数列中不定方程问题的几种解题策略(教师版)

解析(1)略 (2)由(1)得 an = 2n −1, Sn = n2 (n∈N*)
am
+ am+1
+
am+2
+ ... + am+k
（k =
+ 1）(2m
−1+ 2
2m
+
2k
−1)
=
(2m
+
k
− 1)(k
+ 1)
所以 (2m + k −1)(k +1) = 65 ，由 m，k∈N*知 2m + k −1 k + 1 1
12，2bn＋1＝bn＋bann. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 设数列{cn}满足 cn＝bSn＋n 2，求 c1＋c2＋…＋cn 的值； (3) 是否存在正整数 p，q，r(p<q<r)，使得 bp，bq，br 成等差数列？若存在，求出所有
满足要求的 p，q，r 的值；若不存在，请说明理由． n
am+2
=
(am+2
−
4)(am+2 am+2
−
2)
=
am+2
−
6
+
8 am+2
为数列
an
中的项，
故
8 a m+2
为整数，又由（1）知： am+2 为奇数，所以 am+2
= 2m − 3 = 1,即m =1, 2
经检验，符合题意的正整数只有 m = 2 。 .
二.考题预测:
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地
am+2
an
中的项。
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。
（1）设公差为 d ，则 a22 − a52 = a42 − a32 ，由性质得 −3d (a4 + a3 ) = d (a4 + a3 ) ，
因 为 d 0 ， 所 以 a4 + a3 = 0 ， 即 2a1 + 5d = 0 ， 又 由 S7 = 7 得
7a1
+
7
2
6
d
=
7
，
解
得
a1 = −5 ，
d =2
(2)
amam+1 = (2m − 7)(2m − 5) 设 2m − 3 = t ，
（方法一） am+2
2m − 3
则 amam+1 = (t − 4)(t − 2) = t + 8 − 6
am+2
t
t
所以 t 为 8 的约数
（方法二）因为 amam+1
用整除性质解决．
例 2.
设数列an 的前 n 项和 Sn
= n2 ，数列bn 满足 bn
=
an (m N *) . an + m
（1）若 b1, b2 , b8 成等比数列，试求 m 的值；
（2）是否存在 m ，使得数列bn 中存在某项 bt 满足 b1,b4,bt (t N*,t 5) 成等差数列？
2m + k −1 = 13 m = 5
65 = 13 5 = 1 65 ，故 k + 1 = 5
所以 k = 4
点评 本题中将不定方程变形为 (2m + k −1) (k + 1) = 5 13,因为分解方式是唯一的，所以
可以得到关于 m, k 的二元一次方程组求解。
方法 2. 利用整除性质 在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利
位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这 类问题屡见不鲜，本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关 的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助.
题型一：二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的 整数解，方法较灵活，下面介绍 3 种常用的方法。
方法 1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干 个因式的乘积，再由题意分类讨论求解.
例 1.已知等差数列an 的公差 d＞0.设an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = 1 ，S2 S3 = 36 .
(1)求 d 及 Sn； (2)求 m，k(m，k∈N*)的值，使得 am + am+1 + am+2 + ... + am+k = 65 .
若 q≥4，则bb1q≥bb14≥2，即 b1≥2bq，不符合要求，此时无解；
若存在，请指出符合题意的 m 的个数；若不存在，请说明理由.
解：（1）略
（2）假设存在 m ，使得 b1,b4,bt (t N*,t 5) 成等差数列，即 2b4 = b1 + bt ，则
2 7 = 1 + 2t −1 ，化简得 t = 7 + 36
7 + m 1+ m 2t −1+ m
m−5
所以当 m − 5 = 1, 2,3, 4, 6,9,12,18,36 时，分别存在 t = 43, 25,19,16,13,11,10,9,8 适合
解：(1) an＝n.,n＝2n.
(2)
cn＝bSn＋n 2＝（n2＋n＋n）2 2n＋1，裂项得
1
1
cn＝n·2n－（n＋1）2n＋1，所以
1 c1＋c2＋…＋cn＝2－
1 （n＋1）2n＋1.
(3) 假设存在正整数 p，q，r(p<q<r)，使得 bp，bq，br 成等差数列，则 bp＋br＝2bq，
数列中不定方程问题的几种解题策略
一. 真题展示:
（ 2009 江 苏 卷 ） 设 an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， Sn 为 其 前 n 项 和 ， 满 足
a22 + a32 = a42 + a52 , S7 = 7 。
（1）求数列an 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
（2）试求所有的正整数 m ，使得 amam+1 为数列
pwenku.baidu.comr 2q 即2p＋2r＝ 2q .
n＋1 n 1－n 因为 bn＋1－bn＝ 2n＋1 －2n＝ 2n＋1 ，
所以数列{bn}从第二项起单调递减， 1 r 2q
当 p＝1 时，2＋2r＝ 2q ，
r1 若 q＝2，则2r＝2，此时无解；
r1 若 q＝3，则2r＝4，因为{bn}从第二项起递减，所以 r＝4，所以 p＝1，q＝3，r＝4 符合要求．
题意，即存在这样 m ，且符合题意的 m 共有 9 个
方法 3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，
再分别求解。如转化为 f (m) = g(n)型，利用 g(n) 的上界或下界来估计 f (m) 的范围，通过
解不等式得出 m 的范围，再一一验证即可。
例 3.已知各项都是正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn＝a2n＋an，数列{bn}满足 b1＝