数列中恒成立问题的研究

2

一、问题提出

专题：数列中恒成立问题的研究

问题1：已知等差数列｛a n ｝的首项为1,公差为2，若a i a 2 a 2a 3 a 2n a 2n 1

n N 恒成立，则实数t 的取值范围是

.(,12]

a i a 2 a 2a 3 a 3a 4 a 4a

5

a

2n a

2n 1

a 2(a

1

a

3

) a 4(a 3

a

5

)

a

2n

(a

2n 1

a

2n 1

)

4( a ? a 4 L 2

8n 4n ，所以

8n 2 4n tn 2 ，所以t

n N 恒成立，t

12

问题2 : 二、思考探究 探究1:设首项不为零的等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若不等式a ：

S 2 2

-号 ma,对任意正整数

n

n 都成立,

则实数m 的最大值为

解析：a 1= 0时，环等式恒成立，当 a&O 时, 」上+ ■!；,将

a 1 n a 1

a n = a 1+ ( n —

1) d ,

n — 1 d 代入上式，并化简得： 入 < 5-^1^+6

2 4

a 1

5

a 1 1 1 1

+ -•入 <-,•入 max =-. 5 5 5

探究2 :已知常数 入》0，设各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S,满足：a 1 = 1 ,

S '1納 3n 1 a n 1 ( n N* ). (1)若入=0 ,

求数列｛a n ｝的通项公式;

1 (2)若 a n 1

-a n 对一切 n 2 N*恒成立, 求实数 入的取值范围.

解：（1）入=0时，S1 a n 1

4S n

a n

a

n 1 .

a n -a n

(2)

S

a

n 1 Q

n 1

S n a

n

3n

1 a

n

1 , a

n

1

S n 1 S

n

a

n 1

3n

a n 则鱼

a 2

S a 1

S

a 3 a 2

32

1，

… S n a

n

邑 3n1 1 (n > 2).

a

n 1

相加, 得

a n

3 32

L

3n 1

则S n

3n

a n (n> 2).

上式对 n = 1 也成

立,

•- S n 3n

3 2 a n

n N* ).③

…S n

3n1

2

a

n 1

(n N* )•④

③, 得a n 1

3n 1

3 2

a

n 1

3n

3

2

n a n .

3n1

2

a n 3n

2

a n .

•••入

3n

2

-a n

1

1

2a n 对一切 N*恒成立, 记b n

3n

3 2 2n

_ n _

3 3

对一切

3n1

3 ------n 2

N *恒成立.

b n 1

2n Fl

对一切n N*恒成立.

12分

2n 2 3n1

4n 2 3n

6

J

c J 1

c

3 3 3 3

当 n = 1 时，b n b n1 0 ； 当 n 》2 时，b n b n 1 0 ；

•- b 1 b 2 -是一切b n 中的最大项. 3

15分

综上所述，入的取值范围是 16分

探究3::数列｛a n ｝满足：a 1

a ?

a 3

—

~2

a n

『2n

(常数

0,n N )

(1)求数列｛a n

｝的通项公式;

r,s,t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列？若存在，给出 r,s,t 满

足的条件；若不存在，说明理由;

由奇偶性知r t 2s 0

⑶(0,|]

三、真题链接

四、反思提升 五、反馈检测

(3)是否存在实数 ，使得b m 3m 2(m N*)，若存在，求出满足条件的实数

；若不存在，请说明

理由.

解 (1)当 n 》2 时，4S n —1= a n — 4(n — 1) — 1 , —4 a n = 4S — 4S n - 1 = a n + 1 — a n — 4,

2 2 2 即 a n + 1 = a n + 4£h + 4= (a n + 2), 又a n >0,.・. a n +1= a n + 2,.・.当n 》2时，｛a n ｝是公差为2的等差数列.

【解】

(1)印 3

当n 2时，由 a 1 a

a 3 2

L

a

n “2

n 1

n

2n

①

得a 1

a 2 a 3 2

L -

a

n 1 n 2

(n 2

1) 2(n 1)

②

①-②得:打 2n 1 ，所以 a n

(2n 1)

n 1

(n

2)

因为a 1

3，所以a n (2n

1)n 1

(n N

)

取值范围. (2)当

(2)当

4时，是否存在互不相同的正整数 (3)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若对任意

，都有(1 )S n a n 2 n 恒成立，求实数

的

4时，a n (2n 1)4n 1

若存在a r ,

a s ,

a t 成等比数列，则(2r 1)(2t 1)4r

t 2s 2

(2 s 1)

所以(2r 1)(2t 1) (r

t 1)2

，即 r t , 这与 r t 矛盾. 故不存在互不相同的正整数

r,s,t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列

1.设各项均为正数的数列 {a n }的前n 项和为S,满足a

2

+1=

4S +4n +1, n € N ,且 a 2, a 5, a i4 构成等

比数列.数列｛b m ｝满足对于任意正整数 m b m 是使得不等式 a n > m(

0)成立的所有n 中的最小值.

(1)求数列｛a n ｝的通项公式; (2)当

1时，求数列｛b m

｝的前2m 项的和;