第12章电子自旋与原子中电子排布
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一、斯特恩－盖拉赫实验（1921）
非均匀磁场 原子射线源
狭缝
底 片
基态银原子l＝0,通过非均匀磁场，应无偏转,但在 屏上得到两条分立的黑线。射线的偏转表明：电子应 具有另一种角动量, 它在外磁场方向投影只能取两个值。
二、电子自旋 1925年，两位当年的荷兰学生乌伦贝克和哥德斯密特 在分析上述实验的基础上提出了大胆的看法： (1) 电子不是一个质点，它存在一种内秉的运动 —— 自旋， 相应地有自旋角动量和自旋磁矩。 (2) 电子自旋角动量 S 的大小类似于“轨道”角动量为 —— s 称为自旋量子数 S S s( s 1) (3) 电子自旋角动量在空间相对外磁场方向的取向也是 空间量子化的。 电子轨道角动量 电子自旋角动量 对比 L 大小：L l l 1 大小： S s s1
πx 2 cos ， x a a 0，
2
a 当 x 2
x 就代表概率密度了，即 归一化之后，
P x x
概率最大处:
2
a a 当 x ，x 2 2 a 当 x 2 a a 当 x ，x 2 2
2 2 πx ， cos a a 0，
[例] 计算电子自旋角动量在外磁场中可能取的角度。
解：电子自旋角动量： S s s 1 ，其中 s 1 2
S 在外磁场方向上的分量为 Sz = ms 其中 ms =±1/2 ms 1 cos S z S 3 s s 1
z， B
S
S
Sz = + / 2 Sz = - / 2
(1) 粒子坐标的概率分布函数；
2
4a 3 x 2e 2ax， ( x 0) ( x 0) 0，
(2) 在何处发现粒子的概率最大？1/a
2. 设粒子处于由下面波函数描述的状态：
πx a A cos a ， 当 x 2 x a a 当 x ，x 0， 2 2
对比
1 1 3 1 2 2 4 自旋角动量 S 在外 磁场中投影：S z m s
来自百度文库1 ms s 2
ms —— 为自旋磁量子数。
1 Sz 2
/2— —
S
当轨道动量矩 l = 0，但有自旋磁矩。 自旋磁矩只有二个指向，因此银原子 射线分裂为二条。
dP 2 πx πx π 2π 2πx 2 cos sin 2 sin 0 dx a a a a a a a x 即 x=0 2
A 3. 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x 1 ix (1) 将此波函数归一化； (2) 求出粒子按坐标的概率分布函数； (3) 在何处找到粒子的概率最大？ 解： (1) 由归一化条件
xe 2ax (1 ax) 0 得： x1 0， x2 ， x3 1 a 在 x1 = 0 和 x2 = 处，w 系极小值 (= 0)； 在 x3 = 1/a 处，w 有极大值，即此处发现粒子概率最大。
§12.8.3 电子自旋(Spin of electron)和 泡利不相容原理
(2) 在何处发现粒子的概率最大？ 解：(1) 由波函数的统计解释，粒子坐标的概率分布函数为 2 3 2 2ax
w( x )
4a x e 0，
， ( x 0) ( x 0)
dw 0 (2) 由 dx 就有： 4a 3 x 2 ( 2a )e 2ax 8a 3 xe 2ax 0
A 是正的常数。求粒子在 x 轴上分布的概率密度； 粒子在何处出现的概率最大? 解：首先把给定的波函数归一化 做积分
x dx 1
2
x dx
2
2 a 2 A2 cos a 2
πx 2a dx A 1 a 2
2 得 A a
因此，归一化的波函数为
3. 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为
A x 1 ix
(1) 将此波函数归一化；
1 x π 1 ix
2
(2) 求出粒子按坐标的概率分布函数； x (3) 在何处找到粒子的概率最大？
π 1 x2 x0
1
2a 3 2 xe ax， ( x 0) 4. 设一维运动粒子的波函数为 x 。 ( x 0) 0， 其中 a 为大于零的常数。求：
5445 or 12515
z
54.7S
1
s
z
125.3
s
ms
1 S ms 2
d 2 (3) 令： x 0 得： x 0 dx 即在 x = 0 处粒子的概率密度 最大。
π 1 x2
1
2a 3 2 xe ax， ( x 0) 4. 设一维运动粒子的波函数为 x 。 ( x 0) 0， 其中 a 为大于零的常数。求：(1) 粒子坐标的概率分布函数；
A2 A 2 2 dx d x A arctan x A π1 2 1 ix 1 x 2
得： A 1 π
x
1 π 1 ix
1 π 1 ix
2
(2) 概率密度为： p x 2 dx
其中
在外磁场中 L 有 2l + 1个取向。
l 0， 1 ， 2 ， ... n 1
其中 s ? 在外磁场中只有二个取向。 则 2s 1 2
S
1 s 2
所有原子的自旋角动量都相同， S 故不再当做一个量子数提出。
