人教版必修二数学圆与圆的位置关系优秀课件
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2-5-2圆与圆的位置关系 课件(共48张PPT)
∴b1＝0，b2＝－4，b3＝－52.
∴k1＝43，k2＝0，k3＝－34.
∴公切线方程为 4x－3y＝0 或 y＝－4 或 3x＋4y＋10＝0. 又两圆外离，公切线有 4 条． ∴另一条切线斜率不存在，据题知其方程为 x＝0.
探究 3 (1)与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，两圆 的公切线包括外公切线和内公切线两种．
课时学案
题型一 两圆位置关系的判断
例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0 与圆 C2： x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，则 m 为何值时：
(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内含． 【思路分析】 根据圆与圆的位置关系来判定．
【解析】 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)若两圆外离，则 （m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2>25，m2＋3m－10>0， 解得 m<－5 或 m>2. (2)若两圆外切，则 （m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得 m＝－5 或 m＝2.
(3)过点 M(2，4)向圆 C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1 引两条切线， 切点为 P，Q，求 P，Q 所在的直线方程．
【思路分析】 画出如图所示的示意图，根据对称性知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上．线段 PQ 为两圆的公共弦， 两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
【解析】 如图，连接 MC，PC.因为 P 为切点，故有 CP2 ＋PM2＝CM2，解得 PM＝7，易知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上，圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝49，即 x2＋y2－4x －8y－29＝0.①
必修二：4.2.2圆与圆的位置关系ppt课件
如何判断？ 几何法
代数法
点到直线距离公式：
两点间距离公式：
代数法： 通过联立直线与圆的方程求解的个数
来判断圆与直线的位置关系。
• 当有两个实数解时， 直线与圆相交
• 当只有一个实数解时， 直线与圆相切
• 当没有实数解时，
直线与圆相离
复习 (知识链接)
圆的标准方程： (x-a)2+(y-b)2=r2
小结
练习3
已知圆 O1 ：(x+1)2 +(y-4)2=4 与圆 O2 ：(x-2)2 +(y-2)2=9
求：( 1 ) O1与O2有几条公切线？ (2 )公共弦所在的直线方程 . (3 )求公共弦长 .
小结
知识探究：相交圆的交线方程
结论:已知两圆
C1 ：x2+y2+D1x+E1y+F1=0， C2 ：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交， 则直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1F2=0 为两圆的公共弦所在的直线 方程。
圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0
直线与圆有哪些位置关系？ 相交，相切，相离
如何判断？ 几何法
代数法
点到直线距离公式：
两点间距离公式：
提问：
圆与圆的位置关系有几种？
生活课堂：动手实践
推动桌面上的硬币，它会与圆有怎样的 位置关系？
数学课堂：
• 找规律
!
类比
圆心
圆心
两圆半径
圆与圆的五种位置关系：
TddR rd=R-r R>r)数形结合！
O1 O2
人教A版高中数学必修二课件4.2.3圆与圆的位置关系(共30张PPT).pptx
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名师解题
巧用圆系方程解题
例4 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋ 10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2
＋ 2x＋ 2y－ 8)＝ 0，
即 (1＋ λ)x2＋ (1＋ λ)y2＋ (2λ－ 2)x＋(2λ＋ 10)y－ 8λ－ 24＝ 0，
法二：将两圆的方 程联立得x2＋ y2＋ 4x＋ 4y－ 2＝ 0，
①
x2＋y2－2x－8y－8＝0， ②
由①－②得 x＋2y＋1＝0.③
由③得 x＝－2y－1， 把此式代入①，并整理得 y2－1＝0，④ 方程④的判别式 Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，
所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，即两圆相交．
题型二 两圆相切问题
例2 求与圆 C：x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 l：x＋ 3y
＝0 相切于点 M(3，－ 3)的圆的方程． 【解】 圆 C 的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 圆心 C(1,0)，半径为 1. 设所求圆的方程为 (x－ a)2＋(y－ b)2＝ r2 (r>0)，
a－12＋b2＝r＋1，
及公共弦长．
【解】 设两圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B
两点坐标是方程组x2＋ y2＋ 2x－ 6y＋ 1＝ 0
①
x2＋y2－4x＋2y－11＝0 ②
的解，①－②得： 3x－ 4y＋ 6＝ 0.
