高等流体力学 零方程模型.
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
高等流体力学课件 高等流体力学(8)
通过 dl 的流体流量
Q vdx + udy
B
Q vdx + udy
A
B ψ dx + ψ dy
A x
y
B
dψ ψB ψA
A
=B B
dl
u dy
v dx A
A
21
流函数性质
(3) 流线和等势线相互正交
= const 的线称等势线。
= x,y
d = dx + dy = udx + vdy = 0
F(z) = c z ( c为实数 ) W (z) dF c u iv dz u = c v = 0
如沿 x 轴方向速度为 U, 则
F Uz
U
37
均匀流
F(z)=－ icz ( c为实数 )
W (z) dF ic u iv dz
V
u = 0 v = c
如沿 y 轴方向速度为V 则
流函数
平面势流
解法
拉普拉斯方程 复势理论
基本解
速度场
伯努利积分 压强场
理论
绕圆柱流动 绕机翼流动
应用
机翼升力、诱导阻力
实际
水波运动
叶栅理论
14
平面流动举例
桥墩，电线杆，烟囱，机翼等。
设横截面为x0y 平面，流场中各
U
点的流体速度都平行于 xoy 平
面， z 方向的速度分量为零，
各物理量在 z 方向没有变化。
i
sinθ
)
i
uθ
(cos
θ
+
1 i
sin
θ
)
= uR (cosθ i sinθ) i uθ (cosθ i sin θ)
零方程湍流模型
零方程湍流模型1. 引言湍流是在许多自然和工程现象中存在的一种复杂的流动形式，它的具体表现是流体中的旋涡和涡旋。
湍流的存在使得液体和气体的运动变得更加不稳定和难以预测。
因此，对于湍流的研究一直是流体力学和工程学领域的热点问题之一。
目前，湍流模型已成为解决复杂流体问题的基本工具。
在湍流模型中，零方程模型是比较简单而又有效的一种模型。
本文将对零方程湍流模型进行简单介绍和分析。
2. 零方程湍流模型零方程湍流模型是一种基于湍流速度涡度的方程模型，该模型的基本思想是假设湍流的运动状态可以用一个平均的涡度来描述。
因此，湍流涡度的变化是主要研究对象之一。
根据这种思路，湍流速度涡度方程中只包含了一项未知数，也就是湍流涡度的方程式，而其他反映物质运动规律的方程则通过平均流动速度场来进行描述。
零方程湍流模型的主要优点是模型结构简单，对于大多数工程应用来说是比较快速并且准确的。
在一些涡流类型的问题中，零方程湍流模型的计算精度已经接近了更复杂的湍流模型。
3. 零方程湍流模型的局限性虽然零方程湍流模型存在着很多优点，但是也有着一些明显的局限性：3.1. 对流动情况的限制零方程湍流模型很难适应具有强非线性和强耦合性的湍流问题。
在这种情况下，模型并不能给出足够准确的结果。
3.2. 缺乏固体壁面模型由于零方程湍流模型只包含湍流涡度方程，因此模型缺乏固体壁面的相关信息，对于具有粘性流动的情况，其精度不如其他类型的湍流模型。
4. 零方程湍流模型的应用在工程领域，零方程湍流模型应用非常广泛。
例如，汽车设计中的风阻计算、船舶设计中的阻力计算、建筑物外形设计中的空气流动计算等等。
此外，零方程湍流模型在气象、环保、化工等行业也有广泛的应用。
5. 结论零方程湍流模型是一种比较简单而有效的湍流模型。
在具有一定湍流涡度的流动问题中，其计算精度和计算速度表现均比较良好。
然而，该模型依然存在一定的局限性，不能适用于非线性、耦合性较强的湍流问题。
对于不同的工程问题，需要选择合适的湍流模型。
流体力学的数学模型和方程
流体力学的数学模型和方程在研究流体力学时，数学模型和方程起着至关重要的作用。
通过建立准确的数学模型，我们可以描述和预测各种流体行为，从而实现对流体流动的深入理解。
一、基本概念和方程1. 流体力学简介流体力学是一门研究流体如何运动和相互作用的学科。
在流体力学中，我们关注流体的动力学性质，例如速度、压力、密度等，并通过数学模型和方程来描述这些特征。
2. 流体的基本性质流体有四个基本性质：质量、体积、压力和温度。
这些特性与流体的运动和相互作用密切相关。
3. 流体的连续性方程流体的连续性方程描述了在任何给定点上质量守恒的原理。
它表明，一个控制体积中质量的变化等于流体通过该控制体积的流量。
4. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体如何对外力做出反应。
根据牛顿第二定律，加上流体的加速度项，该方程可以给出流体的运动状态。
5. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体如何在运动中保持能量的平衡。
它考虑了流体的内能、压力和外部力对流体能量的影响。
