劳斯判据总结
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析对劳斯判据的浅析劳斯判据，是流体动力学中的一个重要原理，它可以用来判断流体在稳定状态下的不稳定性。
劳斯判据的提出源于19世纪的劳斯，他对流体运动进行了深入的研究，并提出了这一原理。
在实际工程中，劳斯判据可以帮助工程师们分析和预测流体系统的稳定性，对于设计和优化流体系统具有重要的指导意义。
本文将对劳斯判据进行浅析，探讨其基本原理、应用范围以及在工程中的实际应用。
劳斯判据的基本原理是通过对流体系统的动量平衡进行分析，来判断系统在微小扰动下的稳定性。
劳斯判据的公式表达为：\[D=\frac{\partial P}{\partial \rho} \frac{d \rho}{dt}\]D为劳斯判据，P为系统中的动能密度，ρ为密度，t为时间。
从这个公式可以看出，劳斯判据实际上是通过对流体密度的微小扰动引起的动能变化进行分析，来判断系统的稳定性。
当劳斯判据小于0时，即\(\frac{\partial P}{\partial \rho}<0\)时，系统是稳定的；当劳斯判据大于0时，即\(\frac{\partial P}{\partial \rho}>0\)时，系统是不稳定的；当劳斯判据等于0时，即\(\frac{\partial P}{\partial \rho}=0\)时，系统是临界稳定的。
劳斯判据的应用范围非常广泛，几乎涉及到所有流体系统的稳定性分析。
比如在燃烧系统中，劳斯判据可以用来判断燃烧过程中是否会产生爆炸；在空气动力学中，劳斯判据可以用来判断飞机在飞行中是否会产生失速现象；在水力学中，劳斯判据可以用来判断水流在管道中是否会产生涡流等。
只要涉及到流体运动的系统，劳斯判据都有着重要的应用价值。
在工程实际中，劳斯判据通常用来指导流体系统的设计和优化。
比如在飞行器设计中，工程师可以通过对劳斯判据的分析来优化飞机的气动外形，以提高其飞行稳定性；在火箭发动机设计中，工程师可以通过对劳斯判据的分析来优化燃烧室的结构，以避免燃烧不稳定而导致发动机爆炸等。
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据（Rayleigh criterion）是用来评判光学成像系统是否能够清晰地分辨两个物体的一种标准。
该判据是由英国物理学家约翰·威廉·斯特拉特·劳斯（John William Strutt Rayleigh）于19世纪末提出的。
本文将对劳斯判据进行浅略分析。
劳斯判据是基于一个简化的假设，即光学系统的成像质量只由入射光的波长和光学系统的孔径决定。
根据这一假设，如果两个物体的像的强度分布之间有重叠，那么就无法清晰地分辨这两个物体。
换句话说，劳斯判据认为两个物体的像的中心光斑大小之间的最小距离决定了它们是否能够被分辨。
具体来说，劳斯判据给出了两个物体能够分辨的最小条件。
假设两个物体的像的中心光斑大小为Δθ，它们之间的最小角度为θ，则根据劳斯判据，有以下关系：Δθ = 1.22 × λ / Dλ表示入射光的波长，D表示光学系统的有效孔径。
这个公式称为分辨公式或劳斯公式。
从这个公式可以看出，分辨能力与入射光的波长和光学系统的孔径有关。
波长越小，分辨能力越高；孔径越大，分辨能力越高。
这也就解释了为什么高分辨率的显微镜或望远镜会使用更短波长（例如紫外线或X射线）的入射光，并且采用 larger objectives 或干涉光学技术来增加光学系统的孔径。
劳斯判据也有局限性。
该判据只适用于理想的光学系统，而实际光学系统存在各种畸变、散射以及光学设计等方面的问题，会影响系统的分辨能力。
劳斯判据只考虑了像的中心光斑大小，而实际上两个物体是否能够被分辨还取决于其它因素，如光斑的形状、强度分布以及背景光等因素。
劳斯判据没有考虑观察者的感知能力，即人眼能够分辨的最小角度也会对分辨能力造成限制。
劳斯判据给出了评判光学系统分辨能力的一个基本标准。
实际的成像系统往往比劳斯判据所预测的分辨能力要低，因为它没有考虑到系统中的各种复杂因素。
在实际应用中，对光学系统分辨能力的评价往往还需要考虑诸多其他因素，并结合实际情况来进行综合判断。
劳斯判据总结范文
劳斯判据总结范文劳斯判据是在国际投资仲裁领域中一个重要的法律原则，它由国际法院在劳斯与墨西哥国之间的投资争端案件中首次提出。
劳斯判据的总结主要包括以下几个方面。
首先，劳斯判据确认了国际投资者享有的合法权益。
根据劳斯判据的规定，国际投资者在国外进行投资时，应当受到合理和公正的对待，其合法权益应当得到充分的保护。
这一原则保证了国际投资者在投资目的国享有合法权益的权利。
其次，劳斯判据强调了国家对外国投资者和其投资的责任。
根据劳斯判据的规定，国家承认其对外国投资者和其投资应当承担责任，不能恶意和歧视地干涉、阻碍投资者的合法权益。
同时，如果国家进行了不公正的行为或违反了国际法，国际投资者有权要求国家给予恢复损害的补偿。
此外，劳斯判据提供了对投资者国家非法行为的界定。
劳斯判据规定，国家如果对投资者和其投资进行了不公正的待遇或剥夺了其合法权益，就可以被认定为非法行为。
劳斯判据还对不公正待遇的具体界定提供了一些指导，例如，国家对投资者进行的歧视行为、违法的法案和政策等都可以被视为非法行为。
还有，劳斯判据确认了国际投资仲裁作为解决投资争端的有效机制。
