生物统计学第三章概率论
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生物统计学第三章 概率和概率分布(2)
的第x 1项，所以有“二项分布”这个名称。
0 0 1 1 x x n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cn (1 )nx Cn (1 )0
x x （2） P(x) Cn (1 )nx [ (1 )]n 1n 1 x 0 x 0
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或 样本含量）
x : 在n次试验中事件A出现的次数，即二项分布变量X 的取值
: 事件A发生的概率 (每次试验都是恒定的 )
1 － : 事件A发生的概率
p(x) : X的概率函数即P(X x)
F( x) P(X x) p(xi )
2014-4-21
二项分布的程序计算方法
二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true） 某数阶乘的计算函数Fact 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排 列组合数C n m 计算函数Combin（m，n）
2014-4-21
二、 泊松分布 （Poisson Distribution）
2014-4-21
二项分布
（实例）
【例】已知 100 件产品中有 5 件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则根据二项分 布公式有
P X 2 C32 (0.05)2 (0.95)32 0.007125
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。
生物统计学课件1、概率及概率分布
04
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
生物统计学3 概率定义
5.3. 乘法定理
设 P ( A) 0, 则有 P ( AB ) P ( B A) P ( A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB ) 0, 则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
Exer6-1.19 注：生物学问题中，还可以根据实验条件及生物学知识判断 事件的独立性。如发烧和白细胞增多不独立，长疖子和患胃 病相互独立
5.4 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1 , A2 , , An 为 E 的一组事件, 若 Ai A j , i, j 1,2,则称 A1 , A2 , , An 为样本空间 的一个划分.
m M nm N M n N
将N=30，M =8，n =10，m =2代入 上式，得
C .C p（A） C
2 8 10 2 308 10 30
= 0.0695
即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这 群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有2头曾有流 产史的概率为6.95%。
例 ： 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面4个 数全不相同的概率.(设后面4个数中的每一个数都 等可能地取自0,1.2,…,8,9).
3、试验的所有可能结果两两互不相容。
具有上述特征的随机试验，称为古典概型
（classical model）。对于古典概型，概率 的定义如下： 设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构 成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A
的概率为m/n，即
P（A）=m/n (4-2)
生物统计学03概率和概率分布
e
−λ
(λ = np)
x = 0, 1, 2…, n
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 参数 参数:
µ= λ
2 = λ σ
☆ 形状
λ=0.5 λ=1.5 λ=2.5
λ→20
泊松分布→正态分布 泊松分布 正态分布
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
☆ 是一种连续随机变量的概率分布 ☆ 许多生物现象的计量资料均服从正态分布 ☆ 一般假定试验误差的分布服从正态分布 ☆ 非正态总体统计数的抽样分布近似服从正态分布
☆当 p 值较小且 n 值不
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 3 5 7
p=0.3
p=0.5
p=0.75
大时， 大时，图形是偏倚的
☆当 p 值趋于 时，分 值趋于0.5时
布趋于对称
9
11
13
15
17
19
21
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 概率函数
P( x ) =
λ
x
x!
第二节 常用的概率分布
随机抽取20株小麦 测得平均株高为82.3cm，标准差为 株小麦， cm， 例3.4 随机抽取 株小麦，测得平均株高为 cm 1.7502cm，试计算： cm，试计算： cm 1）株高≥85cm的概率； 的概率； 的概率 的正常值范围。 2）小麦株高的95%的正常值范围。 小麦株高的 的正常值范围
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
1. 概率函数
f (x) = 1
− ( x−µ)2 2σ 2
σ 2 π
e
记为x～ 记为 ～N(µ,σ2)
第二节 常用的概率分布
2. 正态曲线的特点
概率论在生物统计学中的应用
概率论在生物统计学中的应用概率论是数学中的一个分支，研究的是事件发生的可能性。
