人教a版高中数学选修4-4习题第一讲坐标系单元检测卷
高中数学人教A版选修4-4第一章坐标系章末综合测评-含答案解析版
人教A 版选修4-4第一章坐标系章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3D. 610．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.7212．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．14．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.15．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.16．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离．【解】 ∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程． 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2， 即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．图1【解】 设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)， 则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0， ∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32， θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3， ∴B ′的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．【解】 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得： C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32＞2， ∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程． 【解】 (1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝2 2. (2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.人教A 版选修4-4第一章坐标系章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. 【答案】 A2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.【答案】 C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ【答案】 C4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2. 【答案】 B5．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，∴该方程表示抛物线． 【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限． 【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2.【答案】 B9．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3D. 6【解析】 由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，故点P 在平面xOy内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】 由伸缩变换知3y ＝sin 12x ， ∴y ＝13sin 12x ，∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72【解析】 曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.【答案】 C12．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )【解析】 法一 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，故选C.法二 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －22＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．【解析】 圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2 315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】 2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，∴弦长为2×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 【答案】 3 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min＝32＝322.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换1233x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线2．在极坐标系中，已知圆C 经过点236P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=3．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（ ） A ．2B ．3C ．1D ．54．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'23'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线5．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（ ） A ．2B ．2C ．22D ．16．在极坐标系中，下列方程为圆ρ2sin θ=的切线方程的是（ ）A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-7．在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝19．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。
设,A B 分别是12,C C 上的动点，则AB 的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．310．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（ ） A．cos ρθ=B．sin ρθ=C．ρθ=D．ρθ=11．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线12．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（ ）A ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩二、填空题13．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C 1与C 2的极坐标方程；（2）若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，求|OA |－3OB的取值范围.14．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．15．求圆心为(3,)6C π,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________.16．在极坐标系中，已知圆C 的圆心(4,)6C π，半径r ＝4,则圆C 的极坐标方程为_______。
人教A版高中数学选修4-4习题 第一讲 坐标系 单元检测卷
单元检测卷（一)（测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在极坐标系中，已知M错误!，下列所给出的不能表示点M的坐标的是（)A.错误!B.错误!C.错误!D错误!1．A2．在极坐标系中，点（ρ，θ）与点（－ρ，π－θ）的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．重合D．关于直线θ＝错误!(ρ∈R）对称2。
A3．在极坐标系中,已知点P1错误!、P2错误!，则｜P1P2｜的值为（）A。
13B．5C。
错误!D。
错误!3.A4．将y＝sin x的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的1 2，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为（）A．y＝2sin 12x B．y＝错误!sin 2xC．y＝2sin 2x D．y＝错误!sin错误!x4．答案:D5．极坐标方程ρ＝1表示(）A．直线B．射线C．圆D．椭圆5．C6．在极坐标系中，过点错误!且与极轴垂直的直线方程为()A．ρ＝－4cos θB．ρcos θ－1＝0C．ρsin θ＝－错误!D．ρ＝－错误!sin θ6．解析：设M(ρ，θ)为直线上除错误!以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos 错误!，则ρcos θ＝1,经检验错误!符合方程．答案:B7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化为直角坐标方程是（）A．x2＋(y＋2)2＝4B．x2＋(y－2)2＝4C．（x－2）2＋y2＝4D．(x＋2）2＋y2＝47．B8．在极坐标系中，已知点A错误!，B错误!，O（0，0）,则△ABO 为(）A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形8.D9．两圆ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面积是（）A。
错误!－错误!B．π－2C。
错误!－1 D.错误!9.C10．已知点P1的球坐标是P1错误!,P2的柱坐标是P2错误!，则|P1P2｜等于（）A．2 B. 3 C．2错误! D.错误!10。
数学人教A版选修4-4单元检测 第一讲坐标系 含解析 精