二、数学模型1. 定常流和非定常流定常流指流体在时间上保持稳定的流动方式，不随时间变化。
相反，非定常流指流体在一定时间内发生变化的流动方式。
2. 线性流和非线性流线性流指流体流动时速度与应力之间的关系是线性的。
而非线性流则指在流体的速度和应力之间存在非线性关系，例如湍流。
3. 理想流体和真实流体理想流体是指没有粘性、不可压缩且不受外部作用力的流体。
真实流体则考虑了粘性和可压缩性等实际情况。
4. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的重要方程。
它基于质量守恒、动量守恒和能量守恒等定律，可以用来模拟各种流体流动行为。
5. 常见数学模型除了纳维-斯托克斯方程，流体力学中还有一些常见的数学模型，例如欧拉方程、拉普拉斯方程和黏性流体方程等，它们适用于不同的流动情境和假设条件。
三、应用领域1. 工程流体力学工程流体力学将流体力学的原理应用于工程实践中。
例如，通过数学模型和方程，我们可以预测飞行器的空气动力学性能，设计管道和泵站的水力系统等。
紊流基本方程及零、单方程模型
du du dy dy
数学模型 单方程模型（K模型）
u K K uj uiu j i t x j x j x j
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x j x j x j
ux
u y x
u y
u y y
uz
u y z
Fi
p 2u y y
uz u u u p ux z u y z uz z Fi 2uz t x y z z
运动方程
ui ui 2ui p u j Fi t x j xi x j x j
u p gh i x xi j
压能和位能的迁移变化率
u u j u i u j ui i ui x j xi x j x j xi
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x x j x j j
扩散项 耗散项
ui Fi
浮力项
K Ck Dk Pk Bk t
紊流数学模型
零方程•单方程
运动方程
紊流时均的运动方程 雷诺方程（Reynolds equation）
基本方程
u u p i u j i F i t x j xi x j
Ⅰ
Ⅰ 动量的时间变化率 Ⅱ 动量的空间对流变化率 Ⅲ 质量力引起的动量变化率 Ⅳ 压强梯度引起的动量变化率 Ⅴ 分子粘性力引起的动量变化率
f g f g
af af
f g f g
高等流体力学第10讲
湍流应力特点
u u u
v v
1
t
粘
du dr
t
du dy
uv
湍流总切应力 = 粘性切应力 + 附加切应力
液体层面的平均速度梯度 产生了紊流粘性切应力, 这是物理学中的分子扩散 效应
液体微团的脉动，形成了 质量和动量交换，在不同 液层之间产生了紊流附加 切应力
湍流流动不同区域
1.粘性底层区(紧贴壁面区):
x
y
z
x
y
z
( w )2 ( w )2 ( w )2 ]
x
y
z
湍流的脉动动能定义：
K
1 2
ux2
uy 2
uz 2
CD
K 0.5 L
K 0.5 L CD
t C K 0.5L
t
C C D K 0.5
K 1.5
C
K2
对二维薄层剪切流问题
DK
D
[(
x
t ) K ] [( k x y
Gk 为湍流动能生成项，是湍流脉动应力在时均场中作的变形功：
Gk
u2
u x
uv
u y
uw
u z
vu
v x
v2
v y
uw
v z
wu w wv w w2 w
x
y
z
CD
K 0.5 l
湍流动能耗散率
C. 湍流两方程模型 ( K-ε模型)
湍流耗散率定义：
[( u )2 ( u )2 ( u )2 ( v )2 ( v )2 ( v )2
对近壁区域，湍流雷诺数较小，需进行修正。
对于自然对流湍流，应采用低雷诺数模型，并 考虑浮升力对K , ε的影响
流体力学中的理论模型
流体力学中的理论模型引言流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，是物理学的一个重要分支。
在流体力学中，理论模型是研究和解决流体问题的基础。
理论模型的建立可以帮助我们理解和预测流体行为，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍流体力学中常用的一些理论模型及其应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述不可压缩流体力学的基本方程之一。
它是从质量守恒和动量守恒的原理出发推导而来。
欧拉方程可以用来描述流体的运动速度和压力分布。