根据劳斯判据的规定，国际投资者可以向国际仲裁机构提起诉讼，通过仲裁解决投资争端。
这一机制能够确保投资者相对独立、公正和效率的解决争端，对于维护投资者的权益具有重要意义。
最后，劳斯判据提供了一条救济机制，即“审慎投资原则”。
根据该原则，国际投资者在进行投资时应当审慎考虑投资的风险，并遵守目标国的法律和法规。
如果投资者没有尽到审慎义务，其请求补偿的权利可能会受到限制。
总而言之，劳斯判据是国际投资仲裁领域中的一项重要原则，旨在确保国际投资者的合法权益能够得到充分保护，并对非法行为提供了一个界定和救济机制。
这一判据的出现对于促进国际投资活动的发展和维护国际投资者权益具有重要意义。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是一种用于解决材料失效问题的原则与方法。
它最早由英国工程师Peter E. L. Hugoniot在发表于1918年的一篇关于冲击波理论的论文中提出，之后被法国工程师主义者Henri Ludovic Chiendaux在1927年提出了数学表达形式以及严谨的证明。
劳斯判据的核心思想是材料在受到外部载荷作用时，应力和应变之间的关系可以用来评估材料的破坏状态，通过评估材料的破坏状态来确定材料的力学性能。
劳斯判据被广泛应用于材料力学、工程设计以及结构设计等领域，它为工程师提供了一种有效的方法来评估材料的强度和耐久性。
劳斯判据主要是通过应力和应变之间的关系来评估材料的破坏状态，具体来说，劳斯判据是通过比较材料的应力与其应变的比值与一定的临界值来判断材料是否会发生破坏。
如果材料在受到外部载荷作用时，应力与应变之间的比值超过了临界值，那么就表示材料会发生破坏。
劳斯判据的临界值是根据材料的性质和使用条件来确定的，通常来说，材料的强度越高，临界值就会相对越大。
劳斯判据对于材料的破坏状态进行评估的方法简单直观，因此被广泛应用于材料力学和工程设计的领域。
在工程设计中，工程师可以通过劳斯判据来评估材料在受到外部载荷作用时是否会发生破坏，从而选择合适的材料来设计结构。
在材料力学的研究中，劳斯判据也被用来评估材料的强度和耐久性，从而为材料的性能优化提供依据。
劳斯判据也存在一些局限性。
劳斯判据忽略了材料的微观结构对其破坏状态的影响，它只是通过应力和应变之间的关系来评估材料的破坏状态，而没有考虑材料内部的微观结构。
劳斯判据在某些特殊情况下可能会出现失效，例如在材料的非线性变形、非均匀应力分布和多轴应力状态等情况下，劳斯判据可能无法准确地评估材料的破坏状态。
在工程实践中，工程师需要在使用劳斯判据时考虑到这些局限性，综合考虑材料的实际工作条件和使用情况，以确保评估结果的准确性。
简述劳斯判据的内容
简述劳斯判据的内容
劳斯判据（Routh-Horwitz Criterion）是一种用来确定线性系统的稳定性的数学判据。
这种判据首先被劳斯在1876年提出，并在之后由霍尔威茨进一步发展。
这种判据为我们提供了一个不仅可以预测系统是否稳定，而且可以准确预测系统在何种条件下会变得不稳定的工具。
下面，我们就来详细介绍一下劳斯判据的内容。
劳斯判据基于转移函数的分母多项式的系数来决定系统的稳定性。
通过设置一系列一维数组，利用这些数组判断实根的个数和位置。
在应用劳斯判据之前，需要将多项式标准化，使最高次项的系数为1。
进行劳斯数组的构建，首先，将分母多项式的系数按照幂次递减的顺序放入第一行和第二行。
然后，根据特定的数学规则计算后续行的系数，这个规则是在每一行，新的元素是前一行中的两个相邻元素的负比，除以当前行的第一个元素。
以此方式，我们可以得到完整的劳斯数组。
接下来，我们需要确定数组中第一列中零和正负数的变换次数。
如果零的数量超过一个或者正负数的变换超过两次，则系统被认为是不稳定的。
否则，系统是稳定的。
值得注意的是，劳斯判据只能针对线性时间不变系统，并且只适用于确定整体的稳定性，而不能准确地预测系统的稳定边界。
同时，劳斯判据也不能处理一些特殊情况，比如当数组中出现零或者整行都是零的情况。
总的来说，劳斯判据是一种非常有效的工具，它在分析线性系统的稳定性时具有重要的作用。
通过这种判据，我们可以在早期预测和识别可能的系统故障，从而采取相应的措施以保证系统的正常运行。
劳斯判据
(3.63)
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
an 3 b2 an 5 b3 an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予ห้องสมุดไป่ตู้确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
an c ( n ) an 1c ( n 1) a1c (1) a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) b1r (1) b0 r
2 2
s4 1 s3 6
例3.4 已知系统特征方程式为
s5 3s 4 2s3 s 2 5s 6 0
解 列写劳斯阵列表 5 1 2 5 s s4 3 1 6 s3 5 9 （各系数均已乘3） 2 s -11 15 （各系数均已乘5/2） 1 （各系数均已乘11） s 174 s0 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
