正弦信号的谱分析
信号的谱分解定理
信号的谱分解定理
一、傅里叶分析
傅里叶分析是信号处理中的一种基本工具，它可以将复杂的信号分解为简单的正弦波和余弦波的组合。
通过傅里叶分析，我们可以了解信号的频率成分，进而对其性质和特征进行深入分析。
傅里叶分析的基本思想是将一个周期信号表示为无穷多个正弦波的叠加。
对于非周期信号，可以使用傅里叶变换将其转换为频域表示。
在频域中，信号的频率成分被表示为复数，其实部和虚部分别表示幅度和相位。
二、帕斯瓦尔定理
帕斯瓦尔定理是信号处理中的另一个重要定理，它指出一个信号的能量可以完全由其傅里叶变换的模的平方确定。
换句话说，一个信号的能量谱是其频谱的模的平方。
这个定理对于理解和分析信号的能量分布非常有用。
帕斯瓦尔定理的应用非常广泛，例如在音频处理中，可以使用该定理来计算语音信号的响度；在图像处理中，可以使用该定理来计算图像的亮度分布。
三、采样定理
采样定理是数字信号处理中的基本定理之一，它指出如果一个连续时间信号具有有限的带宽，那么我们可以通过对其足够密集的样本进行取样，来准确地重建该信号。
这个定理对于数字信号处理技术的发展和应用起到了至关重要的作用。
采样定理的应用非常广泛，例如在音频处理中，可以使用采样定理将模拟音频信号转换为数字信号；在图像处理中，可以使用采样定理将图像转换为数字格式进行处理。
在实际应用中，我们需要选择合适的采样率以确保信号的质量和精度。
信号与系统分析实验信号的频谱分析
实验三信号的频谱分析1方波信号的分解与合成实验1实验目的1. 了解方波的傅立叶级数展开和频谱特性。
2. 掌握方波信号在时域上进行分解与合成的方法。
3. 掌握方波谐波分量的幅值和相位对信号合成的影响。
2 实验设备PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。
3 实验原理及内容1. 信号的傅立叶级数展开与频谱分析信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱条件，就可以将其展开成傅立叶级数：如果将式中同频率项合并，可以写成如下形式：从式中可以看出，信号f(t)是由直流分量和许多余弦（或正弦）分量组成。
其中第一项A0/2是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初相角；式中第三项A2cos(Ωt+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的二倍，A2是基波振幅，φ2是基波初相角。
依此类推，还有三次、四次等高次谐波分量。
2. 方波信号的频谱将方波信号展开成傅立叶级数为：n=1，3，5…此公式说明，方波信号中只含有一、三、五等奇次谐波分量，并且其各奇次谐波分量的幅值逐渐减小，初相角为零。
图3-1-1为一个周期方波信号的组成情况，由图可见，当它包含的分量越多时，波形越接近于原来的方波信号，还可以看出频率较低的谐波分量振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的谐波分量振幅较小，它们主要影响波形的细节。
（a）基波（b）基波＋三次谐波（c）基波＋三次谐波＋五次谐波（d）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波（e）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波＋九次谐波图3-1-1方波的合成3. 方波信号的分解方波信号的分解的基本工作原理是采用多个带通滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上，当被测信号同时加到多路滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。
谱分析的原理与
谱分析在大数据处理中的应用
数据降维
利用谱分析对高维数据 进行降维处理，提取主 要特征，降低计算复杂
度。
异常检测
通过谱分析检测大数据 中的异常值和异常模式， 提高数据质量和可靠性。
数据分类与聚类
利用谱分析对大数据进 行分类和聚类，发现数
据间的关联和模式。
数据可视化
将谱分析应用于数据可 视化，生成更直观、易
析、滤波器设计等。
小波变换谱分析
小波变换谱分析是一种将时间序列分 解为不同频率和尺度成分的方法，通 过分析小波系数，可以揭示信号的局 部特性和非平稳性。
小波变换在信号处理、图像处理、语 音识别等领域有着广泛的应用，如信 号去噪、特征提取、图像压缩等。
小波变换的基本思想是将一个信号表 示为一组小波函数的叠加，这些小波 函数具有不同的尺度参数和位移参数。
06
谱分析的未来发展与挑战
谱分析算法的优化与改进
算法效率
优化谱分析算法，提高计算效率，减少计算 时间和资源消耗。
适应性增强
增强算法的适应性，使其能够处理更广泛的 数据类型和复杂情况。
精度提升
改进算法以提高谱分析的精度和准确性，减 少误差和不确定性。
可解释性增强
提高谱分析结果的解释性和可理解性，使其 更易于理解和应用。
于理解的数据图像。
谱分析在物联网中的应用
信号处理
利用谱分析对物联网中的信号 进行滤波、去噪和特征提取，
提高信号质量。
设备监测与故障诊断
通过谱分析监测物联网设备的 运行状态，及时发现故障并进 行诊断。
数据分析与决策支持
利用谱分析对物联网数据进行 深入分析和挖掘，为决策提供 支持。
物联网安全
通过谱分析检测物联网中的异 常行为和攻击，提高网络安全
画出其幅度谱和相位谱
幅度谱的定义
01
02
03
幅度谱
表示信号中不同频率分量 的振幅变化的图形表示。
定义公式
幅度谱 = |F( jw)| = |∫f(t)e^(-jwt)dt|。
解释
F( jw)表示信号f(t)通过傅 立叶变换后的频域表示， |F( jw)|表示各频率分量的 振幅，即幅度谱。
绘制幅度谱的方法
傅立叶变换
将时域信号f(t)变换到频域， 得到F( jw)。
画出其幅度谱和相位谱
目录
• 引言 • 信号与频谱分析基础 • 幅度谱的绘制 • 相位谱的绘制 • 实际操作步骤 • 案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
幅度谱和相位谱是信号处理中的 基本概念，用于描述信号的频率 成分和各频率分量的相位信息。
02
幅度谱表示信号中各个频率分量 的振幅大小，而相位谱表示各个 频率分量的相位角。
02 信号与频谱分析基础
信号的分类
周期信号
具有固定周期的信号，如正弦 波和余弦波。
非周期信号
没有固定周期的信号，如脉冲 信号和随机信号。
离散信号
只在离散时间点上有定义的信 号，如数字信号。
连续信号
在连续时间上定义的信号，如 正弦波和余弦波的连续形式。
频谱分析的定义
频谱分析是对信号进行频率分解的过 程，将信号表示为不同频率分量的叠 加。
号的功率谱密度函数，它描述了各频率分量的功率分布情况。
07 总结与展望
本研究的贡献与局限性
贡献
本研究通过实验和数据分析，深入探 讨了幅度谱和相位谱的特性，为相关 领域提供了重要的理论支撑和实践指 导。
局限性
本研究主要关注了单一频率下的幅度 谱和相位谱，未能全面分析多频率下 的特性，未来可进一步拓展研究范围。
matlab正弦函数的频谱图,【求助】正弦信号序列fft频谱分析！！！
matlab正弦函数的频谱图,【求助】正弦信号序列fft频谱分析该楼层疑似违规已被系统折叠 隐藏此楼查看此楼就是正弦包含频率是20hz，20.5hz，40hz，采样频率fs是100hz，分析栅栏效应，先是128个点fft，补零到512个点进⾏fft，再512个点fft。