其基本形式如下：$$\\frac{\\partial \\mathbf{v}}{\\partial t} + (\\mathbf{v} \\cdot \abla)\\mathbf{v} = -\\frac{1}{\\rho}\ abla p + \\mathbf{g}$$其中，$\\mathbf{v}$表示速度矢量，t表示时间，$\\rho$表示流体密度，p表示压力，$\\mathbf{g}$表示重力加速度。
欧拉方程的应用非常广泛，例如在航空航天领域中用于计算飞行器的气动力、在水力工程中用于设计水电站的水轮机等。
二、雷诺方程与欧拉方程相对应的是雷诺方程，它是描述可压缩流体力学的基本方程之一。
雷诺方程是通过在欧拉方程中引入粘性效应而得到的。
其基本形式如下：$$\\frac{\\partial \\mathbf{v}}{\\partial t} + (\\mathbf{v} \\cdot \abla)\\mathbf{v} = -\\frac{1}{\\rho}\ abla p + \\mu \ abla^2 \\mathbf{v} +\\mathbf{g}$$其中，$\\mu$表示动力粘度。
雷诺方程可以用于研究流体的湍流行为和边界层分离等问题。
它在航空航天、汽车工程、海洋工程等领域中都有重要应用。
三、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述不可压缩流体力学的基本方程。
它是通过在欧拉方程中引入粘性效应并考虑不可压缩条件得到的。
高等流体力学-第二讲
14
第二章 流体运动基本方程
当流体不可压时， 当流体不可压时，有：
∂ 1 ∂v i ∂v j 1 ∂ ∂v j r r ∇⋅s = = [ ( + )] = ( ) = (∇ ⋅ ∇)v = ∆v ∂x i ∂x i 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x i ∂x i
∂s ij
N—S方程为 方程为
1 ∂p µ ∂ ∂v j 张量表示： 张量表示： = fj − + + vi ( ) ∂xi ∂t ρ ∂x j ρ ∂xi ∂xi
2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem） 、雷诺输运定理（ ）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 ） 对一物理量Φ x,y,z,t ,z,t）， 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为： 质量体体积为：VM； 时刻，对应控制的体积为： t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面： 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量： 质量体内总量：
r r d r ma = (mv ) = ΣF dt
r ρv dτ
r ∫∫∫ ρv dτ
VM
动量平衡的表示： 动量平衡的表示：
r D r r ∫∫∫ ρ v d τ = ∫∫∫ ρ f d τ + ∫∫ p n ds V S Dt V
M M
8
第二章 流体运动基本方程
（3）动量矩平衡的概念 ） 动量矩对时间的导数： 动量矩对时间的导数： d
2）微分形式 ） 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
流体力学模型
流体力学模型流体力学模型是研究流体力学问题的数学描述和解决方法。
它是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律建立的。
流体力学模型广泛应用于工程领域，如水力学、空气动力学、石油工程等，对于分析和解决与流体有关的问题具有重要的作用。
在流体力学模型中，最基本的方程是质量守恒方程，它描述了流体的质量变化率与流体流动速度、密度和流体流动的面积之间的关系。
质量守恒方程可以用来分析流体在管道、河流等不同流动介质中的流动情况。
通过对质量守恒方程的求解，可以得到流体在不同位置和时间的质量分布情况。
除了质量守恒方程外，动量守恒方程也是流体力学模型中的重要方程之一。
动量守恒方程描述了流体的动量变化率与流体流动速度、密度和流体受到的外力之间的关系。
动量守恒方程可以用来分析流体在不同速度和压力下的流动特性，如流速分布、压力分布等。
通过对动量守恒方程的求解，可以得到流体流动的速度和压力分布情况。
在流体力学模型中，能量守恒方程也是不可或缺的方程之一。
能量守恒方程描述了流体的能量变化率与流体流动速度、密度、压力和流体受到的外力之间的关系。