数学人教版A4-4第一讲坐标系单元检测(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与极坐标(－2，6π)不表示同一点的极坐标是( )． A ．(2，76π) B ．(2，－76π) C ．(－2，－116π) D ．(－2，136π)2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )．A ．F (2x ，3y )＝0 B ．F (2x ，3y)＝0 C ．F (3x ，2y )＝0 D ．F (3x，2y )＝03．若ρ1＝ρ2≠0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合4．以(4π)( )． A ．ρ＝－(sin θ＋cos θ) B ．ρ＝sin θ＋cos θ C ．ρ＝－2(sin θ＋cos θ) D ．ρ＝2(sin θ＋cos θ)5．极坐标方程4ρsin 22θ＝5表示的曲线是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1(ρ≥0)与θ＝4π(ρ≥0)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．其中正确的是( )．A ．①③B ．①C ．②③D ．③7．点P 的直角坐标为(1，则点P 的极坐标为( )．A ．(2，3π) B ．(2，43π) C ．(2，－3π) D ．(2，－3π)8．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )．9．直角坐标为(33的点的极坐标可能是( )．A ．(512π-) B ．(512π)C ．(-712π)D ．(712π)10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q (1，2π)的最近距离等于( )．1 1 C ．1 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．极坐标系内，点(2，2π)关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________． 12．两直线ρsin(θ＋4π)＝2 011，ρsin(θ－4π)＝2 012的位置关系是__________．13．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cos θθ)＝6的距离的最小值是________．14．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．15．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝3π，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,2x x y y'=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．17．(15分)如图，正方体OABC —D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C ，B ′，P 的柱坐标．参考答案1. 答案：B2. 答案：A 设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)，∴2,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩则1,23,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩代入F (x ，y )＝0得F (12x ′，3y ′)＝0. 3．答案：C 4. 答案：C5. 答案：D ∵4ρsin 22θ＝5，∴4ρ·1cos 2θ-＝2ρ－2ρcos θ＝5，化为直角坐标方程为－2x ＝5，即y 2＝5x ＋254，该方程表示抛物线． 6. 答案：D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝4π这条射线，还表示θ＝54π这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．7. 答案：C ∵P (1，ρ＝|OP |＝2，OP 与x 轴的正方向所成的角为53π，∴点P 的一个极坐标为(2，53π)，故(2，－3π)可为点P 的一个极坐标． 8. 答案：B 把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，又圆ρ＝cos θ的圆心为(12，0)，半径为12，故选项B 正确．9. 答案：B ∵ρ= (ρ＞0)，点(33在第一象限，tan θ1=tan 512π，∴点(33的极坐标为，512π)．10．答案：A 将ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心(1,0)1.11. 答案：4π) 点(2，2π)的直角坐标为(0,2)，直线ρcos θ＝1的直角坐标方程为x ＝1，所以(0,2)关于x ＝1的对称点为(2,2)，它的极坐标为4π)．12. 答案：垂直 两直线方程可化为x ＋y ＝y －x ＝故两直线垂直．13. 答案：1 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为x －6＝0，3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.14．答案：6π) ∵cos 3,4cos ,p p θθ=⎧⎨=⎩ (1)(2)∴4cos 2 θ＝3.∴2(1＋cos 2θ)＝3. ∴cos 2θ＝12. ∵0≤2θ＜π，∴θ＝6π.代入①得ρ＝∴C 1与C 2交点的极坐标为6π)．15. ∵三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1在直角坐标系下对应的直线方程为y ＝0，y ，x ＋y ＝1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示．则点A (1,0)，B )∴S △AOB ＝12×1. 16. 答案：解：将2,2x x y y'=⎧⎨'=⎩代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1，即(x －52)2＋(y ＋3)2＝14，故曲线C 是以(52，－3)为圆心、半径为12的圆． 17. 答案：解：设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)，则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝2π，z 1＝0，∴C 的柱坐标为(3，2π，0)；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |=θ2＝∠BOA ＝4π，z 2＝3，∴B ′的柱坐标为4π，3)；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝2，θ3＝∠AOE ＝4π，z 3＝3，点P 的柱坐标为(24π，3)．。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A ．34π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为（ ） A ．52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 3．在极坐标系中，与点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．8,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．58,6π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．58,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．8,6π⎛⎫--⎪⎝⎭4．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于AB 、两点，则AB 为（ ）A B ．C D ．5．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．56．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-7．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=8．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=10．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（ ）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.若||||3AB OP ⋅，则α=________.14．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）. 15．在极坐标系中，以,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为__________. 16．在同一平面直角坐标系中，将曲线22368120x y x --+=变成曲线22''4'30x y x --+=，则满足上述图形变换的伸缩变换是________.17．极坐标2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为______. 18．在极坐标系中，极点到直线cos()226πρθ-=的距离等于________．19．在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是____________20．ABC ∆的底边110,,2BC A B =∠=∠以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的轨迹的极坐标方程为__________________三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）若射线:0,02OM πθααρ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线:(0)2ON πθαρ=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值.22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 23．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到曲线2C 上的距离的最小值. 24．在极坐标系中，设圆1:4cos C ρθ=与直线:()4l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程；（2）在圆1C 上任取一点M ，在圆2C 上任取一点N ，求||MN 的最大值.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为()4,0，射线θα=（02πα<<）与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值.26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．B解析：B 【分析】根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】设它的极坐标为(,)ρθ222(4,2ρρ=+==tan 1θ==- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈34πθ∴=则它的极坐标可表示为32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案； 【详解】点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈， 故点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.4．B解析：B 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)
一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
2021学年高中数学第一讲坐标系测评习题含解析人教A版选修4_4.docx