轨道角动量 L在外 磁场中投影： Lz ml ml 0, 1, 2, ... l ( z) B /2— — S
非均匀磁场 原子射线源
狭缝
底 片
基态银原子l＝0,通过非均匀磁场，应无偏转,但在 屏上得到两条分立的黑线。射线的偏转表明：电子应 具有另一种角动量, 它在外磁场方向投影只能取两个值。
二、电子自旋 1925年，两位当年的荷兰学生乌伦贝克和哥德斯密特 在分析上述实验的基础上提出了大胆的看法： (1) 电子不是一个质点，它存在一种内秉的运动 —— 自旋， 相应地有自旋角动量和自旋磁矩。 (2) 电子自旋角动量 S 的大小类似于“轨道”角动量为 —— s 称为自旋量子数 S S s( s 1) (3) 电子自旋角动量在空间相对外磁场方向的取向也是 空间量子化的。 电子轨道角动量 电子自旋角动量 对比 L 大小：L l l 1 大小： S s s1
πx 2 cos ， x a a 0，
2
a 当 x 2
x 就代表概率密度了，即 归一化之后，
P x x
概率最大处:
2
a a 当 x ，x 2 2 a 当 x 2 a a 当 x ，x 2 2
2 2 πx ， cos a a 0，
[例] 计算电子自旋角动量在外磁场中可能取的角度。
解：电子自旋角动量： S s s 1 ，其中 s 1 2
S 在外磁场方向上的分量为 Sz = ms 其中 ms =±1/2 ms 1 cos S z S 3 s s 1
z， B
S
S
Sz = + / 2 Sz = - / 2
(1) 粒子坐标的概率分布函数；
2
4a 3 x 2e 2ax， ( x 0) ( x 0) 0，
(2) 在何处发现粒子的概率最大？1/a
2. 设粒子处于由下面波函数描述的状态：
πx a A cos a ， 当 x 2 x a a 当 x ，x 0， 2 2
对比
1 1 3 1 2 2 4 自旋角动量 S 在外 磁场中投影：S z m s
来自百度文库1 ms s 2
ms —— 为自旋磁量子数。
1 Sz 2
/2— —
S
当轨道动量矩 l = 0，但有自旋磁矩。 自旋磁矩只有二个指向，因此银原子 射线分裂为二条。
dP 2 πx πx π 2π 2πx 2 cos sin 2 sin 0 dx a a a a a a a x 即 x=0 2
A 3. 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x 1 ix (1) 将此波函数归一化； (2) 求出粒子按坐标的概率分布函数； (3) 在何处找到粒子的概率最大？ 解： (1) 由归一化条件
xe 2ax (1 ax) 0 得： x1 0， x2 ， x3 1 a 在 x1 = 0 和 x2 = 处，w 系极小值 (= 0)； 在 x3 = 1/a 处，w 有极大值，即此处发现粒子概率最大。
§12.8.3 电子自旋(Spin of electron)和 泡利不相容原理
(2) 在何处发现粒子的概率最大？ 解：(1) 由波函数的统计解释，粒子坐标的概率分布函数为 2 3 2 2ax
w( x )
4a x e 0，
， ( x 0) ( x 0)
dw 0 (2) 由 dx 就有： 4a 3 x 2 ( 2a )e 2ax 8a 3 xe 2ax 0
A 是正的常数。求粒子在 x 轴上分布的概率密度； 粒子在何处出现的概率最大? 解：首先把给定的波函数归一化 做积分
x dx 1
2
x dx
2
2 a 2 A2 cos a 2
πx 2a dx A 1 a 2
2 得 A a
因此，归一化的波函数为
3. 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为
A x 1 ix
(1) 将此波函数归一化；
1 x π 1 ix
2
(2) 求出粒子按坐标的概率分布函数； x (3) 在何处找到粒子的概率最大？
π 1 x2 x0
1
2a 3 2 xe ax， ( x 0) 4. 设一维运动粒子的波函数为 x 。 ( x 0) 0， 其中 a 为大于零的常数。求：
5445 or 12515
z
54.7S
1
s
z
125.3
s
ms
1 S ms 2
d 2 (3) 令： x 0 得： x 0 dx 即在 x = 0 处粒子的概率密度 最大。
π 1 x2
1
2a 3 2 xe ax， ( x 0) 4. 设一维运动粒子的波函数为 x 。 ( x 0) 0， 其中 a 为大于零的常数。求：(1) 粒子坐标的概率分布函数；
A2 A 2 2 dx d x A arctan x A π1 2 1 ix 1 x 2
得： A 1 π
x
1 π 1 ix
1 π 1 ix
2
(2) 概率密度为： p x 2 dx
其中
在外磁场中 L 有 2l + 1个取向。
l 0， 1 ， 2 ， ... n 1
其中 s ? 在外磁场中只有二个取向。 则 2s 1 2
S
1 s 2
所有原子的自旋角动量都相同， S 故不再当做一个量子数提出。
轨道角动量 L在外 磁场中投影： Lz ml ml 0, 1, 2, ... l ( z) B /2— — S