∵A，B 两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0 即为两圆公共弦所在的直线方程．易
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名师解题
巧用圆系方程解题
例4 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋ 10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2
＋ 2x＋ 2y－ 8)＝ 0，
即 (1＋ λ)x2＋ (1＋ λ)y2＋ (2λ－ 2)x＋(2λ＋ 10)y－ 8λ－ 24＝ 0，
法二：将两圆的方 程联立得x2＋ y2＋ 4x＋ 4y－ 2＝ 0，
①
x2＋y2－2x－8y－8＝0， ②
由①－②得 x＋2y＋1＝0.③
由③得 x＝－2y－1， 把此式代入①，并整理得 y2－1＝0，④ 方程④的判别式 Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，
所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，即两圆相交．
题型二 两圆相切问题
例2 求与圆 C：x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 l：x＋ 3y
＝0 相切于点 M(3，－ 3)的圆的方程． 【解】 圆 C 的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 圆心 C(1,0)，半径为 1. 设所求圆的方程为 (x－ a)2＋(y－ b)2＝ r2 (r>0)，
a－12＋b2＝r＋1，
及公共弦长．
【解】 设两圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B
两点坐标是方程组x2＋ y2＋ 2x－ 6y＋ 1＝ 0
①
x2＋y2－4x＋2y－11＝0 ②
的解，①－②得： 3x－ 4y＋ 6＝ 0.
∵A，B 两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0 即为两圆公共弦所在的直线方程．易
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人教版新课标高中数学圆和圆的位置关系 (共30张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
线是两圆公共弦 AB所在的直线
①-②得
y
x2y10 ③
探究：画出圆C1与圆 C2以及直线方程③ ， 你发现了什么？
A
O
C2 Bx
C1
题型 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-
4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
高中数学人教版必修2精品PPT课件-§4.圆与圆的位置关系-【完整版】
∴这两圆的位置关系是外离．有 4 条公切线，故选 D．
高中数学人教版必修2课件：§4.圆与 圆的位 置关系- 精品课 件ppt( 实用版 )
x2 y2 2x 8y 8 0,
①
x
2
y2
4x
4y
2
0.
②
联立方程组
① ②，得 x 2y 1 0 ③
消去二次项
由③得y 1 x 2
把上式代入①，并整理得 x2 2x 3 0 ④
方程④根的判别式 △=(2)2 41 (3) 16 0
所以方程④有两个不等实数根， 方程组有两解； 故两圆相交．
探究：
圆 C1 : x2 y2 2x 3y 1 0 与圆 C2 : x2 y2 4x 3y 2 0 相交于A,B两点，如何求公共弦的方程？
方法一：将两圆方程联立，求出两个交点的坐 标，利用两点式求公共弦的方程.
方法二： 两圆方程相减。先来探究一般情形．
结论：已知圆 C1 :x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
例2: 设圆C1: x2+y2+2x+8y-8=0, 圆C2: x2+y2-4x-4y-2=0,求这两个圆的公共弦长
解法一：两圆方程联立，求得交点 x+2y-1=0 y
A(-1,1),B(3,-1)则
AB (1 3)2 1 (1)2 2 5
A(-1,1)
. C2（2，2）
解法二：圆心C1 （-1，-4）到公共弦直 线x+2y-1=0的距离
总结评述：如何判断两圆公切线的条数 首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：
(1)两圆相离，有四条公切线； (2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公 切线； (3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线； (4)两圆内切，有一条公切线； (5)两圆内含，没有公切线．
人教版高中数学必修二课件：2.3.2圆与圆的位置关系 (共27张PPT)
•规律技巧:解决两圆的位置关系,运 用几何方法(圆心距与半径的关系) 比代数方法(方程组解的情况)简单.
