运筹学基础及应用第二章 线性规划的对偶理论

max z s.t.
c1 x1 a11 x1 a21 x1
c2 x 2 a12 x2 a22 x2
cjxj a1j x j a2j x j

cn xn a1n xn a2n xn
b1 y1 b2 y2
am1 x1 am2 x2 amj x j amn xn bm ym x1 x2 xj xn 0
j j
4 6 0 6 0 0
x3 100 x4 120 x3 x1
40 30 -180
b
x1
2 4 6 0 1 0 0 1 0
6
x2 x3
3 2 4 2 1/2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1/2 -1/4 -1/2
4
0
x4
0 1 0 -1/2 1/4 -3/2 -1/4 3/8 -5/4
对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤”
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量 价值系数 约束条件数：n个 第j个约束条件类型为“≥” 第j个约束条件类型为“≤” 第j个约束条件类型为“=” 资源系数
第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=” 资源系数
xi 0
( i =1 … 4 )
3y1 - y2 ≤5
y1 +3 y2 ≤6
(1) 写出其对偶问题 (2) 图解法解其对偶问题 对偶最优解 y1﹡ = 8/5
y1 0，y2 ≤0
y2﹡ = -1/5
ω﹡ =19/5
(3)用对偶理论求(LP)的最优解
Min z = 2x1+3x2+5x3+6x4 x1+2x2 + 3x3 + x4 2
MaxZ 2 x1 x 2 3 x1 4 x 2 15 s.t.5 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
MinW 15y1 10y2
3 y1 5 y2 2
s.t
4 y1 2 y2 1
y1 , y2 0
原问题（或对偶问题）
不断变化
?
相对稳定
影子价格与市场价格

未知价格 已知价格
影子价格是资源的估计价格
2、资源影子价格是一种边际价格
z w b1 y1 b2 y2 bi yi bm ym
z z
b1 y1 b2 y2 (bi bi ) yi bm ym
决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
价值系数
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4 x1 2 x 2 3 x3 4 x1 5 x 2 6 x3 7 8 x1 9 x 2 10x3 11 s.t. 12x1 13x 2 14 x1 0, x 2 符号不限, x3 0
符号表示：
x* j 0