在生物统计学中，概率论起到了重要的作用。
通过运用概率论的方法，我们可以分析和解释生物数据的变异性，评估实验结果的可靠性以及进行生物学假设的检验。
本文将探讨概率论在生物统计学中的几个重要应用。
一、随机事件与概率在生物统计学中，许多生物学现象都表现为随机事件，比如基因突变、疾病发生等。
概率论通过定义事件的概率，可以帮助我们衡量这些随机事件的发生概率。
例如，在研究某种疾病的遗传机制时，我们可以利用概率论来计算某个基因突变在人群中的概率，从而判断该突变是否与疾病的发生有关。
二、概率分布与生物学数据分析在生物学研究中，我们常常需要对实验数据进行分析。
概率分布是一种用于描述随机变量的数学函数，通过概率分布，我们可以得到随机变量在不同取值下的概率。
例如，在研究某种药物的疗效时，我们可以利用正态分布来描述被试者的体重变化，从而评估该药物的疗效。
三、假设检验与生物统计学假设检验是生物统计学中常用的方法，它用于判断样本数据是否与假设相符。
概率论为假设检验提供了理论基础，通过计算得到的p值，我们可以判断样本数据是否支持某一假设。
例如，在临床试验中，我们可以利用假设检验来评估一种新药物的疗效，判断该药物是否优于对照组。
四、贝叶斯统计与生物信息学贝叶斯统计是一种基于概率论的统计学方法，它用于根据已有的数据和先验知识来更新对未来事件的概率分布。
在生物信息学中，贝叶斯统计广泛应用于基因组学、蛋白质学等领域。
例如，在基因组学研究中，我们可以利用贝叶斯统计来预测编码蛋白质的基因。
通过整合多种数据源，例如DNA序列、转录组数据等，我们可以计算出每个基因是编码蛋白质的概率，从而提高基因预测的准确性。
五、抽样与统计推断抽样是生物统计学中常用的方法，它通过从总体中选取一部分样本来估计总体参数。
概率论提供了抽样方法的理论基础，通过计算样本的均值、方差等统计量，我们可以推断总体的参数。
生物统计学第三章 统计推断PPT幻灯片
2.3.2 两个总体方差不相等
例3-5，测定冬小麦“东方红3号”的蛋白 质含量（%）10次，得到x1 14.3 s1 ，1.621 ； 测定“农大193”的蛋白质含量（%）5次， 得到 x2 11.7，s2 0.135。试检验两个小麦品 种的蛋白质含量是否有显著差异。
2.3.2 两个总体方差不相等
例3-2
例3-2，某罐头厂生产肉类罐头，其自动装 罐机在正常工作状态下每罐净重服从正态 分布N（500,82）（单位：g）。某日随机 抽查了10听罐头，测得结果为：505、512、 497、493、508、512、502、495、490、 510。请问装罐机工作是否正常？
① Minitab
在工作表中输入数据：
2.2 单样本平均数的t检验
② 6SQ统计插件
点击确定，即可得到结果：
2.2 单样本平均数的t检验
③ DPS
在工作表中输入数据，然后选择数据（不 选择标题行），然后点击菜单试验统计→ 单样本平均数检验：
2.2 单样本平均数的t检验
③ DPS
弹出菜单后，在输入总体平均数下面填入 4.5：
2.2 单样本平均数的t检验
异显著。
2 样本平均数的假设检验
2.1 单样本平均数的u检验
当正态总体方差σ2已知，检验样本平均数
x 所属总体平均数 与已知总体平均数 0
是否有显著差异时，可以用u检验（也称Z 检验）。
Байду номын сангаас
2.1 单样本平均数的u检验
例3-1，某渔场按照常规方法所育鲢鱼苗一 月龄的平均体长为7.25cm，标准差为 1.58cm。为了提高鱼苗质量，现采用一新 方法进行育苗，一月龄时随机抽取100尾 进行测量，测得其平均体长为7.65cm，试 问新方法与常规方法有无显著差异？
生物统计学课件--2概率的基本知识
A1 A2 An V
则有：
P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An) 1
1 如果n个事件出现的概率相等，那么， P ( Ai ) n
称Ai为完全事件系。
复习思考题
①什么概率论？什么叫统计学？两者的关系是什么？ ②什么是试验？ ③举例说明什么是必然事件、什么是随机事件？请说 明事件之间的关系。
④什么是概率？利用统计概率的定义说明概率的性质。
⑤什么是统计概率？要想了解随机事件的发生规律， 应如何进行研究？ ⑥试阐述“小概率实际不可能性”的原理及应用。 ⑦说明随机事件的概率计算法则。
第四章
第一节 随机变量
几种常见的概率分布
一、随机变量 在随机试验中被测量的量，称随机变量。 有时随机试验的结果为数量，有时随机试验的结果 不是数量，要人为地量化。
F ( x0) P( x), 其中，xx0
例：掷骰子试验，X为点数，是离散型随 机变量，其可能值为1、2、3、4、5、6， 若求出现的点数不多于3点的概率，则为 求 P( x 3) F (3)
P( x 1) P( x 2) P( x 3)
p(1) p(2) p(3)
方 差：2 = npq ，
标准差： =
npq
四、例1：
试求掷10次硬币，出现3次正面的概率是多少？ 解：掷硬币为随机试验，可能的结果有两种， A：正面向上；B：反面向上。 p = P（A）= 1/n =1/2 = 0.5，
q = 1- p = 0.5
则有：P（x=3）= p（3）
x C n p x
0.40 0.48
2、概率的性质 • 任何事件（A）的概率均满足：0≤P（A）≤1； • 必然事件的概率为1；
生物统计学 第三章 概率分布09
2
2 2
x
= 期望 2 = 方差
X ~ N(, 2)
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x)
正态曲线
x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
➢只有一个峰，峰值在x = 处 ➢曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中
位数 ➢x轴为曲线向左、右延伸的渐进线
P(x≥4)=1-P(x<4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)
1
30！0 e331 1!e3 Nhomakorabea32 2!