程序是这样的：N1=128;N2=512;fs=100;f1=20;f2=20.5;f3=40;n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;xn1=sin(2*pi*f1*n1/fs)+sin(2*pi*f2*n1/fs)+sin(2*pi*f3*n1/fs);xk11=fft(xn1,N1)mxk11=abs(xk11(1:N1/2));figure(1);subplot(211);plot(n1,xn1);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<127');axis([0,128,-3,3]);k1=(0:N1/2-1)*fs/N1;subplot(212)plot(k1,mxk11);xlabel('频率 单位Hz');title('X1(k)的幅度谱');xn2=[xn1,zeros(1,N2-N1)];xk12=fft(xn2,N2);mxk12=abs(xk12(1:N2/2));figure(2);subplot(211);plot(n2,xn2);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]);k2=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k2,mxk12);xlabel('频率 单位Hz');title('x1(k)补零后的幅度谱');xn3=sin(2*pi*f1*n2/fs)+sin(2*pi*f2*n2/fs)+sin(2*pi*f3*n2/fs);xk2=fft(xn3,N2);mxk3=abs(xk2(1:N2/2));figure(3);subplot(211);plot(n2,xn3);xlabel('n');title('x(n) 0<=n=511');axis([0,512,-3,3]);k3=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k3,mxk3);xlabel('频率 单位Hz');title('512点有效数据的幅度谱');我看不懂的是xk11=fft(xn1,N1)mxk11=abs(xk11(1:N1/2));(这个是什么意思？)和k1=(0:N1/2-1)*fs/N1;(为什么是⼆分之⼀得N1呢？)。
[重点]对正弦信号的采样频谱分析
![[重点]对正弦信号的采样频谱分析](https://img.taocdn.com/s3/m/4f2f80ccac51f01dc281e53a580216fc700a530f.png)
一、题目要求：给定采样频率fs，两个正弦信号相加，两信号幅度不同、频率不同。
要求给定正弦信号频率的选择与采样频率成整数关系和非整数关系两种情况，信号持续时间选择多种情况分别进行频谱分析。
二、题目原理与分析：本题目要对正弦信号进行抽样，并使用fft对采样信号进行频谱分析。
因此首先对连续正弦信号进行离散处理。
实际操作中通过对连续信号间隔相同的抽样周期取值来达到离散化的目的。
根据抽样定理，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
设抽样周期为TS(抽样角频率为ωS)，则可见抽样后的频谱是原信号频谱的周期性重复，当信号带宽小于奈奎斯特频率的二分之一时不会产生频谱混叠现象。
因此，我们对采样频率的选择采取fs>2fo,fs=2fo,fs<2fo三种情况进行分析。
对信号采样后，使用fft函数对其进行频谱分析。
为了使频谱图像更加清楚，更能准确反映实际情况并接近理想情况，我们采用512点fft。
取512点fft不仅可以加快计算速度，而且可以使频谱图更加精确。
若取的点数较少，则会造成频谱较大的失真。
三、实验程序：本实验采用matlab编写程序，实验中取原信号为ft=sin(2πfXt)+2sin(10πfXt)，取频率f=1kHz，实验程序如下：f=1000;fs=20000;Um=1;N=512;T=1/fs;t=0:1/fs:0.01;ft=Um*sin(2*pi*f*t)+2*Um*sin(10*pi*f*t);subplot(3,1,1);plot(t,ft);grid on;axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]);xlabel('t'),ylabel('ft');title('抽样信号的连续形式');subplot(3,1,2);stem(t,ft);grid on;axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]);xlabel('t'),ylabel('ft');title('实际抽样信号');k=0:N-1;Fw=fft(ft,N);subplot(3,1,3);plot(k,abs(Fw));grid on;axis([0 550 -0.2 65*pi]);title('抽样信号幅度谱')在实际操作过程中，对于信号频率与采样频率所成整数倍与非整数倍关系时，信号持续时间不同时，只需改变程序中的相关语句即可。
matlab fft谱分析实验报告
matlab fft谱分析实验报告Matlab FFT谱分析实验报告引言谱分析是一种常用的信号处理技术，用于研究信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换是一种常见的谱分析方法，而Matlab中的FFT函数则是实现傅里叶变换的强大工具。
本实验旨在通过使用Matlab中的FFT函数对不同类型的信号进行谱分析，探索其在实际应用中的作用和价值。
实验方法1. 生成信号首先，我们使用Matlab中的函数生成几种不同类型的信号，包括正弦信号、方波信号和噪声信号。
通过调整信号的频率、幅度和噪声水平，我们可以模拟不同的实际场景。
2. 调用FFT函数接下来，我们使用Matlab中的FFT函数对生成的信号进行频谱分析。
FFT函数将信号从时域转换到频域，提供了信号在不同频率上的能量分布情况。
3. 绘制频谱图通过调用Matlab中的绘图函数，我们可以将FFT函数输出的频谱数据可视化为频谱图。
频谱图通常以频率为横轴，能量或幅度为纵轴，展示了信号在不同频率上的能量分布情况。
实验结果1. 正弦信号的频谱分析我们首先对一个频率为50Hz、幅度为1的正弦信号进行频谱分析。
结果显示，该信号在50Hz附近有一个明显的峰值，表示信号主要由50Hz频率成分组成。
2. 方波信号的频谱分析接下来，我们对一个频率为10Hz、幅度为1的方波信号进行频谱分析。
由于方波信号包含丰富的谐波成分，频谱图中出现了多个峰值，每个峰值对应一个谐波成分。
3. 噪声信号的频谱分析最后，我们对一个包含高斯噪声的信号进行频谱分析。
噪声信号的频谱图呈现出平坦的能量分布，没有明显的峰值。
这说明噪声信号在各个频率上都有一定的能量分布，没有明显的频率成分。
讨论与分析通过对不同类型信号的频谱分析，我们可以得出以下结论：1. 正弦信号的频谱图呈现出一个明显的峰值，表示信号主要由该频率成分组成。
这对于识别和分析周期性信号非常有用。
2. 方波信号的频谱图呈现出多个峰值，每个峰值对应一个谐波成分。
频谱分析(完整版)