能量守恒方程可以用来分析流体在流动过程中的能量转化情况，如流体的压力能转化为动能、热能等。
通过对能量守恒方程的求解，可以得到流体的能量转化情况和流动过程中的热力学性质。
除了上述基本方程外，流体力学模型还包括一些辅助方程和边界条件。
辅助方程主要用于描述流体的物理性质，如流体的黏性特性、温度分布等。
边界条件则用于描述流体与固体或流体之间的相互作用情况，如流体通过管道时的摩擦阻力、流体在流动过程中受到的压力等。
流体力学模型的建立和求解是一个复杂而繁琐的过程，需要借助计算机模拟和数值计算方法。
对于一些简单的流体力学问题，可以通过解析方法求解，得到精确的解析解。
而对于一些复杂的流体力学问题，只能通过数值计算方法求解，得到近似的数值解。
流体力学模型的建立和求解可以帮助工程师和科学家更好地理解和分析与流体有关的问题，指导工程实践和科学研究。
高等流体力学 第三章 流体力学基本方程组-3
1
第四节 流体的本构方程
真实流体都有粘性，当相邻两层流体作相对滑动即剪切变 形时，在相反方向产生一个切向应力，阻止变形的发生与 进行。因此，切向应力与剪切变形速度之间存在着一定关 系，流体的这种性质称为粘性。
本构方程：表达粘性规律的应力张量和变形速度张量之间
的关系。
F A
du dy
牛顿内磨擦定律
2
第四节 流体的本构方程
牛顿内磨擦定律只适用于剪切流动这一最简单的流动状态， 实际中的流动非常复杂，很难在理论上或通过实验直接导 出一般运动情形下应力张量和变形速度张量之间的关系。 建立广义牛顿定律的三个基本假定： (1) 将应力张量P写成各向同性部分－PΙ和各向异性部分P′ 之和，即：
0
13
第七节 初始条件和边界条件
(a) 初始条件：对于非定常运动，在流动初始时刻时， 流动运动所满足的条件：
v ( r , t 0 ) v1 ( r ) p ( r , t 0 ) p1 ( r )
(r , t0 ) 1 (r )
T ( r , t 0 ) T1 ( r )
Tm1 Tm 2
第七节 初始条件和边界条件
(b) 边界条件：流体运动边界上方程组的解应该满足的条件：
(4) 自由边界处，对理想流体：
Hale Waihona Puke p p017随堂作业
(1) 粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在 二维直角坐标系中的形式 (2) P200 (3) P202 (4) P140 第9题（1）；P201 第22题 第二题1（2）； P141 第三题1（3）； 第13题（1）
力张量为零；当速度偏离均匀分布时，在粘性流体中产生 了偏应力，它力图使速度回复到均匀分布。
高等代数在流体力学问题中的数学模型构建
高等代数在流体力学问题中的数学模型构建流体力学是研究流体运动规律的科学，广泛应用于工程、物理、地球科学等领域。
在流体力学中，数学模型的构建是非常重要的一步，而高等代数则是构建这些数学模型的基础。
本文将探讨高等代数在流体力学问题中的应用，以及如何利用高等代数构建数学模型。
一、流体力学问题的数学模型在流体力学中，我们常常需要描述流体的运动状态、速度分布、压力分布等。
为了方便分析和计算，我们需要将这些流体力学问题转化为数学模型。
数学模型是对实际问题的抽象和理想化，通过数学表达式来描述流体的运动规律。
在构建数学模型时，我们常常需要使用到高等代数中的矩阵、向量、线性方程组等概念和方法。
例如，在描述流体的速度分布时，我们可以使用矩阵来表示速度场。
假设一个平面上的流体速度场可以用一个2×2的矩阵表示，那么这个矩阵的每个元素就代表了流体速度在不同方向上的分量。
通过矩阵运算，我们可以方便地计算出流体在不同位置上的速度。
二、高等代数在流体力学问题中的应用高等代数在流体力学问题中有着广泛的应用。
首先，高等代数提供了一种简洁和统一的数学语言，使得我们能够更好地描述和分析流体力学问题。
例如，通过使用矩阵和向量，我们可以将复杂的流体力学方程组转化为简洁的线性方程组，从而更容易求解。
其次，高等代数中的矩阵和向量运算为流体力学问题的数值计算提供了强大的工具。
例如，在求解流体的速度分布时，我们可以使用矩阵运算来进行数值计算，从而得到更精确的结果。
此外，高等代数中的特征值和特征向量等概念也可以应用于流体力学问题的特征分析，帮助我们更好地理解流体力学现象。
另外，高等代数中的矩阵和向量空间的概念也可以应用于流体力学问题的空间分析。
例如，在研究流体的稳定性和不稳定性时，我们可以将流体的运动状态表示为一个向量空间，并通过矩阵的特征值和特征向量来分析不同运动状态的稳定性。
这种空间分析的方法可以帮助我们更好地理解和预测流体力学现象。
高等流体力学讲义流体力学基本方程(课堂PPT)
.