e3
33 3!
e3
=0.3528
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）
➢具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
f (x) 1 e[ (x )2 ]
第三章 常用概率分布
二项分布 普哇松分布 正态分布 抽样分布
离散型随机变量的概率分布
二项分布（binomial distribution）
假设：1. 在相同条件下进行了n次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（1或0） 3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的
在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2， ，n）服从二项分布，表示为
较大，顶部略低，尾部略高。自由度小的t 分布，更为明显。 n>30时， t 分布接近于标准正态分布； n>100时，t 分布基本与标准正态分布相同； n→∞时，t 分布与标准正态分布完全一致。 3. t 分布概率求法 可查P302 t 分布的双侧分位表。
例：df=4 双侧 t0.05=2.776 t0.01=4.604 单侧 t0.05=2.132 t0.01=3.747
第三章 概率和概率分布
三、概率分布
（一）离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量x 的统计规律，必须知道它 的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
1. 列出离散型随机变量X的所有可能取值. 2. 列出随机变量取这些值的概率. 3. 通常用下面的表格来表示:
表3.3 离散型变量的概率分布
变量(x) 概率(P) x1 p1 x2 p2 x3 p3 x4 p4 …….. ……. xn pn
Jocob Bernoulli（16541705年）:瑞士数学家
当实验次数足够多时，某一事件出现的频率与概率有较 大偏差的可能性很小
2、辛钦大数定律（Khinchine theorem）
设x1,x2,x3,…,xn是来自同一总体的变量， 对于任意小的正数ε 。
lim P{ x } 1
A3、…、An为完全事件系。
（二）概率的计算法则 1 互斥事件加法定理 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
2 独立事件乘法定理 事件A和事件B为独立事件，则事件A与事件B同 时发生的概率为各自概率的积。
n
Khinchine(1894~1959) 苏联数学家
只要从总体中抽取 的随机变量相当
多，就可以用样本的统计数来估计总体的
参数。
统计数
参数
样本容量越大，样本统计数与总体参数之差越小。
第二节 几种常见的理论分布
随机变量的分布可用分布函数来表述概率
二项分布
离散型变量
生物统计学课件ch3常用的概率分布
(2) 每次试验的条件不变。即每次试验中，结 果A发生的概率不变，均为 π 。
(3) 各次试验独立。即一次试验出现什么样的 结果与前面已出现的结果无关。
成功次数的概率分布——二项分布
• 例 设某毒理试验采用白鼠共3只，它们有 相同的死亡概率π，相应存活概率为1-π。记 试验后白鼠死亡的例数为X，分别求X＝0、 1、2和3的概率
35
30
25
人数
20
15
10
5
0
2.7~ 3.1~ 3.5~ 3.9~ 4.3~ 4.7~ 5.1~ 5.9~56..53~
血清总胆固醇（mmol/L）
如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组 成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。
大多数情况下，可采用一个函数拟合这 一光滑曲线。这种函数称为概率密度函数
把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局 的就拿3份呢？或者一人分一半呢？
频率与概率 frequency and probability
样本的实际发生率称为频率。设在相同条 件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f 次，则事件A出现的频率为f/n。
概率：随机事件发生的可能性大小，用大 写的P 表示；取值[0，1]。
p（X=xi） p(x1) p(x2) …… p(xk) ……
离散型随机变量分布的特点：
(1) 0 p(xi ) 1(i 1, 2,...)