Matlab 信号处理工具箱 帮助文档 谱估计专题翻译：无名网友 & Lyra频谱分析Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。
功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。
从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。
从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式()()j mxx xx m S R m eωω∞-=-∞=∑注：()()2xx S X ωω=，其中()/2/21limN j n n N n N X x e Nωω→∞=-=∑πωπ-<≤。
其matlab近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数的计算结果了使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数，其中s f 是采样频率()()2/sjfm f xx xxm S f R m eπ∞-=-∞=∑相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得：()()()/22//22sss f jfm f j m xx xx xx sf S e S f e R m d df f πωππωωπ--==⎰⎰序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以表示为()()()/2/202ss f xx xx xx sf S S f R d df f ππωωπ--==⎰⎰ 上式中的()()2xx xx S P ωωπ=以及()()xx xx sS f P f f = 被定义为平稳随机信号n x 的power spectral density (PSD)（功率谱密度） 一个信号在频带[]1212,,0ωωωωπ≤<≤上的平均功率可以通过对PSD 在频带上积分求出[]()()211212,xxxx P P d P d ωωωωωωωωωω--=+⎰⎰从上式中可以看出()xx P ω是一个信号在一个无穷小频带上的功率浓度，这也是为什么它叫做功率谱密度。
正弦信号的功率谱
正弦信号的功率谱
正弦信号的功率谱是指一个正弦信号在频域上的功率密度分布。
正弦信号是一种具有周期性的信号，其频域分布的特点是在频率为正弦信号的基频时有一个峰值，其余频率上功率密度为零。
正弦信号的功率谱在通信、信号处理等领域具有广泛
的应用。
正弦信号的功率谱可以通过傅里叶变换来计算。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它能够将信号分解为一系列不同频率的正弦波的叠加。
通过傅里叶变换，可以得到正弦信号在频域上的幅度和相位信息，进而计算出其功率谱。
正弦信号的功率谱与正弦信号的频率、振幅、相位等参数有关。
在实际应用中，可以通过改变这些参数来调节正弦信号的功率谱。
例如，在通信系统中，可以通过调节正弦信号的频率和振幅来实现信号的调制和解调。
正弦信号的功率谱是信号处理领域中的一个重要概念，它在信号分析、信号处理、通信系统等方面都有广泛的应用。
在实际应用中，需要深入理解正弦信号的功率谱的特性和计算方法，以便更好地设计和优化信号处理系统。
噪声中正弦信号的现代法频谱分析
实验报告一、实验名称噪声中正弦信号的现代法频谱分析二、实验目的通过对噪声中正弦信号的现代法频谱分析，来理解和掌握现代谱估计的基本概念，以及学会应用现代谱估计以及改进后的方法。
三、基本原理1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个输入序列)(n u 激励一个线性系统)(z H 的输出； ② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x ； ③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。
2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。
“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。
此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=pk k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==pk kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=pk jwkk jwx e a e P σ。
3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--pk x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。
4．Levinson-Durbin 算法：从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。
公式如下：① 1111/])()()([--=-∑+--=m m k x x m m m r k m r k a k ρ；② )()()(11k m a k k a k a m m m m -+=--；③ ]1[21mm m k -=-ρρ。
5. 自相关法：使用线性预测的方法来计算不同阶数下的预测器系数，使用前向线性预测，预测误差为∑=-+=-=pk k f k n x a n x n x n x n e1)()()(ˆ)()(ˆ，预测均方误差为∑-+==1022}{1)]([p N n ffn eNn e E ，使前向预测误差功率相对AR 参数k a 最小，将反射系数代入Levinson-Durbin 算法即可求解。
fft频谱分析
内容1．用Matlab产生正弦波,矩形波,以及白噪声信号，并显示各自时域波形图2．进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率，频率、数据长度自选3．做出上述三种信号的均方根图谱,功率图谱,以及对数均方根图谱4．用IFFT傅立叶反变换恢复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图源程序%******************************************************************** *****%% FFT实践及频谱分析 %%******************************************************************** *****%%******************************************************************** *****%%***************1.