5 10 < 3 5 < 5 10
∴C1和C2相交，它们有两个公共点
x2 y 2 2x 8 y 8 0 ，圆C2： x2 y 2 4 x 4 y 2 0 ， 变式1：已知圆C1：
2
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
圆与圆的位置关系有几种？
圆与圆的位置关系 :
C1
C2
圆与圆的位置关系：
rR r O1 O2 O2 r
r O2 O2
r O2
r O2
直线和圆的位置关系: 相交 相切 相离
直线和圆的位置关系判定方法:
判断直线和圆的位置关系:
几何方法
求圆心坐标及 半径r(配方法) 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y(或x)
px qx t 0
判断圆C1与圆C2的位置关系。 解法二：圆C1： ( x 1)2 ( y 4)2 25 圆心坐标（-1，-4），r1=5 圆C2： ( x 2) ( y 2) 10 圆心坐标（2，2），r2= 10
2 2
●
y A
●
o B C1
C2
x
|C1C2|= 3 5 r1-r2= 5 10 r1+r2= 5 10
消去y（或x） 圆心距d （两点间距离公式）
px2 qx t 0
【数学】4.2.2《圆与圆的位置关系》课件(新人教A版必修2)
思考3:若两圆C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则 其公共弦所在直线的方程是(D1D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0，那么过交 点的圆系方程是什么？
m(x2+y2+D1x+E1y+F1)+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
思考4：若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相切，则方 程 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示的 直线是什么？若两圆相离呢？
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4.2.2《圆与圆的位置关系》
教学目标
• 1、知识与技能 • （1）理解圆与圆的位置的种类； • （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离
公式求两圆的连心线长； • （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． • 2、情态与价值观 • 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆
的位置关系，培养学生数形结合的思想． • 二、教学重点、难点：
理论迁移
例1已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝ 0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0， 判断圆C1与圆C2的位置关系.若相交， 求两圆的公共弦所在的直线方程.
x2＋y2－6x－4＝0
例2已知一个圆的圆心为M（2，1），且 与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两点， 若圆心M到直线AB的距离为，求圆5M的方 程.
问题提出
1.点与圆、直线与圆的位置关系有 哪几种？如何判定这些位置关系？
人教版高中数学必修2第四章第二节圆与圆的位置关系(共17张PPT)最新课件
计算r1+r2 |r1-r2|
相交 R-r<d<R+r
比较d和r1，r2的大小 ，下结论
结合图形记忆
练一练
已知圆C1
（x1） 2（y3） 2 9 24
圆C2（x2） 2（y23） 2147
判断圆C1 圆C2的关系
思路分析：
① 计算两圆心距离 d
② 计算 R+r 、 |R-r| ③ 比较、判断
想一想？
2009.7.22 上午，五 百年一遇的罕见日全 食在天空上演。此次 日全食从日食初亏到 复圆长达2个多小时, 日全食的持续时间最 长可达6分钟左右。 这是1814年-2309 年间中国境内可观测 到的持续时间最长的 一次日全食活动。这 也是世界历史上覆盖 人口最多的一次日全
食。
Hale Waihona Puke |P 1P 2|(x2x1)2(y2y1)2
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用x1，Δ判x2 断两 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
A(x1,y1),B(x2,y2)
解法二:
化标准方
圆C1 (x1)2(y4)225
程
圆C2(x2)2(y2)210
计算圆心距
离
两圆心距离d= (12)2(42)235
两圆半径和r1+r2= 5 10
计算半径和差
两圆半径差|r1-r2|= 5 10
|r1r2|35r1r2 所以两圆相交
比较、判 断
几何性质法
化标准方程 圆心距d
计算r1+r2 |r1-r2|
比较d和r1，r2的大小 ，下结论
代数解析法
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
最新《圆与圆的位置关系》课件(新人教A版必修2)
《圆与圆的位置关系》课件(新 人教A版必修2)
直线和圆的位置关系
rB
复习 提问 r B
A
rB
A
dA
d
d
EC F
C
Cl
直线 l与⊙A
相交 d ＜r
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
两个公共点
直线 l是⊙A的
割线
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
练习：某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这 条船能否从桥下通过?