第一讲测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x 按照伸缩变换{x '=2x ,y '=3y后得到的曲线方程为( )A.y=3sin 32x B.y=3sin 3x C.y=3sin 6xD.y=13sin 32x,得{x =x '2,y =y '3.将其代入y=sin3x ,有y '3=sin 32x',即y'=3sin 32x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin 32x.2.在极坐标系中,已知M (-5,π3),则下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( ) A .(5,-π3) B .(5,4π3) C .(5,-2π3) D .(-5,-5π3)3.若点A 的球坐标为(5,3π4,3π4),则它的直角坐标为( )A .(-52,52,-5√22)B .(-52,52,5√22) C .(-52,-52,5√22)D .(52,52,-5√22)A 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=r sin φcos θ=5·sin 3π4cos 3π4=-52,y=r sin φsin θ=5sin 3π4sin 3π4=52,z=r cos φ=5cos 3π4=-5√22,所以直角坐标为(-52,52,-5√22).4.在极坐标系中,过点(2,π3)且与极轴垂直的直线方程为( )A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-√3D.ρ=-√3sin θM (ρ,θ)为直线上除(2,π3)以外的任意一点,则有ρcos θ=2·cos π3,则ρcos θ=1,经检验(2,π3)符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos θ-1=0.5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( ) A.(1,π2) B.(1,3π2)C.(1,0)D.(1,π)ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,3π2).6.可以将椭圆x 210+y 28=1变为圆x 2+y 2=4的伸缩变换是 ( )A .{5x '=2x ,√2y '=yB .{√2x '=√5x ,y '=√2yC .{√2x '=x ,√5y '=√2yD .{√5x '=√2x ,√2y '=yx 2+y 2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为{x '=λx (λ>0),y '=μy (μ>0),将其代入x'2+y'2=4,得λ2x 2+μ2y 2=4,即λ2x 24+μ2y 24=1,与椭圆x 210+y 28=1,比较系数得{λ24=110,μ24=18,解得{λ=√2√5μ=√2 故满足题意的伸缩变换为{x '=√2√5,y '=√2,即{√5x '=√2x ,√2y '=y .7.在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为( )A.11B.11√2C.11√3D.22ρ=22sinθ,得ρ2=22ρsinθ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.8.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定ρ=2cosθ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-√3y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=|1-√3×0+1|2=1=r,所以直线与圆相切.9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16x=ρcosθ,y=ρsinθ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.10.导学号73574029在球坐标系中,集合M={(r,φ,θ)|2≤r≤6,0≤φ≤π2,0≤θ<2π}表示的图形的体积为()A.416π3B.146π3C.614π3D.461πr,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=12(4π3×63-4π3×23)=12×4π3×208=416π3.11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=2,故选B .12.导学号73574030圆ρ=r 与圆ρ=-2r sin (θ+π4)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.√2ρ(sin θ+cos θ)=rD.√2ρ(sin θ+cos θ)=-rρ=r 的直角坐标方程为x 2+y 2=r 2,① 圆ρ=-2r sin (θ+π4)=-2r (sinθcos π4+cosθsin π4)=-√2r (sin θ+cos θ),两边同乘ρ,得ρ2=-√2r (ρsin θ+ρcos θ),所以x 2+y 2+√2rx+√2ry=0,② 由①-②,并化简得√2(x+y )=-r ,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线√2(x+y )=-r 化为极坐标方程为√2ρ(cos θ+sin θ)=-r.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P (2,0)与点Q 关于直线θ=π3对称,则|PQ|= .θ=π3的直角坐标方程为y=√3x.设点P 到直线的距离为d ,则|PQ|=2d=√3√1+3=2√3.√314.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 .{ρcosθ=3,ρ=6sinθ,①②将②代入①,得6sin θcos θ=3,∴sin2θ=1. ∵0≤2θ<π,∴θ=π4.代入①得ρ=3√2.∴C 1与C 2交点的极坐标为(3√2,π4).(3√2,π4)15.已知点M 的柱坐标为(2π3,2π3,2π3),则点M 的直角坐标为 ,球坐标为 .M 的直角坐标为(x ,y ,z ),球坐标为(r ,φ,θ).由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,z =z ,得{ x =2π3cos 2π3=-π3,y =2π3sin 2π3=√3π3,z =2π3.由{r =√x 2+y 2+z 2,cosφ=zr , 得{r =2√2π3,cosφ=√22,即{r =2√2π3,φ=π4.所以点M 的直角坐标为(-π3,√3π3,2π3),球坐标为(2√2π3,π4,2π3).-π3,√3π3,2π3) (2√2π3,π4,2π3) 16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是 .θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=√3x ,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A (1,0),B (√3-12,3-√32). 所以S △AOB =12×3-√32×1=3-√34.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为{x '=2x ,y '=13y ,曲线C 在此变换下变为椭圆x '24+y'2=1,求曲线C 的方程.{x '=2x ,y '=13y ,所以将其代入方程x '24+y'2=1,得(2x )24+(13y)2=1,即x 2+y 29=1.故曲线C 的方程为x 2+y 29=1. 18.(本小题满分12分)已知定点P (4,π3).(1)将极点移至O'(2√3,π6)处,极轴方向不变,求点P 的新坐标; (2)极点不变,将极轴顺时针转动π6角,求点P 的新坐标.设点P 的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,|OO'|=2√3,|OP|=4,∠POx=π3,∠O'Ox=π6, 所以∠POO'=π6.在△POO'中,ρ2=42+(2√3)2-2×4×2√3×cos π6=16+12-24=4,则ρ=2.又23=sin∠POO '2,所以sin ∠OPO'=sin π62×2√3=√32, 即∠OPO'=π3.所以∠OP'P=π-π3−π3=π3,则∠PP'x=2π3,∠PO'x'=2π3. 故点P 的新坐标为(2,2π3).(2)如图所示,设点P 的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=π3+π6=π2. 故点P 的新坐标为(4,π2).19.(本小题满分12分)以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C 1:ρ=2cos θ-4sin θ,C 2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C 1的方程化为直角坐标方程; (2)求曲线C 1和C 2两交点A ,B 之间的距离.由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ.∴x 2+y 2=2x-4y.∴C 1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C 2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.∵圆心(1,-2)到直线的距离d=5=5,∴|AB|=2√(√5)2-(√5)2=√5=8√55. 20.(本小题满分12分)已知定点A (a ,0),动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA=π3.在OP 的延长线上取点Q ,使|PQ|=|PA|.当点P 在极轴所在直线的上方运动时,求点Q 的轨迹的极坐标方程.Q ,P 的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.在△POA 中,|OP|=ρ1=asin π3·sin (2π3-θ),|PA|=asinθsinπ3.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得 ρ=2a cos (π3-θ).故点Q 的轨迹的极坐标方程为ρ=2a cos (π3-θ).21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3,π3),半径r=3.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若点Q 在圆C 上运动,点P 在OQ 的延长线上,且OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹的极坐标方程.设M (ρ,θ)是圆C 上除极点外的任意一点,连接OM ,CM.在△OCM 中,∠COM=|θ-π3|, 由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos ∠COM , 即32=ρ2+32-2×3×ρcos (θ-π3), ρ=6cos (θ-π3).因为极点适合上式,所以圆C 的极坐标方程为ρ=6cos (θ-π3). (2)设点Q 为(ρ1,θ1),点P 为(ρ,θ), 由OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以ρ1=23ρ,θ1=θ. 因为点Q 在圆C 上,所以有ρ1=6cos (θ1-π3).将ρ1=23ρ,θ1=θ,代入圆ρ1=6cos (θ1-π3)的方程,得23ρ=6cos (θ-π3),即ρ=9cos (θ-π3).故动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ=9cos (θ-π3).22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2与曲线C 2:ρsin (θ-π4)=√2交于不同的两点A ,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.方法一)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4,半径r=2.又ρsin (θ-π4)=√2,∴y=x+2.∵原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=√2=√2,∴|AB|=2√r2-d2=2√4-(√2)2=2√2. (方法二)设A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),则sin(θ1-π4)=√22,sin(θ2-π4)=√22.∵θ1,θ2∈[0,2π),∴|θ1-θ2|=π2,即∠AOB=π2.又|OA|=|OB|=ρ=2,∴|AB|=2√2.(2)∵曲线C2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1, ∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ-1,即ρcos(θ+π4)=√22.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 2．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。
