第三章 多自由度系统振动_part1

本章的主要学习内容：
振动微分方程组的建立； 确定固有频率和主振型的方法； 多自由度系统的模态分析；
多自由度系统的响应分析。 其关键在于：
如何列出振动系统的微分方程组？ 如何求解微分方程组？
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3.2 多自由度振动系统运动微分方程的
建立
3.2.1 直接法 3.2.2 拉格朗日法 3.2.3 影响系数法
解：
m1 z1 c z1 z2 k z1 z2 k1 z1 q 0 m2 z2 c z2 z1 k z2 z1 0
m1 z1 cz1 cz2 k k1 z1 kz2 k1q m2 z2 cz1 cz2 kz1 kz2 0
第三章
多自由度振动系统的振动
预备知识
分析力学基础
矩阵代数基本知识
3.1 多自由度系统概述 3.2 多自由度振系运动微分方程的建立 3.3 多自由度系统的固有特性
3.4 无阻尼多自由度系统的模态分析 3.5无阻尼多自由度系统的响应计算 3.6 有阻尼多自由度系统的实模态分析 3.7 直接法及动力吸振器 3.8 试验模态分析
d T T U D ( ) Qi dt qi qi qi qi
T d T T d T T d T m1 x1 ; m x ; m x ; m x ; m x ; m3 x3 1 1 2 2 2 2 3 3 x1 dt x1 x2 dt x2 x3 dt x3
3.1 多自由度系统概述
多自由度系统是指自由度数目多于一
个，但又不属于连续弹性体的所有系统。
实际的机械结构，总是由杆、梁、板、壳或其 他各种元件组成的复杂的弹件结构，由于它们的质 量与刚度都具有分布的性质，理论上都是具有无限 多自由度的系统。 以一根简单的梁为例，研究其横向振动时，就 要用梁上无限多个横截面在每个瞬时的运动情况来 描述梁的运动规律，因此一根梁就是一个无限多自 由度的系统。对于这样系统要得到精确解，除个别 情况外，一般是不可能的。
建模方法3 四自由度平面模型：
车身考虑垂直和俯仰两 个自由度，前后车轴有 两个垂直方向自由度。
建模方法4
七自由度空间模型：
车身考虑垂直、俯仰 (pitch)和侧倾(roll)三个自 由度，车轮有四个垂直方 向自由度。
本章应用“矩阵代数”这一数学工具来研究多自 由度系统的振动问题。这一数学工具同电子计算机的 应用是密切相关的。这里的研究将为用有限单元法解 决动响应问题打下基础。 多自由度系统振动是用二阶微分方程组来描述的， 各方程间在变量上存在“耦合”现象。耦合在力学上 指系统质量间存在力的联系，在数学上就是一个微分 方程包含多个变量及其导数。 多自由度系统与单自由度系统相比除自由度数量 上的增加外，两者之间还有着质的区别。后者的系统 固有特性只有固有频率；而前者除了固有频率外还有 固有振型，这正是多自由度系统的共有特征。
问题：研究汽车振动问题－振动模型的建立
建模方法1 单自由度模型： 忽略轮胎的弹性与质量，得到 分析车身垂直振动的最简单的 单质量系统，适用于低频激励 情况（5Hz以下）。
建模方法2
两自由度模型： 将车身、车轮质量分别考虑， 忽略轮胎阻尼。m2为悬挂质量 （车身质量），m1为非悬挂质 量（车轮质量）。
p1 t p2 t
试建立系统的运动微分方程。
解：
p1 t
p2 t
先进行受力分析
m1 x1 k1 x1 k2 x1 x2 p1 t m2 x2 k2 x1 x2 k3 x2 p2 t
耦合（coupling)：弹性耦合（静力耦合） 写成矩阵形式
耦合（coupling)：惯性耦合（动力耦合）
m3 4 x1 k 0 x1 0 m1 m3 4 m 4 m2 m3 4 x2 0 k x2 0 3
MX KX 0
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然而，在大多数情况下，往往可以对弹性体 振动问题，从无限多自由度系统简化为有限多个 自由度系统进行分析，以得到它主要的、即较低 频率的一些振动特性与规律，这样就往往可以满 足机器设计与使用上的要求。
因此，研究多自由度系统的振动就具有很高 的工程应用价值。汽车 振动分析中，常把汽车作 为多自由度系统来进行研究。
p1 t P t p2 t
k1 k2 K k2
k2 k 2 k3
若系统有n 个自由度，则各项皆为n维
两圆盘转动惯量为I1、 I2，轴的三个段的扭 转刚度分别为kθ1、 kθ2 、 kθ3 ，外力矩为 M1(t) 、M2(t) ，试建 立系统的运动微分方 程。 解：
对于复杂的系统来说，采用这种方法只 要我们求得动能与势能用广义座标表示的表 达式，在存在非势力时再用计算虚功的方法 求得广义力，就可以用简单的微分运算得到 系统的运动微分方程式。与动力学方法相比， 采用拉格朗日方程式建立运动方程式比较规 格化，也不易出错，这是它的优点。
广义坐标与自由度
O

