运筹学图与网络问题

用带箭头的线来表示人们之间 的关系：
赵
孙
周
陈
钱
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李
吴
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一、图与网络模型介绍
2、相关概念 （1）点、边、弧 （2）无向图、有向图 （3）链、圈、连通图 （4）路、回路 （5）权、网络
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图与网络问题
第十一章 图与网络模型
一、图与网络模型介绍 二、最短路问题 三、最小生成树问题 四、最大流问题
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图与网络问题
一、图与网络模型介绍
3、A≠Ø
4、s47=l4+c47=19+2=21 s67=l6+c67=17+6=23 Mipnagsei2j2=s47,永久标号：v7=（sij,i）=（21，4）
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v2（13，3）
17
15
2、确定已标号点集I，未标号点集
J，找出弧集A={（vi,vj）|vi I，
1 vjJ}
3、如果弧集A=空集，那么如果vt
已标号，则结束，如果vt未标号则
v5
说明不存在从v1到vt的路。否则， 如果弧集A≠空集，转4
4、对A中的弧，计算sij=li+cij,
从中找出值最小的弧，给此弧标号为
（sij，i）
图与网络问题
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点、边、弧
图与网络问题
点——用于表示各种事物，一般用V表示
一个图中往往有多个点，一般用v1、v2、…表示。 一个图中所有的n个点构成点集V={v1、v2、…、vn} 边——用于描述事物间关系的线，一般用E表示。 一个图中往往有多个边，一般用e1、e2、…表示。 一个图中所有的n条边构成边集E={e1、e2、…、en} 弧——带有箭头的线，一般用A表示。一个图中 的n条弧，一般用a1、a2、…表示。一个图中所有 的n条边构成边集A={a1、a2、…、an}
图与网络问题
v7
v1
3
（0，s）
10
v4 4
v3 （10，1）
s35=l3+c35=10+5=15
5 （15v，5 3）
2
6 v6
K=3
2、I={v1, v2, v3}，J={v4,v5,v6,v7}，A={(v2, v7)，(v2, v4)，(v3, v5)}
3、A≠Ø
4、s27=l2+c27=13+17=30
网络：我们称赋了权的有向图D为网络。
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二、最短路问题
图与网络问题
最短路问题是对一个赋权的有向图D中的
指定的两个点vs到vt找到一条从vs到vt的路， 使得这条路上所有弧的权数的总和最小，
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图与网络问题
例2 电线公司准备在甲乙两地沿路
架设一条光缆线，问如何架设使其
光缆线路最短。两地交通图如下：
v2
15
（甲）v1
3
10 v3
17
6 2
v4 4
5
v5
2
v7（乙） 6
v6
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权、网络
图与网络问题
权：当无向图G的每一条边（vi，vj） ，或 有向图D的每一条弧（v’i，vj’）上都相 应地有一个数来进一步说明点与点之间的
关系，那么这样的数我们可以称之为权， 记为wij。给无向图G或有向图D添加权的 过程，通常称为赋权。
s54=19
K=5
2、I={v1, v2, v3,v5,v6}，J={v4,v7}，A={(v2, v7)，(v2, v4)，(v5, v4), (v6, v7)}
3、A≠Ø
4、s67=l6+c67=17+6=23
Minsij=s24=s54,
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永久标号：v4=（sij,i）=（19，2）或（19，5）Wu
V={v1，v2，…，v6}
A={(v1,v2) ，(v1,v4)，
1
(v1,v3),(v2,v6), (v4,v2), (v4,v6),
(v3,v5),(v3,v5), (v5,v4), (v5,v6) }
cij表示vi到vj的权
v3
5
v5
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1、引例
一群人之间存在错综的关系：赵、钱、孙、 李、周。赵与钱相互认识、与孙也相互认 识；钱与孙相互认识、孙与李相互认识。 他们与周都不认识。
如何清晰的表示这些人之间的关系呢？
当人数更多、人们间相互关系更复杂时， 该怎样描述人们间的关系？
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6
2
v1 （0，s）
10
3 （/(1199，，v425）) 4
v3 （10，1）
5 （15v，5 3）
2
V1到v7的最短路长为21，最短路径是
v1 → v3 → v2 → v4 → v7
图与网络问题
v7 （21，4） 6
v6 （17，5）
v1 → v3 → v5 → v4 → v7
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路：在有向图D中，如果存在一个点、弧 交错序列： （v1、a1、v2、a2、…、vn）, 其中边ai的起点是vi，终点是vi+1，即ai= （vi，vi+1），则称这条点、弧交错序列为 联结v1，vn的一条路。
回路：如果路的第一个点和最后一个点相 同，则称这条路为回路。
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赵
孙
周
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陈
钱
李
吴
如果我们将上面的例子中人们之间的关系由“相互认识” 改变成“认识”，如赵和周之间的关系是，周认识赵而赵 不认识周，这时我们如何表达人们之间的这种关系呢？
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图与网络问题
3、A≠Ø
4、s32=l3+c32=10+3=13
s35=l3+c35=10+5=15