若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（ ）A ．31-B ．31+C ．1D ．33．如图，点A 、B 是函数1y x=在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）A ．12B 2C 3D 5 4．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（ ） A 2B 3C ．1D 55．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线2ρ截得的线段长为（ ） A 3B 6C 6D ．26．在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θπ(ρ4=≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( ) A ．①③B ．①C ．②③D ．③7．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( )A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝19．已知点P的直角坐标(2,--，则它的一个极坐标为（ ） A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 10．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（ ）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩11．在极坐标系中，直线cos()4ρθπ-=ρ的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定 12．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=二、填空题13．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B 在直线31x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．14．球坐标2,,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭对应点的直角坐标为________. 15．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．16．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．17．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．18．在伸缩变换'2:1'2x x y y ϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩的作用下，点(1,2)P -变换为点P'，则P'的坐标为____________.19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2x cosay =⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 20．在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAB 的面积是__________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 下，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，且0t ≥，π02α<<），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos r ρθ=，常数0r >，曲线2C 与曲线1C ，3C 的异于O 的交点分别为A ，B ． （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）若||||OA OB +的最大值为6，求r 的值．22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线221:(1)1C x y -+=以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos()6πρθ-=（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点(4,0)M ，直线l 的极坐标方程为3πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ 的面积.23．在直角坐标系xOy 中，已知点()6,2Q ，曲线1C 的参数方程为28682x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），点P 是曲线1C 上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90︒交曲线2C 于点B，且3OA OB ⋅=，求k .24．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （1）求圆C 的直角坐标方程（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.26．在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x xy y ''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将伸缩变换53x xy y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解.【详解】解：把53x x y y ''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即2225361x y +=，即为曲线C 的方程． 故选：A ． 【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2．A解析：A 【分析】 把3πθ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案． 【详解】 由题意，把3πθ=代入2sin ρθ=，可得2sin33A πρ==，把3πθ=代入2cos ρθ=，可得2cos13B πρ==，结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】设点B 的极坐标为(),ρθ，则04πθ<<，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐标2,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭，将函数1y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】设点B 的极坐标为(),ρθ，则04πθ<<，由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=，则点A 的极坐标,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭，将函数1y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，化简得2sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 22ρθ=，将点A 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 化简得2cos24ρθ=，于是有22sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩，()()242222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得2ρ=，因此，OAB ∆的面积为111sin 2422242OAB S OA OB πρρ∆=⋅=⨯⨯⨯=⨯ 故选D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，由AB 的坐标分析可得|OA |＝1，|OB |＝2，且∠AOB 2333πππ=-=，由余弦定理计算可得答案 【详解】在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）， 则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB 2πππ333=-=，则|AB|2＝2OA +2OB ﹣2|OA||OB|cos ∠AOB ＝1+4﹣2×1×2×cos π3=3，则|AB|= 故选：B ． 【点睛】本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．5．C解析：C 【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果. 【详解】直线sin cos 1ρθρθ-=的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=，ρ化为22ρ=，直角坐标方程为222x y +=，圆心为原点，半径为r =圆心到直线10x y -+=的距离为2d ==，10x y -+=被圆222x y +=截得的弦长为== C. 【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.6．D解析：D 【解析】分析：利用曲线的极坐标方程的知识逐一判断得解.详解：在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程,故①错误;tanθ=1不仅表示θπ4=这条射线,还表示θ5π4=这条射线,故②错误;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查曲线的极坐标方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：第一章 坐标系 单元质量测评 Word版含答案
第一章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分110分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．若以B 点为原点，建立直角坐标系，A 点坐标为(3，4)，则以点A 为原点，建立直角坐标系，B 点坐标为( )A ．(－3，－4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(3，4) 答案 A解析 当以B 点为原点，点A 在点B 的右上方，而以点A 为原点，则点B 在点A 的左下方，在第三象限，故其横纵坐标数值都为负，所以选A ．2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos2θ，给定两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P ，Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P ，Q 都在曲线C 上 答案 C解析 当θ＝π2时，ρ＝2cosπ＝－2≠0，故点P 不在曲线C 上；当θ＝π时，ρ＝2cos2π＝2，故点Q 在曲线C 上．3．极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线为( ) A ．极点 B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 答案 D解析 ρcos2θ＝0，即cos2θ＝0，得θ＝k π±π4，k ∈Z ，它表示两条相交直线． 4．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是(a ，π)(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是( )A ．ρ＝－2a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ<3π2B ．ρ＝a cos θ(0≤θ<π)C ．ρ＝－2a sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ<3π2D ．ρ＝a sin θ(0≤θ<π) 答案 A解析 如图所示，圆心C 的极坐标为(a ，π)，圆与极轴的反向延长线的交点为P (2a ，π)．设M (ρ，θ)是圆上除点O ，P 以外的任意一点，连接OM 和PM ，则OM ⊥PM ．在Rt △OMP 中，|OM |＝ρ，|OP |＝2a ，∠POM ＝π－θ，|OM |＝|OP |cos ∠POM ，即ρ＝2a cos(π－θ)，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－2a cos θπ2≤θ<3π2．5．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1对称的点的一个极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4答案 A解析 把点A 的极坐标化为直角坐标是(0，2)，把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程是x ＝1．在直角坐标系中，点A 关于直线x ＝1对称的点的坐标是(2，2)，化为极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4．6．