10
2.2 动量守恒定理
守恒形式的动量方程
D p v D n V tn v σ u d , v n vσ S p d nS d s V σ f d d V v
S
V
V ( tu v ) u v u v d v V σ d v Vf v d v
.
6
2.2 动量守恒定理
.
7
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。
系统的动量， 作用在系统上的质量力
Vu dv Vf dv
作用在系统上的表面力
pnds S
由动量定理得积分形式的动量方程
D DV tu d vS p nd sV f dv
高斯定理
S u v p v n d s S u v n v σ d s S n v σ u v d s V σ u r d v
nqds qdv
S
V
D e 1 u u d v σ u d v u f d v q dv
一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质 点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量 的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功 率与通过导热向系统的传热功率之和。
.
13
2.3 能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
系统总能量， e1uudv， e 为单位质量流体的内能； V 2
D 0
Dt
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
《高等流体力学》第6章-势流
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
高等流体力学零方程模型
第三节 零方程模型及一方程模型任一变量φ的时间平均值定义为；()dt t ttt t⎰∆+∆=φφ1对φ变量作平均处理，可得：()()S u x x x u t j jj j j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂φρφφρφρ对于动量方程，附加项为：()V div x u xu p u u ij i jj i t ij t tij j i ρδμδτρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-==''- ()K w v u p t ρρ3231222='+'+'=对其他变量附加项：jtj x u ∂∂Γ=''-φφρ 紊流粘性系数与紊流扩散系数：ttΓ=μσ1零方程模型所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。
它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds 方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds 应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。
()()φφφφρρφS grad V div t=Γ-+∂∂ρ()()φφφφρρφS x x u x t jj j j +∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂)(零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl 提出的混合长度模型（mixing length model ）。
Prandtl 假定湍动粘度t μ正比于时均速度i u 的梯度和混合长度m l 的乘积。
例如，在二维问题中，有：yul mi ∂∂=2μ （4.18） 湍流切应力表示成为：yuy u l v u m∂∂∂∂=''-2ρρ (4.19)其中，混合长度m l 由经验公式或实验确定。
混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度m l ，对于复杂流动则很难确定m l ，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。
液体静力学与液体动力学的数学模型
液体静力学与液体动力学的数学模型液体是一种在物理学领域中非常重要的物质。
液体的特性和行为对于许多领域，包括工程、地质和生物学等都有着重要意义。
理解和描述液体的特性是其中一个重要的研究方向。
在此过程中，液体静力学和液体动力学的数学模型发挥了关键作用。
