剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图§4-5 载荷集度、剪力和

a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
MR
FRx
FRx
FR
FRy
FRy
二、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
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(b)分布荷载
q(x)
q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
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三、静定梁的基本形式
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
(a)悬臂梁
(b)简支梁
(c)外伸梁
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 ① 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ② 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称 为非对称梁。
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对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形 后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
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第四章 弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例 §4-2 受弯构件的简化 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面曲杆的弯曲内力
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§4-1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念
受力特点： 变形特点：
1 1 1.5m
q=12kN/m
2
B
2
1.5m
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
0
FA
6
F
4.5
q 3
3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
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2、计算1-1截面的内力
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m FA
MC 0: M FBx Fl x 0 M FBx Fl x FAx
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①剪力：平行于横截面的内力
符号规定：
FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩：绕截面转动的内力
符号规定：
M
M
M
M
弯矩为正
弯矩为负
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例如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
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§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩 图
剪力、弯矩方程：
MFS
FS ( x) M (x)
剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴 沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大 小。
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例 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程：
Fx A
B
l
FS (x) F
F=8kN
M1
FS1
3、计算2-2截面的内力
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
M2
FB
1.5
q 1.5 1.5 2
30 kN
m
FS2
FB
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建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。
超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
§4-3 剪力和弯矩
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C M
Fy
0:
FA
FA
FS 0
l
l
aF
FS
FA
FA
x
FS
MC 0 : M FAx 0 M FAx
F
MC
FB
a l
F
FS
FB Fy 0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M 3ql2 / 32
3ql2 / 32
M x＝qlx / 2 qx2 / 2 0 x l
x
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总结
❖在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一 斜直线。 ❖在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为 一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。 ❖集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小; 弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。 ❖在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力 偶的大小而剪力图无改变。
FSC右
FA
F
F 3
M C右
FA
l 3
2 9
Fl
FSC左 FSC右, MC左＝MC右
在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集 中力的大小；而弯矩保持不变。
负号表示假设方向与实际方向相反。
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例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
A 2m
FA 1.5m
解：1.求支座反力
Fy M
0, FA
A (F ) 0,
FB FB
l
F
0 Fl
3
0
得
FA
2 3
F, FB
1 3
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
FA
2 3
F
MD
FA
a
2 3
Fa
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同理,对于C左截面：
FSC左
FA
2 3
F
M
C左＝
2 3
F
l 3
2 9
Fl
对于C右截面：
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与 外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
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弯 曲 实 例
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§4-2 受弯构件的简化
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
吊车大梁简化实例
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§4-2 受弯构件的简化
一、梁支座的简化
M (x) Fx
FS
F
| FS |max F
| M |max Fl
Fl
M
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例 试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力，由 Fx 0, mA 0
Fb
Fa
得 FA l , FB l
2.列剪力、弯矩方程
在AC段内，
FS1 ( M1(
x) x)
FA FA
x
Fb ,0 x
l
Fb
x, 0
l
a
x
a
在BC段内，
FS2 (x)
FB
Fa l
, a
x
l
M
2 ( x)
FB
l
x
Fa l
l
x,
a
x
l
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在某一段上若无载荷作用，剪力 图为一水平线，弯矩图为一斜直 线。 集中力作用处剪力图有突变，变 化值等于集中力的大小；弯矩图 上无突变，但斜率发生突变，折 角点。
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例 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画
出剪力图和弯矩图。
y
q
解：1．确定来自百度文库束力
M A＝0， MB＝0
FAy＝ FBy＝ ql/2
A
B
xC
x
FAY
l
FBY
FS ql / 2
2．写出剪力和弯矩方程
FS x＝ql / 2 qx 0 x l
x
ql /
ql 2 / 8