正弦波****************%fs=100;%设定采样频率N=128;n=0:N-1;t=n/fs;f0=10;%设定正弦信号频率%生成正弦信号x=sin(2*pi*f0*t);figure(1);subplot(231);plot(t,x);%作正弦信号的时域波形xlabel('t');ylabel('y');title('正弦信号y=2*pi*10t时域波形');grid;%进行FFT变换并做频谱图y=fft(x,N);%进行fft变换mag=abs(y);%求幅值f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换figure(1);subplot(232);plot(f,mag);%做频谱图axis([0,100,0,80]);xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');title('正弦信号y=2*pi*10t幅频谱图N=128');grid;%求均方根谱sq=abs(y);figure(1);subplot(233);plot(f,sq);xlabel('频率(Hz)');ylabel('均方根谱');title('正弦信号y=2*pi*10t均方根谱'); grid;%求功率谱power=sq.^2;figure(1);subplot(234);plot(f,power);xlabel('频率(Hz)');ylabel('功率谱');title('正弦信号y=2*pi*10t功率谱');grid;%求对数谱ln=log(sq);figure(1);subplot(235);plot(f,ln);xlabel('频率(Hz)');ylabel('对数谱');title('正弦信号y=2*pi*10t对数谱');grid;%用IFFT恢复原始信号xifft=ifft(y);magx=real(xifft);ti=[0:length(xifft)-1]/fs;figure(1);subplot(236);plot(ti,magx);xlabel('t');ylabel('y');title('通过IFFT转换的正弦信号波形'); grid;%****************2.矩形波****************% fs=10;%设定采样频率t=-5:0.1:5;x=rectpuls(t,2);x=x(1:99);figure(2);subplot(231);plot(t(1:99),x);%作矩形波的时域波形xlabel('t');ylabel('y');title('矩形波时域波形');grid;%进行FFT变换并做频谱图y=fft(x);%进行fft变换mag=abs(y);%求幅值f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换figure(2);subplot(232);plot(f,mag);%做频谱图xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');title('矩形波幅频谱图');grid;%求均方根谱sq=abs(y);figure(2);subplot(233);plot(f,sq);xlabel('频率(Hz)');ylabel('均方根谱');title('矩形波均方根谱');grid;%求功率谱power=sq.^2;figure(2);subplot(234);plot(f,power);xlabel('频率(Hz)');ylabel('功率谱');title('矩形波功率谱');grid;%求对数谱ln=log(sq);figure(2);subplot(235);plot(f,ln);xlabel('频率(Hz)');ylabel('对数谱');title('矩形波对数谱');grid;%用IFFT恢复原始信号xifft=ifft(y);magx=real(xifft);ti=[0:length(xifft)-1]/fs;figure(2);subplot(236);plot(ti,magx);xlabel('t');ylabel('y');title('通过IFFT转换的矩形波波形');grid;%****************3.白噪声****************%fs=10;%设定采样频率t=-5:0.1:5;x=zeros(1,100);x(50)=100000;figure(3);subplot(231);plot(t(1:100),x);%作白噪声的时域波形xlabel('t');ylabel('y');title('白噪声时域波形');grid;%进行FFT变换并做频谱图y=fft(x);%进行fft变换mag=abs(y);%求幅值f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换figure(3);subplot(232);plot(f,mag);%做频谱图xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');title('白噪声幅频谱图');grid;%求均方根谱sq=abs(y);figure(3);subplot(233);plot(f,sq);xlabel('频率(Hz)');ylabel('均方根谱');title('白噪声均方根谱');grid;%求功率谱power=sq.^2;figure(3);subplot(234);plot(f,power);xlabel('频率(Hz)');ylabel('功率谱');title('白噪声功率谱');grid;%求对数谱ln=log(sq);figure(3);subplot(235);plot(f,ln);xlabel('频率(Hz)');ylabel('对数谱');title('白噪声对数谱');grid;%用IFFT恢复原始信号xifft=ifft(y);magx=real(xifft);ti=[0:length(xifft)-1]/fs;figure(3);subplot(236);plot(ti,magx);xlabel('t');ylabel('y');title('通过IFFT转换的白噪声波形'); grid;fs=1500; %自己设置采样频率N=4000; %自己设置采样点数t = (0:N-1)/fs; %间隔NFFT = 2^nextpow2(N);%转化为2的基数倍f= fs/2*linspace(0,1,NFFT/2); %求出FFT转化频率E=cos((1.9e14).*t).*(1900*cos(3e10).*t+pi/2); %函数E_change=fft(E,NFFT)/N; %进行FFT变换plot(f,2*abs(E_change(1:NFFT/2)),'b');%画出频谱特性图grid on;上面是比较正规的fft变换，有的文章中没有求FFT转化频率（这样就少了一些步骤），即没有转化为2的基数倍，虽然可以画图也不会出错，但是如果详细阅读matlab自带的help帮助的话，就可以发现它们还是有差别的。
正弦信号的时域和频域
正弦信号的时域和频域正弦信号是一种周期性的信号，具有一定的频率和振幅特性。
在时域和频域上，正弦信号都有着独特的特点。
时域特性时域是指信号在时间轴上的表现形式。
对于正弦信号，其时域特点主要有以下几点：1. 周期性：正弦信号是一种周期性信号，即信号在一定时间区间内重复出现。
其周期T即为信号重复的时间间隔。
正弦信号的周期可由其频率f计算得出，T=1/f。
2. 振幅：正弦信号的幅值即为其振幅，也称为信号的最大值。
其振幅可以用峰值来表示，峰值即为信号振幅的最大值。
正弦信号在周期内振幅不变。
3. 相位：正弦信号的相位指信号相对于某一起始时间的延迟相位差。
相位通常用角度值表示，单位为弧度。