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )答案 B解析 ρ＝cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＝0表示圆，ρcos θ＝12表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0与极轴垂直的直线．7．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 A 中，由ρ＝1cos θ＋sin θ，得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x ＋y ＝1，∴y ＝1－x (0≤x ≤1)； B 中，由ρ＝1cos θ＋sin θ，得y ＝1－x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤22；C 中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x 2＋y 2＝x ＋y (0≤x ≤1)；D 中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x 2＋y 2＝x ＋y ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤22．8．在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．43 答案 D解析 直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16．则所得弦长为242－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2222＝43． 9．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A ．1 B ． 3 C ．3 3 D ．6 答案 C解析 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C 3，π2，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝33．10．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝4上有3个不同的点到直线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝m 的距离都等于2，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0 答案 C解析 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，直线C 2的极坐标方程为22ρsin θ＋22ρcos θ＝m ，化为直角坐标方程为22y ＋22x ＝m ，即x ＋y －2m ＝0，由题意知曲线C 1的圆心(0，0)到直线C 2的距离为2，则|－2m |12＋12＝2，故m ＝±2． 第Ⅱ卷 (非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中横线上)11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________． 答案 θ＝π2＋α解析 ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π2．12．极坐标方程θ1＝π3(ρ≥0)，θ2＝2π3(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形的面积是________．答案 8π3 解析 如图所示．射线θ1＝π3(ρ≥0)，θ2＝2π3(ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形的面积是阴影扇形的面积，即12×42×π3＝8π3．13．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________．答案 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22解析 曲线C 1：ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心C 1(0，1)，半径为1；曲线C 2：ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C 2(1，0)，半径为1．易知线段AB 的垂直平分线即两圆圆心所在直线C 1C 2，直线C 1C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin θ＋π4＝22．14．已知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′24＋y ′2＝1，则曲线C 的方程是________．答案 x 2＋y 29＝1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，∴将其代入椭圆方程x ′24＋y ′2＝1， 得(2x )24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13y 2＝1，即x 2＋y 29＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 29＝1．三、解答题(本大题共4小题，满分40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，求出以C 为圆心，半径r ＝2的圆的极坐标方程(写出解题过程)．解 设M (ρ，θ)为圆上任意一点， 则∠MOC ＝θ－π3或π3－θ，由余弦定理得 4＋ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4．∴极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3．16．(本小题满分10分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解 ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为 x 2＋y 2＝－x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆． 将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0，∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0到直线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－21＋3＝54>12， ∴直线与圆相离．17．(本小题满分10分)设过原点O 的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解 (1)圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ．(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，即ρ1＝2cos θ1，点M 的极坐标为(ρ，θ)， ∵点M 为线段OP 的中点， ∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ．将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ．∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．18．(本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0．(1)求圆心C 的极坐标；(2)过极点O 作圆C 的切线，求切线的极坐标方程．解 (1)圆C 的极坐标方程可化为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，化为标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝2，故圆心的直角坐标为(2，2)，化为极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4．(2)圆C 的半径为2，设切点分别为A ，B ，可得∠COA ＝∠COB ＝π6，所以切线的极坐标方程为θ＝π4－π6＝π12(ρ∈R )，θ＝π4＋π6＝5π12(ρ∈R )．。
人教A版数学选修4人教版高中数学选修4—4《第一章坐标系》章节测试卷B(含答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学选修4—4《第一章 坐标系》章节测试卷B （含答案）一．选择题 1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为A 、正三角形B 、直角三角形C 、锐角等腰三角形D 、直角等腰三角形7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二．填空题（每题5分共25分）11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 12．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是13．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-2．在极坐标系中，点P 在圆1ρ=上，则点P 到直线()cos 2sin 5ρθθ+=的距离的最小值为（ ）A B C 1D 13．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．(C ．[1,1)-D ．[1,1)-4．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ）A B ．2C ．1D ．5．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称6．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于AB 、两点，则AB 为（ ）A B ．C D ．7．若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭8．以π4⎛⎫⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)9．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan 1θ=与4πθ=表示同一条曲线；③3ρ=与3ρ=-表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是（ ） A ．①③B ．③C ．②③D ．①10．将曲线0(),F x y =上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13，得到的曲线方程为（ ） A ．,302()x F y = B ．3(2,0)y F x = C ．2(3,0)y F x =D ．,203()x F y =11．将正弦曲线sin y x =的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线的方程为 A ．3sin y x = B ．sin 3y x = C ．1sin3y x = D ．1sin 3y x =12．在极坐标系中，直线cos()24ρθπ-=与圆2ρ=的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定二、填空题13．已知椭圆C 的参数方程是5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤≤)，则其右焦点坐标是__________．14．直线2310x y 经过变换可以化为6610x y ''+-=，则坐标变换公式是_______. 15．在极坐标系中，以,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为__________. 16．极坐标方程(cos sin )10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______17．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．18．已知点P 的直角坐标按伸缩变换'2'3x xy y=⎧⎪⎨=⎪⎩变换为点'(6,3)P -，限定0,02ρθπ>≤<时，点P 的极坐标为_____________．