(2) p(xi ) 1 所有xi
离散型随机变量的概率分布举例
f(x)
抗体滴度 人数, x 比例, f(x)
1:10
4
.058
1:20
3
.043
二项分布的概率计算
例 如 果 =0.4，
(3) 各次试验独立。即一次试验出现什么样的 结果与前面已出现的结果无关。
成功次数的概率分布——二项分布
• 例 设某毒理试验采用白鼠共3只，它们有 相同的死亡概率π，相应存活概率为1-π。记 试验后白鼠死亡的例数为X，分别求X＝0、 1、2和3的概率
35
30
25
人数
20
15
10
5
0
2.7~ 3.1~ 3.5~ 3.9~ 4.3~ 4.7~ 5.1~ 5.9~56..53~
血清总胆固醇（mmol/L）
如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组 成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。
大多数情况下，可采用一个函数拟合这 一光滑曲线。这种函数称为概率密度函数
把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局 的就拿3份呢？或者一人分一半呢？
频率与概率 frequency and probability
样本的实际发生率称为频率。设在相同条 件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f 次，则事件A出现的频率为f/n。
概率：随机事件发生的可能性大小，用大 写的P 表示；取值[0，1]。
p（X=xi） p(x1) p(x2) …… p(xk) ……
离散型随机变量分布的特点：
(1) 0 p(xi ) 1(i 1, 2,...)
(2) p(xi ) 1 所有xi
离散型随机变量的概率分布举例
f(x)
抗体滴度 人数, x 比例, f(x)
1:10
4
.058
1:20
3
.043
二项分布的概率计算
例 如 果 =0.4，
生物统计学答案第三章
第三章 几种常见的概率分布律3.1 有4对相互独立的等位基因自由组合，问有3个显性基因和5个隐性基因的组合有多少种？每种的概率是多少？这一类型总的概率是多少？答：代入二项分布概率函数，这里φ=1/2。
()75218.02565621562121!5!3!83835==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=p结论：共有56种，每种的概率为0.003 906 25(1/256 )，这一类型总的概率为 0.21875。
3.2 5对相互独立的等位基因间自由组合，表型共有多少种？它们的比如何？ 答：（1）543223455414143541431041431041435434143⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+表型共有1+5+10+10+5+1 = 32种。
（2）()()()()()()6976000.0024114165014.00241354143589087.002419104143107263.0024127104143105395.00241815414353237.0024124343554322345541322314==⎪⎭⎫⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫⎝⎛=隐隐显隐显隐显隐显显P P P P P P 它们的比为：243∶81(×5)∶27(×10)∶9(×10)∶3(×5)∶1 。
3.3 在辐射育种实验中，已知经过处理的单株至少发生一个有利突变的概率是φ，群体中至少出现一株有利突变单株的概率为P a ，问为了至少得到一株有利突变的单株，群体n 应多大？答： 已知φ为单株至少发生一个有利突变的概率，则1―φ为单株不发生一个有利突变的概率为：()()()()()φφφ--=-=--=-1lg 1lg 1lg 1lg 11a a an P n P n P3.4 根据以往的经验，用一般的方法治疗某疾病，其死亡率为40%，治愈率为60%。
生物统计学 第三章 概率论
2 3
即复合事件的概率必等于该事件出现的组合数目乘以
单个事件的概率；而这一复合事件的可能组合数目则相
当于从n(3)个物体中任取其x(2)个物体的组合数。数学上 的组合公式为：
n! C x!(n x)!
