高考数学模拟试题及答案

高考数学模拟试题及答案(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |3x <x ＋4}，B ＝{x |x 2－8x ＋7<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－1，2) B.(2，7) C.(2，＋∞)D.(1，2)解析 由题意知，A ＝{x |x <2}，B ＝{x |1<x <7}，则A ∩B ＝{x |1<x <2}.故选D. 答案 D2.若i 为虚数单位，网格纸上的小正方形的边长为1，图中复平面内的点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是( )A.EB.FC.GD.H解析 由题意知z ＝－1＋i ，所以2i z ＝2i －1＋i ＝2i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝i(－1－i)＝1－i ，在复平面内的对应点为G .故选C. 答案 C3.《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍寰，底面ABCD 为矩形，且EF ∥底面ABCD ，EF 到平面ABCD 的距离为h ，BC ＝a ，AB ＝b ，EF ＝c ，则V B －CDEF V E －ABD ＝2时，bc＝( )A.12 B.32C.23D.1解析 因为V B －CDEFV E －ABD＝2，所以V B －CDEF ＝2V E －ABD ，又V B －CDEF ＝V B －EFD ＋V B －CFD ，且V E －ABD ＝V B －CFD ，∴V B －EFD＝V B －CFD ，∴S △EFD ＝S △CFD ，∴EF ＝CD ，b ＝c .故选D. 答案 D4.在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属于在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有( ) A.12种B.24种C.36种D.72种解析 先将医生分为三组，再进行排列，则不同的分配方案总数为C 24A 33＝36(种).故选C. 答案 C5.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分值高者为优).根据测验情况绘制了如图的六大素养指标雷达图，则下列叙述正确的是( )A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析素养最差 解析 由雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲 4 5 4 5 4 5 乙343354由上表可知应选C. 答案 C6.已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM →＝λCB →，若MA →·BC →≥MB →·MC →，则实数λ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2解析 设点M (x ，y )，由CM →＝λCB →，得(x －1，y )＝λ(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－λ，y ＝λ ①.因为MA →·BC →≥MB →·MC →，所以(1－x ，1－y )·(1，－1)≥(－x ，1－y )·(1－x ，－y )，所以1－x －1＋y ≥－x ＋x 2－y ＋y 2，化简得x 2＋y 2－2y ≤0 ②.将①代入②，得(1－λ)2＋λ2－2λ≤0，即2λ2－4λ＋1≤0，解得1－22≤λ≤1＋22.因为M 为线段BC 上一点，且CM →＝λCB →，所以0≤λ≤1.综上，可知1－22≤λ≤1.故实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1. 答案 C7.已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解析 f (x )＝x 24＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝x24＋cos x .所以f ′(x )＝x2－sin x 是奇函数，排除B ，D. 令h (x )＝x 2－sin x ，得h ′(x )＝12－cos x ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3时，cos x >12，所以h ′(x )<0，故函数y ＝f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3上是减函数，A 项正确. 答案 A8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且|PF 1|－|PF 2|＝2b .设C 的离心率为e ，则e 2＝( ) A.1＋32B.1＋52C. 3D. 5解析 由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，过第一象限的渐近线方程为y ＝ba x ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b a x ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，所以P (a ，b ).因为|PF 1|－|PF 2|＝2b ，所以（a ＋c ）2＋b 2－（a －c ）2＋b 2＝2b ，结合b 2＝c 2－a 2，整理得c 4－a 2c 2－a 4＝0，所以e 4－e 2－1＝0，所以e 2＝1±52.因为e ＞1，所以e 2＝1＋52.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，则( )A.双曲线C 的离心率等于半焦距的长B.双曲线y 2－x 24＝1与双曲线C 有相同的渐近线C.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2D.直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2解析 双曲线C ：x 2－y 24＝1的焦点在x 轴上，且a ＝1，b ＝2，c ＝5，渐近线方程为y ＝±2x .对于A ，双曲线C 的离心率为c a ＝5，故A 正确；对于B ，双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，与双曲线C 的渐近线不相同，故B 错误；对于C ，双曲线C 的焦点到渐近线的距离为d ＝2，故C 正确；对于D ，直线y ＝kx ＋b 与双曲线C 的公共点个数可能为0，1，2，故D 正确.故选ACD. 答案 ACD10.将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列结论正确的是( ) A.g ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝1B.g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，3π4上单调递减C.直线x ＝－π12是g (x )的图象的一条对称轴D.⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是g (x )图象的一个对称中心解析 由题意可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.对于A ，因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12－π3＝sin π2＝1，故A 正确；对于B ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，3π4时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，7π6，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，3π4上单调递减，故B 正确；对于C ，法一 当x ＝－π12时，2x －π3＝－π2，所以直线x ＝－π12是g (x )图象的一条对称轴，故C 正确；法二 令2x －π3＝π2＋kx (k ∈Z )，则x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，x ＝－π12，所以直线x ＝－π12是g (x )图象的一条对称轴，故C 正确；对于D ，法一 当x ＝π8时，2x －π3＝－π12，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0不是g (x )图象的一个对称中心，故D 错误.故选ABC.法二 令2x －π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，则g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0不是g (x )图象的一个对称中心，故D 错误.故选ABC.答案 ABC11.已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题正确的是( ) A.若a >0，b >0，则a ＋b ≥2ab B.若a ＋b ≥2ab ，则a >0，b >0 C.若a ≠b ，则a ＋b >2ab D.若a ＋b >2ab ，则a ≠b解析 对于A ，由基本不等式可知，若a >0，b >0，则a ＋b2≥ab ，故A 正确；对于B ，由ab有意义可得a ，b 不可能异号，结合a ＋b2≥ab 可得a ，b 不会同为负值，故可得a >0，b >0，故正确；对于C ，若a ＝－1，b ＝2，则2ab 无意义，故错误；对于D ，由a ＋b >2ab 平方可得(a －b )2>0，显然可得a ≠b ，故正确.故选ABD. 答案 ABD12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3为等比数列B.{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1－3C.{a n }为递增数列D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4 解析 因为1a n ＋1＝2＋3a n a n ＝2a n ＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3，又1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；1a n ＋3＝4×2n －1，所以a n ＝12n ＋1－3，故B 正确；由选项B 可知{a n }为递减数列，故C 错误；⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝2×(21＋22＋ (2))－3n ＝2×2×（1－2n）1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4，故D 正确.故选ABD.答案 ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为________.解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，∴抛物线上的点到焦点的距离为1的点只有原点，共1个. 答案 114.已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝________.解析 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α).