A.0.5小时
B.1小时
C.1.5小时
D.2小时
例2.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象 台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域， 已知港口位于台风中心正北40km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的 影响？
港口
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
轮船
练习：台风中心从A地以每小时20千米的速 度向东北方向移动，离台风中心30千米内 的地区为危险区，城市B在A的正东40千米 处，B城市处于危险区的时为（ ）
直线和圆的位置关系
rB
复习 提问 r B
A
rB
A
dA
d
d
EC F
C
Cl
直线 l与⊙A
相交 d ＜r
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
两个公共点
直线 l是⊙A的
割线
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
练习：某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这 条船能否从桥下通过?
A.0.5小时
B.1小时
C.1.5小时
D.2小时
例2.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象 台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域， 已知港口位于台风中心正北40km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的 影响？
港口
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
轮船
练习：台风中心从A地以每小时20千米的速 度向东北方向移动，离台风中心30千米内 的地区为危险区，城市B在A的正东40千米 处，B城市处于危险区的时为（ ）
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【探究提示】1.|C1C2|=r1+r2. 2.根据已知条件无法判断出两圆是内切还是外切,应分情况讨 论求解. 3.两圆外切时圆心距等于半径之和.当直线与圆相切时,圆心到 直线的距离等于圆的半径长.
【自主解答】(1)选C.圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为 r1=1， 圆C2:x2+y2－6x－8y+m=0的圆心为C2(3,4)，半径为 r2 = 25－m， 所以|C1C2|=5,r1+r2= 1+ 25－m， 因为圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2－6x－8y+m=0外切， 所以5=1+ 25－m, m=9.
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
2.(2014·济宁高一检测)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+
(y-3)2=1内切,则此圆的方程为
.
3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直
线AB的方程是
.
【解析】1.选B.因为两圆的圆心距为 (2 + 2)2 + (1－0)2 = 17,
【解题探究】1.题(1)中判定两圆位置关系常用什么方法? 2.题(2)中解决与两圆位置关系有关的问题时圆的方程应首先 如何处理? 【探究提示】1.判断两圆位置关系的常用方法是几何法. 2.解决与两圆位置关系有关的问题时要把圆的方程化为标准形 式,找到圆心坐标与半径的大小.
【自主解答】(1)选C.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1; 圆x2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2.因为圆心距为 5 ,且 2-1< 5 <1+2,所以两圆相交. (2)对圆C1,C2的方程,经配方后可得:C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,所以圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, 所以|C1C2|= (a－2a)2 + (1－1)2 =a.
【微思考】 (1)当两个不重合的圆的圆心距等于零时两圆位置关系如何? 提示:当两个不重合的圆的圆心距为零时,两个圆内含且为同心 圆. (2)当两圆仅有一个公共点时,此时两圆有怎样的位置关系? 提示:此时两圆外切或内切.
【即时练】
1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( )
A.21
B.19
C.9
D.-11
(2)已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方
程是
.
(3)求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+ 3 y=0相切于点M(3,- 3 ) 的圆的方程.
【解题探究】1.题(1)中两圆外切的条件是什么? 2.题(2)中由已知条件能否判断出圆C与圆O的相切情况?需要分 情况讨论求解吗? 3.题(3)中两圆外切时圆心距与半径之和有什么关系?当直线与 圆相切时圆心到直线的距离与圆的半径有什么关系?
( ) (x－4)2＋y2＝4或 x2＋ y＋4
2
3 ＝36.
【延伸探究】将题(3)变为“求与圆x2＋y2－2x＝0内切且圆心 为M(3，- 3 )的圆的方程”，如何求解？ 【解题指南】首先判定出点M(3, - 3 )与已知圆的位置关系， 然后利用两圆相内切应满足大半径与小半径的差等于两圆心的 距离求解.
4.2.2 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系有哪几种?如何利用两圆的 问题
方程来判断它们之间的位置关系? 引航
2.两圆相切与相交的问题一般应如何处理?
已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12, C2：(x-x2)2+(y-y2)2=r22,
则圆心距d=|C1C2|=___(_x_1 _- _x_2_)_2 +__(_y_1 -__y_2_)2__.
