提升(五)圆锥曲线(教师)

李嘉苇 肖啟航 彭颖 邹林茂 宛世杰 刘晨宇 熊晨 粟星 韦人杰 何沐阳 黄伟城

孙爱伟 张圆琪 田世林 李智勇 潘雨宏 陈凯 邓媛梦 杨帆 白立强 张倍铭 李建桦 刘晓艺

提升题（五）圆锥曲线

1．直线1y kx =-与双曲线22

1x y -=的左支有两个公共点，则k 的取值范围是

A

．(0) B

．( C

．(1)- D

．(1]-

【答案】C

【解析】

试题分析：联立方程直线1y kx =-与双曲线221x y -=得2210(2)2k x kx -+-=…①；若直线1y kx =-与双曲线221x y -=的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根，∴2222

4810201201()k k k k k ⎧⎪+->⎪-⎪<⎨-⎪-⎪>⎪-⎩解得

：()1k ∈-，故选：C ．

2．设1F ，2F 是双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的两个焦点，P 是C 上一点，若12F F 6a P +P =，且12F F ∆P 的最小内角为30，则C 的离心率为（ ）

A

． C

D

【答案】C

【解析】

试题分析：不妨设21PF PF >，由双曲线的定义得，12F -F 2a P P =．又因12F

F 6a P +P =，所以12F =4,F 2a a P P =,而c 2F F 21=,显然21F PF ∠最小，由余弦定理得，︒⋅⨯⨯-+=302424164222cos c a c a a ,即033222=+-a ac c ，所以a c a c 3032=∴=-)(，则3==a

c e ．故选C ． 3．过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A

． B

．1) C

． D

．

【答案】D

【解析】 试题分析：由题意23b a

<<，即22249c a a -<<，所以22510c a <<

e << 4．1F 、2F 分别是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于A 、B 两点，已知11BF AF ⊥，︒=∠301ABF ，则椭圆的离心率为（ ）

A ．226-

B ．2

36- C ．26- D ．36-

【答案】A

【解析】 试题分析：设1AF m =，

则由11AF BF ⊥，130ABF ∠=︒

得12,AB m AF ==，

所以22AF a =，22BF a m =-，所

以(2)(2)2a a m m +-=，解

得m =，在12BF F ∆中，

2221212122cos60F F BF BF BF BF =+-︒，即2224(2)(2)c m a m a m =+--

，把m =

代入得2222c e a

==-

2e =，故选A ． 5．过双曲线（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：由2OP OE OF =-得1()2

OE OP OF =+，所以E 是FP 的中点，设2F 是右焦点，则O 是2FF 的中点，所以2//OE F P ，又E 切点，即OE FP ⊥，所以2F P PF ⊥，22PF OE a ==，点P 双曲线上，故22PF PF a -=，所以3PF a =，于是由22222

PF PF FF +=有222(3)(2)a a c +=，得22104c a =

，即2

c e a ==，故选C ． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为

（A ） （B ） （C ）或 （D ） 【答案】C

【解析】

试题分析：由椭圆方程可知222

16,79a b c ==∴=，12PF F ∆为直角三角形，则190,90P F ∠=∠= 当190F ∠=时点P 到x 轴的距离为2174b PF a ==，当90P ∠=时，由三角形面积可得21902tan 22

c d b

=7373

d d ∴=∴=，所以点P 到x 轴的距离为47或37 7．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23

AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||

MN AB 的最大值是（ ） A

B

C

【答案】C

【解析】 试题分析：设AF a BF b ==、，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b ．再由余弦定理得222AB a b ab =++，结合基本不等式求得AB 的范围，从而可得 设AF a BF b ==，，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ，连接AQ 、BQ ，由抛物线定义，得AF AQ =且BF BP =，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得2222222223

AB a b abcos a b ab AB a b ab π=+-=++∴=+-，（），

222223224a b a b ab a b ab a b a b AB a b ++≤∴+-≥+-=+∴≥+（），（）（）（）（）,）． 22221x y a b

-=2

224a x y +=17

162

2=+y x 12,F F P 12,,P F F P x 473747376

7