6-劳斯判据
注意： 由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断 的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。
3-2 劳思稳定性判据
[判据] （1） 系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大 于 0 （同号）；只要有1项等于或小于 0 ，则为不稳定系 统。
（2）系统稳定的充分条件：劳思表第一列元素均大于0 （同号） 。
s0 7
5 分母总是上一行第一个元素
8 再令正无穷小量ε趋近于6 一行可同乘或同除某正数
0，得到真正的劳斯表如下。7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 同号！ 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
系统在虚轴上有重根， 响应中含有tsin(t)成分， 是发散的。
3-3 劳思判据的应用举例
例3.8 试分析如下系统的稳定性，其中K>0
s 1
s 1
R(s)
_
k
ss 1
Y(s)
系统的特征方程为：
1
Gs
1
Ks 1 ss 1s 1
0
系统稳定否？ 不稳定！
例3.9 焊接控制（p256例6.5)
Ks a
劳斯表情况一 例3.3、含参变量的例子：设系统特征方程为：
s3+s2+s+K=0; K不等于１或０
劳 s3 1 1
s2 1 K
斯 s1 1-K 0 表 s0 K
参数取值影响稳定性！
于是： Ｋ小于０，系统不稳定；
Ｋ大于１，系统不稳定；
Ｋ大于０且小于１时，系 统稳定。
例3.4 设系统特征方程为： 劳斯表情况二 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳斯判据
线性系统稳定的充分必要条件是： 系统所有的特征根均为负实数或具有负的实部。 也就是它的所有极点均在S平面的左半部分。
高阶代数方程求要困难 系统稳定性判断无需得到特征根的精 确数值 研究参数变化对系统稳定性的影响， 如使用上述判据需要反复求解代数方程
有没有不需要求解特征方程而能够对其根的分布情况进行判断的方法呢？ 劳斯与霍尔维茨分别与1877年和1895年独立提出利用特征方程的系数对 系统进行稳定性判断的代数判据
s3 s2 s8 -8 2ε+8 7ε -8(2ε+8) -7ε2 7ε
1 2 1 ε 0
7
若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定 变号的次数为特征根在s右半平面的个数! 次数为特征根在 右半平面的个数 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
(6
4)/2=1
为
ε
劳斯判据
必要条件 系统稳定的必要条件: 系统稳定的必要条件 s6 s5 特征方程各项系数 s4 均大于零! 均大于零
有正有负一定不稳定! 有正有负一定不稳定 缺项一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？ 稳定吗？ 稳定吗
系统稳定的充分条件: 系统稳定的充分条件 充分条件 劳斯表第一列元素不变号!
2 出现零行 3 办? 办 ?
s1,2=
方程 : !!!
j
为s3,4= -2,-3
劳斯判据的应用
• （1）判断一个已知系统的稳定性（绝对稳定 性） • （2）系统的稳定裕量（相对稳定性） • （3）求使系统稳定的某个参数的取值范围 （系统设计的范畴）
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
第三章劳斯判据1
大范围稳定
小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
2
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D( s) a0 s n a1s n 1 a2 s n 2 ... an 1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
sn s n 1 s
n 2
a0 a1
a2 a3
a4 a5
s n 3
s0
a 1a 2 a 0 a 3 a 1a 4 a 0 a 5 a 1a 6 a 0 a 7 c 13 c 23 c 33 a1 a1 a1 c 13a 3 a 1c 23 c 13a 5 a 1c 33 c 13a 7 a 1c 43 c 14 c 24 c 34 c 13 c 13 c 13
③ 解辅助方程得对称根: 错啦!!! s1,2=±j
劳斯阵列出现全零行:
大小相等符号相反的实根
系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
注意两种特殊情况的处理：
1）某行的 第一列项为0 ，而其余各项不为0或
不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任