液体静力学是研究液体的静态性质和平衡条件的学科。
在研究液体静力学时，一个关键的概念是压强。
根据帕斯卡定律，液体在静止状态下的压强在各处相等。
这一性质可以用数学模型来描述。
假设液体静止在一个封闭的容器中，容器的一部分面积为A，液体厚度为h。
液体所受的压力P可以用以下公式表示：P = F/A，其中F为液体所受的力。
如果液体静止，则F与重力平衡，即F = mg，其中m为液体的质量，g为重力加速度。
结合上述公式，可以得出P = mgh/A。
这就是液体静态情况下的压强数学模型。
液体动力学则是研究液体在运动状态下的行为和性质的学科。
对于液体动力学的研究，流体力学是一个重要的分支。
流体力学可以用数学模型来描述液体流动的过程。
其中一个重要的概念是流速。
流速的大小和方向可以用矢量来表示。
在二维情况下，假设液体的流速为V = (Vx, Vy)，其中Vx表示流体在x方向上的速度分量，Vy表示流体在y方向上的速度分量。
根据流体的连续性方程，液体的质量在任何一个时刻都是守恒的。
这个方程可以用以下数学模型表示：∂ρ/∂t + ∂(ρVx)/∂x+ ∂(ρVy)/∂y = 0，其中ρ为液体的密度。
这个方程可以描述液体在运动过程中质量的守恒关系。
除了流体的质量守恒外，液体动力学的数学模型还涉及动量守恒和能量守恒。
根据动量守恒定律，液体在运动过程中动量的变化率等于受到的外力。
这一关系可以用以下数学模型表示：ρ(∂Vx/∂t + Vx∂Vx/∂x + Vy∂Vx/∂y) = -∂P/∂x + ρgx，以及ρ(∂Vy/∂t + Vx∂Vy/∂x + Vy∂Vy/∂y) = -∂P/∂y + ρgy，其中P为液体的压力，g为重力加速度。
流体力学模型
姜锐模型
姜锐在他的博士论文中，根据他所改进的车辆跟驰模型(全速度差跟驰模型)，经过“连
续化”，建立了一种各向异性流体力学模型。他首先得到如下方程：
1
∆
,
其中，T 为弛豫时间， 为扰动向后传播△距离所需时间，经对式右端的 Taylor 展开， 忽略高阶项，就有
1
其中 ∆⁄ 为小扰动的传播速度。 姜锐据此模型给出了时停时走交通波的解，并分析了交通激波和稀疏波的结构。 张红军模型 2002 年，Zhang H M(张红军)从 Pipes 的车辆跟驰模型出发，建立了另一种各向异性流 体力学模型。Pipes 的模型方程为:
物理特性 连续体 离散元素
变量
动量 状态方程 连续性方程
运动方程
流体动力学系统 单向不可压缩流体
分子 质量 m 速度 v 压力 p源自mv0∙0
交通流系统 单车道不可压缩流体
车辆 密度 k 车速 u 流量 q
ku
∂u ∂ mv ∂t ∂x
0
du dt
k
du dk
∙
∂m ∂x
0
3. 车流连续性守恒方程的建立
∆k
NN ∆x
∆N ∆x
即车辆聚集数为：
∆N ∆k∆x
因此
∆q∆t ∆k∆x
∆ ∆
∆ ∆
0
假设两站间的车流连续，且允许有限的增量为无穷小，则可取极限得： 0
如果在路段内有车辆的产生和离去，那么守恒方程将采用如下的一般的形式： ,
这里 , 是指车辆的产生（离去）率（单位时间、单位长度内车辆产生或离去数） 在实际中，当交通流受到干扰时，将会考虑车辆的产生和离去（例如，交叉口的进 出口）。 4. 交通波动理论
其中 、
高等流体力学第四章
u u v v w w 0
x
y
z
4.1.1 湍流粘性系数法
显然：
u v w u v w 0 x y z x y z
即： u v w 0 x y z u v w 0 x y z
4.1.1 湍流粘性系数法
➢ 动量方程
以x方向的动量方程为例，作类似于上面的处 理，有
4.1.1 湍流粘性系数法
紊流脉动所造成的应力可以表示成为：
uiuj ij
ptij
t
ui x j
u j xi
2 3
ij
divV
pt是脉动速度所造成的压力，定义为：
pt
1
3
u2
v2
w2
2 K
3
这里K是单位质量流体紊流脉动动能：
K 1 u2 v 2 w 2 2
(4-5)
(ui ) uiu j p
t
x j
xi
(4-3)
x j
ui x j
uiuj
i 1,2,3
4.1.1 湍流粘性系数法
➢ 其它变量方程 对其它 变量作类似的处理，可得
t
u j
x j
x j
x j
uj
S
(4-4)
4.1.1 湍流粘性系数法
关于脉动值附加项的讨论
湍动能k的输运方程
上式中 k ，CD ，C 为经验常数，l为湍流脉动的长度比尺
4.2 零方程模型与一方程模型
合理性
考虑到湍流的对流输运和扩散输运，比零方程模 型更为合理。
应用
长度比尺l的确定不易解决，很少在实际工程计算 中应用。
4.3 标准 k 两方程模型 标准 k 模型是典型的两方程模型；
高等流体力学 零方程模型.
