立体几何中的向量方法复习

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立体几何中的向量方法复习

一、选择题

1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ⊂α

D. l 与α斜交

答案：B 解析：因为直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B.

2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1

3AC ，则( )

A. EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直

B. EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC

C. EF 与BD 1相交

D. EF 与BD 1异面 答案：B

解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，1

3

，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，

A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→

＝(－1，－1,1)，

EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·E F →

＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B.

3. 若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.

48585 B. 6985 C. －15

15

D. 0 答案：C 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515

.

4.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )

A.

64 B. －64 C. 104 D. －10

4

答案：A

解析：取AC 中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ，如图，建立空间直角坐标系Bxyz ，则A (32，1

2

，0)，D (0,0,1)， 则A D →

＝(－

32，－12，1)．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面AA 1C 1C .∴B E →

＝(32

，0,0)为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cos 〈A D →，B E →

〉＝－

6

4

，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α， ∴sin α＝|cos|〈A D →，B E →

〉|＝

6

4

，故选A. 5.在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1

与AF 1所成的角的余弦值是( )

A.

3010 B. 12 C. 3015 D. 15

10

答案：A 解析：建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1(－12，0,1)，B (0，－1,0)，D 1(－12，

cos 〈AF 1→，BD 1→

〉＝AF 1→·BD 1→

|AF 1→|·|BD 1→

|

＝3010.

－12，1)，即AF 1→＝(12，0,1)，BD 1→

＝(－12，12

，1)．∴

(第5题图) (第6题图) (第7题图) 二、填空题

6.如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →

〉＝3

3

，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．

答案：(1,1,1)

解析：设PD ＝a ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1，a 2)，∴DP →＝(0,0，a )，AE →

＝(－1,1，a 2)．

由cos 〈DP →，AE →

〉＝33，∴a 2

2

＝a

2＋a 24·3

3

，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．

7.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．

答案：

105解析：如图建立空间直角坐标系，AB →＝(0,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，AE →

＝(0，12

，1)

设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

由n ·AB →＝0可解得n ＝(1,0,1)，n ·AD 1→

＝0

设直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为θ， 则sin θ＝|AE →

·n |

| AE →

|·|n |＝10

5.

三、解答题

8. 已知在几何体A －BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．

解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．

则A (4,0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,1)，E (0,0,4)， ∴DE →＝(0，－4,3)，AB →

＝(－4,4,0)， ∴cos 〈DE →，AB →

〉＝－225

，

∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为22

5

.

(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则A Q →＝(－4，m ，n )，B Q →＝(0，m －4，n )，E Q →

＝(0，m ，n －4)，Q D →＝(0,4－m,1－n )．∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R(λ>0)使得EQ →

＝λQD →

，∴(0，m ，n －4)＝λ(0,4－m,1－n )，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ

.③

由①②③得(λ＋41＋λ)2＝16λ(1＋λ)2，∴λ2

－8λ＋16＝0，解得λ＝4.∴m ＝165，n ＝85.

∴满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，165，8

5

)．

9. 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、H 分别是棱BB 1、CC 1、DD 1的中点． (1)求证：BH ∥平面A 1EFD 1；

(2)求直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值．

解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，H (0,0，a 2)，F (0，a ，a

2)，A 1(a,0，

a )，E (a ，a ，a

2

)，D 1(0,0，a )

(1)∵A 1E →＝(0，a ，－a 2

)，D 1A 1→

＝(a,0,0)设平面A 1EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．