意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特 征方程应用劳斯判据。
解辅助方程可得共轭纯虚根：
F (s) 2s 8s 4 0
4
2
s1.2 j 0.586 j0.766 s3.4 j 3.414 j1.848
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是流体力学中的一个重要概念，用于判断流体在流动过程中是否是层流或湍流状态。
该判据由德国物理学家约翰·瓦塞姆·劳斯在1851年提出，被广泛应用于流体力学的研究中。
劳斯判据的表达式为：Re = ρvl/μ其中Re表示劳斯数，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，l表示流体流动的特征长度，μ表示流体的黏度。
劳斯判据的计算结果可以代表流体流动的状态。
当劳斯数小于一定的阈值时，流体处于层流状态；当劳斯数大于一定的阈值时，流体处于湍流状态。
劳斯数越大，流体的湍流程度越高。
1. 与流体的性质有关：劳斯数的分子包括流体的密度、流速、特征长度等参数，分母为流体的黏度。
由于这些参数直接反映了流体的性质，因此劳斯判据与流体性质密切相关。
2. 对流动稳定性判断：劳斯判据可以用来判断流体流动的稳定性。
当劳斯数小于一定的阈值时，流体呈现出层流状态，流动较为稳定；当劳斯数大于一定阈值时，流体呈现出湍流状态，流动较为不稳定。
这对于一些工程应用非常重要，如管道输送流体、飞机机翼表面流动等。
3. 与流动问题的解析和计算有关：劳斯判据的使用可以简化流体力学问题的解析和计算。
通过计算劳斯数，可以快速判断流体流动的状态，从而决定采用哪种计算或解析方法。
对于层流问题，可以采用一些简化的假设和解析计算方法；而对于湍流问题，需要考虑湍流的复杂性，采用更加复杂的数值模拟和实验方法。
4. 与流体管道流动有关：劳斯判据在研究管道中的流体流动时得到广泛应用。
在工程中，管道输送流体是一种常见的情况，判断流体流动状态对于设计和优化管道系统至关重要。
劳斯判据的使用可以帮助工程师确定流体是否会出现湍流现象，从而选择合适的管道尺寸和流量控制方式。
5. 劳斯判据的局限性：劳斯判据是基于一些假设和近似推导得到的，因此其适用范围是有限的。
特别是在一些复杂的流动情况下，如多相流、非牛顿流体等，劳斯判据可能不能准确判断流动的状态。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是经济学家劳伦斯·劳斯（Laurence J. Laurence）于1972年提出的一种经济指标，用以衡量一个国家的国际支付能力。
这一判据在国际经济领域被广泛运用，具有重要的参考价值。
以下将对劳斯判据进行浅略分析。
劳斯判据是以国际收支平衡为基础的一项指标，它主要通过比较一个国家的国际资产与国际负债的差额来衡量其国际支付能力。
如果一个国家的国际资产大于国际负债，意味着它能够充分支付其对外债务，并且还有余额用于对外投资。
反之，则说明该国的国际支付能力不足，可能会面临债务违约的风险。
劳斯判据的核心思想是“外债不超过可支配收入的限度”，这可以被理解为一个国家的债务应该是可持续的，不应该超过其可支配收入的水平。
如果一个国家的债务超过了其可支配收入的限度，那么它就可能陷入财政危机，甚至债务危机。
劳斯判据的应用有助于评估一个国家的国际支付能力和债务风险。
通过分析一个国家的国际资产和国际负债的比较，可以判断其是否存在债务问题，并进一步预测其未来的还款能力。
这对于国家债务管理和经济决策具有重要的指导意义。
劳斯判据也存在一些局限性。
它忽视了国际收支中一些非债务因素的影响，比如国际贸易和国际资本流动。
这些因素对于一个国家的经济稳定和外汇储备也具有重要的影响，但在劳斯判据中并未考虑。
劳斯判据并不直接考虑一个国家的经济实力和发展潜力。
一个发展中的国家可能在国际支付能力方面不如发达国家，但它的经济实力和潜力可能更高，未来可能会有更好的还款能力。
劳斯判据是一种衡量国际支付能力的重要指标，可以用于评估一个国家的债务风险和还款能力。
它也存在一些局限性，需要综合考虑其他因素来进行全面的分析和判断。
在实际应用中，可以将劳斯判据与其他指标结合起来，以更好地评估一个国家的经济状况。
劳斯判据
设系统的传递函数为
m
∏∏( ) ( ) G(s) =
Y (s) R(s)
=
bmsm + bm−1sm−1 +L + b1s + b0 ansn + an−1sn−1 +L + a1s + a0
第四章 连续时间控制系统的稳定性与稳态误差.....................................................................151 第一节 劳斯稳定判据.......................................................................................................151 一、稳定性 ................................................................................................................... 