x n
（二）二项分布的概率函数
二项式中包含两项，这两项的概率为p、q，并且 p+q=1，可推知变量x的概率函数为：
0 2
• 若期望有0.99的概率获得1头或1头以上的 死去的，至少应该调查多少头？
• 若期望有0.99的概率获得1头或1头以上的 死去的，至少应该调查多少头？ 解：应调查的头数应该满足 P(0)=1-0.99=0.01 P(0)=Cn0p0qn=0.01 0.6n=0.01 nlg0.6=lg0.01 n=(lg0.01)/(lg0.6)=-2/(-0.222)=9头
抽取三粒种子(以Y代黄子叶，以G代青子叶)， 即n=3，有两粒黄子叶种子，即x=2，这时有3种不
同组合： GGY，GYG，YGG。出现第一粒，第二
粒和第三粒种子是互不影响的，因此这三个事件是 独立事件，由乘法法则可得：
3 3 1 9 P(GGY ) ( )( )( ) 4 4 4 64
3 1 3 9 P (GYG ) ( )( )( ) 4 4 4 64
当p=q，二项式分布呈对称状，如p≠q，则表现偏斜状。
二项分布的几点性质 (1) 当p值较小且n不大时 ，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布 逐渐趋于对称 (下图1) (2) 当 p 值趋于0.5，分布趋于对称(下图2) (3) 对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大 值，以后又下降 (4) 在n较大，np、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当 n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布
即复合事件的概率必等于该事件出现的组合数目乘以
单个事件的概率；而这一复合事件的可能组合数目则相
当于从n(3)个物体中任取其x(2)个物体的组合数。数学上 的组合公式为：
n! C x!(n x)!
x n
（二）二项分布的概率函数
二项式中包含两项，这两项的概率为p、q，并且 p+q=1，可推知变量x的概率函数为：
0 2
• 若期望有0.99的概率获得1头或1头以上的 死去的，至少应该调查多少头？
• 若期望有0.99的概率获得1头或1头以上的 死去的，至少应该调查多少头？ 解：应调查的头数应该满足 P(0)=1-0.99=0.01 P(0)=Cn0p0qn=0.01 0.6n=0.01 nlg0.6=lg0.01 n=(lg0.01)/(lg0.6)=-2/(-0.222)=9头
抽取三粒种子(以Y代黄子叶，以G代青子叶)， 即n=3，有两粒黄子叶种子，即x=2，这时有3种不
同组合： GGY，GYG，YGG。出现第一粒，第二
粒和第三粒种子是互不影响的，因此这三个事件是 独立事件，由乘法法则可得：
3 3 1 9 P(GGY ) ( )( )( ) 4 4 4 64
3 1 3 9 P (GYG ) ( )( )( ) 4 4 4 64
当p=q，二项式分布呈对称状，如p≠q，则表现偏斜状。
二项分布的几点性质 (1) 当p值较小且n不大时 ，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布 逐渐趋于对称 (下图1) (2) 当 p 值趋于0.5，分布趋于对称(下图2) (3) 对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大 值，以后又下降 (4) 在n较大，np、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当 n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布
第三章常用概率分布生物统计学课件
【例 3·2】 对 100 株树苗进行嫁接，观察 其成活株数，其可能结果是 “0 株成活”，“1 株成活”，……，“100 株成活”。 用x表示 成活株数，则x的取值为0、1、2、……、100。
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【例3·3】 抛掷一枚硬币，其可能结 果是“币值一面朝上” 、“币值一面朝 下”。“币值一面朝上”用1表示，“币 值一面朝下”用0表示，用x表示试验结果， 则x的取值为0、1。
如“取得1个数字是2的倍数”是一个复合 事件，它由“取得1个数字是2”、“是4”、 “是6”、…… 、“是20”10个基本事件组合 而成。
（2）必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然
事件，用Ω表示。
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（3）不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可
能事件，用ф表示。 必然事件与不可能事件实际上是确定性现
第三章 常用概率分布
本章在介绍概率论中最基本的两个概念— —事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研 究中常用的几种随机变量的概率分布——二项 分布、正态分布以及样本平均数的抽样分布、t 分布、 2 分布和F分布。
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第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象
在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
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从表3-1可看出，随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地 接近0.7，我们就把0.7作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
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【例3·3】 抛掷一枚硬币，其可能结 果是“币值一面朝上” 、“币值一面朝 下”。“币值一面朝上”用1表示，“币 值一面朝下”用0表示，用x表示试验结果， 则x的取值为0、1。
如“取得1个数字是2的倍数”是一个复合 事件，它由“取得1个数字是2”、“是4”、 “是6”、…… 、“是20”10个基本事件组合 而成。
（2）必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然
事件，用Ω表示。
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（3）不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可
能事件，用ф表示。 必然事件与不可能事件实际上是确定性现
第三章 常用概率分布
本章在介绍概率论中最基本的两个概念— —事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研 究中常用的几种随机变量的概率分布——二项 分布、正态分布以及样本平均数的抽样分布、t 分布、 2 分布和F分布。
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第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象
在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