19．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,)2π，半径为5，直线(,)2r πθαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．20．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是22sin 2cos x y αα=+⎧⎨=⎩(α是参数)，现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为7cos 27sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （2）若射线θ=6π（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|． 22．已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为34π. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB +的值. 23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出圆C 的极坐标方程及圆心C 的极坐标； （2）直线l 的极坐标方程为与圆C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 25．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .26．已知曲线1C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2,([0,],ραπα=∈为极角） （1）分别写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）已知M 为曲线1C 的上顶点，P 为曲线2C 上任意一点，求||PM 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．2．D解析：D 【分析】将极坐标方程转化为普通方程，将圆上点到直线距离问题转化为圆心到直线的距离再减半径，即可求出其最小值． 【详解】由1ρ=得221x y +=，∴圆心（0，0），r = 由()cos 2sin 5ρθθ+=，得25x y +=，又圆心（0，0）到直线的距离为555d r ==>，∴直线和圆相离，所以点P 到直线250x y +-=的距离的最小值为551r -=-， 故选：D. 【点睛】本题考查了极坐标方程和普通方程的转化，考查直线和圆的关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即222(sin cos )222a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)Aαα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此得到A 的极坐标为)αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．5．A解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.6．B解析：B 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(答案解析)(2)
一、选择题1．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（ ） A．B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,182．在球坐标系中，点3,,46P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点33,,46Q ππ⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离为（ ） AB．C．D．23．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（ ） A ．2''4y x =- B ．2''4x y =- C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-4．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-5．已知曲线C 与曲线5ρ=5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭6．以π4⎛⎫⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ) D ．ρ=2(sin θ+cosθ)7．在极坐标系中，下列方程为圆ρ2sin θ=的切线方程的是（ ） A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-8．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)9．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=10．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．在极坐标系中，已知两点6,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，26,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，则A ，B 中点的极坐标为（ ） A ．56,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．533,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．532,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．523,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭2．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:3sin C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．223．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称4．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．5．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（ ） A 2B 3C ．1D 56．极坐标系内曲线2cos ρθ=上的动点P 与定点(1,)2Q π的最近距离等于（ ）A 21B 51C ．1D 27．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于( ) A ．直线23πθ=对称 B ．直线56πθ=对称 C ．点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．极点中心对称8．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos2y x ''=C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=9．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-= D ．cos 8sin 4ρθρθ-= 10．圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为（ ） A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=11．将曲线22(1sin )2ρθ+=化为直角坐标方程为A ．2212y x +=B ．2212x y +=C ．2221x y +=D ．2221x y +=12．若曲线2 1x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（ ）ABCD二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =_______.14．在极坐标系中，直线()π3R θρ=∈被圆()2sin 0a a ρθ=>所截弦长为a =_______.15．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 16．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）.17．曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l：{32x y t ==-+（t 为参数）的最短距离是__________．18．以(4,0)C 为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程为_____________．19．以平面直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆2cos ρθ=的圆心的平面直角坐标为______________．20．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，曲线2212:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积22．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线21:4cos 30C ρρθ-+=，曲线2:cos()4C ρπθ=+.（I ）求曲线1C 及2C 的直角坐标方程；（II ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上的点的距离最大值. 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，以O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB 的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0M ，A 是圆22:4O x y +=上一个动点，AOM ∠的平分线交MA 于点P ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点P 的轨迹C 的极坐标方程； （2）若射线()π06θρ=>与圆O 和曲线C 分别交于S ，T 两点（其中T 异于原点O ），求ST ．25．在极坐标系中，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．26．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-2．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（ ）. A ．1B ．2C ．22D ．323．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14B ．334- C ．234- D ．134．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。