正弦信号的相位差会影响信号在不同时间点上的相对位置。
4. 波形变化：正弦信号的波形呈现连续的线性变化，其变化规律可由正弦函数表示。
正弦信号的波形变化通常通过波形图的方式呈现。
频域特性频域是指信号在频率轴上的表现形式。
信号的频域特性可以通过傅里叶变换来分析。
对于正弦信号，其频域特点有以下几点：1. 频率：正弦信号的频率就是其周期倒数的倒数，也就是1/T= f。
正弦信号的频率描述了信号在时间轴上重复出现的次数。
2. 幅值谱：幅值谱描述了信号在不同频率下的信号能量。
正弦信号在频率轴上呈现一个单峰的谱线，其谱线的峰值即为信号的振幅。
3. 相位谱：相位谱描述了信号在不同频率下的相位特性。
正弦信号的相位谱呈现一条水平的直线。
4. 频谱图：频谱图是信号在频率轴上的可视化表示。
对于正弦信号，其频谱图呈现一个单峰的谱线。
信号的峰值对应的频率即为信号的频率，峰值即为信号的振幅。
总结综上所述，正弦信号在时域和频域上都有着独特的特点。
在时域上，正弦信号具有周期性、振幅和相位特征，波形呈现连续的线性变化；在频域上，正弦信号具有频率、幅值谱和相位谱特征，呈现一个单峰的频谱图。
对于工程领域来说，对正弦信号的时域和频域特性进行分析是十分重要的，能够帮助我们更好地设计和优化信号处理系统。
(完整版)噪声中正弦信号的经典法频谱分析
实验报告一、实验名称噪声中正弦信号的经典法频谱分析二、实验目的通过对噪声中正弦信号的经典法频谱分析，来理解和掌握经典谱估计的知识，以及学会应用经典谱估计的方法。
三、基本原理1．周期图法：又称直接法。
把随机信号)(n x 的N 点观察数据)(n x N 视为一能量有限信号，直接取)(n x N 的傅里叶变换，得)(jw N e X ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对)(n x 真实的功率谱)(jw e P 的估计，以)(ˆjw PERe P 表示用周期图法估计出的功率谱，则2)(1)(ˆw X Nw P nPER =。
2．自相关法：又称为间接法功BT 法。
先由)(n x N 估计出自相关函数)(ˆm r，然后对)(ˆm r 求傅里叶变换得到)(n x N 的功率谱，记之为)(ˆw P BT，并以此作为对)(w P 的估计，即1,)(ˆ)(ˆ-≤=--=∑N M em r w P jwmMMm BT。
3．Bartlett 法：对L 个具有相同的均值μ和方差2σ的独立随机变量1X ，2X ，…，L X ，新随机变量L X X X X L /)(21+++=Λ的均值也是μ，但方差是L /2σ，减小了L 倍。
由此得到改善)(ˆw P PER方差特性的一个有效方法。
它将采样数据)(n x N 分成L 段，每段的长度都是M ，即N=LM ，第i 段数据加矩形窗后，变为L i e n xMw xM n jwn i NIPER ≤≤=∑-=-1,)(1)(ˆ210。
把)(ˆw P PER对应相加，再取平均，得到平均周期图21110)(1)(ˆ1)(∑∑∑==-=-==L i L i M n jwn iN i PER PER e n x ML w P L w P 。
4．Welch 法：它是对Bartlett 法的改进。
改进之一是，在对)(n x N 分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。
改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或汉明窗，记之为)(2n d 。
正弦信号的频谱特点
正弦信号的频谱特点正弦信号是一种周期性且连续的信号，可以用数学函数sin(t)表示，其中t是时间变量。
正弦信号的频谱特点是指它在频域中的分布情况，即不同频率分量的强度和相位关系。
频谱分析是研究信号在频域中的特性和组成成分的一种方法。
在频谱分析中，我们可以通过傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱。
正弦信号的频谱特点可以通过正弦波的频率来确定。
频率是指信号在单位时间内重复的次数，单位为赫兹（Hz）。
正弦信号的频谱主要由一个基频和其整数倍的谐波组成。
基频是信号的最低频率成分，其他频率成分则是基频的整数倍。
在频谱中，每个频率成分都有对应的幅度和相位值。
幅度表示信号在该频率处的强度，相位表示信号在该频率上的相对位置。
正弦信号的频谱特点可以简单总结为以下几个方面：1.单频率特性：正弦信号只包含一个频率成分，由于它是周期性的，因此它的频谱是离散的点。
这种特性使得正弦信号在通信领域和控制系统中具有重要的应用。
2.频谱关系：正弦信号的频率成分之间存在一定的数学关系。
具体来说，正弦信号的谐波频率成分是基频成分的整数倍。
例如，如果基频为f0，那么第一个谐波的频率为2f0，第二个谐波的频率为3f0，以此类推。
3.幅度谱特性：正弦信号的频谱中每个频率成分的幅度相等。
这是因为正弦信号是一个纯净的波形，没有包含任何噪声或干扰。
4.相位谱特性：正弦信号的频谱中每个频率成分的相位值是相同的。
相位表示信号在该频率上的相对位置，对于正弦信号来说，在每一个周期内，所有频率成分的相位都是相等的。
5.频谱展宽：正弦信号的频谱是一个无限窄的线，宽度接近于零。
这是因为正弦信号是一个理想的周期函数，永远不会在时间上结束。
然而，在实际应用中，我们往往无法得到完美的正弦信号，因此会有一定的频谱展宽。
总结起来，正弦信号的频谱特点主要包括单频率特性、频谱关系、幅度谱特性、相位谱特性和频谱展宽。
这些特点使得正弦信号在通信、控制、音频处理等领域中得到广泛应用。
正弦信号的功率谱密度
正弦信号的功率谱密度
正弦信号是指一个振幅为常数，频率为恒定值的周期信号。
它是一种十分基础的信号，因为几乎所有信号都可以看作是多个正弦信号的叠加。
在工程实践中，正弦信号被广泛应用于各种领域，如通信、遥感、控制等，因此了解正弦信号的功率谱密度是非常必要的。
功率谱密度是指信号的能量随频率变化的规律。
对于正弦信号，它满足一个重要的性质：在时域上为周期信号，在频域上则是脉冲状的功率谱密度函数。
具体而言，对于频率为$f_0$的正弦信号，其功率谱密度的峰值为$P(f_0)=\frac{A^2}{4}$，其中$A$为信号振幅。
因此，正弦信号的功率谱密度可以用下列表示：
1. 正弦信号的频域表示：$x(t)=A\sin(2\pi f_0t)$
2. 周期信号的基本波形：正弦函数
3. 正弦信号的周期：$T=\frac{1}{f_0}$
4. 正弦信号的平均功率：$P_{avg}=\frac{A^2}{2}$
5. 正弦信号的功率谱密度：$P(f)=\frac{A^2}{4}\delta(f-f_0)$
其中，$\delta(f-f_0)$为冲击函数，表示在频率为$f_0$时的能量集中。
需要注意的是，正弦信号的频谱具有非常高的局部性，因此对于一些实际应用，需要对信号进行适当的滤波和处理，以避免频谱泄露等问题。
另外，功率谱密度是一种统计量，若采样时间过短，可能会导致功率谱密度估计值不准确，因此需要进行合理的采样和处理。
总之，正弦信号的功率谱密度是一种非常重要的信号特征，能够反映信号的频率分布情况，对信号的分析和处理有着十分重要的意义。
噪声中正弦信号的现代法频谱分析
噪声中正弦信号的现代法频谱分析现代法频谱分析是一种用于分析噪声中正弦信号的方法。
在现代法频谱分析中，我们首先需要了解什么是噪声和正弦信号。
噪声是指一种在时间和频率上都是随机的信号，它包含了各种不同频率和振幅的组成成分。