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从表3-1可看出，随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地 接近0.7，我们就把0.7作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
生物统计学课件-3正态分布和抽样分布
人口普查数据通常呈现 正态分布特征，通过对 人口数据进行分析，可 以了解人口数量、性别 比例、年龄结构等方面
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体 之间存在差异，其生物 量通常服从正态分布。 通过对生物量分布进行 分析，可以了解生物群 落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
感谢您的观看
THANKS
实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中 在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现 这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见 的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值 处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平 均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近 这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布 反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本 比例等）如何围绕总体参数（如总体 均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大， 抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并 观察样本统计量的变化，可以形成抽 样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当 样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布 分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于 不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有 所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况， 可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进 行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频 率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因 频率的分布特征和变异情况。
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体 之间存在差异，其生物 量通常服从正态分布。 通过对生物量分布进行 分析，可以了解生物群 落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
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实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中 在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现 这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见 的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值 处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平 均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近 这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布 反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本 比例等）如何围绕总体参数（如总体 均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大， 抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并 观察样本统计量的变化，可以形成抽 样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当 样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布 分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于 不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有 所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况， 可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进 行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频 率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因 频率的分布特征和变异情况。
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
生物统计学中的概率统计和参数估计方法
生物统计学中的概率统计和参数估计方法生物统计学是一门统计学和生物学的交叉学科，主要研究如何利用概率统计和参数估计等方法，对生物学和医学中的相关数据进行分析和研究。
以下将对生物统计学中的概率统计和参数估计方法进行探讨。
一、概率统计概率统计是生物统计学中非常重要的一个分支，其方法主要用来描述和分析生物学和医学数据中的随机变量和随机过程，包括概率分布、概率密度函数、概率质量函数、期望值、方差等。
1.1 概率分布概率分布是随机变量取某些值时的可能性分布，如正态分布、泊松分布、二项分布、均匀分布等。
其中，正态分布是最为常见的一种概率分布，其符合“大数定律”，即大量同类数据的平均值趋近于正态分布。
1.2 概率密度函数和概率质量函数概率密度函数和概率质量函数是描述一种概率分布的函数形式。
概率密度函数主要针对连续随机变量，而概率质量函数则主要针对离散随机变量。
以正态分布为例，其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$其中，$\mu$代表均值，$\sigma$代表标准差。
1.3 期望和方差期望是随机变量在大量试验中出现的平均值，其描述了概率分布的中心位置。
而方差则描述了随机变量离平均值的距离，即数据的分散程度。