第三节 零方程模型及一方程模型任一变量φ的时间平均值定义为；()dt t ttt t⎰∆+∆=φφ1对φ变量作平均处理，可得：()()S u x x x u t j jj j j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂φρφφρφρ对于动量方程，附加项为：()V div x u xu p u u ij i jj i t ij t t ij j i δμδτρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-==''- ()K w v u p t ρρ3231222='+'+'=对其他变量附加项：jtj x u ∂∂Γ=''-φφρ 紊流粘性系数与紊流扩散系数：ttΓ=μσ1零方程模型所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。
它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds 方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds 应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。
零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl 提出的混合长度模型（mixing length model ）。
Prandtl 假定湍动粘度t μ正比于时均速度i u 的梯度和混合长度m l 的()()φφφφρρφS grad V div t=Γ-+∂∂()()φφφφρρφS x x u x t jj j j +∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂)(乘积。
例如，在二维问题中，有：yul mi ∂∂=2μ （4.18） 湍流切应力表示成为：yuy u l v u m∂∂∂∂=''-2ρρ (4.19)其中，混合长度m l 由经验公式或实验确定。
混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度m l ，对于复杂流动则很难确定m l ，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。
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第三节 零方程模型及一方程模型任一变量φ的时间平均值定义为；()dt t ttt t⎰∆+∆=φφ1对φ变量作平均处理，可得：()()S u x x x u t j jj j j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂φρφφρφρ对于动量方程，附加项为：()V div x u xu p u u ij i jj i t ij t t ij j i δμδτρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-==''- ()K w v u p t ρρ3231222='+'+'=对其他变量附加项：jtj x u ∂∂Γ=''-φφρ 紊流粘性系数与紊流扩散系数：ttΓ=μσ1零方程模型所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。
它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds 方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds 应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。
零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl 提出的混合长度模型（mixing length model ）。
Prandtl 假定湍动粘度t μ正比于时均速度i u 的梯度和混合长度m l 的()()φφφφρρφS grad V div t=Γ-+∂∂()()φφφφρρφS x x u x t jj j j +∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂)(乘积。
例如，在二维问题中，有：yul mi ∂∂=2μ （4.18） 湍流切应力表示成为：yuy u l v u m∂∂∂∂=''-2ρρ (4.19)其中，混合长度m l 由经验公式或实验确定。
混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度m l ，对于复杂流动则很难确定m l ，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。
4.3.2一方程模型零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。
为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程和Reynolds 方程的基础上，再建立一个湍动能k 的输运方程，而将t μ表示成k 的函数，从而使方程组封闭。
这里，湍动能k 的输运方程表示为：l k C x u x u x u x k x x ku t k D j i i j ji t j k tji i 23)()(ρμσμμρρ-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂ (4.20)上式从左至右，方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。
由Kolmogorov-Prandtl 表达式，有：kl C t μρμ= (4.21)其中k σ，D C ，μC 为经验常数，多数文献建议：k σ＝1，μC ＝0.09，而D C 的取值在不同的文献中结果不同，从0.08到0.38不等。
但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。
l 为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验而定。
以上两式联合构成一方程模型。
一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。
但是，一方程模型中如何确定长度比尺l 仍是不易决定的问题，因此很少在实际工程计算中应用。
4.4标准ε-k 两方程模型标准ε-k 模型是典型的两方程模型，是在 4.3节介绍的一方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率ε的方程后形成的。
该模型是目前使用最广泛的湍流模型。
本节介绍标准ε-k 模型的定义及其相应的控制方程组，下一节介绍改进的ε-k 模型。
4.4.1标准ε-k 两方程模型的定义标准ε-k 模型（standard ε-k model ）由Launder 和Spalding 于1972年提出。