噪声通常会对信号的传输、接收和处理造成干扰。
正弦信号是一种周期性的信号，它的波形呈现出与正弦函数相似的形状。
正弦信号具有确定的频率和振幅，可以用于表示各种周期性的现象或事件。
现代法频谱分析是一种利用离散傅里叶变换（DFT）来分析信号的方法。
DFT是一种将一个连续时间域信号转换为连续频率域信号的算法。
通过对信号进行离散化处理，我们可以将信号分解为一系列具有不同频率和振幅的正弦和余弦成分。
在进行现代法频谱分析时，首先需要对信号进行采样和量化处理，将连续时间域的信号转换为离散时间域的信号。
然后，使用DFT算法将信号转换为频率域的表示形式。
通过对得到的频谱结果进行分析，我们可以获得噪声中正弦信号的频率、振幅和相位等信息。
对于包含多个正弦信号的噪声，我们可以通过分析频谱的峰值来确定各个正弦信号的频率和振幅。
同时，通过观察频谱的相位信息，我们还可以推断出正弦信号在时间上的相对位置和相位差。
在现代法频谱分析中，还存在一些相关的概念和工具，如功率谱密度（PSD）和频谱估计。
功率谱密度是指信号在各个频率上的功率分布情况，可以用于分析信号的频率分量。
频谱估计是指对信号的频谱进行估计和拟合，常用的方法包括傅里叶变换（FFT）、Welch方法和周期图法等。
总之，现代法频谱分析是一种用于分析噪声中正弦信号的方法，通过对信号进行离散化处理和频谱分析，我们可以获得信号的频率、振幅和相位等信息，并推断出正弦信号在时间上的相对位置和相位差。
现代法频谱分析是信号处理和通信领域中常用的工具，广泛应用于噪声分析、信号检测和通信系统设计等方面。
正弦信号的正弦信号的频谱分析及提取
一.实验目的在理论学习的基础上，通过本实验熟悉频谱分析中的基本单元正弦波信号的时域波形和频域频谱的对照关系，加深对傅立叶变换原理的概念、性质、作用的理解，掌握用其分析信号频率特性的方法。
二.实验内容实验内容为分析正弦波信号A*sin(2πft)的波形和频谱，直观的建立它们间的图形联系。
三. 实验仪器和设备1. 计算机１台2. DRVI快速可重组虚拟仪器平台1套3. 打印机1台四. 实验步骤及内容1. 启动DRVI主程序，点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，进行注册，获取软件使用权。
2. 在DRVI的地址信息栏中输入该连接地址，建立实验环境，如下图所示。
3. 从信号图观察不同频率下正弦波信号波形和频率的变化，建立它们之间的联系。
五、趣味应用实验设计１用DRVI中的声卡芯片采集声音信号，设计一个声音信号频谱分析程序，对乐器进行声音信号采集和频谱分析，观察不同音阶信号的频谱。
六、趣味应用实验设计２用DRVI中的MP3播放器芯片播放音乐，设计音乐信号频谱分析程序，观察小提琴、小号等不同乐器演奏的音乐的频差异。
在DRVI的地址信息栏中输入该连接地址，建立实验环境，如下图所示。
七、趣味应用实验设计３用DRVI中的信号发生器芯片产生不同频率的正弦波，然后从声卡输出，设计一个简单的模拟电子琴(各音阶对应的频率分别为:131, 147, 165, 175, 196, 220, 247, 262, 294, 330, 349, 392, 440, 494, 523Hz)。
如下图所示。
八.实验报告要求简述实验目的及原理，按实验步骤附上相应的信号曲线，总结实验得出的主要结论。
正弦波和三角波的频谱特点
正弦波和三角波的频谱特点
首先，要了解正弦波和三角波频谱特征，需要先了解周期结构和频率的概念。
周期是一个正弦波周期性地重复的时间段，通常用π来表示；频率是指一个周期中信号振荡的次数，用赫兹来表示。
正弦波的频谱有一个主要的频率，它具有宽的谱面宽度。
它的频谱是一个类似正弦曲线的图形，即高低频率的衰减关系为正弦曲线。
正弦波的频谱是一个单峰频谱，主要的频率位于其中间。
此外，由于正弦波拥有宽的谱宽，因此它的频谱不易被干扰，这是它在调制、解调过程中的优势。
三角波的频谱也是单峰频谱，主要的频率位于其中间。
但是与正弦波的宽谱宽不同，三角波的谱宽是较窄的。
因此，由于较小的谱宽，三角波在调制、解调过程中会受到隔离的影响，并且高频率会衰减更快。
此外，三角波的频谱曲线是一个三角形，其中低频率衰减以及高频率衰减处在不同位置，高频率衰减比低频率衰减要快，从而为信号提供了良好的更新效果。
从以上分析结果可以看出。
信号的频谱分析实验报告
实验四 信号的频谱分析一．实验目的1.掌握利用FFT 分析连续周期，非周期信号的频谱，如周期，非周期方波，正弦信号等。
理解CFS ，CTFT 与DFT （FFT ）的关系。
2.利用FFT 分析离散周期，非周期信号的频谱，如周期，非周期方波，正弦信号等。
理解DFS ，DTFT 与DFT （FFT ）的关系，并讨论连续信号与离散信号频谱分析方法的异同。
二．实验要求1.编写程序完成任意信号数字谱分析算法；2.编写实验报告。
三．实验内容1.利用FFT ，分析并画出sin(100),cos(100)t t ππ频谱，改变采样间隔与截断长度，分析混叠与泄漏对单一频率成分信号频谱的影响。
（1）sin （100*pi*t ）产生程序：close all;clc;clear;t=0:0.0025:0.5-0.0025;f=400*t;w0=100*pi;y=sin(w0*t);a=fft(y);b=abs(a)/200;d=angle(a)*180/pi; subplot(311);plot(t,y);title('y=sin(wt)'); xlabel('t');ylabel('y(t)'); subplot(312); stem(f,b);title('振幅'); xlabel('f');ylabel('y(t)'); subplot(313); stem(f,d);title('相位'); xlabel('t');ylabel('y(t)');混叠close all;clc;clear;t=0:0.0115:0.46-0.0115; f=(t/0.0115)*2;w0=100*pi;y=sin(w0*t);a=fft(y);b=abs(a)/40;d=angle(a)*180/pi; subplot(311);plot(t,y);title('y=sin(wt)'); xlabel('t');ylabel('y(t)'); subplot(312); stem(f,b); title('振幅'); xlabel('f'); ylabel('y(t)'); subplot(313); stem(f,d); title('相位'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');泄漏close all; clc;clear;t=0:0.0025:0.5-0.0075; f=800*t;w0=100*pi;y=sin(w0*t);a=fft(y);b=abs(a)/198;d=angle(a)*180/pi; subplot(311);plot(t,y);title('y=sin(wt)'); xlabel('t');ylabel('y(t)');subplot(312);stem(f,b);title('振幅');xlabel('f');ylabel('y(t)');subplot(313);stem(f,d);title('相位');xlabel('t');ylabel('y(t)');（2）cos(100*pi*t); close