)先对时间序列 X t 做双重差分，移动 平均算子由 (1 12 B12 ) 和 (1 1B) 两个因子构 成，该模型是交叉乘积模 型 ARIMA(0,1,1) (0,1,1) 。实际上该模型是由两 个模型组合而成。由于序列存在季节趋势，故先 对序列进行季节差分 12 (1 B12 ) ，差分后的序 列是一阶季节移动平均模型，则

季节模型
xij x S j Iij
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季节指数的计算

计算周期内各期平均数
xk
x
i 1
n
ik

计算总平均数
x
n
, k 1,2, , m
x
i 1 k 1
n
m
ik

计算季节指数
nm
xk Sk x
, k 1,2,, m
季节指数的理解
(5)残差检验
xt ˆ Tt I t ˆ S
t
(6)短期预测
ˆ T ˆ ˆt (l ) S x t l t l
三、X-11过程

简介

X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过 程。它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法

因素分解


长期趋势起伏 季节波动 不规则波动 交易日影响
xt Tt St I t
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
§第四节 季节时间序列模型

4.1季节时间序列的重要特征 一、季节时间序列表示 许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的 季度序列在夏季最高，序列在每年都会重复这一现象。相应的周期 为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月 和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西 方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故； 在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的 端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况的季节周期都是12个月。由 上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期 变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我 们称这类序列为季节性序列。单变量的时间序列为了分析方便，可 以编制成一个二维的表格，其中一维表示周期，另一维表示某个周 期的一个观测值，如表8.1所示。
d (1 B)d
D S (1 BS )D

称式(8.9)为乘积季节模型，记为ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 。 如果将模型的AR因子和MA因子分别展开，可以得到类似 的 ARIMA(kS+p,mS+q) ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 模型，不同的是模型的系数在某 些阶为零，故 是疏系数模型或 子集模型。
2549.5
2306.4 2279.7 2252.7 2265.2 2326 2286.1 2314.6
2662.1
2538.4 2403.1 2356.8 2364 2428.8 2380.3 2410.9
2774.7
2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636
9
10 11 12

同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为 S D S (1 B ) X (1 B )t 或 Wt t 1 t s t 1 (8.7) 推广之，季节性的SARIMA为

U (BS )(1 BS )D X t V (BS )t
Байду номын сангаас


(8.8) 其中，
U (BS ) 1 1BS 2 B2S …-k BkS
1
2 3 4 5 6
0.982
0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
7
8 9 10 11 12
0.929
0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
xt Tt I t ˆ S
t
(4)拟合长期趋势
ˆ 1015 T .522 20.93178 t t
2743.9 2781.5 3405.7
2854
3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型

长期递增趋势和以年为固定周期的季节 波动同时作用于该序列，因而尝试使用 混合模型（b）拟合该序列的发展
xt S t (Tt I t )
(3)计算季节指数
月份 季节指数 月份 季节指数
加法模型 乘法模型
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模型

方法特色

普遍采用移动平均的方法


用多次短期中心移动平均消除随机波动 用周期移动平均消除趋势 用交易周期移动平均消除交易日影响
例2 续


对1993年——2000年中国社会消费品零 售总额序列使用X-11过程进行季节调整 选择模型（无交易日影响）
V (B ) 1 H1B H2B …-HmB
S S 2S
mS


二、乘积季节模型 式(8.8)的季节性SARIMA模型中，我们假定是 a t 白噪声 序列，值得注意的是实际中 a t 不一定是白噪声序列。因 为式(8.8)的模型中季节差分仅仅消除了时间序列的季节 成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期 点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势， 相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以， aARIMA 模型可能有一定的拟合不足，如果假设 是 t （p,d,q）模型，则式(8.8)可以改为
4.2 季节时间序列模型




一、随机季节模型 季节性随机时间序列时间间隔为周期长度S的两个时间点上 的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列 X t 与 X t 12 有 表现出周期相关，比如对于月度数据，S=12， 相关关系，于是我们可以利用这种周期相关性在 X t 与 X t 12 之间进行拟合。 S D (1 B ) 设一个季节性时间序列{ X t }通过D阶的季节差分 后为一平稳时间序列 Wt ，即 Wt (1 BS )D X t ，则一阶自 回归季节模型为 S (1 B )Wt t Wt 1Wt S t 1 或 (8.5) 其中， t 为白噪声序列。将 Wt (1 BS )D X t 代入式（8.5）， 得 (1 BS )(1 BS )D X (8.6) 1 t t