i
aij yi* c j

i
aij yi* c j
x* j 0
例： minz = 2x1+3x2+5x3+6x4
Max ω = 2y1-3y2 y1-2y2 ≤ 2 2y1 + y2 ≤ 3
(DP)
x1+2x2 + 3x3 + x4 2
(LP)
-2x1 + x2 - x3 + 3x4 ≤- 3
定理2(最优性) 条件：x* ,y*分别为(LP )、(DP )的可行解，且cx*=y*b 结论： 它们分别是(LP )、(DP )的最优解。 定理3（对偶定理） 条件： 结论： 原问题与对偶问题均具有可行解 两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相等。
定理4. 互补松弛性(一)： x* , y*分别为LP、DP的最优解 条件： 若对应某一约束条件的对偶变量非零 结论： 该约束条件为等式
√
×
（原问题是极小化问题，因此应从原始对偶 表的右边往左边查！）
练习
min z 7 x1 4 x2 3x3
4 x1 2 x2 6 x3 24
s.t.
3x1 6 x2 4 x3 15
2 x2 6 x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
§2.3对偶问题的基本性质 定理1 (弱对偶定理)： 若 X, Y分别是原问题和对偶问题的可行解， 推论： 则有
≥ ≥ ≥ ≥
maxZ
=
6x1
+
4x2
6 4 0
2x1 + 3x2 ≤100 s.t. 4x1 + 2x2 ≤ 120 x1≥0, x2 ≥0 原问题模型 原问题:企业Ⅰ生产两种产 品，需要两种原料，有关数据见 表。如何安排生产计划可使总的 收益最大.
0， y2
对偶问题模型 对偶问题:企业Ⅱ想把企 业Ⅰ的资源买过来,它至少应 付出多大代价,该企业愿意放 弃生产活动,让出自己的资源.
8 2 1 2 5 5 2 8 1 3 5 5 3 8 1 5 5 5 8 3 1 6 5 5
x4 = 0
对偶最优解 ( 8/5,-1/5) , ω﹡ =19/5
x1+2x2 + 3x3 =2
2 A 1
3 2
5 3 0
-2x1 + x2 - x3 = -3
0
θ
50 30
20 60
Y1=0.5
x2
j
x
20 1 20 -200
Y2=1.25
1.影子价格的定义
原始问题是利润最大化的生产计划问题
原始问题和对偶问题都取得最优解时，最大利润
max z=min w
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
≥
产品 资源
甲
乙
资 源 拥有量
Ａ Ｂ
单件收益
6
２ ４ ６
３ ２ ４
100 120
（千元）
同理，对于乙产品则有： 3y1 + 2y2 ≥ 4 ②变量非负限制 y1
≥
0， y2
≥
0
整理得：
§2.1对偶问题的提出
minW = 100y1 + 120y2 2y1 + 4y2 s.t. 3y1 + 2y2 y1
第二章 线性规划的对偶理论
§2.1对偶问题的提出 §2.2原问题与对偶问题 §2.3对偶问题的基本性质 §2.4对偶解—影子价格
§2.1对偶问题的提出
例2.1 对例1.1[某企业（企 业Ⅰ）生产两种产品，需要两种原 料，有关数据见表。如何安排生产 计划可使总的收益最大。]从另一 个角度提出问题: 假设有另外一个企业（企业Ⅱ） 想把企业Ⅰ的资源买过来,它至少应 付出多大代价, 企业Ⅰ愿意放弃生产 活动,让出自己的资源. 假设你就是企业Ⅰ的经理，请问 你将如何与企业Ⅱ进行谈判？
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y 2 14 y3 4 y1 8 y 2 12 y3 4 5 y1 9 y 2 13y3 2 s.t. 6 y1 10 y 2 3 y1符号不限, y 2 0, y3 0 MaxW 7 y1 11y 2 14 y3 4 y1 8 y 2 12 y3 4 5 y1 9 y 2 13y3 2 s.t. 6 y1 10 y 2 3 y1符号不限, y 2 0, y3 0
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺
■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源 的影子价格 一定等于0
max z 2 x1 x2
5 x2 15
s.t.
x2
6 x1 2 x2 24 x1 x2 5 x1, x2 0
5 3 (7/2,3/2） (3,3)
2x1+3x2+5x3=19/5
原 问 题 最 优 解
2 1 1
( 8/5, 1/5, 0 , 0) x1≠ 0 ， DP 第一个不等式为等式 x2≠ 0 ， DP第二个不等式为等式 ( 7/5, 0 , 1/5, 0) x1≠ 0 ， DP 第一个不等式为等式
x3 ≠ 0 ，
DP 第三个不等式为等式
§2.2原问题与对偶问题
MaxZ CX
（L）s.t. AX b
MinW Yb
（D） s.t.YA C
X 0
Y 0
怎样从原始问题写出其对偶问题？
按照定义；
记忆法则：
“ 上、下”交换，“左、右”换位，
不等式变号，“极大”变“极小”
写出下面线性规划的对偶问题：
产品 资源 Ａ Ｂ 单件收益 甲 ２ ４ ６ 乙 ３ ２ ４ 资 源 拥有量 100 120 （千元）
maxZ = 6x1
+
4x2
2x1 + 3x2 ≤100 s.t. 4x1 + 2x2 ≤ 120
x1≥0, x2 ≥0
§2.1对偶问题的提出
设: y1,y2分别表示A、B两 种资源的价格。 对于企业Ⅱ来说，希望付 出的代价越小越好，则目标函 数为： minW=100y1+120y2
定义
对于线性规划问题
maxZ=CX AX≤b OX≥0
(2.1)
称线性规划问题
minW=Yb YA≥ C 0 Y≥0
(2.2)
是式（2.1）的对偶问题，而称（2.1）为原问题。 其中：C=(c1 ,… ,cn),X=(x1 ,… ,xn)T ,A=(aij)m×n ,b=(b1 ,… ,bm)T Y=(y1 ,… ,ym) 式（2.1）与式（2.2），通常称为一对对称的对偶规划。
z bi yi
z 最大利润的增量 yi 第i种资源的边际利润 bi 第i种资源的增量
yi 表示在原问题取得最优解的情况下，第i种资源改变 一个单位时总收益的变化值，也可以说 yi 是对第i种资
源的一种价格估计。这种价格估计并不是第i种资源的 实际价值或成本，而是根据资源在生产中做出的贡献 的一种估计 ，称为影子价格。
1 z 8 2 3 1 z 8 4
*
z ห้องสมุดไป่ตู้9
2
o
4 （15/4，5/4）
5
x1
3、影子价格是产品的机会成本
资源的市场价格<影子价格
买进资源
资源的市场价格>影子价格
资源的市场价格=影子价格 例 第二种资源的市场价格<1/4
卖出资源
不买不卖 买进资源
4、影子价格是产品的隐含成本
增加单位资源可以增加的利润
CX Yb
1. LP任一可行解目标函数值是DP目标函数值的下界； DP任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 2. LP有可行解 ,且目标函数值无界 DP有可行解，且目标函数值无界 3. LP有可行解，DP无可行解 DP有可行解，LP无可行解 DP无可行解 LP无可行解 LP目标函数值无界； DP目标函数值无界
(LP)
x1+2x2 + 3x3 =2
-2x1 + x2 - x3 + 3x4 ≤ - 3
xi 0
( i =1 … 4 )
-2x1 + x2 - x3 = -3
2x1+3x2+5x3=19/5 y1 ≠ 0 ， y2≠ 0 ， Lp 两个不等
式为等式
max = 2y1-3y2 y1- 2y2 ≤ 2 (DP) 2y1 + y2 ≤ 3 3y1 - y2 ≤5 y1 + 3 y2 ≤6 y1 0，y2 ≤ 0
产品 资源 Ａ Ｂ 单件收益 ２ ４ ６ ３ ２ ４ 甲 乙 资 源 拥有量 100 120 （千元）
但对于企业Ⅰ来说，让出资源的前提条件是，将资源卖给企业Ⅱ所 获得的收益，至少不应低于自己利用这些资源组织生产所获得的收益。 则约束条件为：
§2.1对偶问题的提出
①让出资源不应低于自 己组织生产所获得的收益。 甲产品：生产一件消耗2个 A和4个B，卖出后获得6千元收 益。将2个A和4个B卖出也不应 低于6千元收益，则有： 2y1 + 4y2
(0, -7/5, 8/5, 0)
§2.4对偶解—影子价格
求对偶问题的解： minW = 100y1 + 120y2 2y1 + 4y2 s.t. 3y1 + 2y2 y1
≥ ≥ ≥ ≥
6 4 0
0， y2
j c j ci aij c j z j
i 1
m
cj cB xB
* xm i 0
条件： 结论：
若某一约束条件为严格不等式
对应的对偶变量为0
互补松弛性(二）： x* , y*分别为(LP)、(DP)的最优解 条件： 原问题最优解中某一变量严格大于0 结论： 对偶问题对应的约束条件为严格等式 条件： 结论： 若对偶问题中某一约束条件为严格不等式 原问题对应的变量的最优解为0