在模型中，k 为湍动能（turbulent kinetic energy ），其定义为,即：()222212w v u u u k i i '+'+'=''= ε表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate ），定义为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂'∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂'∂=k i k i x u x u ρμε （4.22）湍动粘度t μ则表示成k 和ε的函数，即：ερμμ2k C t = （4.23）其中，μC 为经验常数。
在标准ε-k 模型中，k 和ε是两个基本的未知量，与之相对应的输运方程为：()()k M b k j ki j i i S Y G G x k x x ku t k +--++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂ρεσμμρρ (4.24) ()()εεεεεερεεσμμρρεS k C G C G k C x x x ku t b k j iji i +-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂2231)((4.25)其中，k G 是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，b G 是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，M Y 代表可压湍流中脉动扩张的贡献，ε1C 、ε2C 和ε3C 为经验常数，k σ和εσ分别是与湍动能k 和耗散率ε对应当Prandtl 数，k S 和εS 是用户根据计算工况定义的源项。
4.4.2标准ε-k 模型的有关计算公式首先，G k 是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，由下式计算:ji i jj i t k x u x u xu G ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=μ (4.26) b G 是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，对于不可压流体，b G ＝0。
对于可压流体，有：it t ib x Tg G ∂∂=Pr μβ (4.27)其中t Pr 是湍动Prandtl 数，在该模型中可取t Pr ＝0.85，i g 是重力加速度在第i 方向的分量，β是热膨胀系数，可结合可压流体的状态方程求出，其定义为：T∂∂-=ρρβ1 (4.28)M Y 代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，0=M Y 。
对于可压流体，有：22t M M Y ρε= (4.29)其中，t M 是湍动Mach 数，2a k M t =；a 是声速，RT a γ=。
在标准ε-k 模型中，根据Launder 等推荐值及后来的实验验证，模型常数ε1C 、ε2C 、ε3C 、k σ、εσ的取值为：ε1C ＝1.44，ε2C ＝1.92，ε3C ＝0.09，k σ＝1.0，εσ＝1.3 (4.30)对于可压流体的流动计算中与浮力相关的系数ε3C ，当主流方向与重力方向平行时，有ε3C ＝1，当主流方向与重力方向垂直时，有ε3C ＝0。
根据以上分析，当流动为不可压，且不考虑用户自定义的源项时,` b G =0，M Y ＝0, k S ＝0，εS ＝0.，这时，标准ε-k 模型变为：()()ρεσμμρρ-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂k j k tj i i G x k x x ku t k (4.31) ()()k C G k C x x x u t k j tji i 221ερεεσμμρερεεεε-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂ (4.32) 这种简化后的形式，出现在多篇文献中，这可使我们更便于分析不同湍流模型的特点，后续要介绍的改进的ε-k 模型也将采用这种简化形式。
方程(4.31)及((4.32)中的Gt ，按式(4.26)计算，其展开式为:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2222222y w z v x w z u x v y u z w y v x u G t k μ (4.33)4.4.3标准ε-k 模型的控制方程组采用标准ε-k 模型求解流动及传热问题时，控制方程包括连续性方程、运动方程、能量方程、k 方程、ε方程与式（4.23）。
若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。
若考虑传质或有化学变化的情况，则应再加入组分方程。
这些方程仍可以表示成如下通用形式：()()()()S z z yy x x z w y v x u t +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂φφφφρφρφρρφ(4.35)使用散度符号，上式记为：()()()S grad div div t+Γ=+∂∂φφρρφu (4.36) 为了方便查阅，下表给出了在三维直角坐标系下，与通用形式（4.35）所对应的ε-k 模型的控制方程。
与式（4.35）对应的ε-k 模型的控制方程方程 φ 扩散系数Γ 源项S 连续性方程1X 向运动方程 ut eff μμμ+=u eff eff eff S x w z x v y x u x x p +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-μμμ y 向运动方程 vt eff μμμ+= v eff eff eff S y w z y v y y u x y p +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-μμμ z 向运动方程 wt eff μμμ+= w eff eff eff S z w z z v y z u x z p +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-μμμ 湍动能方程 kk tσμμ+ρε+k G耗散率方程 ε εσμμt+()ρεεεε21C G C kk -能量方程TT tσμμ+PrS 按实际问题而定4.4.4标准ε-k 模型方程的解法及适用性在将各类变量的控制方程都写成式（4.35）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求解方法可以求得统一，这为发展大型通用计算程序提供了条件。
以式（4.35）为出发点所编制的程序可以适用于各种变量，不同变量间的区别仅在于广义扩散系数、广义源项及初值、边界条件这三方面。
实际上，目前世界上研究计算流体动力学的主要机构所编制程序多是针对式（4.35）写出的。
对于标准ε-k 模型的适用性，有如下几点需要注意：（1）模型中的有关系数，如式（4.30）中的值，主要是根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有所不同，但总体来讲，本节所给出的结果在近年发表的文献中是比较一致的。
除了式（4.30）中给出的5个常数外，对于能量方程中的系数T σ，有文献建议取为T σ＝0.9～1.0。