① 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切．当|C1C2|=r1－ r2=3，即a=3时，两圆内切； ② 当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交； ③ 当|C1C2|>5即a>5时，两圆外离； ④ 当|C1C2|<3即0<a<3时两圆内含．
【方法技巧】判断两圆位置关系的步骤 (1)将圆的方程化为标准方程,写出圆心和半径. (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆位置关系或求参数 范围.
【变式训练】与圆x2+y2=25外切于点P(4,3),且半径为1的圆的
方程是
.
【解析】设所求圆的圆心为C(m,n)，则O,P,C三点共线(O为原
点)，且OC=6，所以 m = 4? 6
5
程是 (x－24)2 + (y－18)2 = 1.
5
5
答案：(x－24)2 + (y－18)2 = 1
5
5
24，n = 3? 6
【知识拓展】与两圆相切、相交有关的问题 (1)两圆的公切线与两圆的位置关系 ①两圆外离,有两条外公切线,两条内公切线. ②两圆外切,连心线过切点,有两条外公切线,一条内公切线. ③两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线. ④两圆内切,连心线过切点,只有一条公切线. ⑤两圆内含,无公切线.
(2)过两圆交点的圆系方程 已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 圆C1与圆C2相交,则过两圆C1,C2的交点的圆系方程 为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圆不 包括圆C2.
(3)由两圆相交可得5-1<d<5+1,即4<d<6. 答案:4<d<6.
【要点探究】 知识点 圆与圆的位置关系 1.对圆与圆的位置关系的两点说明 (1)根据圆心距与圆的半径之和或之差的绝对值的大小关系判 断,两个圆的位置关系分为外离、外切、相交、内切和内含五 种位置关系.
(2)圆与圆的公共点个数:当两圆外离或内含时,两圆无公共点; 当两圆内切或外切时,两圆仅有一个公共点;当两圆相交时,两 圆有两个公共点.
7+1 ,
即 x2 + y2 - 6x + 2 3y + 4- 2 7 = 0.
【方法技巧】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切， 则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于 两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问 题.
则两圆C1,C2有以下位置关系:
位置关系
公共点个数
圆心距与 半径的关系
两圆外离 两圆内含
_0_个
_d_>_r_1_+_r_2 _d_<_|_r_1_-_r_2|_
图示
位置关系 两圆相交
公共点个数 _2_个
圆心距与 半径的关系
_|_r_1_-_r_2|_<_d_ _<_r_1_+_r_2
两圆内切 两圆外切
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则 (a－1)2＋b2＝r＋1.
①
又所求圆过点M的切线为直线 x＋ 3y＝0，
故
b＋ 3＝ a－3
3.
②
a＋ 3b ＝r.
③
2
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4 3，r＝6. 故所求圆的方程为
2.判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用圆心距d与两圆半径之和或之差的绝对值 之间的关系. (2)代数法:将两圆的方程联立解方程组,若方程组有两解,则两 圆相交;若方程组只有一解,则两圆外切或内切;若方程组没有 实数解,则两圆内含或外离.
3.圆与圆位置关系判定的关注点 (1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的,如有1个交点,就不 能判定是内切还是外切,应再结合图象判定. (2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法,代数法要注意相 切时的判定. (3)一般情况下,我们尽量选择利用几何法进行判断,以减少运 算量,提高解题的速度.
_1_个
_d_=_|_r_1_-_r_2|_ _d_=_r_1_+_r_2
图示
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两圆方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.
() (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. ( )
【解析】1.(1)正确.这是用代数法判定两圆的关系. (2)错误.两个圆有可能是内含. (3)错误.反之不成立,两圆也可能内切. (4)正确.两圆有公共点包含相切和相交. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知圆O1:x2+y2=4和圆O2:(x-3)2+y2=1,则两圆的位置关系
【变式训练】(2014·锦州高一检测)若a2+b2=4,则圆O1:(x-a)2
+y2=1,与圆O2:x2+(y-b)2=1的位置关系是
.
【解析】因为两圆的圆心分别为O1(a,0),O2(0,b),半径r1=r2=1,
所以 |O1O2| = a2 + b2 = 2，故两圆外切. 答案:外切