以正态分布为例，其期望为均值$\mu$，方差为标准差的平方$\sigma^{2}$。
二、参数估计参数估计是生物统计学中另一个非常重要的分支，其方法主要用于从已知的样本数据中，估计未知的总体参数值。
其中两种常见的方法是极大似然估计和贝叶斯估计。
2.1 极大似然估计极大似然估计是从样本数据出发，估计总体参数的一种方法。
其基本思想是找到最能反映样本数据特征，同时符合总体分布的参数值。
其计算过程主要包含两步：第一步，定义似然函数。
似然函数是描述数据在不同参数下的可能性，即已知某参数下的样本数据，求该参数下数据出现的概率密度函数。
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度
第二节 常见的理论分布
离散型变量的概率分布 二项分布 泊松分布
连续型变量的概率分布 正态分布
一、二项分布
• 对立事件
A p q (q=1-p)
• 重复性 独立性
（一）二项分布概率的计算
例：在由具有一对基因差异的亲本杂交形成的F2代 群体中，出现黄色子叶的概率为0.75，出现青色 子叶的概率为0.25，如果从这种总体抽取3粒，那 么得到1粒是黄子叶的概率是多少呢？
P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它
反映了事件在一次试验中发生可能性的大小，概率大
表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可
能性小。
• 概率的性质
• 1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、
必然事件的概率为1，即P（Ｕ）=1； 3、 不可能事件的概率为0，即P（Ｖ）=0。
抽取三粒种子(以Y代黄子叶，以G代青子叶)， 即n=3，有两粒黄子叶种子，即x=2，这时有3种不 同组合： GGY，GYG，YGG。出现第一粒，第二 粒和第三粒种子是互不影响的，因此这三个事件是 独立事件，由乘法法则可得：
P(GGY) ( 3)(3)(1) 9 4 4 4 64
P(GYG) ( 3)(1)(3) 9 4 4 4 64
记作B A，称为A的对立事件
5. 完全事件系 若事件A1、A2、…、An两两互斥，且每次试验结果必发
生其一，则称A1、A2、…、An为完全事件系。
例如，仅有三类花色：黄色、白色和红色，则取一朵花， “取到黄色”、“取到白色”和“取到红色”就构成完全事 件系。
6. 事件的独立性 若事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，则称事
• 概率：当试验重复数n逐渐增大时,随机事件 A的频率越来越稳定地接近某一数值 p , 那 么就 把 p称为随机事件A的概率
P(A)=p≈m/n （n充分大）
• 统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验
概率或统计概率，用公式表示为：
P(
A)
lim n
a n
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。
L/O/G/O
概率论
授课教师：王天慧
Tel:66132665 E.mail:wangth@
第三章 概率与概率分布
• 第一节 概率的基本概念 • 第二节 常用的概率分布 • 第三节 统计数的分布
第一节 概率的基本概念
• 事件、概率、频率 • 概率的计算 • 概率分布
一、事件 频率 概率
布：
变量xi 概率P(y=yi)
x1 x2 x3 … xn P1 P2 P3 …Pn
• 2、连续型随机变量
• 变量x的取值仅为一范围，且x在该范围 内取值时，其概率是确定的，这种类型 的变量称为连续型随机变量
b
P(a x b) a f (x)dx
式中，f(x)称为x的概率密度函数或分布密
_
概率为：P( A )=1－P(A)
• 4.完全事件系的概率
• 例如上例，黄色种子和白色种子构成完全 事件系，其概率为1。
三. 概率分布
1、离散型随机变量
变量x的取值可用实数表示，且x取某一值时，其
概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机 变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应的概率一一列
出所形成的分布，称为离散型随机变量的概率分
调查株
数(n)
5
25
50 100 200 500 1000 1500 2000
受害株
数(a)
2
12
15
33
72 177 351 525 704
受害频 率(a/n) .40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
• 频率：在相同条件下进行n次重复试验,如果 随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为 随机事件A的频率
• 事件(event)：在自然界中一种事物，常 存在几种可能出现的情况，每一种可能出 现的情况称为事件。
• 确定现象 必然事件（Ｕ）：一定条件下必然出现的现象 不可能事件（Ｖ）：一定条件下必然不出现的现 象
• 不确定现象 随机事件：一定条件下可能发生，也可能不发生。
• 下面用棉田发生盲椿象为害的情况来说明这一 问题。
先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽 到白色种子的概率为1/4=0.25.
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到
白色种子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽
到黄色种子)=0.75×0.75=0.5625
• 3.对立事件的减法
• 若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的
穗和双穗株的概率为：
• P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83来自• 2.独立事件的乘法
• 假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自
出现的概率，则：
P(AB)=P(A)P(B)
• 例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒 是白色，采用复置抽样。试求下列两事件 的概率(1)第一次抽到黄色，第二次抽到 白色；(2)两次都抽到黄色。
P(YGG) (1)(3)(3) 9 4 4 4 64
由于这三个事件都是相互互斥的，所以出现两粒黄子 叶种子(x=2)的概率为这三种概率之和：
P(x 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9 64 64 64 64
上述结果也可以表示为：
P(
x
2)
C32
(
3 4
件A和事件B相互独立。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产 量高”，显然如果花的颜色与产量无关,则事件A与事件B 相互独立。
概率的计算法则
1.互斥事件的加法
• 假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和 P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
• 例如：调查某玉米田一穗株的概率，
P(A)=0.65,双穗株的概率P(B)=0.18，则一
二、概率的计算