151 二、劳斯判据 ............................................................................................................... 153 1. 系统稳定的必要条件......................................................................................153 2. 劳斯阵列..........................................................................................................154 3. 劳斯判据..........................................................................................................155 三、劳斯判据的应用 ................................................................................................... 159 1. 参数取值范围..................................................................................................159 2. 相对稳定性......................................................................................................159 四、赫尔维茨判据 ....................................................................................................... 161 第二节 反馈控制系统的稳态误差...................................................................................161 一、稳态误差 ............................................................................................................... 162 二、反馈控制系统的“型” ....................................................................................... 163 1. 0 型系统(m=0)..................................................................................................166 2. 1 型系统(m=1)..................................................................................................166 3. 2 型系统(m=2)..................................................................................................167 三、稳态误差系数 ....................................................................................................... 169 1．稳态位置误差系数 Kp....................................................................................170 2 稳态速度误差系数 Kv ....................................................................................170 3. 稳态加速度误差系数 Ka.................................................................................171 第三节 等效单位负反馈系统...........................................................................................176 第四节 本章小结...............................................................................................................177 习题四...................................................................................................................................177
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
0
x0 k 8
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 8
②劳斯阵第一列皆大于0
有
18 k
5
0
k
18 8
k
18
k 8
所以，此时k的取值范围为: 8 k 18
© BIP
No.30
课程小结：
系统稳定性的基本概念及稳定条件； 劳斯判据的判断对象、方法及步骤； 如何应用劳斯判据进行系统绝对稳定性和相 对稳定性的分析。
k s(s 3)(s 5)
[解]：闭环特征方程为：
s3 8s2 15s k 0
现以 s=x-1代入上式，得
x3 5x2 2x k 8 0
No.29
© BIP
x3 5x2 2x k 8 0
劳斯阵：x3 1
2
x2 5 k 8
18 k x1 5
© BIP
No.26
3、系统的相对稳定性（稳定裕量）
思考一：以下两个系统哪个系统的稳定性更好？
稳定裕量
1
Im s
j1
稳定裕量
0.5
Im s
j1
3
1 0 Re
3
0.5 0 Re
j1
j1
图9 系统的相对稳定性 结论一：稳定的系统，其极点距离虚轴越远，稳定性越好。
No.27
例题1：已知系统的结构图，要使系统稳定K应该怎么取值？
K
s(0.2s 1)(0.1s 1)
[解]：闭环传递函数为：
(s) G(s)
K
1 G(s) s(0.2s 1)(0.1s 1) K
特征方程为： s3 15s2 50s 50K 0
简述劳斯稳定判据内容
简述劳斯稳定判据内容
劳斯稳定判据是控制系统理论中常用的一种稳定性判据，用于判断线性时不变（LTI）系统的稳定性。
其判据是通过系统的
传递函数的分子和分母的系数来确定。
劳斯稳定判据的内容如下：
1. 将系统的传递函数表示为一个分式形式，其中分母是一个多项式。
2. 将分母多项式的系数按降序排列，如果存在某个系数为零，则将其设置为理想情况下小于零的一个极小值，例如-ε。
3. 按照以下步骤来构造劳斯表（一个方阵），其中每一行表示分母多项式的一个系数：
a. 第一行为分母多项式的系数。
b. 第二行为倒数第二行的系数乘以第一行的第一个元素除以
第一行的第一个元素的相反数，以此类推。
c. 每一行的系数先用倒数第二行的系数乘以第一行的第一个
元素除以第一行的第一个元素的相反数，然后再减去倒数第二行的第一个元素乘以第一行除以第一行的第一个元素的相反数，以此类推。
4. 判断系统的稳定性：
a. 如果劳斯表的首行（分母多项式系数）全为正，则系统稳定。
b. 如果劳斯表的首行有一个负元素，但是上一行（倒数第二行）全为正，则系统稳定。
c. 如果劳斯表的首行中有一个零元素，但是上一行全为正，
则系统边界稳定（不稳定的情况也可能发生）。
d. 如果劳斯表的首行有一个负元素，并且上一行中也有一个
负元素，则系统不稳定。
劳斯稳定判据是一种必要条件但不是充分条件，即如果劳斯判据判断出系统稳定，则系统一定是稳定的；但如果判断出系统不稳定，则系统可能是不稳定的，也可能是边界稳定的。
因此，在劳斯判据显示不确定的情况下，还需要进行其他稳定性判据的分析。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析
劳斯判据是由英国统计学家劳斯（Karl Pearson）提出的一种判断经验分布是否适合
正态分布的方法。
其核心思想是通过比较经验分布的偏度（skewness）和峰度（kurtosis）与正态分布的对应统计量来判断。
偏度是描述数据分布形态的指标，可以用来判断数据是否偏向左侧或右侧。
偏度等于
0表示数据分布对称，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
正态分布的偏度为0。
根据劳斯判据，如果经验分布的偏度和峰度与正态分布的对应统计量之间的差距较小，则可以认为经验分布与正态分布拟合较好。
劳斯判据也存在一些限制和局限性。
劳斯判据只适用于连续型随机变量或高度离散的
离散型随机变量。
对于其他类型的数据（如混合型分布或非参数分布），劳斯判据可能不
适用。
劳斯判据无法提供关于拟合程度的具体度量，只能给出拟合程度的相对判断。
在应
用劳斯判据时，需要结合其他方法进行进一步分析和判断。
劳斯判据对样本量的要求较高。
当样本量较小时，劳斯判据的结果可能不够可靠。
劳
斯判据对于正态分布的敏感性较高。
在样本量大且离散程度较大的情况下，劳斯判据可能
会将非正态分布误判为正态分布。
劳斯判据
来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则
下一行将出现∞）。如果e的上下两个系数均为正数，则说 明系统特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的
上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程， 则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。