若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（ ）A ．31-B ．31+C ．1D ．35．如图所示，极坐标方程sin (0)a a ρθ=>所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于( ) A ．直线23πθ=对称 B ．直线56πθ=对称 C ．点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．极点中心对称7．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=8．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( ) A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈9．在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝111．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y +-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=12．将曲线22(1sin )2ρθ+=化为直角坐标方程为A ．2212y x +=B ．2212x y +=C ．2221x y +=D ．2221x y +=二、填空题13．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=，圆心为C ，点P 的极坐标为2π2,3⎛⎫⎪⎝⎭，则CP 的长度为______________.14．在极坐标系下，点π(1,)2P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q 距离的最小值为_________．15．在极坐标系中，O 为极点，点A 为直线:sin cos 2l ρθρθ=+上一点，则||OA 的最小值为______．16．若直线l 的极坐标方程为ρcos ()324πθ-=C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．17．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为______. 18．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__． 20．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,)2π，半径为5，直线(,)2r πθαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．三、解答题21．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 、B 的极坐标分别为()2,A π，22,4B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求AOB 的面积；（2）求直线AB 被曲线C 截得的弦长. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程.23．在直角坐标系xOy 中，直线1:1C x =，圆()222:23C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C ，3C 的交点为,M N ，试求2C MN ∆的面积.24．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为8cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程.25．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．26．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x ty =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为22(1)1y x +-=以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标系方程；（2）曲线2C ：0,02πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 交于A 、B ，求22OBOA +的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ． 【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．2．B解析：B 【分析】根据cos ,sin x y ρθρθ==，计算出直线的直角坐标方程，然后假设曲线上任意一点),sin Pαα，根据点到直线的距离公式以及辅助角公式进行计算即可.由cos ,sin x y ρθρθ==，则曲线cos sin 4ρθρθ+=的直角坐标方程为40x y +-=设曲线曲线sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的任意一点位),sin Pαα则点P到直线的距离位d ==所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min d 故选：B 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化以及使用参数方程来解决点到直线的最值问题，重在计算，考查逻辑推理以及计算能力，属中档题.3．B解析：B 【分析】求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用三角形的面积公式121sin 23S πρρ=可得出结果. 【详解】设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos01ρ=，得11ρ=. 设直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭， 则22cossin133ππρρ+=，即22112ρρ=，得21ρ=.因此，三条直线所围成的三角形的面积为)12113sin 1123224S πρρ==⨯⨯⨯=故选B. 【点睛】 本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.4．A【分析】 把3πθ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案． 【详解】 由题意，把3πθ=代入2sin ρθ=，可得2sin33A πρ==，把3πθ=代入2cos ρθ=，可得2cos13B πρ==，结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程即可。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求点C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2C ．2D ．222．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或23．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≠B ．k R ∈C ．2k >D ．2k4．将点的直角坐标()2,23-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ） A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．43,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．43,3π⎛⎫⎪⎝⎭5．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．6．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．127．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（ ） A ．2B 2C ．22D ．18．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠9．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．10．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于( ) A ．直线23πθ=对称 B ．直线56πθ=对称 C ．点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．极点中心对称11．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______. 14．圆C ：4sin ρθ=-上的动点P 到直线l ：πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知椭圆C 的参数方程是5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤≤)，则其右焦点坐标是__________．17．3cos sin 0ρθρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．18．在极坐标系中，如果直线cos =a ρθ与圆2sin ρθ=相切，那么a =____． 19．曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l ：33,{32x t y t ==-+（t 为参数）的最短距离是__________． 20．在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是____________三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++＝．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是()θαρ∈R ＝，l 与C 交于A B ，两点，||AB l 的斜率．23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点)4M π处的切线为直线l .(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与2214y x +=的交点为P 1,P 2,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．在极坐标系中，设圆1:4cos C ρθ=与直线:()4l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程；（2）在圆1C 上任取一点M ，在圆2C 上任取一点N ，求||MN 的最大值.25．在平面直角坐标系xOy 中，动点P （x ，y ）的坐标满足2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l 的极坐标方程为ρsin （θ+φ）＝cosφ（其中φ为常数，且φ2k k Z ππ≠+∈，）（1）求动点P 的轨迹C 的极坐标方程；（2）设直线l 与轨迹C 的交点为A ，B ，两点，求证：当φ变化时，∠AOB 的大小恒为定值．26．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长AB ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y , p 2=x 2+y 2,进行代换即得圆和直线的直角坐标方程，在直角坐标系中利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由222226cos 6cos 60(3)9x y x x y ρθρρθ=⇒=⇒+-=⇒-+=， 即圆C ：22(3)9x y -+=sin cos sin 2204x y πρθρθρθ⎛⎫+=⇒+=⇒+-= ⎪⎝⎭， 即直线方程为20x y +-=∴圆心到直线的距离为d ==， 故选：D 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查点到直线的距离公式，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为sin ,4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即)ρθθ= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无解，利用辅助角公式得出24sin cos sin πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，即可得出k 的取值范围. 【详解】当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解 由224sin cos sin πθθθ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭2k >.故选：C 【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由P 点的直角坐标(2,23-，可得22,tan yx y xρθ=+=，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】解：∵点P 的直角坐标()2,23-，∴()()22222234x y ρ=+=-+=，23tan 32y x θ===--， 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23πθ=．∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.5．A解析：A 【解析】 【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单元检测卷(一)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，已知M ⎝⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的不能表示点M的坐标的是( )D ⎝⎛⎭⎪⎫－5，－5π3 1．A2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线θ＝π2(ρ∈R)对称3．在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫－3，－π4，则|P 1P 2|的值为( )B ．54．将y ＝sin x 的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝2sin 12xB ．y ＝12sin 2xC ．y ＝2sin 2xD ．y ＝12sin 12x4． 答案：D5．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆 D ．椭圆 5．C6．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线方程为( )A ．ρ＝－4cos θB ．ρcos θ－1＝0C ．ρsin θ＝－ 3D ．ρ＝－3sin θ6．解析：设M (ρ，θ)为直线上除⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos π3，则ρcos θ＝1，经检验⎝⎛⎭⎪⎫2，π3符合方程．答案：B7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化为直角坐标方程是( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4 D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 7．B8．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，O (0，0)，则△ABO 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角等腰三角形D ．直角等腰三角形9．两圆ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面积是( ) －12 B ．π－2 －110．已知点P 1的球坐标是P 1⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，π4，P 2的柱坐标是P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，1，则|P 1P 2|等于( )A ．2 C ．2 211．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换是( )11．解析：方法1：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 22＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .方法2：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4，即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y28＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .答案：D12．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rρ(sin θ＋cos θ)＝r ρ(sin θ＋cos θ)＝－r12．解析：圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，①圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)＝－2r (sin θcosπ4＋cos θsinπ4)＝－2r (sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)，∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0，② 由①—②得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·广州市高三毕业班调研测试)曲线ρ＝2cos θ－23sin θ(0≤θ<2π)与极轴的交点的极坐标是____________．13．(0，0)(2，0)14．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则极点到直线的距离是________．15．(2015·广东信宜统测)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心到直线ρcos θ＝2的距离是________．15．116．与曲线ρcos θ＋1＝0关于θ＝π4对称的曲线的极坐标方程是________．16．ρsin θ＋1＝0三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝y 与伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝2y 的作用下，x 2＋y 2＝1分别变成什么图形17．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ＇2，y ＝y ＇，代入x 2＋y 2＝1得⎝⎛⎭⎪⎫x ＇22＋y ＇2＝1，即x ＇24＋y ＇2＝1.所以在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝y的作用下，单位圆x 2＋y 2＝1变成椭圆x 24＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ＇2，y ＝y ＇2代入x 2＋y 2＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＇22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＇22＝1，即x ＇2＋y ＇2＝4，所以在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝2y的作用下，单位圆x 2＋y 2＝1变成圆x 2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求点P 的新坐标；(2)极点不变，将极轴逆时针转动π6角，求点P 的新坐标．18．解析：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如下图所示，由题意可知：|OO ′|＝23，|OP |＝4， ∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2×4×23×cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62×23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴点P 的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如下图所示，设点P 新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴点P 的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.19．(本小题满分14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．19．分析：本题利用正余弦定理的边角关系找到顶点A 的ρ、θ之间的关系，从而求得其轨迹方程．解析：如下图，令A (ρ，θ)，在△ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ.于是由正弦定理，得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－3θ2＝10sinθ2，化简，得点A 轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.20．(本小题满分14分)已知定点A (a ，0)，动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA ＝π3.在OP 的延长线上取点Q ，使|PQ |＝|PA |.当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．20．解析：设Q 、P 的坐标分别是(ρ，θ)、(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.在△POA 中，由正弦定理得，ρ1＝asinπ3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ，|PA |＝a sin θsinπ3.又|OQ |＝|OP |＋|PA |，∴ρ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于点Q ，求点Q 的轨迹的极坐标方程．21．分析：需要找出点Q 的极角和极径的关系，在这里我们可以通过三角形的面积建立关系．解析：以圆心O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，P (1，2θ)．因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP ，所以12·3ρ·sin θ＋12ρ·sin θ＝12×3×1×sin 2θ.整理得ρ＝32cos θ.22．(本小题满分14分)已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB所在直线垂直相交与点T ，并且|AT |＝2a ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＜r 2.若半圆上相异两点M 、N 到l 的距离|MP |，|NQ |满足|MP |∶|MA |＝|NQ |∶|NA |＝1，通过建立极坐标系，求证|MA |＋|NA |＝|AB |.22．证明：证法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系， 则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ， 设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)， 则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2， 又|MP |＝2a ＋ρ1cos θ1＝2a ＋2r cos 2θ1， |NQ |＝2a ＋ρ2cos θ2＝2a ＋2r cos 2θ2， ∴|MP |＝2a ＋2r cos 2θ1＝2r cos θ1， ∴|NQ |＝2a ＋2r cos 2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是关于cos θ的方程r cos 2θ－r cos θ＋a ＝0的两个根，由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|MA |＋|NA |＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r ＝|AB |.证法二 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系， 则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ， 设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，又由题意知，M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a1－cos θ，r cos2θ－r cos θ＋a＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.。