第二十六章小结与复习

把 B (－1，2)代入y m x
1×2=－2.
中，得 m =－
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标.
P 的坐标为 ( 5 ，5 )． 24
y
B
D
P
A
C
Ox
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方 程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积 时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线 段长度.
针对训练
如图，设反比例函数的解析式为
y
3k x
(k＞0)．
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一
个交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
解：由题意知点 P 在正比例函数
y =2x 上，
把 P 的纵坐标 2 带入该解析
式，得P (1，2)，
把 P (1，2) 代入 y 3k ，
得到 k 2 .
x
3
y
2P
O
x
(2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：
y=kx +b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 16
△ABO 的面积为 3 时，求直线 l 的解析式；
解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b，
y
得 b= 2k，∴y = kx+2k，
l
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得x≥1，∴1≤x≤2； 当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 8 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. y/毫克
x 所以服药一次，治疗疾病的有 4 效时间是 1＋2＝3 (小时)．
O 2 x/小时
课堂小结
反 比 例 函 数
解：当－4＜ x ＜－1时， 一次函数的值大于反比例函数的值. A
C
BD Ox
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
解：把A(－4，1 )，B(－1，2)代入 y = kx + b中
2
，得 －4k + b = 1 ，
k= 1 ，
2 －k + b =2，
解得
2
b= 5，
2
所以一次函数的解析式为 y = 1 x + 5 . 22
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线
y＝k1x＋b
(k1≠0)
和双曲线
y
k2 x
(k2≠0)的交
点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值.
考点讲练
考点一 反比例函数的概念
2 x/小时
(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设 yk. x
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以 4 k ， 2
y/毫克
解得 k ＝8.
4
即 y 8. x
O2
x/小时
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
针对训练
已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比
例函数
yk x
(k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系
(从大到小) 为 y1 ＞0＞y2.
考点三 与反比例函数 k 有关的问题
例2 如图，两个反比例函数
y
4 x
和
y
2 x
在第一象
限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x
2 y
m
(m＜0)图象的两个交点，
x
AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值
时，一次函数的值大于反比例函数的值； y
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD， B D
若△PCA和 △PDB 面积相等，
.
第二十六章
九年级数学下（RJ） 教学课件
反比例函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1. 反比例函数的概念
定义：形如__y___kx___ (k为常数，k≠0) 的函数称为反
比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例
系数．
三种表达式方法：
(k≠0)．
y
k x
或 xy＝kx 或y＝kx－1
4 10
2. 如图，已知点 A，B 在双曲线 y k 上，AC⊥x 轴于 x
点C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC的中点，若△ABP 的面积为6，则 k = 24 .
E F
考点四 反比例函数的应用
例3 如图，已知 A (－4，1 )，B (－1，2) 是一次函数
y =kx+b 与反比例函数
与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反 比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在 线段上，
y/毫克
4
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O
针对训练
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
① y = 3x－1 ② y = 2x2
③ y1 x
Байду номын сангаас
④ y 2x 3
⑤ y = 3x
⑥y1 ⑦ y 1 ⑧y 3
x
3x
2x
2.
已知点
P(1，－3)
在反比例函数
y
k x
的图象上，
则 k 的值是
( B)
A. 3
B. －3
1 C.
D. 1
3
定义 图象 性质
应用
x，y 的取值范围
增减性 对称性
k 的几何意义
在实际生活中的应用 在物理学科中的应用
课后作业
见章末练习
y 3k ，
∴
x
y＝kx+2k，
A
N
M
O
x
解得 x =－3 或 1.
B
∴ B (－3，－k)，A (1，3k).
∵ △ABO的面积为16， 3
∴
1 2·3k·2
1 + 2·k·2
=136 ，
y l
A (1，3k)
N
解得 k 4 . 3
M
B (－3，－k)
O
x
∴ 直线 l 的解析式为 y= 4 x+8 ．
B.y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3
D. y3＜y2＜y1
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，
y3的值，再比较出其大小即可．
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能 按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 1 .
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上
一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与反比
例函数 y 8 x
(x＞0)和
y
k x
(x＞0) 的图象交于P，Q
两点，若 S△POQ=14，
则 k 的值为 -20.
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1)
反比例函数的图象：反比例函数y
k x
(k≠0)的
图象是双曲线 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线 y = x 和 y=－x ；
对称中心是：原点 .
(2) 反比例函数的性质
33
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？
解：当 x ＜－3或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反
比例函数的值. y l
A (1，3k)
N
M
B (－3，－k)
O
x
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小 时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)
图象
k＞0
y
o yk
x
(k≠0) k＜0
y
o
所在象限 性质
一、三象 在每个象
限(x，y 限内，y
同号) 随 x 的增
x
大而减小
二、四象 在每个象
限(x，y 限内，y
异号) 随 x 的增
x
大而增大
(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具 有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴 所围成的矩形的面积为常数 |k|.
3
3. 若 y a 1 xa22 是反比例函数，则 a 的值为 ( A)
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
考点二 反比例函数的图象和性质
例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反
比例函数 y 6 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系
是 ( D)
x
A. y3＜y1＜y2
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常
数k ． 2
3. 反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 y k ； x ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对
对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
A
求点 P 坐标.
C
Ox
考点四 反比例函数的应用
例3 如图，已知 A (－4，1 )，B (－1，2) 是一次函数
y
=kx+b
与反比例函数
y
2
m
(m＜0)图象的两个交点，
x
AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值
时，一次函数的值大于反比例函数的值； y