all;clc;clear;t=0:0.0025:0.5-0.0025; f=800*t;w0=100*pi;y=cos(w0*t);a=fft(y);b=abs(a)/200;d=angle(a)*180/pi; subplot(311);plot(t,y);title('y=cos(wt)'); xlabel('t');ylabel('y(t)');grid on; hold on; subplot(312); stem(f,b); title('振幅'); xlabel('f'); ylabel('y(t)'); grid on; hold on; subplot(313); stem(f,d); title('相位'); xlabel('f'); ylabel('y(t)');混叠close all;clc;clear;t=0:0.0115:0.46-0.0115; f=(t/0.0115)*2;w0=100*pi;y=cos(w0*t);a=fft(y);b=abs(a)/40;d=angle(a)*180/pi; subplot(311);plot(t,y);title('y=cos(wt)'); xlabel('t');ylabel('y(t)');subplot(312);stem(f,b);title('振幅');xlabel('f');ylabel('y(t)');subplot(313);stem(f,d);title('相位');ylabel('y(t)');泄漏close all;clc;clear;t=0:0.0025:0.5-0.0075; f=800*t;w0=100*pi;y=cos(w0*t);a=fft(y);b=abs(a)/198;d=angle(a)*180/pi; subplot(311);plot(t,y);title('y=cos(wt)');ylabel('y(t)');subplot(312);stem(f,b);title('振幅');xlabel('f');ylabel('y(t)');subplot(313);stem(f,d);title('相位');xlabel('t');ylabel('y(t)');2.利用FFT，分析并对比方波以及半波对称的正负方波的频谱，改变采样间隔与截断长度，分析混叠与泄漏对信号频谱的影响。
数字信号处理课程设计报告
设计一信号的基本运算一、设计目的熟悉信号的基本运算，通过运用Matlab进行仿真，加深对信号基本运算的理解。
通过对数据的处理，加深对Matlab中数据存取，数值运算，矩阵运算的方式及工作原理的了解。
二、设计原理Matlab是以矩阵为基础的一种软件，其集成了数值运算、矩阵运算、信号处理和图形等众多功能。
其中，对数据的存取都是以矩阵的方式进行的。
Matlab工具箱中提供了很多已经编写好的函数，我们这用些函数的时候只需要从工具箱中调用就可以了，这些函数都十分的方便。
如其中的wavread( )函数，我们可以用来从音频文件中获取数据，然后对这些数据进行运算，然后通过sound( )函数对音频文件进行回放；还有一些特殊矩阵的生成函数，如用函数zeros生成全0矩阵：格式B=zeros(m,n)生成m×n的全0阵；用函数ones生成全1矩阵：格式B=ones(m,n)生成m×n的全1阵；用函数rand生成随机矩阵：格式B=rand(m,n)生成m×n的随机矩阵；用函数eye生成单位阵：格式B=eye(m,n)生成m×n矩阵，其中对角线元素全为1，其他元素为0。
通过类似这样的操作，我们就可以方便的对信号进行相应的处理。
本次实验中，我们对一段音频信号，进行回音的模仿，然后经过上采样和下采样，反转的处理，并演示处理后的效果。
三、设计内容本次实验，我们通过采样得到一段以采样频率为8192Hz的语音信号x（k），然后通过编写Matlab程序对这段语音信号进行回音模仿，采用函数x(k)=x(k)+a*x(k-d),期中d为时延，a为时延信号的衰减幅度。
然后对语音信号进行下采样x(k/2)、上采样x(2k)、反转x(-k)。
下采样即在得到的语音信号的基础上，隔一个k值取一个函数值；上采样，即在得到的信号的基础上进行每两个k值之间进行插值；反转即把得到的信号的k变为-k。
通过这样的处理后，回放语音信号，观察效果，再看处理后的信号的时域波形。
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绍兴文理学院数理信息学院数字信号处理课程设计报告书题目正弦信号的频谱分析姓名朱沛东学号********专业班级电信101指导教师刘兆庭时间2013年7月12日课程设计任务书正弦信号的频谱分析摘要傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数字变换。
对于有限长序列，还有一种更为重要的数字变换，即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）。
DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就打打增加了数字信号处理的灵活性。
更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
从而使信号的实现处理和设备的简化得以实现。
因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面代替了传统的连续时间系统。
所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。
关键词数字信号处理、散傅里叶变换DFT、快速傅里叶变换FFT目录课程设计任务书.............................................. 错误!未定义书签。
摘要.. (III)1. 设计概述................................................. 错误!未定义书签。
2. 设计方案及实现 (2)3. 设计结果分析 (2)4. 总结 (2)参考文献 (3)附录 (4)1设计概述1.1 设计相关背景离散傅里叶变换有与傅里叶变换相类似的作用和性质，在离散信号分析和数字系统综合中占有极其重要的地位。
它不仅建立了离散时域与离散频域之间的联系，而且由于它存在周期性，还兼有连续时域中傅里叶级数的作用，与离散傅里叶级数有着密切联系。
在计算速度方面，已研究出各种快速计算的算法，使离散傅里叶变换的应用更为普遍，在实现各种数字信号处理系统中起着核心的作用。
例如，通过计算信号序列的离散傅里叶变换可以直接分析它的数字频谱；在有限冲激响应数字滤波器的设计中，要从冲激响应h(n)求频率抽样值H(k)，以及进行它们之间的反运算等。
“补零”是指做DFT时，在序列的有效数据后面填补一些零值，认为地延长序列，以达到对频谱做某种改善的目的。
补零的方法在离散傅里叶变换（DFT）技术中经常用到：当使用快速傅里叶变换（FFT）技术时，为了使序列长度为2的整数次幂，需要将原序列补零；当利用DFT技术做线性卷积时，为了改善DFT技术的栅栏效应，使谱的外观变得平滑，可在原序列的后面补零；补零有可能消除由于数据的截断所引起的泄漏现象。
DFT的频谱分辨率是指对信号中两个靠的较近的频谱分量的识别能力，它仅决定于截取连续信号的长度，在采样频率不变时，通过改变采样点数N可以改变DFT的分辨率。
高密度频谱是指当信号的时间长度不变时，在频域内对它的频谱进行提高采样频率，而得到高密度普，它只可以更细化当前分辨率下的频谱，克服栅栏效应，但不能改变DFT 的分辨率，另外采用尾部补零的方法不能提高DFT的高分辨率。