1.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作 AB=A+B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
n
Ai
i1
2.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
3.互斥的事件：AB＝ V
4. 对立事件A+B＝U, 且AB＝ V
第二节 常见的理论分布
离散型变量的概率分布 二项分布 泊松分布
连续型变量的概率分布 正态分布
一、二项分布
• 对立事件
A p q (q=1-p)
• 重复性 独立性
（一）二项分布概率的计算
例：在由具有一对基因差异的亲本杂交形成的F2代 群体中，出现黄色子叶的概率为0.75，出现青色 子叶的概率为0.25，如果从这种总体抽取3粒，那 么得到1粒是黄子叶的概率是多少呢？
P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它
反映了事件在一次试验中发生可能性的大小，概率大
表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可
能性小。
• 概率的性质
• 1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、
必然事件的概率为1，即P（Ｕ）=1； 3、 不可能事件的概率为0，即P（Ｖ）=0。
抽取三粒种子(以Y代黄子叶，以G代青子叶)， 即n=3，有两粒黄子叶种子，即x=2，这时有3种不 同组合： GGY，GYG，YGG。出现第一粒，第二 粒和第三粒种子是互不影响的，因此这三个事件是 独立事件，由乘法法则可得：
P(GGY) ( 3)(3)(1) 9 4 4 4 64
P(GYG) ( 3)(1)(3) 9 4 4 4 64
记作B A，称为A的对立事件
5. 完全事件系 若事件A1、A2、…、An两两互斥，且每次试验结果必发
生其一，则称A1、A2、…、An为完全事件系。
例如，仅有三类花色：黄色、白色和红色，则取一朵花， “取到黄色”、“取到白色”和“取到红色”就构成完全事 件系。
6. 事件的独立性 若事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，则称事
• 概率：当试验重复数n逐渐增大时,随机事件 A的频率越来越稳定地接近某一数值 p , 那 么就 把 p称为随机事件A的概率
P(A)=p≈m/n （n充分大）
• 统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验
概率或统计概率，用公式表示为：
P(
A)
lim n
a n
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。
L/O/G/O
概率论
授课教师：王天慧
Tel:66132665 E.mail:wangth@
第三章 概率与概率分布
• 第一节 概率的基本概念 • 第二节 常用的概率分布 • 第三节 统计数的分布
第一节 概率的基本概念
• 事件、概率、频率 • 概率的计算 • 概率分布
一、事件 频率 概率
布：
变量xi 概率P(y=yi)
x1 x2 x3 … xn P1 P2 P3 …Pn
• 2、连续型随机变量
• 变量x的取值仅为一范围，且x在该范围 内取值时，其概率是确定的，这种类型 的变量称为连续型随机变量
b
P(a x b) a f (x)dx
式中，f(x)称为x的概率密度函数或分布密
_
概率为：P( A )=1－P(A)
• 4.完全事件系的概率
• 例如上例，黄色种子和白色种子构成完全 事件系，其概率为1。
三. 概率分布
1、离散型随机变量
变量x的取值可用实数表示，且x取某一值时，其
概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机 变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应的概率一一列
出所形成的分布，称为离散型随机变量的概率分
调查株
数(n)
5
25
50 100 200 500 1000 1500 2000
受害株
数(a)
2
12
15
33
72 177 351 525 704
受害频 率(a/n) .40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
• 频率：在相同条件下进行n次重复试验,如果 随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为 随机事件A的频率
• 事件(event)：在自然界中一种事物，常 存在几种可能出现的情况，每一种可能出 现的情况称为事件。
• 确定现象 必然事件（Ｕ）：一定条件下必然出现的现象 不可能事件（Ｖ）：一定条件下必然不出现的现 象
• 不确定现象 随机事件：一定条件下可能发生，也可能不发生。
• 下面用棉田发生盲椿象为害的情况来说明这一 问题。
先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽 到白色种子的概率为1/4=0.25.
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到
白色种子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽
到黄色种子)=0.75×0.75=0.5625
• 3.对立事件的减法
• 若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的
穗和双穗株的概率为：
• P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83来自• 2.独立事件的乘法
• 假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自
出现的概率，则：
P(AB)=P(A)P(B)
• 例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒 是白色，采用复置抽样。试求下列两事件 的概率(1)第一次抽到黄色，第二次抽到 白色；(2)两次都抽到黄色。
P(YGG) (1)(3)(3) 9 4 4 4 64
由于这三个事件都是相互互斥的，所以出现两粒黄子 叶种子(x=2)的概率为这三种概率之和：
P(x 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9 64 64 64 64
上述结果也可以表示为：
P(
x
2)
C32
(
3 4
件A和事件B相互独立。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产 量高”，显然如果花的颜色与产量无关,则事件A与事件B 相互独立。
概率的计算法则
1.互斥事件的加法
• 假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和 P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
• 例如：调查某玉米田一穗株的概率，
P(A)=0.65,双穗株的概率P(B)=0.18，则一
二、概率的计算
1.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作 AB=A+B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
n
Ai
i1
2.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
3.互斥的事件：AB＝ V
4. 对立事件A+B＝U, 且AB＝ V