x l
加 速 度 向 量
k2 x1 p1 t k2 k3 x2 p2 t
位 移 向 量
激 振 力 向 量
刚 度 矩 阵
还可以写成
MX KX P (t )
m1 M 0 0 m2
x1 X x2 x1 X x2
d T T U D ( ) Qi (i 1, 2, dt qi qi qi qi
, N)
例：利用拉格朗 日方法列出图示 系统的振动微分 方程
p1 t
p2 t
p3 t
设系统的广义坐标为x1、x2和x3， 1 2 2 2 T m1 x1 m2 x2 m3 x3 系统的动能 2
3.2.2 拉格朗日法
对于一些较复杂的动力学问题，用牛 顿力学方法就很困难，甚至不可能，因此 人们从能量的观点去建立运动微分方程再 求解之，这叫做分析力学，我们这里研究 的是动力学问题，故又称分析动力学。 在分析动力学中有一个很著名的、经常 用到的方程叫做拉格朗日(Lagrange)方程。 可运用该方程建立系统的运动微分方程。
m1 x1 k1 k2 x1 k2 x2 p1 t m2 x2 k2 x1 k2 k3 x2 p2 t
m1 0
质 量 矩 阵
0 x1 k1 k2 m2 x2 k2
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建立振动系统运动微分方程方法：
直接法
拉格朗日法 影响系数法 有限单元法
3.2.1 直接法
在处理一些简单的动力学问题时，可以 用牛顿第二定律（达朗贝尔原理）来建立运 动微分方程并求解，这叫做矢量力学或牛顿 力学。其优点是简单、直观。
例 双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力， 不记摩擦和其他形式的阻尼。
I11 k 11 k 2 1 2 M 1 t I 2 2 k 2 2 1 k 3 2 M 2 t
2
I11 k 1 k 2 1 k 2 2 M 1 t I 2 2 k 21 k 2 k 3 2 M 2 t
MZ CZ KZ P t
例 建立图示系统的运动微分方程。
解：
m1 x1 2l m3 x1 x2 l 2 kx1 2l 0 m2 x2 2l m3 x1 x2 l 2 kx2 2l 0
m1 m3 4 x1 m3 x2 4 kx1 0 m3 x1 4 m2 m3 4 x2 kx2 0
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统一样，在多自由度系统中也将 质量，刚度，位移，加速度及力都理解为广义的。
例：在研究汽车振动的两自由度模 型中：将车身、车轮质量分别考虑， 忽略轮胎阻尼。m2为悬挂质量（车 身质量），m1为非悬挂质量（车轮 质量）。建立运动微分方程。
拉格朗日方程：
d T dt qi
T Qi qi
(i 1, 2,
, N)
T 系统总动能 qi 系统广义坐标，qi qi 对时间的导数 Qi 对应广义坐标qi的广义力
1.如果系统为保守系统，即主动力都是有势力，根据 广义力 d T T U U ( ) 0 (i 1, 2, , N ) Qi qi dt qi qi qi
O
a
x

A(x1, y1)

A(x, y)
b
B(x2, y2)
y
y
x l sin y l cos
Baidu Nhomakorabea
x1 a sin y1 a cos x2 a sin b sin
广义坐标
广义坐标 —— 确定质点 y2 a cos b cos 系位形的独立参变量。 , 广义坐标
耦合（coupling)：弹性耦合（静力耦合）
I1 0
0 1 k 1 k 2 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 t k 2 k 3 2 M 2 t
m1 0 0 z1 c c z1 k k1 m2 z2 c c z2 k
阻 尼 矩 阵 速 度 向 量
k z1 k1q k z2 0
1 2 2 2 U k1 x1 k2 x2 x1 k3 x3 x2 系统的势能 2 系统能量耗散函数 D 1 c1 x12 c2 x2 x1 2 c3 x3 x2 2 2
由拉格朗日方程
T 0, i 1, 2,3 xi
U U U k1 x1 k2 x2 x1 ; k2 x2 x1 k3 x3 x2 ; k3 x3 x2 x1 x2 x3
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。 用 q1，q2，…表示。 自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位 置的 独立参变量的数目等于系统的 自由度数。
N=3n—s
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以 写成广义坐标的函数形式
xi xi (q1 , q2 , qk , t ) yi yi (q1 , q2 , qk , t )(i 1,2, , n) zi zi (q1 , q2 , qk , t )
2.如果作用在系统上的主动力除有势力外，还有非势力
将这部分力Qi的虚功记为： W Qi qi
n
d T T U ( ) Qi (i 1, 2, dt qi qi qi
i 1
, N)
3. 如果将能量耗散函数D引起的阻尼力从其他非势力中 分离，使Q仅代表外部作用的广义激振力：