s1
↓求导数
1
16
10
160
0
0
s0
20s + 0
20
0
160
辅助多项式
s2
构成新行
SUCCESS
THANK YOU
2020/2/4
从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有
特征根位于右半平面。由辅助多项式知道10s 2 + 160 = 0有 一对共轭虚根为±j4。
例3.7 特征方程式为
s5 2s4 3s3 6s2 4s 8 0
的。
(4) 只要-pi中有一个为零，或-s i中有一个为零
（即有一对虚根），则式(3.60)不满足。当t→∞时，系统 输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态， 这时系统处于稳定的临界状态。
总结上述，可以得出如下结论：
线性系统稳定的充分必要条件
是它的所有特征根均为负实数，或
具有负的实数部分。
ansn an1sn1 L a1s a0 0
设上式有k个实根-pi （i=1，2，…，k），r对共轭
复数根(-s i±jw i ) (i=1，2，…，r)，k+2r=n，则齐次方
程式(3.59)解的k 一般式r为
c(t) Cie pit eit ( Ai cosit Bi sin it)
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是控制系统稳定性分析的一个重要工具，它是由英国数学家乔治·凯尔文·劳斯（George H. C. Routh）于1877年提出的，被广泛应用于控制理论和工程实践中。
劳斯判据可以通过计算系统特征方程的系数来判断系统的稳定性，并且可以得出系统的稳定性条件，非常适合用于线性时不变系统的分析。
下面我们将对劳斯判据进行浅略分析，了解其基本原理和应用方法。
我们需要了解什么是系统特征方程。
对于一个线性时不变系统，其传递函数可以表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。
而系统的特征方程就是分母多项式为零时得到的方程，通常用D(s)=0表示，其中s为复变量。
特征方程的根决定了系统的特性，比如稳定性、定常误差等。
劳斯判据的基本原理是通过特征方程的系数来判断系统的稳定性。
给定一个特征方程为：D(s) = a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0 = 0a_n, a_{n-1}, ..., a_0为特征方程的系数。
然后，根据这些系数构造劳斯数组，其形式为：\begin{array}{c|c c c c c}s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots & \text{若n为奇数，则} a_1 \\s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots & \text{若n为偶数，则} a_0 \\s^{n-2} & & & & & \\\vdots & & & & & \\s^1 & & & & & \\s^0 & & & & & \\\end{array}接着，根据劳斯数组中的元素进行计算，得出一个等式：A_1, A_2, ..., A_{n-1}为劳斯数组中相邻两行元素的计算结果。
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3-1 稳定性
1、稳定性的概念
2、判别系统稳定性的基本原则
线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据
劳斯判据
劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：
55
3(0
0122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表
3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，
且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况
· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如：控制系统的特征方程为
0161620128223456=++++++s s s s s s
列劳斯表
16
381662480
00
161220
1612216208101
23456S S S S S S S
由于3s 这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
s s ds
s dF 248)
(3+=，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S 右半平面上没有特征根。
令F(s)=0，
)4)(2(2)86(216122)(222424=++=++=++=s s s s s s s s F
得1,23,4 2s s j =±=±. 求得两对大小相等、符号相反的根
2,2j j ±±，显然这个系统处于临界稳定状态。