1.2 设计目的了解离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab实现DFT变换。
掌握DFT应用，加深理解信号频谱的概念及性质，了解高密度谱与高分辨率频谱的区别，了解DFT算法存在的问题及改进方法。
学习并掌握FFT的应用。
1.3 设计任务与要求学习用DFT和补零DFT的方法来计算信号的频谱。
用MATLAB语言编程来实现，在做课程设计前，必须充分预习课本DTF、DFT及补零DFT的有关概念，熟悉MATLAB 语言，独立编写程序，并在计算机上调试，最后写出完整、规范的课程设计报告书。
2 设计方案及实现2.1 设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
2.2 实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nk Nnk NWWN-=+2，12-=N N W ;周期性nkNnk N nrN N k rN n N W W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNNW）2.2.1 离散傅里叶变换的推导离散傅里叶级数定义为nkj N k pp ek xNn x N 21)(1)( ∑-==（1-1） 将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(1101010)(1N 2N 2N 2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j p N n nmj pe k X e k X N en x因为{mk 1mk 0)(N)(1)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n jee eNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j p m k k X en x δπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m 得∑-=-=10N2)()(N n nk j p P en x k X π（1-2）令N2πj N eW -=则（1-2）成为DFS []∑-===1)()()(N n nkN p p p W n x k X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==1)(1)()(N n nkN pp p W k XNn x k X （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
其中)()(k X n x p p 、都是周期为N 的周期序列，DFS[·]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[·]表示离散傅里叶级数反变换。
习惯上，对于长为N 的周期序列，把0≤n ≤N-1区间称为主值区，把)1(~)0(-N x x p p 称为)(n x p 的主值序列，同样也称)1(~)0(-N X X p p 为)(k X p 的主值序列。
由于)()()(n R n x n x N p =，对于周期序列)(n x p 仅有N 个独立样值，对于任何一个周期进行研究就可以得到它的全部信息。
在主值区研究)(n x p 与)(n x 是等价的，因此在主值区计算DFS 和DFT 是相等的，所以DFT 计算公式形式与DFS 基本相同。
其关系为)()()(n R n x n x N p =)()()(k R k X k X N p =所以离散傅里叶正变换()()[]()W nkN N n n x n x DFT k X ∑-===10≤k ≤N-1离散傅里叶变换（DFT ）定义：设有限长序列x (n) 长为N （0≤n ≤N-1），其离散傅里叶变换是一个长为N 的频率有限长序列（0≤k ≤N-1），其正变换为 ()()[]()W nkN N n n x n x DFT k X ∑-===10 0≤k ≤N-1 （WeNjN π2-=）离散傅里叶变换的实质是：把有限长序列当做周期序列的主值序列进行DFS 变换，x(n)、X(k)的长度均为N ，都是N 个独立值，因此二者具有的信息量是相等的。
已知x(n)可以唯一确定X(k),已知X(k)可以唯一确定x(n)。
虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的变化，但它们是利用DFS 关系推导出来的，因而隐含着周期性。
2.2.2 构造离散傅里叶变换的Matlab 实现程序如下 function[Xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=n;WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k;WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk快速傅里叶变换（FFT ）并不是与DFT 不同的另外一种变换，而是为了减少DFT 计算次数的一种快速有效的算法 2.2.3 共轭对称性设有限长序列)(n x 的长度为N ，以N 为周期的周期延拓列为N n x n x ))(()(~= 周期序列)(~n x 的共轭对称分量)(~n x e 和共轭反对称分量)(~n x o 分别为[]N N e n N x n x n x n x n x ))(())((21)()(21)(**~~~-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= (1-5)[]N N o n N x n x n x n x n x ))(())((21)()(21)(**~~~--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= (1-6)同样可以证明，它们满足)()(*~~n x n x e e -= （1-7） )()(*~~n x n x o o --= （1-8） 则有限长序列)(n x 的圆周共轭对称分量)(n x ep 和圆周共轭反对称分量)(n x op 分别定义为：)(]))(())(([21)()()(*~n R n N x n x n R n x n x N N N N e ep -+== （1-9）)(]))(())(([21)()()(*~n R n N x n x n R n x n x N N N N o op --== （1-10）由于满足)()()(~~~n x n x n x o e += 故)()()()]()([)()()(~~~n x n x n R n x n x n R n x n x op ep N e N +=+== （1-11）显然，长度为N 的有限长序列)(n x 可以分解为圆周共轭对称分量)(n x ep 和圆周共轭反对称分量)(n x op 之和，)(n x ep 和)(n x op 的长度皆为N 。
利用有限长序列与周期序列的共轭对称分量和反对称分量的关系式（1-9）和式（1-10），以及式（1-11）可以推导出DFT 的一系列的对称性质（1）DFT )()()]([***K n X k X n x -=-= 式中)(*n x 表示)(n x 的共轭复序列。