数值分析思考题8讲课稿

数值分析思考题8

数值分析思考题8

1、 简述一般插值型求积公式的积分原理。Newton-Cotes 求积公

式为什么没有Gauss 型求积公式代数精度高？

给定一组节点a ≤x0

I n =,系数A k =

，l k (x)为插值基函数。余项为

R[f]=

。如果求积公式为插值型，对于不超过n 的

多项式f(x)，其余项R[f]等于0，这是求积公式至少具有n 次代数精度。

高斯型求积公式的节点是经过适当选取的，具有2n+1次代数精度,因此精度也比Newton-Cotes 求积公式的n 次（n 为偶数则为n+1）次代数精度高。

2、 梯形法与两个节点的Gauss 型方法哪个更精确？证明

Simpson 方法的代数精度为3。 两个节点的Gauss 型方法更加精确。 Simpson 公式：

将f(x)=x 3代入得到S=I,因此具有三次代数精度。 将f(x)=x 4代入得到S=

，通常情况下S 不等于

I ，因此不具有四次代数精度。

3、确定下列数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。

（1）101()()(0)()h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；

A -1=A 1=, A 0=

（2）1234()()()'()'()b

a f x dx w f a w f

b w f a w f b ≈+++⎰。 w 1=w 2= w 3=w 4=

3、 分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算1

1x

x

e dx e +⎰的数值积分，误差不超过310- 精确值为0.620115. 复化梯形公式：T n =

取h=(b-a)/2得，T n =0.618994 取h=(b-a)/4得，T n =0.619836

取h=(b-a)/8得，T n =0.620045, 满足精度要求。 复化Simpson 公式：

S n =

取h=(b-a)/2得，T n =0.620116，满足精度要求。

4、 分别用Romberg 算法和Gauss 型求积公式计算4

11dx x

⎰的数

值积分。 Romberg 算法： k h

0 b-a

1.875000 1 1.537500 1.425000 2

1.428090 1.391620 1.389395

1.398572

1.388732

1.388539

1.388525

求得近似值

Gauss型：令,得到原式≈