高三考前指导练习

考前指导2练习班级姓名座号立几

概率

三角

解几

（本题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

2，以椭圆C 的左顶点

T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆

C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；

（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；

3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线

,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原

点，求证：OR OS ⋅为定值．

T S R

N

M

P

y

x

O

变：己知a ∈R ，函数2()21.f x ax nx =-．求()f x 的单调区间（见5月25日：2014学年度高三校模拟考理科数学）

考前指导2练习参考答案立几

概率

三角

解几（本题满分14分）解：（1）依题意，得2a =，3

2

c e a =

=

，1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为

2

214

x y += ． …3分 （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，

),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以4

12

12

1x

y -=． （*） …4分

由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，

2

1

211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴

344

5)41()2(12

12

12

1++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．………6分

由于221<<-x ，故当581-

=x 时，TM TN ⋅取得最小值为1

5

-． 由（*）式，531=y ，故83(,)55

M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到2

1325r =．

故圆T 的方程为：22

13(2)25

x y ++=． …………………8分

方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则

)

sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM 3c o s 8c o s 5s i n )2c o s 2(22

2++=-+=θθθθ51)54(c o s 52-+=θ

．……6分 故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83

(,)55M -，

又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：22

13(2)25

x y ++=． …8分

(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(01

01

00x x x x y y y y ---=

-，

令0y =，得101001y y y x y x x R --=

， 同理：1

01

001y y y x y x x S ++=， …………10分

T S R

N

M

P

y x

O

故2

1

2

02

1

202021y y y x y x x x S R --=

⋅ （**） ………………11分

又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42

02

0y x -=，)1(42

12

1y x -=，……………………12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(42

1

2

02

1202

1

2

02

1

202021=--=

----=

⋅y y y y y y y y y y x x S R ．

所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．……………………14分

方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中

θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθ

αθ

αα---=

-x y ，

令0y =，得θ

αθαθαsin sin )

sin cos cos (sin 2--=

R x ，

同理：θ

αθαθαsin sin )

sin cos cos (sin 2++=S x ，………………12分

故4sin sin )

sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=

⋅θ

αθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．…………14分

导数