由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，故9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19.答案 －1915.随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝0.2，D (X )＝0.4，则P (X ＝1)＝________；若Y ＝2X ，则D (Y )＝________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 设P (X ＝1)＝x ，则P (X ＝2)＝0.8－x ，0<x <0.8.∴E (X )＝0×0.2＋x ＋2(0.8－x )＝1.6－x ，D (X )＝(x －1.6)2×0.2＋(x －0.6)2x ＋(x ＋0.4)2(0.8－x )＝0.4.整理，得x 2－0.2x －0.24＝0，解得x ＝0.6或x ＝－0.4(舍去).∴P (X ＝1)＝0.6.由题意易得，D (Y )＝D (2X )＝4D (X )＝1.6. 答案 0.6 1.616.在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B与点C 重合于点P ，若∠APD ＝150°，则三棱锥M －PAD 的外接球的表面积为________. 解析 由题意可知，MP ⊥PA ，MP ⊥PD .因为PA ∩PD ＝P ，PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD .设△ADP 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得ADsin ∠APD ＝2r ，即4sin 150°＝2r ，所以r ＝4.设三棱锥M －PAD 的外接球的半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PM 22＋r 2＝1＋16＝17.所以外接球的表面积为4πR 2＝68π. 答案 68π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)在条件①2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ，②c sinB ＋C2＝a sin C ，③(sinB －sinC )2＝sin 2A －sin B sin C 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝7，b －c ＝2，________.求BC 边上的高.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选①.由题设及正弦定理得2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝sin A ，即 2cos A sin(B ＋C )＝sin A .因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos A sin A ＝sin A ， 又因为sin A ≠0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－bc ＝7，联立⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2－bc ＝7，b －c ＝2，化简得c 2＋2c －3＝0.所以c ＝－3(舍去)或c ＝1. 所以b ＝3.设BC 边上的高为h ，所以12bc sin A ＝12ah ，所以h ＝32114.若选②.由题设及正弦定理得sin C sin B ＋C2＝sin A sin C ，因为sin C ≠0，所以sinB ＋C2＝sin A ，由A ＋B ＋C ＝π，可得sinB ＋C2＝cos A2，故cos A 2＝2sin A 2cos A2.因为cos A 2≠0，所以sin A 2＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3.下同选①.若选③.由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又因为0<A <π，所以A ＝π3.下同选①.18.(本小题满分12分)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2n ，a n ，2S n －a n 成等差数列(n ∈N *). (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . (1)证明 由2n ，a n ，2S n －a n 成等差数列， 得2a n ＝2n ＋2S n －a n ，即3a n ＝2n ＋2S n .① 所以当n ＝1时，3a 1＝2＋2a 1，所以a 1＝2. 又由①得3a n ＋1＝2(n ＋1)＋2S n ＋1，② 所以②－①得3a n ＋1－3a n ＝2＋2a n ＋1， 即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1). 当n ＝1时，a 1＋1＝3，则a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列{a n ＋1}的通项公式为a n ＋1＝3n， 所以a n ＝3n－1.(2)解 由(1)得b n ＝3n（3n －1）（3n ＋1－1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－132－1＋132－1－…－13n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－13n ＋1－1＝14－12（3n ＋1－1）.19.(本小题满分12分)某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，于2019年元旦期间90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表.(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖的概率为p (每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X (元)的分布列并求其数学期望.附参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：解 (1)2×2列联表如下：K 2＝90×（12×20－40×18）52×38×30×60＝1 440247≈5.83>3.841，因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关. (2)X 的所有可能取值为65，70，75，80， 且p ＝10＋2090＝13.P (X ＝65)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127， P (X ＝70)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29，P (X ＝75)＝C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (X ＝80)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，X 的分布列为X 65 70 75 80 P127 2949827E (X )＝65×127＋70×29＋75×49＋80×827＝75.20.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点.(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. (1)证明 连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， 所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0，0，23)，B (3，1，0)，B 1(3，3，23)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，32，23，C (0，2，0). 因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1，0). 由EF →·BC →＝0，得EF ⊥BC .(2)解 设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC →＝(－3，1，0)，A 1C →＝(0，2，－23).设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1，3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →|·|n |＝45， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos θ＝35. 因此直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 21.(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.解 (1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝eln x －ax (x ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.(1)解 f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0；当x >e a 时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减. 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减. (2)证明 法一 因为x >0，所以只需证f (x )≤e xx－2e ， 当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (1)＝－e.记g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝（x －1）e x x2， 所以当0<x <1时，g ′(x )<0，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增.所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x－2e ，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0. 法二 由题意知，即证e x ln x －e x 2－e x ＋2e x ≤0，从而等价于ln x －x ＋2≤e x e x. 设函数g (x )＝ln x －x ＋2，则g ′(x )＝1x－1. 所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0， 故g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1.设函数h (x )＝e x e x ，则h ′(x )＝e x （x －1）e x 2. 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1.综上，当x >0时，g (x )≤h (x )，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.。