Minsij=s32,永久标号：v2=（sij,i）=（13，3）
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v2（13，3）
15
6
17 2
59
41
30
22
vs
16 v1 16 v2 17 v3 17
v4 18
vt
22
23
23
30
31
41
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图与网络问题
例1 求下图中v1到v6的最短路
v2
3 2
v1
5
1 2
7
5 v4
3
v6 有向图D=（V，A），
圈：如果一条链（v1、e1、v2、e2、…、vn）中， v1=vn，则称之为圈
连通图：
对一个无向图G，若任何两个不同的点之间，至少 存在一条链，则称G为连通图
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路、回路
图与网络问题
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v2（13，3）
15
6
17 2
图与网络问题
v7
v1 （0，s）
10
3 （/(1199，，v425）) 4
v3 （10，1）
5 （15v，5 3）
2
6
v6 （17，5）
s27=30 s24=19
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无向图、有向图
图与网络问题
无向图：由点和边构成的图，简称“图”， 一般用G表示。G=（V，E），V是图G的 点集，E是图G的边集。
有向图：由点和弧构成的图，一般用D表 示。D=（V，A），V是图D的点集，A是 图D的弧集。
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图与网络问题
例1 求下图中v1到v6的最短路
v2
7
3
2
5
v1
5
v4
1
3
2
双标号（sijv，3 i）中s5ij表示 由vi到vj的最短路长， i表示 vi到vj的最短路上，此点前 一个pag点e 1的5 下角标。
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v6
v1到vt的最短路步骤： 1、给起点v1标号（0，s）
这条路被称为从vs到vt的最短路，这条路 上所有弧的权数的总和被称之为从vs到vt 的距离。
如下图，找出从v1到v4的最短路
4
v2
5
v1
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2
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1
v4
v3
9
Wu
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图与网络问题
对下图，找出从vs到vt的最短路
s24=l2+c24=13+6=19
Minsij=s35,永久标号：v5=（sij,i）=（15，3）
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Wu
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v2（13，3）
15
6
17 2
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v7
v1
3
v4
6
（0，s） 10
4
v3
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v2（13，3）
15
6
17 2
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v7 （21，4）
v1 （0，s）
10
3 （/(1199，，v425）) 4
v3 （10，1）
5 （15v，5 3）
2
6
v6 （17，5）
s27=30
K=6
2、I={v1, v2, v3, v4,v5,v6}，J={v7}，A={(v2, v7) ，(v4, v7) ，(v6, v7)}
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一群人之间存在错综的关系：赵、钱、孙、李、周。 赵与钱相互认识、与孙也相互认识；钱与孙相互认 识、孙与李相互认识。他们与周都不认识。
钱
赵
孙
李
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周
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链、圈、连通图
图与网络问题
链：对于无向图G来说，如果存在一个点、边交错 序列（v1、e1、v2、e2、…、vn）,其中边ei的起点 是vi，终点是vi+1，即ei=（vi，vi+1），则称这条点、 边交错序列为联结v1，vn的链。
s27=l2+c（271=01，3+11）7=30
5
（15v，5 3）
2
s24=l2+c24=13+ 6=19
v6 （17，5）
K=4
2、I={v1, v2, v3,v5}，J={v4,v6,v7}，A={(v2, v7)，(v2, v4)，(v5, v4), (v5, v6)}
3、A≠Ø
4、s54=l5+c54=15+4=19 s56=l5+c56=15+2=17 Minsij=s56,永久标号：v6=（sij,i）=（17，5）
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图与网络问题
v2
17
v7
15
6
2
v1
3
v4
6
（0，s） 10
4
v3 （10，1）
5
v5
2
v6
1、 永久标号：v1（0，s）
K=1
2、I={v1}，J={v2,v3,v4,v5,v6,v7}，A={(v1, v2)，(v1, v3)} 3、A≠Ø
4、s12=l1+c12=0+15=15 s13=l1+c13=0+10=10 Minsij=s13,永久标号：v3=（sij,i）=（10，1）
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v2（13，3）
15
6
17 2
图与网络问题
v7
v1
3
v4
6
（0，s） 10
4
v3 （10，1）
5
v5
2
v6
s12=l1+c12=0+15=15
K=2
2、I={v1,v3}，J={v2, v4,v5,v6,v7}，A={(v1, v2)，(v3, v2)，(v3, v5)}