(完整版)浅谈微积分在中学数学中的应用

浅谈微积分在中学数学解题中的应用

数学与计算科学系数学与应用数学专业

学号：09690137 姓名：尹佩指导老师：蔡江涛

摘要：微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决中学数学中的一些问题.本文通过阐述微积分在中学数学中的重要地位和作用的基础上,研究微积分在中学数学解题中的应用.

关键词：微分积分中学数学新课改

0.引言

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）对微积分教学内容进行了改革．《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础.

微积分是数学的一个基础学科，它分为微分和积分.微积分的创立,极大的推动了数学自身的发展.它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值.微积分在中学数学中的地位和作用具体体现在以下几个方面：

（1）学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力.

（2）学习微积分能更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用.

(3)将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作.利用微积分来解决中学数学中的一些问题能取得意想不到的效果.

1.微分在中学数学解题中的应用

《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时通过理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”.微分在中学数学解题中的应用主要由导数实现.

1.1微分法在求函数极值和最值问题中的应用

中学数学教材的二次函数,三角函数和不等式等内容都涉及到求函数极值与最值问题. 在求比较复杂的函数的极值和最值问题中一般采用微分的知识来解决，根据对自变量求导研究导函数性质从而判断函数.

导数的定义:当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)-f(x0)与自变量之比的极限存在且有限，就说函数f 在x0 点可导，称之为 f 在x0 点的导数（或变化率）。

例 1：求函数，的极值，最值

解：因为，令，得.

又因为

由表中可知，为函数的极小值点， .

当时，，所以在区间上最大值为，最小值为 .

由例题可得利用微分求比较复杂的函数的最值及极值方面会显得更简单.其中

利用导数求极值可分为三步：

1：求导数；

2：求方程的根；

3：检验在方程的根的左右两边的符号，确定极值.

1.2微分法在不等式证明中的应用

在中学数学中不等式的证明是一个重点同时也是一个难点，对于简单的不等式我们可以通过作差和作商等方法来解决，但对于比较难的不等式证明我们一般采用微分中的求导来处理问题。微分在中学数学不等式证明中的应用，主要是利用函数单调性来证明不等式.将不等式中的项进行一系列计算变形，通过构造函数，研究函数的单调性来证明不等式.

例2: 当时，证明不等式成立.

证明：设，则.

∵∴

∴在内单调递减，而，

∴，故当时，成立.

一般地，证明，可以构造函数，

如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，时，有，即证明了.

函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识．用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.

1.3微分学在研究函数图像中的应用

函数图像在中学数学解题中起到了重要的作用.函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：

(1)确定函数的定义域；

(2)观察函数是否具有某些特征(奇偶性等)；

(3)求出函数的单调区间，极值，列表；

(4)观察函数是否有渐进线，如果有，求出渐进线；

(5)求出函数的凸凹区间和拐点，列表；

(6)确定一些特殊点，如与坐标轴的交点等.

例3：描绘函数的图像.

解：①定义域为，值域为.

②是偶函数，图形关于轴对称.

③，令，解得驻点，

，令，解得.

④当，函数值无限接近于0，即是渐近线.

综上，画函数草图如下：

中学常采用微分学知识作函数图像，这里作为函数的一个极为重要的特征之—凹凸性，利用函数凹凸性与导数的关系作图会更准确更简单.

1.4采用微分中值定理证明方程根的存在性

拉格朗日中值定理设函数ｆ（x）满足如下条件：

（１）ｆ（x）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；

（２）ｆ（x）在开区间（ａ，ｂ）内可导，

.

则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=f(a)−f(b)

b−a

运用拉格朗日中值定理证明方程根的存在唯一性

例４: 设ｆ（x）在[0,1]上可导，且0 ＜ｆ（x）＜ 1，又对于（0，1）内的所有点x有ｆ′（x）≠-1，证明方程ｆ（x） + x - 1 = 0在（0，1）内有唯一实根．